2.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程 课件 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册 第2章 一元二次方程 2.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程 1. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x 叫做 a 的 . 复习引入 平方根 2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = . 3. 如果 x2 = 64，那么 x = . ±8 4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 人教版初中数学九年级上册《2.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程》教学资源包 本资源包聚焦“直接开平方法”这一解一元二次方程的基础方法，包含可直接课堂实施的教学过程、PPT分页内容、典型例题、易错辨析及板书设计，助力学生理解方法本质，掌握适用场景与解题规范，为后续学习其他解法奠定基础。 一、教学过程（45分钟，可直接课堂实施） （一）复习衔接，情境导入（5分钟） 1. 旧知回顾：提问1：什么是一元二次方程？其一般形式是什么？（学生回答：只含一个未知数、未知数最高次为2的整式方程；ax²+bx+c=0，a≠0）提问2：若x²=4，x的值是多少？（引导学生回忆平方根定义，得出x=2或x=-2） 2. 情境设问：某正方形花坛的面积扩大后达到36m²，求扩大后花坛的边长。若设边长为x m，可列方程x²=36，如何求解这个一元二次方程？引出课题：今天我们学习解一元二次方程的第一种方法——直接开平方法。 （二）探究新知，推导方法（20分钟） 1. 直接开平方法的理论依据 教师引导：结合平方根的定义，若x²=a（a≥0），则x叫做a的平方根，因此x=√a或x=-√a，可简写为x=±√a。当a<0时，由于负数没有平方根，所以方程x²=a无实数根。 核心依据：平方根的性质——正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 2. 基础形式：x²=a（a≥0）的求解 例题1：解下列一元二次方程： - ①x²=16；②x²=0；③x²=-9 解题示范： - ①由平方根定义，x=±√16=±4，所以方程的解为x₁=4，x₂=-4； - ②x=±√0=0，所以方程的解为x₁=x₂=0（重根）； - ③因为-9<0，负数没有平方根，所以方程无实数根。 即时小结：对于x²=a的形式，当a>0时，解为x=±√a；当a=0时，解为x=0；当a<0时，无实数根。 3. 拓展形式：(x+m)²=n（n≥0）的求解 教师引导：将(x+m)看作一个整体（设为y，即y=x+m），则方程转化为y²=n，可先求y，再求x，体现“换元思想”。 例题2：解下列方程： - ①(x+3)²=25；②(2x-1)²=9；③(x-2)²=7 解题示范： - ①将x+3看作整体，得x+3=±√25=±5。当x+3=5时，x=2；当x+3=-5时，x=-8。所以解为x₁=2，x₂=-8； - ②将2x-1看作整体，得2x-1=±√9=±3。当2x-1=3时，2x=4→x=2；当2x-1=-3时，2x=-2→x=-1。所以解为x₁=2，x₂=-1； - ③将x-2看作整体，得x-2=±√7，所以x=2±√7，解为x₁=2+√7，x₂=2-√7（无理数解保留根号）。 方法总结：直接开平方法适用于能化为“x²=a”或“(x+m)²=n”（n≥0）形式的一元二次方程，解题核心是“将含未知数的部分化为完全平方形式，再利用平方根定义求解”。 （三）典型例题与分层练习（15分钟） 1. 典型例题（规范解题步骤） 例题3：用直接开平方法解方程：2(x-1)²-8=0 解题步骤：①移项：2(x-1)²=8；②化系数为1：(x-1)²=4；③开平方：x-1=±2；④求解：x=1±2→x₁=3，x₂=-1。 例题4：若方程(k+1)x²=4有实数根，求k的取值范围。 解题分析：需分情况讨论：①当k+1≠0（方程为一元二次方程）时，方程可化为x²=4/(k+1)，要有实数根则4/(k+1)≥0→k+1>0→k>-1；②当k+1=0（k=-1）时，方程变为0=4，无实数根。综上，k>-1。 2. 分层练习 1. 基础题：解下列方程：①x²=256；②(x-5)²=9；③3x²=12。（答案：①x₁=16，x₂=-16；②x₁=8，x₂=2；③x₁=2，x₂=-2） 2. 提高题：解方程：(3x+2)²=4(x-1)²。（提示：开平方后分两种情况，答案：x₁=0，x₂=-4） 3. 拓展题：若(x²+y²)²-4(x²+y²)-5=0，设t=x²+y²，求t的值。（答案：t=5，t=-1舍去，因x²+y²≥0） （四）课堂小结与答疑（3分钟） 1. 核心内容：直接开平方法的适用形式、解题步骤、理论依据。 2. 易错点：①开平方时忘记写“±”；②忽略方程化为标准形式时的系数化为1；③未考虑被开方数非负的条件。 3. 针对练习中“漏写符号”“系数处理错误”等问题集中答疑，强调解题规范。 （五）布置作业（2分钟） 1. 基础作业：教材对应习题，用直接开平方法解指定方程；2. 拓展作业：思考“x²+6x+9=25”能否用直接开平方法求解，若能，尝试写出步骤。 二、PPT分页内容（共14页，可直接编辑使用） 第1页：标题页 - 标题：用直接开平方法解一元二次方程 - 副标题：人教版九年级上册 2.2.1.1 - 作者：XXX 第2页：复习与导入 - 旧知回顾：1. 一元二次方程定义：________；2. x²=4的解是________ - 情境问题：正方形花坛面积36m²，边长x满足x²=36，x=？ - 课题：直接开平方法解一元二次方程 第3页：方法依据与基础形式 - 理论依据：平方根性质（a≥0时，x²=a→x=±√a） - 基础形式：x²=a（a≥0） - 无实根情况：a<0时，方程无实数根 第4页：例题1：基础形式求解 - 题目：解下列方程：①x²=16；②x²=0；③x²=-9 - 解答：①x=±4；②x=0；③无实根 - 小结：a>0两解，a=0一解，a<0无解 第5页：拓展形式：(x+m)²=n（n≥0） - 思路：换元思想，将(x+m)看作整体 - 步骤：1. 确定整体；2. 开平方（写±）；3. 解一元一次方程；4. 写解 第6页：例题2：拓展形式求解（1） - 题目：①(x+3)²=25；②(2x-1)²=9 - 解答：①x+3=±5→x₁=2，x₂=-8；②2x-1=±3→x₁=2，x₂=-1 - 强调：开平方后分两种情况求解 第7页：例题2：拓展形式求解（2） - 题目：(x-2)²=7 - 解答：x-2=±√7→x₁=2+√7，x₂=2-√7 - 说明：无理数解保留根号，无需化为小数 第8页：方法总结 - 适用形式：x²=a（a≥0）或(x+m)²=n（n≥0） - 解题步骤：1. 化为标准形式；2. 开平方（写±）；3. 求解；4. 写解 - 核心：整体思想+平方根定义 第9页：例题3：含系数的方程求解 - 题目：2(x-1)²-8=0 - 步骤：①移项：2(x-1)²=8 情景导入 一元二次方程的根 问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500， 即 x2 = 25． 根据平方根的意义得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 探究新知 一元二次方程的根 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 概念学习 探究新知 例4 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值. 探究新知 2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0， 9 + 4a = 0， 4a = -9， 1.已知方程 5x² + mx - 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的值为 练一练 _______． 探究新知 直接开平方法解一元二次方程 问题1：能化为 (x + m)2 = n(n≥0) 的形式的方程需要具备什么特点？ 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为 (x + m)2 = n(n≥0). 问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如果 x 换元为 2t＋1，即 (2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 探究新知 7 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2 = 4 (2) x2 = 0 (3) x2 + 1 = 0 解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. 解：根据平方根的意义，得 x2 = -1， 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 探究新知 (2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 n < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 探究归纳 一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程， (1) 当 n > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 探究新知 例2 利用直接开平方法解下列方程： (1) 4x2 - 25 = 0； (2) x2－900 = 0. 解： （1） 原方程可化为 根据平方根的意义，得 （2）移项，得 x2 = 900. 直接开平方，得 x = ± 30， ∴x1 = 30， x2 = －30. 典例精析 探究新知 10 在解方程(I)时，由方程 x2 = 25 得 x = ±5.由此想到: (x + 3)2 = 5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5 探究交流 于是，方程 ( x + 3 )2 = 5 的两个根为 探究新知 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 解题归纳 探究新知 例3 解下列方程： (1) (2x＋1)2 = 2 ； 解析：通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 解：(1) 根据平方根的意义，得 或 探究新知 解析：第 2 小题先将－4 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解. 例3 解下列方程： (2) (x－1)2－4 = 0； 即 x1 = 3，x2 = −1. 解：(2) 移项，得 (x − 1)2 = 4. ∵x − 1 是 4 的平方根， ∴x − 1 = ±2， 探究新知 14 ∴ x1 = ， x2 = (3) 12(3 − 2x)2 − 3 = 0. 解析：先将 −3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解. 解：移项，得 12(3 − 2x)2 = 3， 两边都除以 12，得 (3 − 2x)2 = 0.25. ∵ 3 − 2x 是 0.25 的平方根， ∴ 3 − 2x = ±0.5， 即 3 − 2x = 0.5，或 3 − 2x = −0.5. 探究新知 15 解： ∴ 方程的两个根为 解： ∴ 方程的两根个为 例4 解下列方程： 探究新知 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x + m)2 = n (n≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探讨交流 不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0. 探究新知 C. 4(x − 1)2 = 9，解方程，得 4(x − 1) =±3，x1= ， x2= D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1= 1，x2= −4 1. 下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2 = −2，解方程，得 x =± B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4 D (1) 方程 x2 = 0.25 的根是 . (2) 方程 2x2 = 18 的根是 . (3) 方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 . x1＝0.5，x2＝−0.5 x1＝3，x2＝−3 x1＝2，x2＝−1 2. 填空： 探究新知 3. 解下列方程： (1) x2 − 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4. 解：x1＝9，x2＝−9. 解：x1＝5，x2＝ −5. 解：x1＝1，x2＝−3. 探究新知 19 3.若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0 有一个根为 0，求 m 的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将 x = 0 代入方程 m2 - 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ -2. 综上所述：m = 2. 探究新知 20 知识点1 一元二次方程的解 1.下列以 为一个根的一元二次方程是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 21 2.已知关于的方程的一个根是，则 ___. 1 返回 考试考法 22 知识点2 直接开平方法 3.下列不能运用平方根的意义求解的一元二次方程是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 23 4.下列方程中，有两个相等实数根的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 24 5.［2025天津期中］解一元二次方程 时，可以将其转化 为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为 ，则另一 个一元一次方程为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 25 6.对于解关于的一元二次方程 ，可以通过降次转化为两个 一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则 的值为___. 4 返回 考试考法 26 7.［2025长沙校级期中］若与互为倒数，则 的值是______. 返回 考试考法 27 8.［教材P31“练习”第1题变式］ 解方程： （1） ； 解：，整理，得，解得, . （2） ； 解：，开方，得，或 ， 解得， . 考试考法 28 （3） ； 解：，整理,得，开方,得或， ， . 考试考法 （4） . 解：,整理,得,.开方,得 , . 返回 考试考法 30 9. 用直接开平方法解一元二次方程 . 解：移项,得 ，① 直接开平方,得 ，② 所以 .③ 上述解题过程中，第____步开始出错，原因是 _____________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _____ ，请写出正确的解答过程. ② 漏掉了 这种情况正确的解答过程如下：移项,得 ，直接开平方,得 ，即 或 ， . 返回 考试考法 31 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2 = n(n≥0)或 (x + m)2 = n (n≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 课堂小结 谢谢观看！ $