期末复习09变量与函数讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学变量与函数期末复习讲义通过知识框架图系统梳理12个核心知识点，用对比表格呈现函数三种表示方法的优势与局限，分点解析函数概念、解析式、自变量取值范围等重难点，构建“概念-表示-应用”的递进知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，如动点问题结合几何直观分析运动阶段与函数图象的对应关系，典例与跟踪专练培养推理意识，综合题融入实际情境提升应用能力。基础题巩固知识，拓展题发展创新意识，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习。

期末复习09 变量与函数讲义 1. 函数的核心概念 2. 函数解析式表示 3. 自变量取值范围的确定 4. 自变量与函数值的求解 5. 用表格表示变量间的关系 6. 用关系式表示变量间的关系 7. 用图象表示变量间的关系 8. 函数图象识别 9. 从函数的图象获取信息 10. 用描点法画函数图象 11. 动点问题的函数图象 12. 函数的三种表示方法 【知识点01】函数的概念 1.核心定义 在一个变化过程中，存在两个变量x和y： 若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，其中x是自变量，y是函数值（也叫因变量）。 2.关键要素（3 个） (1)有两个变量（不能是常量之间的关系）； (2)自变量x有取值范围（需使关系有意义）； (3)满足单值对应（一个x对应唯一的y，但一个y可以对应多个x）。 3.判断是否为函数的依据 看 “x取一个值时，y是否只有一个结果”： 【知识点02】函数解析式 1.核心定义 用数学代数式表示函数关系的形式（即自变量与函数值之间的数量表达式） 2.关键要点 本质：是变量间数量关系的 “精准表达式”； 对应关系：解析式直接体现 “自变量→函数值” 的计算规则； 书写规范：通常将函数值（如y、s）写在左边，自变量（如x、r）的代数式写在右边。 【知识点03】自变量取值范围的确定 核心原则是：使函数解析式有意义，若涉及实际问题，还需符合实际情境的要求。 一. 纯数学解析式（无实际背景） 1.整式型 解析式为整式（如一次函数 y=kx+b、二次函数 y=ax2+bx+c），自变量取值范围是 全体实数。 2.分式型解析式 为分式，需满足 分母不为 0。 3.二次根式型解析式 含二次根式，需满足 被开方数为非负数。 4.复合型解析式 同时含分式和二次根式，需同时满足各部分的条件。 二、 实际问题中的函数 需结合实际意义确定自变量范围，常见限制条件如下： *表示数量（人数、物品个数）：自变量取正整数； *表示长度、面积、时间、路程：自变量取非负数； *表示折扣、浓度：自变量取值在 0 到 1 之间（含端点）。 【知识点04】自变量与函数值的求解 核心方法：代入计算 + 检验取值范围, 分为两种基础题型： 一、 已知自变量求函数值 步骤:代入自变量值 → 按运算顺序计算 → 得函数值 二、 已知函数值求自变量 步骤:代入函数值 → 列方程 → 解方程 → 检验（符合自变量取值范围） 三、 拓展：已知函数值范围求自变量范围 步骤:代入函数值范围 → 列不等式 → 解不等式 【知识点05】变量关系的表示方法 1.用表格描述变量间的关系 *形式：将自变量与对应的函数值以 “行 / 列” 形式整理成表格。 *特点：直观呈现具体数值对应关系，但无法体现整体变化趋势。 2.用关系式描述变量间的关系 *形式：即函数解析式（如s=vt）。 *特点：精准反映数量规律，便于计算任意自变量对应的函数值，但不够直观。 3.用图象描述变量间的关系 *形式：在平面直角坐标系中，以自变量为横轴、函数值为纵轴，描点连线得到的曲线 / 直线。 *特点：直观展示变量的变化趋势（增减、极值等），但数值精度相对有限。 【知识点06】函数的三种表示方法 表示方法 基本形式 核心优势 主要局限 表格法 列出自变量与对应函数值的表格 直观呈现具体数值对应关系 无法体现变量整体变化趋势 关系式法（解析式法） 用数学代数式表示变量关系（如 y=kx+b） 精准计算任意自变量的函数值 不够直观，需计算才能看出规律 图象法 平面直角坐标系中的曲线 / 直线 清晰展示变量变化趋势（增减、最值） 数值精度有限，只能近似读取 核心要点：三种方法可相互转化，需根据解题或实际需求选择合适的表示形式。 【知识点07】函数图象的识别与解读 核心方法：先明坐标轴意义，再析图象特征、特殊点 一、 图象识别步骤 1.定坐标轴：明确横轴（自变量）、纵轴（函数值）的实际含义（如时间、路程）。 2.看图象特征 *直线→一次函数（匀速变化）；曲线→非线性函数（变速变化） *上升→函数值随自变量增大而增大 *下降→函数值随自变量增大而减小 *水平→函数值不变 3.找特殊点：关注起点、终点、交点、最高点 / 最低点 二、 图象解读应用 1.读特定自变量对应的函数值 2.判断变量的变化趋势 3.分析实际过程的阶段特征（如动点的运动阶段） 【知识点08】从函数图象中提取信息 核心技巧：结合坐标轴含义，锁定图象上的点、线段、特殊位置，对应提取数量关系与变化规律 一、 提取基础数值信息 1.读点的坐标：图象上任意一点 (x,y)，对应自变量为 x 时的函数值为 y。 2.找特殊点数值 *起点 / 终点：对应自变量的初始值、最大值及对应函数值； *最高点 / 最低点：对应函数的最大值、最小值； *交点：多个函数图象交点的横、纵坐标，代表 “自变量相同、函数值相等” 的状态。 二、 提取变化趋势信息 1.线段走向：上升→函数值随自变量增大而增大；下降→函数值随自变量增大而减小；水平→函数值不变。 2.图象斜率：直线越陡→变量变化速度越快（如匀速运动中速度更大）。 三、 提取实际意义信息 结合题目背景（如路程、温度、动点运动），解读图象阶段特征： *分段图象的每一段→对应一个变化阶段（如 “加速→匀速→减速”）； *图象与坐标轴的交点→对应 “初始状态” 或 “临界状态”（如路程为 0 的时刻）。 【知识点09】用描点法绘制函数图象 核心步骤：列表 → 描点 → 连线 关键原则：自变量取值要均匀，连线要平滑（或成直线） 1.列表 *确定自变量取值范围； *选取若干个有代表性的自变量值（均匀取值，含关键点如与坐标轴交点）； *代入解析式计算对应函数值，列成表格。 2.描点 *建立平面直角坐标系，标注横轴（自变量）、纵轴（函数值）及单位长度； *根据表格中的数对 (x,y)，在坐标系中准确标出对应点。 3.连线 *一次函数（直线型）：用直尺连接所有点，两端可延伸； *非线性函数（如反比例、二次函数）：按自变量从小到大的顺序，用平滑曲线连接各点，不遗漏、不交叉。 【知识点10】动点问题对应的函数图象 核心思路：分段分析运动状态 → 确定各阶段函数关系 → 匹配图象特征 一、解题步骤 1.析运动过程 明确动点的起点、路径、终点，划分运动阶段（匀速、静止、变速），确定各阶段自变量t（时间）的取值范围。 2.列函数关系式 结合几何公式（路程、面积等），列出每阶段因变量（如s、S）与t的关系式，判断函数类型（一次函数→直线，非线性函数→曲线）。 3.配图象特征 *看走向：上升 = 因变量增大，下降 = 因变量减小，水平 = 因变量不变； *看分段：阶段分界点对应图象转折点； *验端点：起点、终点坐标需与运动状态一致。 二.运动状态与图象对应表 运动状态 函数类型 图象特征 匀速运动 一次函数 倾斜直线段 静止停留 常函数 水平直线段 变速运动 二次 / 反比例函数 曲线段 三、关键提醒 自变量取值范围不重不漏； 转折点坐标对应运动阶段的切换时刻与因变量值。 题型1.函数的核心概念 【典例】下列各曲线中不能表示是的函数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列表达式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：，，所以是偶函数，而，，所以是奇函数．若是偶函数，则实数 ． 题型2.函数解析式表示 【典例】一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 题型3.自变量取值范围的确定 【典例】在反比例函数中，自变量x的取值范围为（  ） A． B． C． D．全体实数 【跟踪专练1】已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【跟踪专练2】在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 题型4.自变量与函数值的求解 【典例】如果点在函数的图象上，那么的值等于 ． 【跟踪专练1】课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ． 【跟踪专练2】下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 题型5.用表格表示变量间的关系 【典例】如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（   ） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【跟踪专练1】变量x，y的一些对应值如表： 0 1 2 3 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 【跟踪专练2】张师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 120 240 360 480 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 张师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，那么、两地之间的距离是 ． 题型6.用关系式表示变量间的关系 【典例】如图，在长方形中，，，是边上一动点，，垂足为，，，与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（   ） A．常量是2；变量是C，π，r B．常量是2π；变量是C，r C．常量是2π；变量是r D．常量是2；变量是C，r 【跟踪专练2】运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为： ． 题型7.用图象表示变量间的关系 【典例】某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 【跟踪专练1】已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【跟踪专练2】如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 题型8.函数图象识别 【典例】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面高度与注水时间关系的是（   ） A． B． C． D． 题型9.从函数的图象获取信息 【典例】甲，乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲，乙两人的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则的值为 ． 【跟踪专练1】硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【跟踪专练2】如图是某函数的图像，当时，若在该函数图像上可以找到n个不同的点 （其中为大于1的正整数），使得恒成立，则所有可能的值的和是 ． 题型10.用描点法画函数图象 【典例】小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【跟踪专练1】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ． 【跟踪专练2】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来．正确的选项是（   ） A．第一步是错误的 B．第二步是错误的 C．第三步是错误的 D．都正确 题型11在.动点问题的函数图象 【典例】如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 【跟踪专练2】已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（    ） A．动点的速度是 B．的长为 C．的值为13 D．在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 题型12.函数的三种表示方法 【典例】表示函数的方法一般有 、 、 ． 【跟踪专练1】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量 1 2 3 4 烤制时间 若鸭的质量为时，烤制时间为 ． 【跟踪专练2】关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 1.．如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 2．下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 4．如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ． 7．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ． 8．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 9．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最大值； ③将该函数图象向右平移个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④点是该函数图象上一点，则符合要求的点有三个． 其中正确的结论有 ． 11．为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： 燃烧时间 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度 … (1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量，因变量． (2)写出这根香可燃烧部分的长度与燃烧时间的函数关系式． (3)求这根香可燃烧的时间． 12．用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． (1)填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 (2)这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． (3)试用含x的式子表示y， ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 13．材料：我国墨脱水电站选址于世界水能最富集的雅鲁藏布江大峡谷段，年发电量约亿，相当于三个三峡水电站，是我国又一个超级工程． 探究学习：小亮通过查阅资料知道以下信息：墨脱水电站的某小型引水坝内的水体可视为长方体，其底面积为．某一次注水前的水位高度为，注水时的水位高度y（单位：m）与时间x（单位：h）有下面的关系： 时间 0 1 2 3 … 水位高度 8 13 18 23 … (1)根据表中数据呈现的规律解决问题：当注水时间达到时，引水坝内的水位高度是_____________； (2)在这个问题中，_____________是变量，_____________是常量； (3)请用含x的代数式表示y； (4)已知引水坝内的水可以发电约，若引水坝内所有水的发电量记为W，请用含有x的代数式表示W，并求出当时的发电量． 14．如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 15．小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： (1)列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于的方程无解，则的取值范围是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习09 变量与函数讲义 1. 函数的核心概念 2. 函数解析式表示 3. 自变量取值范围的确定 4. 自变量与函数值的求解 5. 用表格表示变量间的关系 6. 用关系式表示变量间的关系 7. 用图象表示变量间的关系 8. 函数图象识别 9. 从函数的图象获取信息 10. 用描点法画函数图象 11. 动点问题的函数图象 12. 函数的三种表示方法 【知识点01】函数的概念 1.核心定义 在一个变化过程中，存在两个变量x和y： 若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，其中x是自变量，y是函数值（也叫因变量）。 2.关键要素（3 个） (1)有两个变量（不能是常量之间的关系）； (2)自变量x有取值范围（需使关系有意义）； (3)满足单值对应（一个x对应唯一的y，但一个y可以对应多个x）。 3.判断是否为函数的依据 看 “x取一个值时，y是否只有一个结果”： 【知识点02】函数解析式 1.核心定义 用数学代数式表示函数关系的形式（即自变量与函数值之间的数量表达式） 2.关键要点 本质：是变量间数量关系的 “精准表达式”； 对应关系：解析式直接体现 “自变量→函数值” 的计算规则； 书写规范：通常将函数值（如y、s）写在左边，自变量（如x、r）的代数式写在右边。 【知识点03】自变量取值范围的确定 核心原则是：使函数解析式有意义，若涉及实际问题，还需符合实际情境的要求。 一. 纯数学解析式（无实际背景） 1.整式型 解析式为整式（如一次函数 y=kx+b、二次函数 y=ax2+bx+c），自变量取值范围是 全体实数。 2.分式型解析式 为分式，需满足 分母不为 0。 3.二次根式型解析式 含二次根式，需满足 被开方数为非负数。 4.复合型解析式 同时含分式和二次根式，需同时满足各部分的条件。 二、 实际问题中的函数 需结合实际意义确定自变量范围，常见限制条件如下： *表示数量（人数、物品个数）：自变量取正整数； *表示长度、面积、时间、路程：自变量取非负数； *表示折扣、浓度：自变量取值在 0 到 1 之间（含端点）。 【知识点04】自变量与函数值的求解 核心方法：代入计算 + 检验取值范围, 分为两种基础题型： 一、 已知自变量求函数值 步骤:代入自变量值 → 按运算顺序计算 → 得函数值 二、 已知函数值求自变量 步骤:代入函数值 → 列方程 → 解方程 → 检验（符合自变量取值范围） 三、 拓展：已知函数值范围求自变量范围 步骤:代入函数值范围 → 列不等式 → 解不等式 【知识点05】变量关系的表示方法 1.用表格描述变量间的关系 *形式：将自变量与对应的函数值以 “行 / 列” 形式整理成表格。 *特点：直观呈现具体数值对应关系，但无法体现整体变化趋势。 2.用关系式描述变量间的关系 *形式：即函数解析式（如s=vt）。 *特点：精准反映数量规律，便于计算任意自变量对应的函数值，但不够直观。 3.用图象描述变量间的关系 *形式：在平面直角坐标系中，以自变量为横轴、函数值为纵轴，描点连线得到的曲线 / 直线。 *特点：直观展示变量的变化趋势（增减、极值等），但数值精度相对有限。 【知识点06】函数的三种表示方法 表示方法 基本形式 核心优势 主要局限 表格法 列出自变量与对应函数值的表格 直观呈现具体数值对应关系 无法体现变量整体变化趋势 关系式法（解析式法） 用数学代数式表示变量关系（如 y=kx+b） 精准计算任意自变量的函数值 不够直观，需计算才能看出规律 图象法 平面直角坐标系中的曲线 / 直线 清晰展示变量变化趋势（增减、最值） 数值精度有限，只能近似读取 核心要点：三种方法可相互转化，需根据解题或实际需求选择合适的表示形式。 【知识点07】函数图象的识别与解读 核心方法：先明坐标轴意义，再析图象特征、特殊点 一、 图象识别步骤 1.定坐标轴：明确横轴（自变量）、纵轴（函数值）的实际含义（如时间、路程）。 2.看图象特征 *直线→一次函数（匀速变化）；曲线→非线性函数（变速变化） *上升→函数值随自变量增大而增大 *下降→函数值随自变量增大而减小 *水平→函数值不变 3.找特殊点：关注起点、终点、交点、最高点 / 最低点 二、 图象解读应用 1.读特定自变量对应的函数值 2.判断变量的变化趋势 3.分析实际过程的阶段特征（如动点的运动阶段） 【知识点08】从函数图象中提取信息 核心技巧：结合坐标轴含义，锁定图象上的点、线段、特殊位置，对应提取数量关系与变化规律 一、 提取基础数值信息 1.读点的坐标：图象上任意一点 (x,y)，对应自变量为 x 时的函数值为 y。 2.找特殊点数值 *起点 / 终点：对应自变量的初始值、最大值及对应函数值； *最高点 / 最低点：对应函数的最大值、最小值； *交点：多个函数图象交点的横、纵坐标，代表 “自变量相同、函数值相等” 的状态。 二、 提取变化趋势信息 1.线段走向：上升→函数值随自变量增大而增大；下降→函数值随自变量增大而减小；水平→函数值不变。 2.图象斜率：直线越陡→变量变化速度越快（如匀速运动中速度更大）。 三、 提取实际意义信息 结合题目背景（如路程、温度、动点运动），解读图象阶段特征： *分段图象的每一段→对应一个变化阶段（如 “加速→匀速→减速”）； *图象与坐标轴的交点→对应 “初始状态” 或 “临界状态”（如路程为 0 的时刻）。 【知识点09】用描点法绘制函数图象 核心步骤：列表 → 描点 → 连线 关键原则：自变量取值要均匀，连线要平滑（或成直线） 1.列表 *确定自变量取值范围； *选取若干个有代表性的自变量值（均匀取值，含关键点如与坐标轴交点）； *代入解析式计算对应函数值，列成表格。 2.描点 *建立平面直角坐标系，标注横轴（自变量）、纵轴（函数值）及单位长度； *根据表格中的数对 (x,y)，在坐标系中准确标出对应点。 3.连线 *一次函数（直线型）：用直尺连接所有点，两端可延伸； *非线性函数（如反比例、二次函数）：按自变量从小到大的顺序，用平滑曲线连接各点，不遗漏、不交叉。 【知识点10】动点问题对应的函数图象 核心思路：分段分析运动状态 → 确定各阶段函数关系 → 匹配图象特征 一、解题步骤 1.析运动过程 明确动点的起点、路径、终点，划分运动阶段（匀速、静止、变速），确定各阶段自变量t（时间）的取值范围。 2.列函数关系式 结合几何公式（路程、面积等），列出每阶段因变量（如s、S）与t的关系式，判断函数类型（一次函数→直线，非线性函数→曲线）。 3.配图象特征 *看走向：上升 = 因变量增大，下降 = 因变量减小，水平 = 因变量不变； *看分段：阶段分界点对应图象转折点； *验端点：起点、终点坐标需与运动状态一致。 二.运动状态与图象对应表 运动状态 函数类型 图象特征 匀速运动 一次函数 倾斜直线段 静止停留 常函数 水平直线段 变速运动 二次 / 反比例函数 曲线段 三、关键提醒 自变量取值范围不重不漏； 转折点坐标对应运动阶段的切换时刻与因变量值。 题型1.函数的核心概念 【典例】下列各曲线中不能表示是的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义依次判断即可．对于两个变量x和y，如果给定一个x都有唯一的一个y值与它对应，那么y就是x的函数． 【详解】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，A选项不符合题意； B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，B选项不符合题意； C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，C选项不符合题意； D、满足对于大于零的x的每一个取值，y都有两个确定的值与之对应关系，故y不是x的函数，D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】下列表达式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，根据函数定义逐项判断即可． 【详解】解：ABC：对于式子有意义的任意一个x，有且仅有一个确定的y的值与之对应，符合函数的定义； D：可化为，当时，对x的一个取值，有2个y的值与之对应，不符合函数的定义， 故选：D． 【跟踪专练2】与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：，，所以是偶函数，而，，所以是奇函数．若是偶函数，则实数 ． 【答案】5 【分析】由是偶函数，可得，解得． 【详解】解：∵是偶函数， 根据偶函数的定义，对于自变量取值范围内的任意一个，都有， ∴， 整理，得， 可知， 解得． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了新定义：偶函数和奇函数，解题关键是正确理解题意并列式求解． 题型2.函数解析式表示 【典例】一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能根据实际问题间数量关系准确列式． 根据路程＝速度×时间，列出关系式即可． 【详解】解：∵路程＝速度×时间， ． 故选：D． 【跟踪专练1】已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数关系式，理解“剩余油量总油量流出油量”是正确解答的前提． 根据“剩余油量总油量流出油量”，用代数式表示流出油量即可． 【详解】解：根据“剩余油量总油量流出油量”可得， ， 故选：B． 【跟踪专练2】等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一次函数关系式，弄清量之间的关系是解题的关键． 根据等腰三角形的周长公式求出底边长，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为36，腰长为x， ∴底边长为， ∵， ∴ ∴底边y与腰长x的函数关系式是． 故答案为: 题型3.自变量取值范围的确定 【典例】在反比例函数中，自变量x的取值范围为（  ） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【分析】本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意． 故选． 【跟踪专练1】已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 解得：． 故选：B． 【跟踪专练2】在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可． 【详解】∵在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为， ∴，整理得， 由等腰三角形可得， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为，定义域为， 故答案为：，． 题型4.自变量与函数值的求解 【典例】如果点在函数的图象上，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值，将分别代入两个函数解析式，求出自变量的值，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入得， ，解得，不符合题意； 将代入得， ，解得，符合题意； 故答案为：． 【跟踪专练2】下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特点，将点代入各个函数解析式进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，，满足函数，符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 故选：． 题型5.用表格表示变量间的关系 【典例】如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（   ） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量． 故选：D． 【跟踪专练1】变量x，y的一些对应值如表： 0 1 2 3 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知：， ∴当时，， 故答案为：． 【跟踪专练2】张师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 120 240 360 480 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 张师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，那么、两地之间的距离是 ． 【答案】660 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，有理数混合运算的应用，得出变量之间的关系是解题关键．由表格可知，初始油量为，每行驶耗油，据此列式计算即可． 【详解】解：由表格可知，初始油量为，每行驶耗油， 则、两地之间的距离是， 故答案为：660． 题型6.用关系式表示变量间的关系 【典例】如图，在长方形中，，，是边上一动点，，垂足为，，，与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系， 根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（   ） A．常量是2；变量是C，π，r B．常量是2π；变量是C，r C．常量是2π；变量是r D．常量是2；变量是C，r 【答案】B 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，理解常量，变量的定义是解题的关键． 根据变量和常量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量． 在圆的周长公式中，周长随半径的变化而变化，而和是固定值． 【详解】解：圆的周长公式为，其中表示周长，表示半径． 当半径变化时，周长也随之变化，因此和是变量． 公式中的和是固定不变的常数，属于常量． 故选：B． 【跟踪专练2】运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键．根据跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数计算即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 题型7.用图象表示变量间的关系 【典例】某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 【答案】30 【分析】本题考查图象法表示两个变量的关系，观察图象找出销售单价和销售量之间的关系，由销售单价140元时的对应销售量为40即可解题． 【详解】解：由图象找出销售单价和销售量的对应数值， 可得销售单价每增加10元，销售量对应减少10件， 因为销售单价为140元时，销售量为40件， 所以销售单价为150元时，是在140的基础上再增加10元，所以销售量要在40的基础上减少10件，所以为30件． 故答案为：30． 【跟踪专练1】已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 【跟踪专练2】如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要了用图象表示变量之间的关系，根据趋势图中的直线，即可得出预测结果． 【详解】解：根据小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，预测6月份小树的高度约为左右， 只有比较符合， 故选：C 题型8.函数图象识别 【典例】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由图象判定函数．熟练掌握函数定义，是解题的关键．对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，则y是x的函数． 根据函数定义逐一判断即得． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， ∴只有选项D满足条件． 故选 D． 【跟踪专练1】如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的意义，以及图象的变化趋势，然后根据实际情况作出选择即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的高度与时间的关系，因为铅球的高度是在运动员的身高的基础上变化的，且变化趋势为先变大在变小，故为第一个图象； b：小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地，因此小车的路程应从零开始，且小车行驶的路程会随时间的变化越来越大，故为第四个图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故是第二个图象； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，故是第三个图象． 综上，正确的顺序是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面高度与注水时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的识别，理解茶杯的形状和注水过程中水面高度的变化规律是解题的关键．根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解． 【详解】解：茶杯上下细中间粗， 从茶杯下部到中部，水面高度上升速度逐渐减慢；从茶杯中部到上部，水面高度上升速度逐渐加快， 故选：A． 题型9.从函数的图象获取信息 【典例】甲，乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲，乙两人的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则的值为 ． 【答案】223 【分析】本题考查了行程问题中的数量关系的应用，追击问题在生活中的应用．由图可知，甲2秒跑了8米，可以求出甲的速度，根据乙100秒跑完了全程可知乙的速度，可求得b的值，根据经过时间a秒，乙追上了甲，可列出方程解出a的值，再求得c的值即可． 【详解】解：甲的速度为（米/秒）； 乙的速度为500（米/秒）； （米）； ， 解得， （秒）， 故． 故答案为：223． 【跟踪专练1】硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确． 根据图中提供的核心数据分析各选项即可． 【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图是某函数的图像，当时，若在该函数图像上可以找到n个不同的点 （其中为大于1的正整数），使得恒成立，则所有可能的值的和是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了函数图象．设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在正比例的图象上，画出函数图象，观察正比例函数与其交点情况即可求解． 【详解】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在的图象上，画出函数图象观察交点即可求解． 如图 正比例函数与该函数图象有1个交点,不符合题意； 如图 正比例函数与该函数图象有2个交点； 如图 正比例函数与该函数图象有3个交点； 如图 正比例函数与该函数图象有5个交点； 如图 正比例函数与该函数图象有4个交点； 综上，所有可能的值的和是， 故答案为：14． 题型10.用描点法画函数图象 【典例】小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 【详解】解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 【跟踪专练1】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ． 【答案】图象 【详解】用描点法画函数图象 略 【跟踪专练2】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来．正确的选项是（   ） A．第一步是错误的 B．第二步是错误的 C．第三步是错误的 D．都正确 【答案】D 【分析】本题考查了描点法画函数图像． 根据描点法画函数图像的作法判断即可． 【详解】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来． 各步均正确． 故选：D． 题型11在.动点问题的函数图象 【典例】如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，准确分析出各部分情况下y随x的变化情况是解题关键． 理解题意，分别讨论点M在上、半圆上、以及上时，y随x的变化情况即可． 【详解】解：由题意：当点M在上时，y随x的增大而增大； 当点M在半圆上时，y不变，等于半径； 当点M在上时，y随x的增大而减小． ∴选项C符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 【答案】3 【分析】本题考查用图象表示变量的关系，读懂图象获取有效信息是解题的关键．根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变，即当点P运动到点A时，的面积即a的值，再根据点P沿运动到D时的路程为，求得b的值即可． 【详解】解：根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变， ∴当点P运动到点A时，， ∵在长方形中，，， ∴， 由图可知，当点P运动到点D时，此时点P的运动路程为， 即， ∴， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练2】已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（    ） A．动点的速度是 B．的长为 C．的值为13 D．在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 【答案】D 【分析】本题考查动点的函数图象问题，从函数图象中有效的获取信息，分点分别在上运动时，进行讨论，逐一判断即可． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故A正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故B正确； ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故C正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故D错误． 故选：D． 题型12.函数的三种表示方法 【典例】表示函数的方法一般有 、 、 ． 【答案】 列表法 关系式法 图象法 【分析】本题主要考查函数的表示方法．根据函数的定义，结合表示函数的方法“列表法、关系式法、图象法”即可求解． 【详解】解：表示函数的方法一般有列表法、关系式法、图象法， 故答案为：①列表法；②关系式法；③图象法． 【跟踪专练1】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量 1 2 3 4 烤制时间 若鸭的质量为时，烤制时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的表示方法，设鸭的质量为时，烤制时间为t分钟，由表格数据可得t与x的关系式，将代入计算，即可得出答案； 【详解】解：设鸭的质量为时，烤制时间为t分钟， 由表格得，鸭的质量x每增加千克，烤制时间t增加分钟， ∴， 即：， 当时， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 1.．如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的定义，理解并掌握函数的定义是关键． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就把称为自变量，把称为因变量，是的函数，根据定义，结合图形分析即可． 【详解】解：图（1）中，任意一个确定的值，都有唯一确定的值对应，故是的函数，符合题意； 图（2）中，任意一个确定的值，值不唯一，故不是的函数，不符合题意； 故答案为：（1） ． 2．下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，函数的定义，平方根，平行于x轴的点的特征，直角三角形性质以及二次根式的基本性质，直接利用基础知识点逐一判断即可． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应；故原说法正确，符合题意； ②根据函数的定义，若y是x的函数，则当x取一个值时，一定有唯一的y与它对应；故原说法错误，不符合题意； ③平方根是它本身的数是0；故原说法错误，不符合题意； ④平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；故原说法错误，不符合题意； ⑤在直角三角形中，当a，b为直角边，c为斜边时，则三边关系一定满足；故原说法错误，不符合题意； ⑥若，则，故；故原说法错误，不符合题意； 故正确的个数有1个； 故选：A． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 【详解】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 4．如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 5．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 6．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键． 根据“前3件每件50元”，以后超过的件数按每件25元计算，据此列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，，即． 故答案为：． 7．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ． 【答案】 【分析】本题侧重考查用图象表示两个变量间的关系，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得，则， ∴， 当时，点P在点D处， ∴，即， 故答案为：． 8．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 9．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最大值； ③将该函数图象向右平移个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④点是该函数图象上一点，则符合要求的点有三个． 其中正确的结论有 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象、一次函数的应用、平移的性质，解决本题的关键是利用数形结合的思想判断各项是否正确． 【详解】解：由函数图象可知，当和时，， 故错误； 由函数图象可知，当时，有最大值， 故错误； 将该函数图象向右平移个单位长度后点到达， 函数图象过原点， 故正确； 设，， 则有， 画函数的图象，如下图所示， 由函数图象可知：符合要求的点只有一个， 故错误； 综上所述，正确的结论有． 11．为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： 燃烧时间 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度 … (1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量，因变量． (2)写出这根香可燃烧部分的长度与燃烧时间的函数关系式． (3)求这根香可燃烧的时间． 【答案】(1)自变量是燃烧时间，因变量是香可燃烧部分的长度； (2) (3) 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系以及函数解析式的知识点，读懂表格数据是解题关键． （1）香可燃烧部分的长度随着时间的变化而变化，据此即可求解； （2）由表格数据可知：燃烧时间每增加，这根香可燃烧部分的长度减少，求出当时，这根香的长度为：；即可求解； （3）由（2）即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：自变量是燃烧时间，因变量是香可燃烧部分的长度； （2）解：由表格数据可知：燃烧时间每增加，这根香可燃烧部分的长度减少， ∴当时，这根香的长度为：； ∴这根香燃尽所需的时间为：； ∴； （3）解：由（2）可得：这根香可燃烧的时间为； 12．用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． (1)填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 (2)这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． (3)试用含x的式子表示y， ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 【答案】(1)见解析 (2)x与y，5 (3)，周长，一边，另一边 【分析】本题考查了用表格和关系式表示变量之间的关系，关键是根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，及常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． （1 ）根据：（长宽）周长，填表可得； （2 ）常量是长方形的长宽和．变量是长方形的边长； （3 ）由（1 ）可得长方形另一边长y关于一边长x的关系式，根据长宽均大于0可得x的范围． 【详解】（1）解：填写表格如下： 一边长 3 4 x 另一边长 2 1 （2）解：在以上这个过程中，变量是x与y，不变化的量5； （3）解：用含x的式子表示y，，x的取值范围是， 这个问题反映了矩形的周长不变，一边随另一边的变化过程． 13．材料：我国墨脱水电站选址于世界水能最富集的雅鲁藏布江大峡谷段，年发电量约亿，相当于三个三峡水电站，是我国又一个超级工程． 探究学习：小亮通过查阅资料知道以下信息：墨脱水电站的某小型引水坝内的水体可视为长方体，其底面积为．某一次注水前的水位高度为，注水时的水位高度y（单位：m）与时间x（单位：h）有下面的关系： 时间 0 1 2 3 … 水位高度 8 13 18 23 … (1)根据表中数据呈现的规律解决问题：当注水时间达到时，引水坝内的水位高度是_____________； (2)在这个问题中，_____________是变量，_____________是常量； (3)请用含x的代数式表示y； (4)已知引水坝内的水可以发电约，若引水坝内所有水的发电量记为W，请用含有x的代数式表示W，并求出当时的发电量． 【答案】(1) (2)注水时的水位高度y米与时间x小时；小型引水坝的底面积，注水前的水位高度8米，水位每小时增加的速度5米/小时 (3) (4)； 【分析】本题考查变量与常量的概念，写函数关系式，求函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据表格数据发现水位每小时增加5米，进行求解即可； （2）根据变量与常量的定义进行判断； （3）由表格数据可知，水位高度米随时间小时的变化规律为：每小时增加5米，且初始高度为8米， 据此可写出y与x的关系式； （4） 先根据底面积和水位高度求出水的体积，再根据单位体积发电量得到总发电量W关于x的表达式，最后代入求值． 【详解】（1）解： 由表格数据可知，每经过1小时，水位高度增加5米， 注水时间达到时，水位高度米． 故答案为：； （2）解：在这个问题中，注水时的水位高度y米与时间x小时是变化的量，因此它们是变量； 引水坝的底面积，水位每小时增加的速度5米/小时，初始水位为8米，是固定不变的量，因此是常量． 故答案为：注水时的水位高度y米与时间x小时；小型引水坝的底面积，注水前的水位高度8米，水位每小时增加的速度5米/小时； （3）解： 由表格数据可知，水位高度米随时间小时的变化规律为：水位高度每小时增加5米，且初始高度为8米， ∴； （4）解：引水坝内水的体积， 已知每立方米水可发电约， 则总发电量， 当时，， 答：，当时发电量为． 14．如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)10，16，23，80 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动；则，根据题意解答即可； （2）当时，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分点P在上，三种情况解答即可． 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，从函数图象中获取相关信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，当时，的面积为， 根据题意，得，解得，根据图象，得点P在上运动了，，故，解得， 故从点D到点A的运动时间为：， 故； 故答案为：10，16，23，80． （2）解：当时，． （3）解：根据题意，得点P在上时，， 故时，， 当时，，解得； 点P在上时，是定值，不可能为20，此时无解； 点P在上时，， 当时，，解得； 综上所述，当时，x的值为或．. 15．小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： (1)列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于的方程无解，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)最小值，；增大 (4) 【分析】本题考查了描点法画函数图象，函数图象以及性质，数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得关于直线对称，根据，为该函数图象上不同的两点，关于直线对称，故，解答即可． （2）根据描点法作图即可； （3）根据图象，利用数形结合思想解答即可； （4）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得关于直线对称， 又，为该函数图象上不同的两点，是对称点， 故， 解得， 故答案为：． （2）解：根据题意，下图为所求： ． （3）解：根据图象，得到： 结论1：该函数有最小值，这个值是， 故答案为：最小值，； 结论2：当时，随增大而增大， 故答案为：增大； （4）解：根据图象，当时，与有唯一交点， 当时，与无交点， 那么关于的方程无解时，， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $