3.1.1 比例的基本性质 课件- 2025--2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦比例的基本性质，涵盖比例定义、内外项概念、基本性质及等比性质。通过故宫太和殿照片缩放情境，引导学生测量对应线段比值，搭建从实际测量到抽象比例概念的学习支架，衔接后续性质探究。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，如照片测量发展几何直观；通过合作探究和推理过程强化数学思维，如比例性质推导培养推理意识；结合例题与练习提升数学语言表达，如用比例式解决线段关系问题。助力学生理解知识本质，教师教学更具逻辑性与层次性。

2025-2026学年湘教版数学九年级上册 第3章 图形的相似 3.1.1 比例的基本性质 观察与思考 如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片，(2)是由 (1) 缩小得到的. （1） （2） P Q P′ Q′ 在照片 (1) 中任意取四个点 P，Q，A，B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P′，Q′，A′，B′ 量出线段 PQ，P′Q′，AB， A′B′ 的长度.计算它们的长度的比值. A A' B' B 我将以“情境导入—概念构建—性质推导—应用巩固”为教学逻辑，结合生活实例与数学活动，设计符合初中生认知的教学过程，突出比例基本性质的生成与应用。 # 人教版初中数学九年级下册《3.1.1 比例的基本性质》教学过程设计 本节课是“比例”单元的起始核心内容，前承小学阶段比的概念与性质，后启相似三角形的判定与性质等重要知识。教学目标设定为：理解比例的概念，掌握比例的基本性质及简单变形，能运用性质解决实际问题；通过观察、猜想、验证培养学生的逻辑推理能力；感受数学与生活的联系，激发学习兴趣。教学重点为比例的基本性质及应用，难点为比例性质的推导过程与灵活变形。 ## 一、情境导入，唤醒旧知（5分钟） ### 1. 生活情境激趣 呈现两个生活场景：①国旗尺寸：我国国旗的标准尺寸中，有一种长144cm、宽96cm，另一种长96cm、宽64cm；②照片缩放：一张照片原长15cm、宽10cm，放大后长21cm、宽14cm。 提问引导：“这些长方形的长和宽之间有什么共同特点？我们可以用怎样的数学关系表示它们的长与宽的倍数关系？” ### 2. 旧知回顾衔接 引导学生回忆小学知识：两个数相除又叫做两个数的比，如144÷96可以写成144:96，比值是1.5。计算上述场景中各组长与宽的比值：144:96=1.5，96:64=1.5；15:10=1.5，21:14=1.5。 小结发现：每组两个比的比值相等，像这样表示两个比相等的式子，就是我们今天要学习的“比例”。板书课题：比例的基本性质。 ## 二、概念构建，理解比例（7分钟） ### 1. 比例的定义与表示 给出定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如144:96=96:64，也可以写成$\frac{144}{96}=\frac{96}{64}$。 介绍比例的各部分名称：在比例$a:b=c:d$（或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$）中，$a$、$b$、$c$、$d$叫做比例的项，其中$a$和$d$是比例的外项，$b$和$c$是比例的内项。特别地，当比例的两个内项相等时，如$a:b=b:c$，$b$叫做$a$和$c$的比例中项。 ### 2. 比例与比的辨析 组织小组讨论：“比例和我们以前学的比有什么区别？” 师生总结：比是表示两个数的倍数关系，只有两项；比例是表示两个比相等的式子，有四项，是比的一种特殊组合。例如“3:2”是比，“3:2=6:4”是比例。 ### 3. 即时判断练习 给出一组式子，让学生判断哪些是比例：①3:5 ②$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=3:2$ ③5:7=10:14 ④2+3=5:1。（答案：②③是比例）通过练习强化比例“两个比相等”的核心特征。 ## 三、探究推导，掌握性质（15分钟） ### 1. 猜想：比例的内项与外项的关系 回到导入环节的比例实例，让学生计算每个比例中“内项积”和“外项积”： - ①144:96=96:64：内项积96×96=9216，外项积144×64=9216； - ②15:10=21:14：内项积10×21=210，外项积15×14=210； - ③$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=3:2$：内项积$\frac{1}{3}×3=1$，外项积$\frac{1}{2}×2=1$。 提问：“观察这些结果，你有什么猜想？”引导学生提出：比例的两个内项的积等于两个外项的积。 ### 2. 验证：从一般形式推导性质 设比例$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b$、$d$不为0），引导学生用代数方法证明猜想： 第一步：根据等式的性质，两边同时乘$bd$（$bd≠0$），消去分母得：$a×d = b×c$。 第二步：用比例的形式表示即为：在比例$a:b=c:d$中，$ad=bc$。 强调：这一结论就是比例的基本性质，它是比例变形的重要依据，反过来也成立——如果$ad=bc$（$b$、$d$不为0），那么$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。 ### 3. 特殊情况：比例中项的性质 针对比例$a:b=b:c$，根据比例的基本性质可得：$b²=ac$。 举例说明：若2是4和$x$的比例中项，求$x$。解：由比例中项性质得$2²=4x$，即$4=4x$，解得$x=1$。 ### 4. 性质的符号语言与文字表述 文字表述：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 符号语言：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b,d≠0$），则$ad=bc$；反之，若$ad=bc$（$b,d≠0$），则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。 ## 四、应用巩固，深化理解（12分钟） ### 1. 基础应用：求比例中的未知项（解比例） 例1：解比例$3:8=15:x$。 解题示范：①根据比例的基本性质，内项积等于外项积，得$3x=8×15$；②计算右边：$8×15=120$；③求解$x$：$x=120÷3=40$；④检验：将$x=40$代入原比例，左边$3:8=0.375$，右边$15:40=0.375$，比值相等，解正确。 练习：解比例①$\frac{x}{4}=\frac{3}{6}$ ②$2.4:1.6=6:x$。（答案：①$x=2$ ②$x=4$） ### 2. 能力提升：比例的灵活变形 例2：已知$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，求$\frac{a+b}{b}$的值。 解法引导：①由比例的基本性质得$5a=3b$，但可更简便利用“比的和差”：②$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$；③代入$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，得$\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$。 拓展练习：已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，求$\frac{3x-2y}{y}$的值。（答案：0） ### 3. 实际应用：结合生活场景 例3：用比例解决国旗尺寸问题：已知国旗的长与宽的比是3:2，学校要制作一面长120cm的国旗，宽应是多少cm？ 解答：设宽为$x$cm，根据题意列比例$120:x=3:2$；由比例性质得$3x=120×2$；解得$x=80$。答：宽应是80cm。 ## 五、课堂小结与作业布置（6分钟） ### 1. 课堂小结（师生共同梳理） - 核心概念：比例的定义（两个比相等的式子）、各部分名称（外项、内项、比例中项）； - 关键性质：比例的基本性质（内项积=外项积）及逆用； - 核心技能：解比例、比例变形、实际应用，解题后需检验。 ### 2. 分层作业 - 基础作业：教材对应习题，解3道比例题，完成1道实际应用题； - 提高作业：已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$（$b+d≠0$），求证$\frac{a+c}{b+d}=\frac{2}{3}$； - 实践作业：测量家中长方形物体（如课本、桌面）的长和宽，写出长与宽的比，并验证是否与标准比例（如16:9、3:2）相等。 ## 六、板书设计（简洁直观，突出重点） 这份教学过程设计融入了互动讨论、分层练习和生活实例，符合九年级学生的学习特点。你可以根据班级实际情况调整练习难度，若需要补充PPT课件框架或课堂活动的细化方案，都可以告诉我。 情景导入 2 比例的基本性质 合作探究 问题1：如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc，那么 a，b，c，d 四个数成比例吗？ 探究新知 3 如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad = bc. 探究新知 4 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad = bc，那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 如果 ad = bc（a,b,c,d 都不等于 0），那么 . 探究新知 5 如果 或 a：b = c：d， 那么称a、b、c、d 成比例， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项. 相关概念 探究新知 典例精析 例1 已知四个数a，b，c，d成比例，即 . 下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ① ② ④ ③ 探究新知 由此得到 解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立. 由①式得 ad = bc. 在上式两边同除以cd，得 在①式两边都加上1，得 探究新知 8 例2：根据下列条件，求 a∶b 的值： （1） 4a = 5b ； （2） （2）∵ ，∴8a = 7b，∴ 解 （1）∵ 4a = 5b，∴ 探究新知 例3：已知 ，求 的值. 解：解法1：由比例的基本性质， 得 2(a + 3b) = 7×2b. ∴a = 4b，∴ = 4. 解法2：由 ，得 . ∴ , 探究新知 ，那么 、 各等于多少？ 2．已知 1．已知线段 a、b、c 满足关系式 且 b＝4，那么 ac＝______． ， 练一练 16 探究新知 问题2：已知 a，b，c，d，e，f 六个数，如果 (b + d + f ≠ 0)，那么 成立吗？为什么？ 设 ，则 a = kb，c = kd，e = kf . 所以 等比性质 探究新知 12 由此可得到比例的又一性质： 探究新知 13 例4：在 △ABC 与 △DEF 中，已知 ，且 △ABC 的周长为 18 cm，求 △DEF 的周长. 解：∵ ∴ ∴4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD). 即 AB + BC + CA = (DE + EF + FD) . 又 △ABC 的周长为 18 cm，即 AB + BC + CA = 18 cm. ∴△DEF 的周长为 24 cm. 探究新知 例4：若 a,b,c 都是不等于零的数，且 求 k 的值. 得 ，则 k＝2. 当 a＋b＋c＝0 时，则有 a＋b＝－c. 此时 . 综上所述，k 的值是 2 或－1. 解：当 a＋b＋c ≠ 0 时，由 ， 探究新知 1.(1)已知 ，那么 = ， = . (3)如果 ，那么 . (2)如果 ，那么 . 课堂练习 3.已知四个数 a，b，c，d 成比例. （1）若 a = -3，b = 9，c = 2，求 d； （2）若 a = -3，b= ，c = 2，求 d. 课堂练习 知识点1 比例及其有关概念 1.下列各组数中，成比例的是( ) D A.1，，， B.1，4，2， C.5，6，2，3 D.，，1， 返回 考试考法 18 2.若实数，，，成比例，其中，，，则 ____. 18 返回 考试考法 19 知识点2 比例的基本性质 3.［2025益阳月考］若 ，则下列比例式中成立的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 20 4.已知，则 的值为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 5.［教材P63“例2”变式］ （1）若，则 __； （2）若，则 ___； （3）若，则 ___； （4）如果，那么 的值等于__. 1 返回 考试考法 22 6.［教材P63“练习”第1题变式］已知四个数，，， 成比例. （1）若，，，求 ； 解： 四个数，，，成比例， ， ，， ， ，即， ． 考试考法 23 （2）若，，，求 . 解： 四个数，，，成比例， ， ，， ， ，即, ． 返回 考试考法 7.如果实数，，，（均不为0）满足 ，那么下列各式中不 成立的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 25 8.［2025怀化月考］已知，则 等于( ) D A.1 B. C. D. 返回 考试考法 26 比例的 性质 如果 那么 ad = bc. 基本 性质 等比 性质 如果 ad = bc（a , b, c, d都不等于 0）， 那么 课堂小结 谢谢观看！ $