2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件- 2025--2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过“算一算”解具体方程填表观察，“猜一猜”从特殊到一般猜想规律，“证一证”用求根公式推导结论，搭建从具体计算到抽象定理的学习支架，帮助学生衔接方程求解与根的关系知识。 其亮点在于以探究式教学培养核心素养，“算一算”“猜一猜”发展数学眼光中的抽象能力，推导过程强化数学思维中的推理意识，例题将根的平方和等转化为和与积的形式，体现数学语言的模型意识。如例3不解方程求代数式值，让学生掌握转化思想，教师可借资料实施分层教学，提升学生逻辑推理与应用能力。

2025-2026学年湘教版数学九年级上册 第2章 一元二次方程 2.4 一元二次方程根与系数的关系 探索一元二次方程的根与系数的关系 算一算 解下列方程并完成填空： (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 x1 + x2 = -3 x1·x2 = -4 x1 + x2 = 5 x1·x2 = 6 将二次项系数化为 1 人教版初中数学九年级上册《2.4 一元二次方程根与系数的关系》教学资源包 本资源包以“求根公式推导—韦达定理生成—分类应用—综合拓展”为逻辑主线，衔接前序根的判别式知识，聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导过程、核心结论及实际应用，通过分层例题、易错辨析与综合训练，帮助学生掌握“用定理求根的代数式值”“由根的关系求参数”等核心技能，渗透整体代入与分类讨论思想。 一、教学过程（45分钟，可直接课堂实施） （一）旧知衔接，情境引新（7分钟） 1. 双基回顾：①回顾一元二次方程求根公式：对于ax²+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），根为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)；②回顾判别式作用：判断根的存在性与个数。提问：若方程有实数根，根的大小与系数a、b、c之间是否存在直接关系？ 2. 计算探究：让学生求解三组方程的根，并计算根的和与积，填写表格： 方程根x₁、x₂x₁+x₂x₁x₂-b/ac/ax²-3x+2=01、232322x²-5x+3=01、3/25/23/25/23/23x²+2x-1=01/3、-1-2/3-1/3-2/3-1/3 3. 规律猜想：引导学生发现：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。引出课题：这就是一元二次方程根与系数的关系，又称韦达定理。 （二）探究新知，定理推导（12分钟） 1. 韦达定理严格推导（基于求根公式） 已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当Δ=b²-4ac≥0时，两根为： x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a) ①推导根的和x₁+x₂： x₁+x₂=[-b+√(b²-4ac)-b-√(b²-4ac)]/(2a)=(-2b)/(2a)=-b/a ②推导根的积x₁x₂（利用平方差公式）： x₁x₂={[-b+√(b²-4ac)][-b-√(b²-4ac)]}/(2a×2a)=[b²-(b²-4ac)]/(4a²)=(4ac)/(4a²)=c/a 2. 韦达定理核心结论 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当Δ≥0时，设其两个实数根为x₁、x₂，则必有：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a 特别地，当二次项系数a=1时，方程化为x²+px+q=0，此时x₁+x₂=-p，x₁x₂=q（更易记忆）。 3. 定理适用条件强调 ①方程必须是一元二次方程：二次项系数a≠0；②方程有实数根：Δ=b²-4ac≥0（若Δ<0，方程无实数根，定理不适用）。这两个条件缺一不可，否则会导致结论错误。 （三）分类应用，技能突破（18分钟） 1. 类型1：已知方程，求根的代数式值（整体代入） 核心技巧：将根的代数式转化为含x₁+x₂和x₁x₂的形式，常见变形： - ①x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂；②1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)；③(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂ 例题1：已知x₁、x₂是方程2x²-5x+1=0的两个根，求下列代数式的值： 1. x₁+x₂和x₁x₂； 解：由韦达定理，x₁+x₂=5/2，x₁x₂=1/2。 2. x₁²+x₂²； 解：原式=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(5/2)²-2×1/2=25/4-1=21/4。 3. 1/x₁+1/x₂； 解：原式=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=(5/2)/(1/2)=5。 2. 类型2：已知根的关系，求参数取值（结合判别式） 例题2：已知关于x的一元二次方程x²-(k+2)x+2k=0，若方程的一个根为1，求另一个根及k的值。 解法一（韦达定理）：设另一个根为x₂，由定理得：1+x₂=k+2，1×x₂=2k；联立解得x₂=2，k=1。 解法二（根的定义）：将x=1代入方程得1-(k+2)+2k=0→k=1；方程化为x²-3x+2=0，解得另一个根为2。 例题3：已知关于x的一元二次方程x²-2x+m=0，若方程的两个根的平方和比两根的积大11，求m的值。 解题示范：①先满足Δ≥0：Δ=(-2)²-4×1×m=4-4m≥0→m≤1；②设根为x₁、x₂，由题意得x₁²+x₂² -x₁x₂=11；③转化为韦达定理形式：(x₁+x₂)²-3x₁x₂=11；④代入x₁+x₂=2，x₁x₂=m：2²-3m=11→m=-3（满足m≤1，符合条件）。 易错提醒：已知根的关系求参数时，必须先利用判别式确定参数的取值范围，避免求出的参数使方程无实数根，如例题3中若忽略Δ≥0，可能会保留不合理解。 3. 类型3：判别根的符号（结合判别式与韦达定理） 例题4：不解方程，判别方程2x²-7x-4=0两根的符号。 解题示范：①先判断有实根：Δ=(-7)²-4×2×(-4)=49+32=81>0，有两个不相等实根；②由韦达定理得x₁x₂=-4/2=-2<0，说明两根异号。 （四）分层练习，巩固落实（5分钟） 1. 基础题：已知x₁、x₂是方程3x²+4x-5=0的根，求x₁+x₂=______，x₁x₂=______。（答案：-4/3，-5/3） 2. 提高题：已知方程x²+mx+3=0的两个根相等，求m的值及方程的根。（答案：m=±2√3，根为±√3） 3. 拓展题：已知α、β是方程x²-5x+3=0的根，求代数式α²-6α-β的值。（提示：利用根的定义α²=5α-3，原式=-(α+β)-3=-8） （五）课堂小结与答疑（3分钟） 1. 核心内容：韦达定理的结论（x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a）、适用条件（a≠0且Δ≥0）、三类应用（求代数式值、求参数、判根的符号）； 2. 思想方法：整体代入（将根的代数式转化为和与积的形式）、分类讨论（参数问题中判别式的限制）； 3. 集中解答“忽略判别式条件”“代数式变形错误”等问题。 （六）布置作业（2分钟） 1. 基础作业：教材对应习题，完成5道利用韦达定理求代数式值的题目；2. 提高作业：已知方程2x²-(k+1)x+k+3=0的两个根之和为3，求k的值及方程的根；3. 拓展作业：若实数a、b分别满足a²-2a-1=0，b²-2b-1=0（a≠b），求a+b和ab的值（提示：将a、b看作方程的两根）。 二、PPT分页内容（共18页，可直接编辑使用） 第1页：标题页 - 标题：一元二次方程根与系数的关系 - 副标题：韦达定理 人教版九年级上册 2.4 - 作者：XXX 第2页：复习与导入 - 旧知回顾：1. 求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)（Δ≥0）；2. 判别式作用：______ - 探究问题：根的大小与系数a、b、c有何关系？ - 课题：根与系数的关系（韦达定理） 第3页：计算探究表格 （同教学过程中探究表格，留白供学生填写，最后呈现完整结果） - 猜想规律：x₁+x₂=______，x₁x₂=______ 第4页：韦达定理推导（根的和） 已知x₁=[-b+√Δ]/(2a)，x₂=[-b-√Δ]/(2a)（Δ=b²-4ac≥0） x₁+x₂=[-b+√Δ -b -√Δ]/(2a)=(-2b)/(2a)=-b/a 结论：根的和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数 第5页：韦达定理推导（根的积） 利用平方差公式：(m+n)(m-n)=m²-n² x₁x₂=[(-b)²-(√Δ)²]/(4a²)=[b²-(b²-4ac)]/(4a²)=c/a 结论：根的积等于常数项与二次项系数的比值 第6页：韦达定理核心结论 对于ax²+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），设根为x₁、x₂： x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a 特殊形式（a=1）：x²+px+q=0→x₁+x₂=-p，x₁x₂=q 适用条件：①a≠0；②Δ≥0（缺一不可） 第7页：类型1：求根的代数式值（变形公式） 常用变形： 1. x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ 2. 1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂) 3. (x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂ 核心思想：整体代入（用和与积代替根） 第8页：例题1：求代数式值 题目：已知x₁、x₂是2x²-5x+1=0的根，求x₁²+x₂²的值 解答： 1. 由韦达定理：x₁+x₂=5/2，x₁x₂=1/2 2. 变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ 3. 代入： 探究新知 猜一猜 （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 探究新知 猜一猜 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么你可以发现什么结论？ 探究新知 证一证： 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 探究新知 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 Δ = b2 - 4ac≥0. 归纳总结 探究新知 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）2x2 - 3x + 1= 0； 解：这里 a = 2，b = -3，c = 1. Δ = b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 × 2 ×1 = 1 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2， 那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = . 探究新知 （2）x2 - 3x + 2 =10. 解：这里 a = 1，b = -3，c = -8. Δ= b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 × 1 × (-8) = 41 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = 3 ， x1 x2 = -8 . 探究新知 （3）7x2 - 5 = x + 8. 解：这里 a = 7，b = -1，c = -13. Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 × 7 ×(-13)= 365 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = . 探究新知 例2 已知方程 x2 + 3x + q = 0 的一个根是 -3，求它的另一个根及 q 的值. 解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = -3 . 所以 x1 + x2 = -3， 即 x2 = 0 由于 x1·x2 = q = (-3)·0 = 0 得 q = 0. 答：方程的另一个根是 0，q = 0. 探究新知 变式：已知方程3x2-18x+m = 0的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = 得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m = 15. 探究新知 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 探究新知 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1· x2 = ； (3) ； (4) . 4 1 14 12 练一练 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 归纳 探究新知 例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值. 解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0. 探究新知 常见的求值式子如下： 探究新知 15 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 课堂练习 3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则 1 · x1 = ∴ x1 = 课堂练习 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 1.［2025天津期末］若,是方程 的两个根，则( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 18 2. 下列一元二次方程中，两实数根之和为3的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 19 3.已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ，则( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 20 4.［教材P47“例1”变式］ 填表： 方程 两个根的和 两个根的积 _______ ______ _ _ _ ___ _ _ _ ___ 返回 考试考法 21 知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用 5.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为 和 ，则 的值为( ) C A.1 B. C.2 D. 返回 考试考法 22 6.若关于的一元二次方程的两根分别为, ，且 ，则 的值为( ) C A.4 B.8 C.12 D.16 返回 考试考法 23 7.［2025郴州月考］一元二次方程的两根为， ，则 的值为( ) C A. B. C.3 D. 返回 考试考法 24 8. 若一个一元二次方程的两个根分别是1, ，请写出 一个符合题意的一元二次方程：_____________________________. （答案不唯一） 返回 考试考法 25 9.［教材P47“例2”变式］ 若关于的方程 的一个根 为 ，则该方程的另一个根是______. 返回 考试考法 26 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 x1，x2，那么 应 用 …… 课堂小结 谢谢观看！ $