精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度上学期2025级 12月月考数学试卷 命题人：李雪冰 审题人：冷劲松 考试时间：2025年12月4日 一、单选题 1. 下列函数中，定义域与值域相同的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对幂函数的性质确定各项函数对应的值域和定义域，即可得. 【详解】函数的值域为，而其定义域为，A不符合， 函数的值域为，且其定义域也为，B符合， 函数的值域为，而其定义域为，C不符合， 函数值域为，而其定义域为，D不符合. 故选：B 2. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可. 【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. 3. 若函数为上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、二次函数的单调性，结合分段点函数值的大小关系列不等式组求解可得. 【详解】由在上单调递增，可得 解得： 故选：B. 4. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 5. 函数（）的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解. 【详解】由，又在上单调递增， 又，所以，即，又，所以， 故选：D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断的单调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】由解析式知，函数的定义域为， 且， 所以在上为奇函数，且为连续函数， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 结合奇函数的对称性，在上单调递增， 由， 所以不等式的解集为. 故选：B 8. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得，，即可得到答案. 【详解】因为定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 故的图象关于对称，因为，则的图象也关于对称， 所以与的交点也关于对称， 若函数与的图象有四个交点，分别为， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D. 二、多选题 9. 已知函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为上的减函数 D. 无最值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确； 对于B项，，显然， 所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 10. 已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为奇函数，令，可判断B，由，令可判断A，由是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D. 【详解】由为奇函数，得， 令，得，B正确． 对于， 令，得，A错误． 因为是偶函数，所以， 对于，以代替x得①， 则②，所以，C正确． ①与②相减得， 即，则的图象关于直线对称，D正确． 故选：BCD 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，利用单调性可得，判断A；利用赋值法判断B；可得判断C；令，利用单调性可判断D. 【详解】由题意知，整理得， 令为增函数，为增函数， 所以函数单调递增，，故A正确； 当时不满足，故B错误； 由，故C错误； 令，函数单调递增， 因为，所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 已知，，则__________（用，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 函数值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数的值域问题求解即可. 【详解】令， 则原函数值域等价于函数的值域， 由指数函数性质可知，故函数的值域为. 故答案为： 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 四、解答题 15. 化简求值： （1）已知，求的值． （2）已知，求：． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【小问1详解】 由，则， 而，则； 【小问2详解】 由， ， 所以. 16. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数以及对数复合函数的单调性即可求解， （2）利用二次函数的性质求解的最值，即可根据对任意的恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 若在上单调递增，则需满足，解得 【小问2详解】 ， 由于，，故， 由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立， 因此对任意恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当时取到等号， 故 17. 已知命题，，命题，． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为真命题求出实数的取值范围，则其补集就是为假命题实数的取值范围； （2）分真假、假真两种情况求解. 【小问1详解】 若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真，即，， 令，则，不等式变为，即， 设， 的图象开口向下，对称轴为，在单调递减， 所以，所以， 即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则，解得； 若假真，则或，解得 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 18. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，即，解得： 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 【小问3详解】 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，． （1）判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值； （3）当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）假设具有“-互倒性”，由求判断； （2）将函数与的图象恰有一个交点转化为恰有一根求解； （3）用反证法证明. 【小问1详解】 函数定义域为，对， , 若，则， 整理得：， 若函数具有“-互倒性”，则方程中各项系数为，则，解得， 即存在，使函数具有“-互倒性”. 【小问2详解】 当时，, 函数与的图象恰有一个交点，即方程有且仅有一个解， 令，则，，方程变为：， 即，令， 对，由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 对，当时其最小值为， 所以当时，取得最小值， 因为方程有且仅有一个解，所以. 【小问3详解】 当时，， 设是的两个零点，则①， ②， ①②得， 整理得 假设，则，所以， 又，所以，而与同号， 所以与同号， 与矛盾， 所以假设不成立，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期2025级 12月月考数学试卷 命题人：李雪冰 审题人：冷劲松 考试时间：2025年12月4日 一、单选题 1. 下列函数中，定义域与值域相同的函数是（ ） A B. C. D. 2. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数为上单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 函数（）的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，定义域为函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 20 二、多选题 9. 已知函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为上减函数 D. 无最值 10. 已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，，则__________（用，表示）． 13. 函数的值域为_____. 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 化简求值： （1）已知，求的值． （2）已知，求：． 16. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 17. 已知命题，，命题，． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，． （1）判断函数否具有“-互倒性”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值； （3）当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $