2.2.2 公式法 课件- 2025--2026学年湘教九年级数学上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册 第2章 一元二次方程 2.2.2 公式法 复习引入 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0? 一、移常数项； 二、配方[配上 ]； 三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； 四、直接开平方法解方程. 解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = ， 人教版初中数学九年级上册《2.2.2 公式法》教学资源包 本资源包以“配方法推导公式—理解判别式意义—掌握公式法应用”为核心逻辑，衔接上节课配方法内容，系统呈现公式法解一元二次方程的完整知识体系，包括教学过程、PPT分页、典型例题、易错辨析及板书设计，助力学生理解公式本质，提升解题效率与准确性。 一、教学过程（45分钟，可直接课堂实施） （一）复习铺垫，推导公式（8分钟） 1. 旧知回顾：①用配方法解方程2x²-5x+2=0（学生口述步骤，教师板书关键环节）；②提问：上节课我们用配方法推导了ax²+bx+c=0（a≠0）的完全平方形式，是什么？（引导学生回答：(x+b/(2a))²=(b²-4ac)/(4a²)） 2. 公式推导：教师引导完成后续步骤： 当b²-4ac≥0时，两边开平方得x+b/(2a)=±√(b²-4ac)/(2a)； 3. 移项整理得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)，这就是一元二次方程的求根公式。 4. 引出课题：这个公式揭示了一元二次方程的根与系数的直接关系，我们只需将方程化为一般形式，代入系数即可求解，这种方法称为公式法。今天我们就系统学习公式法解一元二次方程。 推导关键：公式成立的前提是b²-4ac≥0（实数范围内），当b²-4ac<0时，方程无实数根，这一结论我们通过“判别式”来系统说明。 （二）探究新知，理解核心（20分钟） 1. 核心概念：求根公式与判别式 求根公式：对于一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），其根为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)（其中b²-4ac≥0）。 判别式：我们把b²-4ac叫做一元二次方程根的判别式，用符号“Δ”（读作“德尔塔”）表示，即Δ=b²-4ac。它决定了方程根的情况： Δ>0：方程有两个不相等的实数根；Δ=0：方程有两个相等的实数根（即一个重根），此时根为x=-b/(2a)；Δ<0：方程在实数范围内无实数根。 即时判断：判断下列方程根的情况（口答）： ①x²-3x+2=0（Δ=1>0，两个不相等实根）；②2x²-4x+2=0（Δ=0，两个相等实根）；③3x²+2x+1=0（Δ=-8<0，无实根）。 2. 公式法解题步骤（四步走） 教师结合例题示范完整步骤： 1. 化一般形式：将方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式，确定a、b、c的值（注意符号）； 2. 算判别式：计算Δ=b²-4ac，判断方程根的情况； 3. 代入公式：若Δ≥0，将a、b、c及Δ的值代入求根公式； 4. 化简结果：整理计算结果，得到方程的根。 3. 规范例题，强化细节 例题1：用公式法解方程2x²-5x+2=0 解题示范： 1. 化一般形式：已为一般形式，a=2，b=-5，c=2（注意b的符号为负）； 2. 算判别式：Δ=(-5)²-4×2×2=25-16=9>0，方程有两个不相等实根； 3. 代入公式：x=[-(-5)±√9]/(2×2)=(5±3)/4； 4. 化简结果：x₁=(5+3)/4=2，x₂=(5-3)/4=1/2。 例题2：用公式法解方程3x²+2x-1=0 学生独立完成，教师巡视指导，重点关注“系数符号”“判别式计算”“公式代入”三个关键环节，指名板演后集体订正。 （三）典型例题与分层练习（12分钟） 1. 典型例题（含特殊情况处理） 例题3：用公式法解方程x²-4x=5（含移项化一般形式） 解答：①化一般形式：x²-4x-5=0，a=1，b=-4，c=-5；②算Δ=(-4)²-4×1×(-5)=16+20=36>0；③代入公式：x=[4±6]/2；④结果：x₁=5，x₂=-1。 例题4：已知方程x²+(k-1)x-2k=0有两个相等的实数根，求k的值（判别式逆向应用） 解答：①确定系数：a=1，b=k-1，c=-2k；②由Δ=0列方程：(k-1)²-4×1×(-2k)=0；③化简求解：k²-2k+1+8k=0→k²+6k+1=0；④用公式法求k：k=[-6±√(36-4)]/2=[-6±√32]/2=-3±2√2。 2. 分层练习 1. 基础题：用公式法解下列方程：①x²-3x+1=0；②2x²+4x-1=0。（答案：①x=[3±√5]/2；②x=[-2±√6]/2=-1±√6/2） 2. 提高题：若方程2x²-mx+3=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根。（答案：m=±2√6，根为x=±√6/2） 3. 拓展题：当k为何值时，方程(k-1)x²+2kx+k+3=0无实数根？（提示：分k=1和k≠1讨论，答案：k>3/2） （四）课堂小结与答疑（3分钟） 1. 核心内容：求根公式的推导依据（配方法）、判别式的意义、公式法解题四 情景导入 求根公式的推导 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 合作探究 探究新知 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a，得 解： 移项，得 配方，得 即 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 探究新知 一元二次方程的求根公式 特别提醒 ∵ a ≠ 0，4a2 > 0， ∴ 当 b2 - 4ac≥0 时， 探究新知 当 b2 - 4ac＜0 时， 而 x 取任何实数都不能使上式成立， ∴ 此时方程无实数根. 归纳 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 在 b2 - 4ac≥0 的条件下，它的根为： (b2 - 4ac≥0 ) 我们通常把这个式子叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式. 探究新知 由求根公式可知，一元二次方程的根由方程的系数 a，b，c 决定.这也反映出了一元二次方程的根与系数 a，b，c之间的一个关系．今后我们可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫作公式法． 用公式法解一元二次方程的前提是: 1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2 + bx+c = 0 (a≠0)； 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 注意 探究新知 视频：求根公式的趣味记忆 点击视频开始播放 探究新知 典例精析 例1：（1）解方程：x2 - x - 2 = 0； 解：这里 a = 1，b = -1，c = -2. ∵ b 2 - 4ac = (-1)2 - 4×1×(-2) = 9﹥0， 即：x1 = 2，x2 = -1. 公式法解方程 探究新知 9 （2）解方程：x2 - 2x = 1 解：移项，得 x2 - 2x - 1 = 0 这里 a = 1，b = -2，c = -1. ∵ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×(-1) = 8＞0， 因此，原方程的根为： 探究新知 10 例2 ：解方程：9x2 + 12x + 4 = 0. 解：这里 a = 9，b = 12，c = 4. 因而 b2 - 4ac = 122 - 4×9×4 = 0， 所以 因此，原方程的根为 探究新知 1. 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0 解：∵a = 5，b = -4，c = -12， b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 > 0. 练一练 探究新知 2 解方程： 化为一般式 解： 即 这里 a、b、c 的值是什么？ 探究新知 例3 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0. ∵ 在实数范围内负数不能开平方， ∴ 方程无实数根. 解： 探究新知 要点归纳 公式法解方程的一般步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 - 4ac 的值； 4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解； 若 b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根. 探究新知 15 1. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0. 解：这里 a = 1，b = 7， c = -18. ∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 > 0， ∴ 即 x1 = -9， x2 = 2 . 课堂练习 2. 解方程(x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号，得 x–2 - 3x2 + 6x = 6. 化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0. 这里 a = 3，b = -7，c = 8， ∴ b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = -47 < 0. ∴ 原方程没有实数根. 课堂练习 3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0. 解： 这里 a = 2，b = ，c = 3. ∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0， ∴ ∴ x1 = ，x2 = 课堂练习 知识点1 求根公式的认识 1.用公式法解方程时，求根公式中的，， 的值分别是 ( ) C A.1，2，3 B.1，，3 C.1，2， D.1，， 返回 考试考法 19 2.对于方程， 的值为( ) D A. B. C.49 D.1 返回 考试考法 20 3.如果一元二次方程 能用公式法求解，那么必须满足的 条件是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 4.在用公式法解一元二次方程时，代入，， 得到 ，则求解的一元二次方程是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 22 知识点2 用公式法解一元二次方程 5.下列方程适合用公式法求解的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 23 6. 用公式法解方程： . 解：因为，，，所以 . 所以 ， 即， . 上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正. 考试考法 24 解：不正确.错误：没有将方程化成一般形式，造成常数项 的符号错误. 正解：移项，得，所以，， ， 所以 . 所以，即， . 返回 考试考法 25 7.［教材P42“习题2.2”第4题变式］ 用公式法解方程： （1） ； 解：因为，， ， 所以 . 所以 , 所以, . 考试考法 26 （2） ； 解：因为,, , 所以 , 所以,所以 . 考试考法 27 （3） . 解：将方程化为一般形式为 ． 因为，， ， 所以 ， 所以 ， 所以， ． 返回 考试考法 28 8.若代数式的值与的值相等，求 的值. 解：由题意可得 ， 整理,得 ， ， ． 的值为或 ． 返回 考试考法 29 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程化为一般形式 根的判别式 b2 - 4ac 课堂小结 谢谢观看！ $