精品解析：吉林省长春市新解放学校初中部2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

新解放学校初中部2025----2026学年上学期 九年级数学学科 时间：95分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是80分，小明得了79分，记作分，小亮的成绩记作分，则小亮的成绩是（ ） A. 75分 B. 80分 C. 84分 D. 85分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，正负数的意义，根据有理数的加法法则计算即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：（分）， 故小亮的成绩是分， 故选：D． 2. 如图，将不等式的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴上表示不等式的解集、不等式的性质，根据数轴上的表示得到，进而利用不等式的性质可得，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集为， ⸫， 则■盖住的符号是， 故选：D． 3. 把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的展开；由图知，几何体由三个长方形和两个三角形围成，从而知是三棱柱，由此得解． 【详解】解：由图知，这个几何体是一个三棱柱； 故选：D． 4. 将多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴分解因式正确的是选项B． 故选B． 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 利用平行线的性质得，结合角的和差关系得，然后根据进行列式求解即可． 【详解】解：∵， , ， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键 【详解】在中, ， ∴的长为， 故选A 7. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，判断各选项所给的射线是角的平分线即可． 【详解】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，故此选项不符合题意； B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，故此选项不符合题意； C.射线BO不是的平分线，，故此选项不符合题意； D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，明确三角形的内心是三角形角平分线的交点是解答本题的关键． 8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　） A. （3，） B. （4，） C. （，） D. （5，） 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（ x>0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），利用待定系数法即可求得反比例函数与直线OA的解析式，又由OA⊥AB，可得直线AB的系数为：，继而可求得直线AB的解析式，将直线AB与反比例函数联立，即可求得点B的坐标． 【详解】∵矩形OABC的顶点A. B在双曲线y= (x>0)上,点A的坐标为(1,2)， ∴2=， 解得：k=2， ∴双曲线的解析式为：y=，直线OA的解析式为：y=2x， ∵OA⊥AB， ∴设直线AB的解析式为：y=−x+b， ∴2=−×1+b， 解得：b=， ∴直线AB的解析式为：y=−x+， 将直线AB与反比例函数联立得出： y=y=−x+， 解得：x=4，y=或x=1，y=2， ∴点B(4,). 故选B. 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键利用反比例函数与一次函数的联立. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方．先将括号内的合并同类项，再利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 多项式的次数是_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多项式的次数，多项式的次数是指所有项中最高次项的次数，通过计算每一项的次数并比较得出． 【详解】解：多项式中，项的次数为=3，项的次数为=2，项的次数为3， 因此最高次数为3， 故该多项式的次数是3． 故答案为：3． 11. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 12. 如图，边长均为3的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和问题、弧长公式，先根据正多边形内角和公式计算可得，再由弧长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵和分别是正六边形和正五边形的内角，且正六边形和正五边形的边长均为， ∴，， ∴， ∵以顶点为圆心，长为半径画弧，得到， ∴的长为， 故答案为：． 13. 油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，，若，则伞圈下滑的距离的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，先根据菱形的性质和已知角度判断图①中三角形形状求出，再通过等边三角形性质和勾股定理求出图②中，最后由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图①，∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 如图②，设交于点， ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据矩形的性质证明，在根据相似三角形的判定，即可证明结论； 对于②，根据，可证明，再根据直角三角形的性质，即可证明结论； 对于③，先求出的长，再证明，即可求得的长； 对于④，作点G关于的对称点，连结，，证明，再求出的最小值，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 点M是的中点， ， ， ， ， 故②正确； 当时， 点G是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 故③错误； 作点G关于的对称点，连结，， ， 由②知，， ， ， 当点F在上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，，， ， 的最小值为， 故④正确； 正确结论的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，将转化为求解是关键． 三、解答题（本题共6小题，共48分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式的减法法则把原式化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 小贝同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后再以8米/秒的速度冲刺到终点，成绩为65秒，那么他冲刺用时多久？ 【答案】5秒 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设该同学冲刺的时间为x秒，则以6米/秒的速度跑的时间为秒，利用路程时间速度，由以6米/秒跑过的路程冲刺阶段跑过的路程列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设该同学冲刺的时间为x秒，根据题意得： ， 解得：， 答：该同学冲刺的时间为5秒． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图．保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，的半径为，过点作的切线； （2）在图②中，的半径为2，过点作的两条切线； （3）在图③中，的半径为2，过点作的两条切线． 【答案】（1） 如图，直线即为所求作的直线； （2） 如图，直线即为所求作的直线； （3） 如图，直线即为所求作的直线． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定定理以及直径所对的圆周角是直角的性质．解题的关键在于理解切线的判定定理，并利用定理在格点上构造直角三角形来确定切线的位置．构造直角，根据切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角即可画出切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据．用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为_____千瓦时； （2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 【答案】（1）60 （2） （3）途中需要充电， 理由如下： 当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， ∵， ∴途中需要充电． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，有理数比较大小的应用． （1）根据函数图象，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出段的函数解析式，求出解析式即可； （3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程为，与比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得：， ∴段的函数解析式为； 【小问3详解】 略 19. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点D和点E为分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和．点是抛物线上一点，横坐标为，平面内一点的坐标为． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）以为对角线作矩形，其中平行于轴． ①当与轴相交时，设交点为，连结，当将矩形面积分为1：4两部分时，求的值； ②设点坐标为，连结，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键． 直接利用待定系数法代入求解即可； 当时，求出的坐标，再用两点间的距离公式求出、、，利用勾股定理可证，即可求得的值； ①由题意，分别表示矩形各顶点与点坐标，设的面积为，矩形面积为，根据比例关系列方程求解即可； ②设点坐标为，分别表示各顶点坐标，点在和中点时，根据进出，得的取值范围． 【小问1详解】 解：将点和代入抛物线，得： ，解得． 所以抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，点的坐标为， 点，点． ∴ ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 ①由题意，以为对角线作矩形，且轴，可得． 与轴交于点，则．连接，设的面积为，矩形面积为，则：， 将矩形面积分为两部分，即或，故： 或． 代入得： 或 解得：或或或， 同时，点在线段上，需满足 得出或， ∴或； ②点． 即点在内部或边界上． 的顶点：． 其中（进入） 解得或 （离开） 解得 当时需满足： 交集为 当时需满足： 所以或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新解放学校初中部2025----2026学年上学期 九年级数学学科 时间：95分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是80分，小明得了79分，记作分，小亮的成绩记作分，则小亮的成绩是（ ） A. 75分 B. 80分 C. 84分 D. 85分 2. 如图，将不等式的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（ ） A. B. C. D. 3. 把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 4. 将多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　） A. （3，） B. （4，） C. （，） D. （5，） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 多项式的次数是_______________． 11. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 12. 如图，边长均为3的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为___________（结果保留）． 13. 油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，，若，则伞圈下滑的距离的长度为___________． 14. 如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______． 三、解答题（本题共6小题，共48分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 小贝同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后再以8米/秒的速度冲刺到终点，成绩为65秒，那么他冲刺用时多久？ 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图．保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，的半径为，过点作的切线； （2）在图②中，的半径为2，过点作的两条切线； （3）在图③中，的半径为2，过点作的两条切线． 18. 若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据．用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为_____千瓦时； （2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 19. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和．点是抛物线上一点，横坐标为，平面内一点的坐标为． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）以为对角线作矩形，其中平行于轴． ①当与轴相交时，设交点为，连结，当将矩形面积分为1：4两部分时，求的值； ②设点坐标为，连结，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $