2.4 圆周角（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.4　圆周角（1） 第1课时　圆周角的概念与性质 学习目标 1．理解圆周角的概念； 2．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理，能运用圆周角定理解决相关问题. 2 问题导学 什么叫圆心角？ 1. 图中有圆心角吗？ 观察与思考 O C A B ∠BAC与∠BOC的位置有什么不同？ ∠BOC是圆心角. ∠BAC的顶点在☉O上， ∠BOC的顶点在☉O的圆心上， 角的两边都分别交☉O于B、C两点. 4 2. 图中的∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C有什么共同特征？ 观察与思考 O A1 A3 C A2 B 它们都对着 . 5 2. 图中的∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C有什么共同特征？ 观察与思考 O A1 A3 C A2 B 它们顶点都在⊙O上，并且两边都和圆相交. 6 概念学习 顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 条件1 条件2 注意：两个条件必须同时具备，缺一不可. 如图，∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C都是所对的圆周角. 观察与思考 O A1 A3 C A2 B 8 新知应用 1. 下列各图中的角是否是圆周角？为什么？ · O3 ③ · O4 ④ · O2 ② · O1 ① 顶点不在圆上 两边没有都和圆相交 顶点不在圆上 9 新知应用 2. 图中有几个圆周角？ B A C D O 解：如图，∠ABD、∠ACD是所对的圆周角. ∠BAC、∠BDC是所对的圆周角. 解：圆周角有∠ABD、∠ACD、∠BAC、∠BDC、∠BAD、∠CAD、∠ADB、∠ADC. 若连接AD，则图中有哪几个圆周角？ 连接AO，圆心角有∠AOB、∠AOD. 若连接AO，则图中有哪几个圆心角？ 10 1. 如图， OB⊥OC，画所对的圆心角和圆周角， 你能画出多少个? 操作与思考 O A A A A B C A 所对的圆心角只有一个，圆周角有无数个. 11 O A B C 操作与思考 2. 在所画出的无数个所对的圆周角中，与圆心O有哪几种位置关系？ 圆心O在∠BAC的外部 圆心O在∠BAC的内部 圆心O在∠BAC的一边上 O A A A A B C A O A B C O A B C 12 3. 你所画的圆周角为多少度？ 操作与思考 O A A A A A 45° 当圆心O在AB边上时， B △AOC是等腰直角三角形， ∠BAC＝×90°＝45°. 试说明理由. C 13 操作与思考 4. 下图中， ∠BOC＝60°，画所对的圆周角∠BAC. O A A A A B A C A 你所画的圆周角为多少度？为什么？ 30° 当圆心O在AB边上时， △AOC是等腰三角形， ∠BAC＝×∠BOC ＝×60°＝30°. 14 你有什么猜想？ 操作与思考 4. 下图中， ∠BOC＝60°，画所对的圆周角∠BAC. O A B C 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半. 怎样证实你的猜想呢？ 15 O A B C 操作与思考 ∵ OA＝OC， ∴ ∠OCA＝∠BAC. 证明： ∵ ∠BOC是△AOC的外角， ∴ ∠BOC＝∠BAC＋∠OCA. ∴ ∠BOC＝2∠BAC. 即∠BAC＝∠BOC. (1) 圆心O在∠BAC的一边上 16 O A B C 操作与思考 (2) 圆心O在∠BAC的内部 D ∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD， ∴∠BAC＝∠BOD＋∠COD 由(1)得，∠BAD＝∠BOD， ∠CAD＝∠COD. ＝(∠BOD＋∠COD) 证明：作直径AD， ＝∠BOC. 17 O A B C 操作与思考 (3) 圆心O在∠BAC的外部 D ∵∠BAC＝∠BAD－∠CAD， ∴∠BAC＝∠BOD－∠COD 由(1)得，∠BAD＝∠BOD， ∠CAD＝∠COD. ＝∠BOC. 证明：作直径AD， ＝(∠BOD－∠COD) 18 归纳总结 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等. 因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可以说，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 19 例题讲解 例1 如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝150°，为70°，求∠ABD、∠AED的度数． 解： 在⊙O中 ， ∴∠ABD＝75° (圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半). 又∵＝70°， ∵∠AOD＝150°， ∴∠DBC＝35° (圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半). 又∵∠ABD＝∠AED＋∠BDC， ∴∠AED＝∠ABD－∠BDC＝75°－35°＝40°. O A B C D E 20 例题讲解 例2 AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，P是上一点(不与点C、D重合). ∠APC与∠APD相等吗？为什么？ O A B C D P 解：∠APC与∠APD相等，理由如下： ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB， ∴＝ (垂径定理)， ∴∠APC＝∠APD. (等弧所对的圆周角相等). 21 新知巩固 1. 如图，点A、B、C、D在同一个圆上. 图中有几对相等的圆周角？是哪几对？ O A B C D 解：图中有4对相等的圆周角. ∠ABD＝∠ACD， ∠ADB＝∠ACB， ∠BAC＝∠BDC， ∠CBD＝∠CAD. 22 新知巩固 O A B C D 2. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°. 求∠BDC、∠BOC的度数. 解：∵∠BDC和∠BAC都是所对的圆周角， ∴∠BDC＝∠BAC＝35°(同弧所对的圆周角相等). ∵∠BAC是所对的圆周角，∠BOC是所 对的圆心角， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70° (圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半). 23 新知巩固 3.如图，点A、B、C、D在⊙O上， ∠ACB＝∠BDC＝60°， BC=3. 求△ABC的周长. 解：∵∠BAC和∠BDC都是所对的圆周角， ∴ ∠BAC=∠BDC＝60°(同弧所对的圆周角相等). 又∵∠ACB＝60°， ∴ ∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形. ∵BC=3， ∴△ABC的周长为9. A O D B C 24 说说圆心角与圆周角的区别和联系. 圆心角 圆周角 区别 联系 角的顶点在圆心 归纳总结 角的顶点在圆上 一条弧所对的圆心角有且只有一个 一条弧所对的圆周角有无数个 角的两边都和圆相交 25 圆周角的概念 圆周角定理 探索证明过程的思想方法 课堂总结 当堂检测 基础过关 1．下列命题中正确的是 (　　) A．圆周角等于圆心角的一半 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．等弧所对的圆周角相等 D．顶点在圆周上的角就是圆周角 C 27 当堂检测 基础过关 2. 如图，D是弧AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是 ( ) A．4个 B．3 个 C．2 个 D．1个 B D C A B = = 28 当堂检测 基础过关 3. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝_____________. O A B C D E 21° 29 当堂检测 基础过关 4. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为40°. 求∠B＋∠D的度数. O A B C D E 解：∵∠B是所对的圆周角， ∴∠B的度数是的度数的一半. ∵∠D是所对的圆周角， ∴∠D的度数是的度数的一半. ∴∠B＋∠D的度数是的度数的和的一半. ∵为40°， ∴的度数的和为320°， ∴∠B＋∠D＝160°. 30 当堂检测 基础过关 5. 如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，CD交OB于点E. 若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，求∠OEC的度数. O A B C D E 解：∵∠AOB＝100°， ∴为100°. ∵D是的中点， ∴为50°. ∵∠C是所对的圆周角， ∴∠C＝×50°＝25°. ∴∠OEC＝∠OBC＋∠C＝55°＋25°＝80°. 31 当堂检测 综合提升 1. 如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是 ( ) A．25° B．27.5° C．30° D．35° D 32 当堂检测 综合提升 2. 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 ( ) A．30° B．40° C．50° D．60° A 33 当堂检测 综合提升 3. 如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=42°，则∠ACD的度数为 . 42° A C B D 48° 34 当堂检测 综合提升 4. 如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，BD交⊙O于点F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由． 解：连接CF． ∵ ∠BFC是△DFC的一个外角， ∴ ∠BFC >∠BDC ． ∵ ∠BAC＝∠BFC (同弧所对的圆周角相等)． ∴ ∠BAC >∠BDC． F O D A B C 35 当堂检测 综合提升 5. 在半径为5cm的⊙O内有长为cm的弦AB，则此弦所对的圆周角为多少度？ O A B E F D ∟ 解：连接OA、OB，在优弧AB上任取一点E，连接AE、BE，在劣弧 AB上任取一点F，连接AF、BF，过O作OD⊥AB，则D为AB的中点， ∵AB= cm， ∴AD=BD= cm 又OA=OB=5cm，OD⊥AB， ∴OD平分∠AOB， 即∠AOD=∠BOD=∠AOB， ∴在直角三角形AOD中，∠OAD=30∘ ∴∠AOD=60∘， ∴∠AOB=120∘， ∴∠AEB= ∠AOB=60∘， ∴∠AFB=120∘， 则此弦所对的圆周角为60∘或120∘. 36 2021 Blues 4800.0 $$