带电粒子在磁场中的偏转运动模型总结（讲义）-2026届高三物理一轮复习

该高中物理高考复习资料聚焦粒子在磁场中的偏转运动核心考点，涵盖单直线、双直线、三角形、圆形边界及动态圆（放缩、旋转、平移等）问题，按边界类型与动态方法逻辑递进组织知识点。通过考点梳理（笔记）、方法指导（解题技巧）、真题训练（例题）三环节，帮助学生构建磁场运动模型，突破几何关系与临界分析难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于创新运用动态圆模型建构方法，如放缩圆法解决速度大小不同粒子的轨迹临界问题，结合几何关系推导培养科学思维。设置从基础边界到动态综合的分层例题，配合技巧总结与即时应用，有效提升学生科学推理与问题解决能力，为教师精准把控复习节奏、高效提升学生应考水平提供有力支持。

粒子在磁场中的偏转运动模型 目录 一、单直线边界磁场 1 二、双直线边界磁场 2 三、三角形边界磁场 3 四、圆形边界磁场 4 五、动态圆（放缩圆法、旋转圆法、平移圆法、磁发散、磁聚焦） 5 一、单直线边界磁场 笔记：单直线边界磁场的三种类型 类型 几何关系 运动时间 L=2R L=2Rsinθ 解题技巧： (1)带电粒子进出磁场边界的速度方向与直线边界的夹角相同，且轨迹具有对称性. (2)在每种情况下，无论粒子的速率多大，粒子在磁场中的运动时间都相等. (3)速度的偏转角等于圆心角. (4)当圆心角α<180°时,圆心角α等于弦切角θ的两倍；当圆心角α>180°时，圆心角α等于(360°-2θ). 【例1】如图所示A、B两个离子同时从匀强磁场的直边界上的 P、Q点分别以 60°和30°射入磁场，又同时分别从Q、P点穿出，设边界上方的磁场范围足够大，求： (1)A、B两离子运动半径之比； (2)A、B两离子运动速率之比； (3)A、B两离子的比荷之比. 二、双直线边界磁场 笔记：双直线边界磁场的四种类型 类型 几何关系 运动时间 类型 几何关系 运动时间 d=Rsinθ d=R(1+cosθ) d=R(1-cosθ) 【例2】 如图所示，一束电子(电量为e)以速度 v。垂直射入磁感应强度为 B、宽度为 d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为30°，则电子的质量是多少?穿过磁场的时间是多少? 【例3】长为L 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度大小为B，板间距离也为 L，板不带电.现有质量为m、电量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求粒子的速率范围. 3、 三角形边界磁场 笔记：三角形边界磁场的三种类型 类型 考法解析 粒子从底边射出的临界轨迹图： 临界情况：半径为 R₁的轨迹圆与右侧边相切,当R<R₁ 时,粒子从底边射出 粒子从右侧边射出的临界轨迹图： 临界情况一：半径为R₂的轨迹圆与左侧边相切于 M点,当. 时，粒子从右侧边射出临界情况二：若轨迹圆与左侧边相切于延长线的 N 点,则半径为 R₂'的轨迹圆通过上顶点时为临界情况，当 ≤R₂'时，粒子从右侧边射出 粒子从左侧边射出的临界轨迹图： 当 R≥R₂ 或 R≥R₂'时，粒子从左侧边射出 【例4】 如图所示，在边长为2a 的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB 边的中心O 以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB 边的夹角为60°，若要使粒子能从 AC 边穿出磁场，求匀强磁场的磁感应强度需满足的条件. 【例5】 如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为 B，其边界为一边长为 L 的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点.今有一质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)，以速度 从AB 边上的某点 P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q 射出.若从 P 点射入的该粒子能从Q 点射出，求PB与QB 的长度范围. 4、 圆形边界磁场 1.粒子沿径向射入圆形磁场 如图所示，带电粒子沿径向射入圆形磁 如图所示，带电粒子沿径向射入圆形磁场，由于圆具有高度对称性，因此带电粒子射出磁场时，速度方向的反向延长线经过器心，即“指心入，背心出”. 由几何关系知，轨迹圆的圆心角与圆形磁场的圆心角之和为180°. 轨迹圆半径 运动时间 【例6】 如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过△时间从C 点射出磁场,OC 与OB 成60°角.现将带电粒子的速度变为v/₃，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，求粒子在磁场中的运动时间. 2.粒子不沿半径方向射入圆形磁场 【例7】 如图所示，半径为 R 的圆是圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向外，一电荷量为q(q>0)、质量为m 的粒子沿平行于直径 ab 的方向射入磁场区域，射入点与 ab 的距离为R/₂.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为90°，求带电粒子的速率. 五、动态圆专题 （一）、利用“放缩圆法”解决动态圆问题 笔记：放缩法 1.适用条件：粒子速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子，粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化. 2.轨迹特点：轨迹圆圆心共线 如图所示，假设粒子带正电，速度越大，轨迹圆的半径也越大，又发射位置相同，可以发现这些带电粒子射入磁场后，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 PP'上，相当于将轨迹圆的半径以入射点 P 为定点进行放大或缩小得到其他速率的轨迹圆. 3.寻找临界条件 以入射点 P 为定点，将半径放大或缩小以作出不同速率对应的轨迹，从而找到临界条件，这种方法称为“放缩圆法”. 【例8】(多选)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内，O点是cd 边的中点，一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于 cd边的速度射入正方形内，经过时间t。刚好从c 点射出磁场，现设法使该带电粒子从O 点沿纸面与 Od 成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( ). A.若粒子在磁场中经历的时间是 则它一定从 cd 边射出 B.若粒子在磁场中经历的时间是 则它一定从 ad边射出 C.若粒子在磁场中经历的时间是 则它一定从 bc 边射出 D.若粒子在磁场中经历的时间是t₀，则它一定从 ab边射出 【例9】 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示, ab为半圆, ac、 bd与直径 ab 共线, ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，不计重力，在纸面内从c 点垂直于 ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子之间的相互作用，对于在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( ). B.5mmg C.4mm 【例10】一足够长的矩形区域 abcd 内充满磁感应强度为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界 ad 宽为L，现从ad中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v₀,方向与 ad边的夹角为α=30°,如图所示.已知粒子的电荷量为q，质量为 m(重力不计). (1)若粒子带负电，且恰能从 d 点射出磁场，求v₀的大小； (2)若粒子带正电，且粒子能从 ab 边射出磁场，求v₀的取值范围. （二）、利用“旋转圆法”解决动态圆问题 笔记：旋转法 1.适用条件：速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子，粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等. 2.轨迹特点：轨迹圆圆心共圆 如图所示，假设粒子带正电，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点O为圆心、半径 的圆上，这个国称为“轨迹圆心圆”，相当于将最外侧的轨迹圆以入射点O为定点进行顺时针旋转，可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹Ⅲ. 3.寻找临界条件 以入射点O 为定点，将外侧轨迹圆进行旋转得到沿不同方向发射的粒子的轨迹.圆，从而找到临界条件，这种方法称为“旋转圆法”. 【例11】如图所示，在直角坐标系xOy 中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.磁场方向垂直于纸面向外.许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率 v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O沿纸面射入磁场区域.不计重力及粒子间的相互作用.下图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，已知 其中正确的是(). 【例12】如图所示，在 区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xOy 平面内发射出大量同种带电粒子，不计粒子重力，所有粒子的初速度大小相等，方向与 y 轴正方向的夹角分布在0~180°范围内.已知沿 y 轴正方向发射的粒子在t=t₀时刻刚好从磁场边界上 a)点离开磁场.求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径 R及粒子的比荷 (2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与 y轴正方向夹角的取值范围； (3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间. （三）、利用“平移圆法”解决动态圆问题 笔记：平移法 1.适用条件：速度大小一定，方向一定 粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线边界发射的速度大小相等，方向相同，但入射点不同，粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等. 2.轨迹特点：轨迹圆圆心共线 如图所示，假设粒子带负电，不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线重合. 3.寻找临界条件 将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移，从而找到粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”. 【例13】如图所示，一长方形 abcd 的长 ad==0.6m ,宽 ab =0.3m ,O、e 分别是 ad、 bc的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.25 T，重力不计、质量为 电荷量为 的带电粒子以速度 v= 沿垂直于 ad 且垂直于磁场方向射入磁场区域，则( ). A.从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在 Oa边 B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在 ab边 C.从Od 边射入的粒子，出射点分布在Oa 边和 ab边 D.从aO边射入的粒子，出射点分布在ab 边和 be 边 【例14】 在直角坐标系xOy中，第一象限内存在沿 y轴负方向的有界电场，其中的两条边界分别与 Ox、Oy 重合.在第二象限内有垂直纸面向里的有界匀强磁场(图中未画出)，磁场边界为矩形，其中的一个边界与 y 轴重合，磁感应强度的大小为 B.一个质量为m、电荷量为q 的正离子，从电场中的 P 点以某一初速度沿x轴负方向开始运动，经过坐标为(0，L)的Q 点时，速度大小为 方向与 y轴负方向的夹角为30°，经磁场偏转后能够返回电场，离子重力不计.求： (1)正离子在 P 点的初速度； (2)矩形磁场在x轴方向的最小宽度； (3)离子在磁场中运动的最长时间. （四）、圆形边界磁场的三类动态圆问题 1.类型一：轨迹半径大于磁场半径 如图所示，在圆形边界上任意一点 P向磁场内各个方向发射速率相等的带正电的粒子，若粒子的轨迹半径r大于磁场半径R，利用“旋转圆法”分析速度方向不同的粒子的轨迹圆，当轨迹圆与磁场圆交点的连线为磁场直径时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图中轨迹③所示. 【例15】(多选)如图所示，在半径为 R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于圆平面(未画出).一群比荷为a/m的负离子以相同速率v₀(轨迹半径大于 R)，由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场，发生偏转后，又飞出磁场，最终打在磁场区域右侧的荧光屏(足够大)上，则下列说法正确的是(不计离子重力)( ). A.离子在磁场中的运动时间一定相等 B.离子在磁场中的运动半径一定相等 C.由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D 沿 PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大 2.类型二：轨迹半径小于磁场半径 如图所示，在圆形边界上任意一点 P向磁场内各个方向发射速率相等的带负电的粒子，若粒子的轨迹半径r小于磁场半径R，利用“旋转圆法”分析速度方向不同的粒子的轨迹圆，当轨迹圆与磁场圆交点的连线为轨迹圆直径时(轨迹圆与磁场圆的交点 Q离入射点 P 最远，粒子射出磁场的区域范围为 PQ，此时弦 PQ 的长度为轨迹圆的直径. 【例16】 如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速率为 v₁，这些粒子场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入的速率为 v₂，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，求²⁺⁶的比值. 【例17】如图甲所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点.有无数相同带电粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过 P 点进入磁场.这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的 .将磁感应强度的大小从原来的 B₁变为 B₂，结果相应的弧长变为原来的一半，求BB₁的比值. 3.类型三：轨迹半径等于磁场半径 （1）带电粒子的磁聚焦 如图(a)所示，大量同种带正电的粒子，以大小相同的速度平行入射到圆形磁场区域，若轨迹圆半径与磁场圆半径相等，即R=r，则所有带电粒子将从磁场圆边界的某点射出，汇聚于一点. 证明：如图(b)所示，以任意粒子的轨迹进行分析，由几何关系知，平行四边形OCO'D 为菱形，可知DO'为轨迹圆半径，故从C点射入的粒子必然经过D 点，以此类推所有粒子均经过 D 点. （2）带电粒子的发散 如图(c)所示，在圆形边界上任意一点P向磁场内各个方向发射速率相等的相同带正电的粒子，若轨迹圆半径等于磁场圆半径，即R=r，则所有带电粒子将平行地射出磁场. （3）.结论 磁聚焦与磁发散的条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径. 磁聚焦的聚焦点：以入射方向为横轴，以过圆心且与入射方向垂直的直径方向为纵轴，纵轴与磁场圆的两交点均可能为聚焦点，根据带电粒子的电性与磁场方向，确定最终的聚焦点.磁发散可看成磁聚焦的逆运动. 【例18】 如图所示，纸面内有宽为 L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为-q，速率为 v₀，不考虑粒子的重力及相互间的作用.要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中 A、C、D选项中的曲线均为半径是L 的 圆弧，B选项中的曲线为半径是I₂的圆)(). 【例19】 如图所示，一质量为m=8.0× 电荷量为 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x轴正方向的夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为 现在某一区域内加一垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为 B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与 y 轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变.求： (1)粒子从y轴穿过的范围； (2)荧光屏MN上光斑的长度； (3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差； (4)画出所加磁场的最小范围(用阴影表示). 第 14 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 粒子在磁场中的偏转运动模型 目录 一、单直线边界磁场 1 二、双直线边界磁场 2 三、三角形边界磁场 4 四、圆形边界磁场 6 五、动态圆（放缩圆法、旋转圆法、平移圆法、磁发散、磁聚焦） 8 一、单直线边界磁场 笔记：单直线边界磁场的三种类型 类型 几何关系 运动时间 L=2R L=2Rsinθ 解题技巧： (1)带电粒子进出磁场边界的速度方向与直线边界的夹角相同，且轨迹具有对称性. (2)在每种情况下，无论粒子的速率多大，粒子在磁场中的运动时间都相等. (3)速度的偏转角等于圆心角. (4)当圆心角α<180°时,圆心角α等于弦切角θ的两倍；当圆心角α>180°时，圆心角α等于 (360°-2θ). 【例1】如图所示A、B两个离子同时从匀强磁场的直边界上的 P、Q点分别以 60°和30°射入磁场，又同时分别从Q、P点穿出，设边界上方的磁场范围足够大，求： (1)A、B两离子运动半径之比； (2)A、B两离子运动速率之比； (3)A、B两离子的比荷之比. 【解析】A向右偏转，根据左手定则知，A为负离子；B向左偏转，根据左手定则知，B为正离子. (1)离子在磁场中做圆周运动，设PQ 的距离为l，由几何关系得 则A、B两离子的半径之比为 (2)离子的速率 运动时间相同，半径之比为 ，圆心角之比为2：1，则速率之比为： (3)由 知 又速度大小之比为2: ，半径之比为1： ，则比荷之比为2:1. 二、双直线边界磁场 笔记：双直线边界磁场的四种类型 类型 几何关系 运动时间 类型 几何关系 运动时间 d=Rsinθ d=R(1+cosθ) d=R(1-cosθ) 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 【例2】 如图所示，一束电子(电量为e)以速度 v。垂直射入磁感应强度为 B、宽度为 d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为30°，则电子的质量是多少?穿过磁场的时间是多少? 【解析】电子垂直射入匀强磁场中，只受洛伦兹力的作用做匀速圆周运动，画出轨迹图，速度的偏转角等于圆心角，由几何知识知r= 由牛顿第二定律得 解得 由几何知识知轨迹的圆心角 则穿过磁场的时间 【例3】长为L 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度大小为B，板间距离也为 L，板不带电.现有质量为m、电量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求粒子的速率范围. 【解析】带电粒子的轨迹图如图所示. 由牛顿第二定律得 解得 粒子从左边射出，有 解得 粒子从右边射出的临界条件是打到 B点，设此时粒子的半径为R. 由几何关系知 解得 粒子从右边射出，有 解得 综上所述，粒子的速度范围为 或 3、 三角形边界磁场 笔记：三角形边界磁场的三种类型 类型 考法解析 粒子从底边射出的临界轨迹图： 临界情况：半径为 R₁的轨迹圆与右侧边相切,当R<R₁ 时,粒子从底边射出 粒子从右侧边射出的临界轨迹图： 临界情况一：半径为R₂的轨迹圆与左侧边相切于 M点,当. 时，粒子从右侧边射出临界情况二：若轨迹圆与左侧边相切于延长线的 N 点,则半径为 R₂'的轨迹圆通过上顶点时为临界情况，当 ≤R₂'时，粒子从右侧边射出 粒子从左侧边射出的临界轨迹图： 当 R≥R₂ 或 R≥R₂'时，粒子从左侧边射出 【例4】 如图所示，在边长为2a 的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁 场，一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB 边的中心O 以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB 边的夹角为60°，若要使粒子能从 AC 边穿出磁场，求匀强磁场的磁感应强度需满足的条件. 【解析】临界情况为轨迹圆与 AC 边相切，相切时速度的方向沿 AC 边，作出O 点的速度延长线与AC 相交于D 点，由几何关系知 D为AC 边的中点，故粒子与 AC 相切于C 点，如图所示. 由几何知识知半径 由牛顿第二定律得 解得 联立解得 综上所述，粒子从AC 边射出，磁感应强度 【例5】 如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为 B，其边界为一边长为 L 的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点.今有一质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)，以速度 从AB 边上的某点 P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q 射出.若从 P 点射入的该粒子能从Q 点射出，求PB与QB 的长度范围. 【解析】粒子在磁场中运动的轨迹半径R= 临界情况为轨迹圆与 BC 相切，且不能与AC 有交点.运动轨迹如图所示，由几何关系知，圆心O₁此时处于AB 的中点，粒子的射入点 P₁到B点的距离为 Q 点到B 的距离为 将入射点向右平移，轨迹与 BC 的交点Q 逐渐向C 移动,当O₂Q 与AB 垂直时,此时QB 取得最大值，由几何关系知 QB= 综上得，PB 的长度范围为0≤PB≤ QB的长度范围为 4、 圆形边界磁场 1.粒子沿径向射入圆形磁场 如图所示，带电粒子沿径向射入圆形磁 如图所示，带电粒子沿径向射入圆形磁场，由于圆具有高度对称性，因此带电粒子射出磁场时，速度方向的反向延长线经过器心，即“指心入，背心出”. 由几何关系知，轨迹圆的圆心角与圆形磁场的圆心角之和为180°. 轨迹圆半径 运动时间 【例6】 如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过△时间从C 点射出磁场,OC 与OB 成60°角.现将带电粒子的速度变为v/₃，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，求粒子在磁场中的运动时间. 【解析】设圆形磁场区域的半径是R，以速度射入轨迹圆时的半径 由几何关系知 解得 n= R, 速度的偏转角等于圆心角，故圆心角溶60°，运动时间 运动时间 设二次射入时的圆心角为θ，半径 由几何关系知 解得θ=120°, 则运动时间 2.粒子不沿半径方向射入圆形磁场 【例7】 如图所示，半径为 R 的圆是圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向外，一电荷量为q(q>0)、质量为m 的粒子沿平行于直径 ab 的方向射入磁场区域，射入点与 ab 的距离为R/₂.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为90°，求带电粒子的速率. 【解析】本题轨迹草图的作图难度非常大，草图的作图步骤：粒子速度的偏转角为 90°，即圆心角为90°，圆心角等于弦切角的两倍，轨迹圆与圆形磁场的交点为 PQ，速度方向与弦PQ的夹角为45°，即弦 PQ 与水平方向的夹角为45°，从而确定出弦PQ，再作出弦PQ的垂直平分线，过P 点作出速度方向的垂线交于O'，确定轨迹圆的圆心 O'，如图所示. 连接OO'、OP、OQ,OO'⊥PQ,OP=R,延长O'P 交 ab 于M. 由几何关系知 又 则 由几何关系知 解得 由 解得 故带电粒子的速率。 五、动态圆专题 （一）、利用“放缩圆法”解决动态圆问题 笔记：放缩法 1.适用条件：粒子速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子，粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化. 2.轨迹特点：轨迹圆圆心共线 如图所示，假设粒子带正电，速度越大，轨迹圆的半径也越大，又发射位置相同，可以发现这些带电粒子射入磁场后，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 PP'上，相当于将轨迹圆的半径以入射点 P 为定点进行放大或缩小得到其他速率的轨迹圆. 3.寻找临界条件 以入射点 P 为定点，将半径放大或缩小以作出不同速率对应的轨迹，从而找到临界条件，这种方法称为“放缩圆法”. 【例8】(多选)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内，O点是cd 边的中点，一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于 cd边的速度射入正方形内，经过时间t。刚好从c 点射出磁场，现设法使该带电粒子从O 点沿纸面与 Od 成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( ). A.若粒子在磁场中经历的时间是 则它一定从 cd 边射出 B.若粒子在磁场中经历的时间是 则它一定从 ad边射出 C.若粒子在磁场中经历的时间是 则它一定从 bc 边射出 D.若粒子在磁场中经历的时间是t₀，则它一定从 ab边射出 【解析】AC 由题意知，轨迹圆的圆心角为180°时，运动的时间为t₀，故带电粒子在磁场中运动的周期是T=2t₀. 若粒子从 cd 边射出，由放缩圆法知，轨迹应与 bc 相切，如轨迹②所示，由圆心角等于速度的偏转角知轨迹②的圆心角为 360°— ，运动时间为 t₀ 若粒子从 bc 边射出，由放缩圆法知 轨迹应与 bc 边相切，如轨迹②所示；轨迹应与ab 边相切，如轨迹①所示.若粒子与 bc 边相切时，速度的偏转角为240°，运动时间为 若粒子与 ab 边相切时，速度的偏转角为150°，运动时间为 t₀.由图可知，粒子从 b边射出时的运动时间应大于 t₀,从bc 边射出的粒子的运动时间范围为 , 若粒子从 ad 边射出，由放缩圆法知，轨迹应与 ad 边相切，如轨迹④所示，由圆心角等于速度的偏转角知轨迹④的圆心角为 60°，运动时间为 t₀，从ad 边射出的粒子的运动时间范围为 若粒子从 ab 边射出，由放缩圆法知，从 ab射出的粒子的运动时间范围为 综上分析，可知AC正确. 【例9】 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示, ab为半圆, ac、 bd与直径 ab 共线, ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，不计重力，在纸面内从c 点垂直于 ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子之间的相互作用，对于在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( ). B.5mmg C.4mm 【解析】C设图中磁场圆弧半径为 R，粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由 知 周期 粒子在磁场中运动的时间与轨迹对应的圆心角有关.本题中速度的大小不同，方向相同，利用放缩圆法来分析.当粒子的轨迹半径 r≤0.5R 或 r≥1.5R 时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，运动时间为半个周期；当粒子的轨迹半径满足0.5R<r<1.5R 时,粒子从圆弧部分射出,画出不同速率对应的轨迹，如图所示. 将粒子的入射点与射出点对应的弦连接并延长，通过对比可以发现，当弦与圆弧边界相切时，运动的时间最长，由于弦 ce 与圆弧边界相切,因此oe⊥ce且 oe=R,又 oc=2R,则∠ace=30°,圆心位于a 点,由几何关系知，此时圆心角为240°，运动时间为 故C正确. 【例10】一足够长的矩形区域 abcd 内充满磁感应强度为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界 ad 宽为L，现从ad中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v₀,方向与 ad边的夹角为α=30°,如图所示.已知粒子的电荷量为q，质量为 m(重力不计). (1)若粒子带负电，且恰能从 d 点射出磁场，求v₀的大小； (2)若粒子带正电，且粒子能从 ab 边射出磁场，求v₀的取值范围. 【解析】(1)若粒子带负电，则它进入磁场后沿顺时针方向偏转，速度的偏转角为 60°，运动轨迹如图所示O₁为轨迹圆心，轨迹半径 洛伦兹力提供向心力，有 解得 (2)若粒子带正电，则它沿逆时针方向偏转，从ab 边射出磁场的临界条件为轨迹分别与 cd、ab 相切,如图所示. 当轨迹与 cd 相切时，轨迹的圆心为O₂.半径为r₂， 由几何关系知 解得 即 当轨迹与 ab 相切时，轨迹的圆心为O₃，半径为 r ， 由几何关系知 解得 即 综上所述，v。的取值范围为 （二）、利用“旋转圆法”解决动态圆问题 笔记：旋转法 1.适用条件：速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子，粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等. 2.轨迹特点：轨迹圆圆心共圆 如图所示，假设粒子带正电，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点O为圆心、半径 的圆上，这个国称为“轨迹圆心圆”，相当于将最外侧的轨迹圆以入射点O为定点进行顺时针旋转，可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹Ⅲ. 3.寻找临界条件 以入射点O 为定点，将外侧轨迹圆进行旋转得到沿不同方向发射的粒子的轨迹.圆，从而找到临界条件，这种方法称为“旋转圆法”. 【例11】如图所示，在直角坐标系xOy 中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.磁场方向垂直于纸面向外.许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率 v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O沿纸面射入磁场区域.不计重力及粒子间的相互作用.下图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，已知 其中正确的是(). 【解析】D由左手定则知带正电粒子顺时针偏转，作出速度方向水平向左的粒子的轨迹圆a，轨迹圆的半径 将轨迹圆a 绕Q 第 13 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 洛伦兹力提供向心力，有 解得 又 联立解得 (2)当 时，由 解得轨迹圆的半径 将该轨迹圆绕 P 点旋转，找到临界情况. 临界情况一：轨迹圆与 CD 相切，轨迹如图(b)所示，设DE 边出射点与D 点的距离为d₁，C与切点的距离为s. 由几何关系可知 解得 由几何关系知( 解得 临界情况二：轨迹圆与 DE 相切，轨迹如图(c)所示，设切点与 D 点的距离为d₂. 由几何关系知 解得 综上所述，速率 的离子在DE边的射出点距离 D 点的范围为 【例12】如图所示，在 区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xOy 平面内发射出大量同种带电粒子，不计粒子重力，所有粒子的初速度大小相等，方向与 y 轴正方向的夹角分布在0~180°范围内.已知沿 y 轴正方向发射的粒子在t=t₀时刻刚好从磁场边界上 a)点离开磁场.求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径 R及粒子的比荷 (2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与 y轴正方向夹角的取值范围； (3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间. 【解析】(1)沿y 轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹圆如图甲中的 所示，其圆心为C. 第 14 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 由几何关系知 粒子在磁场中运动的时间 T 为周期. 由几何关系知轨迹圆的半径 洛伦兹力提供向心力，有 又 解得 联立解得 (2)同一时刻仍在磁场内的粒子运动的弧长均等于OP，将OP 绕O顺时针旋转，找到临界条件. 临界条件一：P点与右侧边界重合于M点，初速度为 vM；临界条件二：P点与y轴重合于N 点，初速度为vN，如图乙所示. 由对称性可知 vM 与OM、vN 与ON 的夹角均为π/3. 设vм、vN与y轴正向的夹角分别为θм、θN，由几何关系知 综上所述，对于此时刻仍在磁场中的粒子，其初速度与 y 轴正方向所成的夹角θ应满足 (3)作出沿 y 轴正方向发射的粒子的轨迹圆，将该轨迹圆绕O点顺时针旋转，轨迹圆在磁场中弧长最长时，粒子运动的时间最长，轨迹圆与右侧边界相切，轨迹如图丙所示. 由几何关系知 由对称性知 则从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间 （三）、利用“平移圆法”解决动态圆问题 笔记：平移法 1.适用条件：速度大小一定，方向一定 粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线边界发射的速度大小相等，方向相同，但入射点不同，粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等. 2.轨迹特点：轨迹圆圆心共线 如图所示，假设粒子带负电，不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线重合. 3.寻找临界条件 将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移，从而找到粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”. 【例13】如图所示，一长方形 abcd 的长 ad==0.6m ,宽 ab =0.3m ,O、e 分别是 ad、 bc的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.25 T，重力不计、质量为 电荷量为 的带电粒子以速度 v= 沿垂直于 ad 且垂直于磁场方向射入磁场区域，则( ). A.从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在 Oa边 B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在 ab边 C.从Od 边射入的粒子，出射点分布在Oa 边和 ab边 D.从aO边射入的粒子，出射点分布在ab 边和 be 边 【解析】D由 得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r=0.3m. aO= ab=0.3m,等于粒子做圆周运动的半径，粒子带正电，将粒子逆时针旋转，画出方向沿 dc 的粒子的轨迹圆，将轨迹圆由d 向a 平移，对于从 Od 边射入的粒子，出射点分布在 be 边；若 abcd 全部是磁场，则从O 点进入的粒子应从b点射出，所以在半圆形磁场中，从O点进入的粒子应从 be 边射出，故从aO边射入的粒子，出射点分布在 ab 边和 be边，故D正确. 【例14】 在直角坐标系xOy中，第一象限内存在沿 y轴负方向的有界电场，其中的两条边界分别与 Ox、Oy 重合.在第二象限内有垂直纸面向里的有界匀强磁场(图中未画出)，磁场边界为矩形，其中的一个边界与 y 轴重合，磁感应强度的大小为 B.一个质量为m、电荷量为q 的正离子，从电场中的 P 点以某一初速度沿x轴负方向开始运动，经过坐标为(0，L)的Q 点时，速度大小为 方向与 y轴负方向的夹角为30°，经磁场偏转后能够返回电场，离子重力不计.求： (1)正离子在 P 点的初速度； (2)矩形磁场在x轴方向的最小宽度； (3)离子在磁场中运动的最长时间. 【解析】(1)离子从 P 到Q 在电场力作用下做类平抛运动，由于 所以 (2)离子离开电场后，可能直接进入磁场偏转后返回电场，也可能先做一段直线运动，然后再进入磁场偏转后返回电场，如图所示. 洛伦兹力提供向心力，有 解得 若离子离开电场后直接进入磁场，速度的偏转角为60°，即圆心角为 60°，此时磁场在x轴方向的宽度最小，由几何关系可知磁场的最小宽度为 (3) 离子离开电场后，先做直线运动，再进入磁场，将粒子的轨迹圆沿直线运动的方向平移，临界条件为通过O点返回电场的粒子在磁场中运动的时间最长，此时速度的偏转角为 120°，偏转的最长时间t= （四）、圆形边界磁场的三类动态圆问题 1.类型一：轨迹半径大于磁场半径 如图所示，在圆形边界上任意一点 P向磁场内各个方向发射速率相等的带正电的粒子，若粒子的轨迹半径r大于磁场半径R，利用“旋转圆法”分析速度方向不同的粒子的轨迹圆，当轨迹圆与磁场圆交点的连线为磁场直径时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图中轨迹③所示. 【例15】(多选)如图所示，在半径为 R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于圆平面(未画出).一群比荷为a/m的负离子以相同速率v₀(轨迹半径大于 R)，由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场，发生偏转后，又飞出磁场，最终打在磁场区域右侧的荧光屏(足够大)上，则下列说法正确的是(不计离子重力)( ). A.离子在磁场中的运动时间一定相等 B.离子在磁场中的运动半径一定相等 C.由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D 沿 PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大 【解析】BC 离子的速率很大，即半径很大，设粒子轨迹所对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间为 又 则所有粒子的运动周期相等，由于离子从圆上不同点射出时，轨迹的圆心角不同，所以离子在磁场中运动的时间不同，故A 错误；离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 故B正确；当轨迹圆与磁场圆交点的连线等于磁场圆的直径 PQ时，粒子的运动时间最长，故C正确. 2.类型二：轨迹半径小于磁场半径 如图所示，在圆形边界上任意一点 P向磁场内各个方向发射速率相等的带负电的粒子，若粒子的轨迹半径r小于磁场半径R，利用“旋转圆法”分析速度方向不同的粒子的轨迹圆，当轨迹圆与磁场圆交点的连线为轨迹圆直径时(轨迹圆与磁场圆的交点 Q离入射点 P 最远，粒子射出磁场的区域范围为 PQ，此时弦 PQ 的长度为轨迹圆的直径. 【例16】 如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速率为 v₁，这些粒子场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入的速率为 v₂，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，求²⁺⁶的比值. 【解析】设圆形磁场的半径为R，若粒子射入的速率为 v₁，轨迹如图甲所示，由几何知识知 粒子的轨迹半径 若粒子射入的速率为 v₂，轨迹如图乙所示，由几何知识知 粒子的轨迹半径 由 知 【例17】如图甲所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点.有无数相同带电粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过 P 点进入磁场.这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的 .将磁感应强度的大小从原来的 B₁变为 B₂，结果相应的弧长变为原来的一半，求BB₁的比值. 【解析】设圆形磁场的半径为 R，磁感应强度 为B₁，轨迹如图乙所示，由几何知识知 粒子的轨迹半径 若磁感应强度为 B₂，当粒子射出的圆弧对应弧长为“原来”的一半，即 周长时，由几何知识知 粒子运动的轨迹半径 由 先 3.类型三：轨迹半径等于磁场半径 （1）带电粒子的磁聚焦 如图(a)所示，大量同种带正电的粒子，以大小相同的速度平行入射到圆形磁场区域，若轨迹圆半径与磁场圆半径相等，即R=r，则所有带电粒子将从磁场圆边界的某点射出，汇聚于一点. 证明：如图(b)所示，以任意粒子的轨迹进行分析，由几何关系知，平行四边形OCO'D 为菱形，可知DO'为轨迹圆半径，故从C点射入的粒子必然经过D 点，以此类推所有粒子均经过 D 点. （2）带电粒子的发散 如图(c)所示，在圆形边界上任意一点P向磁场内各个方向发射速率相等的相同带正电的粒子，若轨迹圆半径等于磁场圆半径，即R=r，则所有带电粒子将平行地射出磁场. （3）.结论 磁聚焦与磁发散的条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径. 磁聚焦的聚焦点：以入射方向为横轴，以过圆心且与入射方向垂直的直径方向为纵轴，纵轴与磁场圆的两交点均可能为聚焦点，根据带电粒子的电性与磁场方向，确定最终的聚焦点.磁发散可看成磁聚焦的逆运动. 【例18】 如图所示，纸面内有宽为 L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为-q，速率为 v₀，不考虑粒子的重力及相互间的作用.要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中 A、C、D选项中的曲线均为半径是L 的 圆弧，B选项中的曲线为半径是I₂的圆)(). 【解析】A带电粒子进入磁场后做圆周运动，做圆周运动的半径 当磁场圆半径与轨迹圆相等时，粒子才能汇聚于一点，A、C图的半径R=L,B图的半径为I/₂,故 A 正确，B错误；粒子在D磁场中时，轨迹半径为L/₂，与磁场半径不相等，故D错误；C磁场的左侧为直线边界，非圆形磁场边界，故C 错误. 【例19】 如图所示，一质量为m=8.0× 电荷量为 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x轴正方向的夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为 现在某一区域内加一垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为 B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与 y 轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变.求： (1)粒子从y轴穿过的范围； (2)荧光屏MN上光斑的长度； (3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差； (4)画出所加磁场的最小范围(用阴影表示). 【解析】设粒子在磁场中运动的半径为 R，洛伦兹力提供向心力，有 解得R=0.1m. 当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子出射方向平行且都沿x轴负方向，为磁发散现象，故所加磁场为圆形磁场，半径为r=R=0.1m. (1)如图(a)所示，作出两临界速度方向的轨迹图. 初速度沿 y 轴正方向的粒子直接过y轴；速度方向与x轴正方向成30°角的粒子转过的圆心角 由几何关系知 综上所述，粒子从 y 轴穿过的范围为 (2)设速度方向与x轴正方向成30°角的粒子射出磁场时的纵坐标为yB，由几何关系知.yB=R+Rcosθ;设初速度沿 y轴正方向的粒子射出磁场时的纵坐标为 yc，有.yc= R，则光斑的长度 (3)粒子的运动周期为 从B 点和C 点射出的粒子在磁场中运动的时间差 粒子出磁场后做直线运动的位移差为R²(即B、C点间的水平间距)，故打到荧光屏上的时间差 则从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的总时间差 (4)粒子的轨迹位于 和 之间，最小磁场范围如图(b)阴影部分所示. 第 14 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $