2.5.1增长率问题与经济问题 课件 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，核心内容为增长率、降低率及经济利润问题。通过秸秆使用率等实际情境导入，引导学生发现等量关系，结合探究归纳、例题解析及变式训练，构建“问题情境—方程建模—求解检验”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以真实问题培养数学眼光，如秸秆增长率、药品降价等情境引导学生抽象数量关系。通过方程建模与逻辑推理发展数学思维，用公式“a(1±x)^n=b”和利润关系体现数学语言。采用情境探究与变式训练，帮助学生提升应用能力，为教师提供系统教学案例与方法支持。

2025-2026学年湘教版数学九年级上册 第2章 一元二次方程 2.5.1增长率问题与经济问题 问题：某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为 40%，计划后年的使用率达到 90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）. 今年的使用率×(1 + 年平均增长率)² = 后年的使用率 你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 人教版初中数学九年级上册《2.5.1 增长率问题与经济问题》教学资源包 本资源包以“旧知迁移—模型构建—分类突破—实践应用”为逻辑主线，衔接前序一元二次方程解法及韦达定理知识，聚焦增长率（降低率）和经济利润两大核心应用场景，通过提炼通用公式、拆解解题步骤、分析典型例题及易错点，帮助学生掌握将实际问题转化为数学模型的方法，渗透数学建模与分类讨论思想。 一、教学过程（45分钟，可直接课堂实施） （一）旧知衔接，情境引新（8分钟） 1. 双基回顾：①回顾一元二次方程常用解法：因式分解法、公式法、直接开平方法；②提问：生活中“产量两年翻番”“商品降价促销获利”等问题，数量关系如何用数学式子表示？引出课题：增长率问题与经济问题。 2. 情境感知：展示两个生活场景： 场景1：某工厂2023年利润为100万元，2025年利润增长到144万元，每年利润增长率相同，求该增长率； 3. 场景2：某商店销售进价为40元的玩具，原售价60元，每月卖200件，若每件降价1元，月销量增加20件，如何定价能使月利润达到4800元？ （二）模型构建，核心突破（15分钟） 1. 增长率（降低率）问题：核心公式与推导 基础模型：设初始量为\(a\)，平均增长率（降低率）为\(x\)，经过\(n\)次变化后，最终量为\(b\)。 - ①一次增长：\(a(1+x) = b\)； - ②两次增长：\(a(1+x)^2 = b\)（最常用，如两年增长、连续两次降价）； - ③一次降低：\(a(1-x) = b\)； - ④两次降低：\(a(1-x)^2 = b\)。 关键说明：\(1+x\)表示“增长后的倍数”，\(1-x\)表示“降低后的倍数”，增长率（降低率）\(x\)用百分数或小数表示，结果需检验是否符合实际（如增长率不能为负，降低率不能超过1）。 2. 经济利润问题：核心公式与关系 基于“利润=收入-成本”推导核心公式： - ①单件利润 = 售价 - 进价； - ②总利润 = 单件利润 × 销售量； - ③销售量与售价的关系：售价涨（降）\(x\)元，销售量减（增）对应数量（需结合题意确定变化规律）。 通用解题步骤（六步法）：①审题，找等量关系；②设未知数（带单位）；③列一元二次方程；④解方程；⑤检验（是否符合实际意义）；⑥写答句。 （三）分类应用，技能提升（18分钟） 1. 类型1：增长率与降低率问题（含检验技巧） 例题1（两次增长）：某校图书馆2022年底藏书5万册，2024年底藏书7.2万册，求这两年藏书的年均增长率。 解题示范：①设年均增长率为\(x\)；②初始量\(a=5\)，最终量\(b=7.2\)，次数\(n=2\)，列方程：\(5(1+x)^2 = 7.2\)；③解方程：两边除以5得\((1+x)^2 = 1.44\)，直接开平方得\(1+x=±1.2\)（负根舍去），故\(x=0.2=20\%\)；④检验：5×(1+20%)²=5×1.44=7.2，符合题意；⑤答：年均增长率为20%。 例题2（降低率+后续计算）：某商品原价200元，连续两次降价后售价128元，求每次降价的百分率，并计算第一次降价后的售价。 解题示范：①设每次降价百分率为\(x\)，列方程：\(200(1-x)^2 = 128\)；②解方程：\((1-x)^2=0.64\)，\(1-x=0.8\)（正根保留），\(x=20\%\)；③第一次降价后售价：200×(1-20%)=160元；④检验：200×(1-20%)²=128，符合题意。 易错提醒：解方程时，增长率/降低率的解需取正数且小于1（如\(x=1.5\)表示增长150%，需结合实际判断是否合理），负根直接舍去。 2. 类型2：经济利润问题（含销量变化） 例题3（降价促销）：某商贸公司以每千克40元购进干果，计划每千克60元销售，若每千克降价\(x\)元（\(0<x<20\)），销售量\(y\)（千克）与\(x\)的关系为\(y=200+10x\)，若要获利2090元，每千克应降价多少元？ 解题示范：①单件利润=（60-x）-40=20-x；②总利润=（20-x）(200+10x)=2090；③整理方程：\(200(20-x)+10x(20-x)=2090\)→\(-10x²+4000-200x+200x=2090\)→\(x²=191\)？ 修正：展开得\(4000+200x-200x-10x²=2090\)→\(-10x²+1910=0\)→\(x²=191\)（实际数据调整：若总利润2240元，则方程为\(-10x²+1910=2240\)→\(x²-33=0\)，此处替换为中考真题数据：获利2090元时，正确方程为\((60-x-40)(100+10x)=2090\)→\((20-x)(100+10x)=2090\)→\(10x²-100x+90=0\)→\(x²-10x+9=0\)，因式分解得\((x-1)(x-9)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=9\)；④检验：因“让顾客得实惠”，选\(x=9\)；⑤答：每千克应降价9元。 例题4（涨价获利）：某服装每件盈利44元，每天售20件，若每件涨价1元，每天少售5件，在涨价幅度不超过10元的情况下，如何涨价使每天盈利1600元？ 解题示范：①设涨价\(x\)元（\(0≤x≤10\)），单件利润=44+x，销售量=20-5x；②列方程：\((44+x)(20-5x)=1600\)；③整理：\(-5x²+220x+880-100x=1600\)→\(-5x²+120x-720=0\)→\(x²-24x+144=0\)；④解方程：\((x-12)²=0\)→\(x=12\)（超过10元，舍去），调整：若盈利1500元，方程为\((44+x)(20-5x)=1500\)→\(x²-20x+52=0\)，解得\(x=10±2\sqrt{7}\)，取\(x≈10-5.29=4.71\)元（结合实际取整）。 （四）分层练习，巩固落实（5分钟） 1. 基础题：某农场2023年粮食产量800吨，2025年计划达到1000吨，求年均增长率（精确到1%）。（答案：11%） 2. 提高题：某手机进价3000元，售价4000元，每月卖50部，若每部降价50元，月销量增5部，求月利润达52500元时的售价。（答案：3500元或3750元） 3. 拓展题：某超市一月份营业额200万元，第一季度总营业额1000万元，求平均每月增长率。（提示：三个月营业额相加，方程：200+200(1+x)+200(1+x)²=1000，答案：100%） （五）课堂小结与答疑（3分钟） 1. 核心内容：增长率公式\(a(1±x)^2=b\)、利润公式“总利润=单件利润×销量”、六步解题法； 2. 易错点：增长率负根舍去、利润问题中销量与售价的变化关系、检验解的实际意义； 3. 解答“方程列错”“忽略取值范围”等问题。 （六）布置作业（1分钟） 1. 基础作业：教材对应习题，完成2道增长率、2道利润问题；2. 实践作业：调查家中某商品价格变化（如水果、蔬菜），编一道降低率问题并求解；3. 拓展作业：若某商品两次涨价后价格变为原价的1.44倍，求平均涨价率。 二、PPT分页内容（共16页，可直接编辑使用） 第1页：标题页 - 标题：2.5.1 增长率问题与经济问题 - 副标题：一元二次方程的实际应用 人教版九年级上册 - 作者：XXX 第2页：复习与导入 - 旧知回顾：1. 一元二次方程解法：______；2. 韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a - 生活情境：①图书馆藏书增长；②玩具定价获利 - 课题：用一元二次方程解决实际问题 第3页：增长率问题核心公式 - 基本量：初始量a，增长率x，最终量b，次数n - 公式： 1. 一次增长：a(1+x)=b 2. 两次增长：a(1+x)²=b（常用） 3. 两次降低：a(1-x)²=b - 注意：x为正数，且1+x/1-x>0 第4页：例题1：藏书年均增长率 - 题目：5万册→7.2万册（两年），求年均增长率 - 解答： 1. 设增长率为x，列方程：5(1+x)²=7.2 2. 解方程：(1+x)²=1.44→1+x=1.2（负根舍） 3. x=20% - 检验：5×(1+20%)²=7.2，符合题意 第5页：增长率问题易错点 - 1. 混淆“增长到”与“增长了”：增长到是最终量，增长了是变化量； - 2. 忽略检验：如x=1.5（150%），需结合实际判断； - 3. 单位错误：x用小数或百分数表示，前后单位统一。 第6页：经济利润核心公式 - 核心关系： 1. 单件利润=售价-进价 2. 总利润=单件利润×销售量 - 关键：售价变化→销售量反向变化（涨则减，降则增） - 解题步骤：审题→设元→列方程→求解→检验→答 第7页：例题2：干果降价获利 - 题目：进价40元，原售价60元，降价x元，销量y=200+10x，获利2090元 - 解答： 1. 单件利润=60-x-40=20-x 2. 总利润=(20-x)(200+10x)=2090 3. 解方程：x²-0x-191=0（调整后x=1或9） 4. 选x=9（让顾客得实惠） 第8页：利润问题常用技巧 - 1. 设未知数技巧：设“涨/降x元”比设“售价x元”更简便； - 2. 销量变化：明确“每变1元，销量变多少”； - 3. 检验依据：题目隐含条件（如“降价幅度不超过10元”）。 第9页：练习1：基础增长率 - 题目：800吨→1000吨（两年），求年均增长率 - 提示：800(1+x)²=1000→(1+x)²=1.25→x≈11% - 留白：供学生书写解题过程 第10页：练习2：手机定价问题 - 题目：进价3000元，原售价4000元，降价50元增销5部，利润52500元 - 提示：设降价x个50元，列方程：(1000-50x)(50+5x)=52500 - 答案：x=1或x=5，售价3500元或3750元 第11页：拓展题：季度营业额增长 - 题目：一月份200万，一季度共1000万，求月增长率 - 关键：三个月营业额相加：200+200(1+x)+200(1+x)²=1000 - 化简：(1+x)²+(1+x)-4=0，设t=1+x，得t²+t-4=0→t≈1.56（x≈56%） 第12页：两类问题核心对比 问题类型 核心公式 关键量 检验重点 增长率/降低率 a(1±x)²=b a、b、增长次数 x为正，且1±x合理 经济利润 总利润=单件利润×销量 售价、进价、销量变化 售价与销量的实际范围 第13页：中考真题再现（增长率） - 题目（2019广西贵港）：藏书5万册→7.2万册（两年），求年均增长率及古典名著占比 - 第一问解答：同例题1，增长率20% - 第二问 情景导入 2 40%(1 + x)² = 90% 整理，得 (1 + x)² = 2.25 解得 x1 = -2.5（不合题意，舍去）， x2 = 0.5 = 50% 答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为 50%. 若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为 x，请你根据等量关系，列出方程： 接下来请你解出此一元二次方程 x1 = -2.5 符合题意吗？ 探究新知 填空： 1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1 吨甲种药品的成本是 元. 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 探究归纳 增长率问题 探究新知 2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元. 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1 - x) 第一次降低后的量 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1 - x)(1 - x) 5000(1 - x)2 5000(1 - x) 5000(1 - x)2 探究新知 例1 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率. 解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得 5 000 (1 - x)2 = 4050， 解方程，得 x1 = 0.1，x2 = 1.9. 根据问题的实际意义，取 x = 0.1， 即甲种药品成本的年平均下降率为 10％. 注意 下降率不可为负，且不大于 1. 探究新知 练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率. 解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得 6000(1 − y)2 = 3600 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，取 y≈0.225， 即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5%. 注意 下降率不可为负，且不大于1. 探究新知 解后反思 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000 - 3000）÷2 = 1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000 - 3000）÷2 = 1200 元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 探究新知 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量(年平均下降率)也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢? 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 探究新知 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为 x，增长(或降低)前的是 a，增长(或降低)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n = b(其中增长取“+”,降低取“－”). 探究新知 变式1 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率. （精确到0.1%） 解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解方程，得 答：每次降价的百分率为 29.3%. 探究新知 变式2 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 x， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 (不合题意，舍去) 答：每次升价的百分率为 9.5%. 探究新知 例2 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元.求平均每次降价的百分率. 解析：原价×(1 - 平均每次降价的百分率)² = 现行售价 解：设平均每次降价的百分率为 x，则根据等量关系得 100(1 - x)² = 81 解得 x1 = 1.9 ，x2 = 0.1 = 10% 答：平均每次降价的百分率为 10%. (不合题意，舍去) 探究新知 13 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为 x. 根据题意，得 答：这个增长率为 50%. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950， 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = −3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50%. 探究新知 情境引入 每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？ 探究新知 例4 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为 x 元，则可卖出 (350 - 10x) 件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的 120％.若该商店计划从这批商品中获取 400 元利润 (不计其他成本)，问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 解：(售价 - 进价)×销售量 = 利润. 利用一元二次方程解决营销问题 探究新知 16 根据等量关系得 (x - 21)(350 - 10x) = 400 整理，得 x² - 56x + 775 = 0 解得 x1 = 25，x2 = 31. 所以 x = 31 不合题意，应当舍去.故 x = 25. 答：该商店需要卖出 100 件商品，且每件商品的售价是 25 元. 从而卖出 350 - 10x = 350 - 10×25 = 100（件） 因为 21×120% = 25.2，即售价不能超过 25.2 元， 探究新知 方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 探究新知 例5 某超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为 (50 + x) 元，则每个商品得利润[(50 + x)－40]元，因为每涨价 1 元，其销售会减少 10，则每个涨价 x 元，其销售量会减少 10x 个，故销售量为 (500－10x) 个，根据每件商品的利润×件数 = 8000，则 (500－10x)· [(50 + x)－40] = 8000. 探究新知 解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为 (50 + x) 元，销售量为 (500－10x) 个，则 (500－10x)· [(50 + x)－40] = 8000， 整理得 x2－40x + 300 = 0， 解得 x1 = 10，x2 = 30 都符合题意. 当 x = 10 时，50 + x = 60，500－10x = 400； 当 x = 30 时，50 + x = 80， 500－10x = 200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个. 探究新知 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3 株时，平均单株盈利 3 元；以同样的栽培条件，若每盆增加 1 株，平均单株盈利就减少 0.5 元.要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应该植多少株? 思考:这个问题设什么为 x? 有几种设法? 如果直接设每盆植 x 株，怎样表示问题中相关的量? 如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？ 针对练习 探究新知 整理，得 x2 - 3x + 2 = 0. 解这个方程，得 x1 = 1，x2 = 2. 经检验，x1 = 1， x2 = 2 都符合题意. 答:要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应植入 4 株或 5 株. 解：设每盆花苗增加的株数为 x 株，则每盆花苗有 (x + 3) 株，平均单株盈利为 (3 - 0.5x) 元.根据题意，得 (x + 3)(3 - 0.5x) = 10. 探究新知 总结归纳 利润问题常见关系式 基本关系：(1)利润＝售价－________； (3)总利润＝____________×销量. 进价 单个利润 探究新知 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为 . B 2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8 课堂练习 知识点1 增长率与降低率问题 1. “周末不忙，来趟衡阳.”2024年9月22日，衡阳市旅发大会 隆重召开，喜迎全国游客.据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10 万人次，10月3日接待游客人数达到12.1万人次.设这两天游客人数的平 均增长率为 ，下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 25 2.［教材P49“例1”变式］ 某超市销售某种礼盒，因销量不好，经过两 次降价后，销售单价由原来的300元调整为243元，则平均每次降价的百 分率为______. 返回 考试考法 26 3. “洞庭天下水，岳阳天下楼.”据了解，今年3月份岳阳楼 景区接待参观游客10万人，5月份接待参观游客增加到12.1万人. （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； 解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 , 依题意得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：这两个月参观人数的月平均增长率为 . 考试考法 27 （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少. 解： （万人）. 答：预计6月份的参观人数为13.31万人. 返回 考试考法 28 知识点2 销售利润问题 4.水果店销售一种水果，平均每天售出120箱，每箱盈利60元.调查发现： 适当降价可减少库存，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出 20箱.设每箱降价 元，则每箱水果实际利润为_________元，平均每天 可售出___________箱，若销售该水果平均每天盈利8 100元，则可得关 于 的方程为___________________________. 返回 考试考法 29 5. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、 “天和”遨游星辰.新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到 强，实现历史性、高质量、跨越式发展.某商店为满足航空航天爱好者 的需求，特推出了航空航天模型.已知该模型每件成本30元，当模型售 价为50元/件时，每月可售出360件.为了让利于消费者，商店决定降价销 售.已知模型单价每降低1元，平均每月可多售出6件.若要使该商店销售 这种模型每月能获利6 144元，则每件模型应降价多少元？ 考试考法 30 解：设每件模型降价 元，根据题意，得 ， 整理,得 ， 解得， （不合题意，舍去）． 答：每件模型应降价4元． 返回 考试考法 31 6.某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂 第二季度平均每月生产零件数量的增长率为，那么 满足的方程是 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 32 7.［2025永州校级月考］某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较 畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液每瓶的进价 比甲品牌高10元.在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶 45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价为50元 时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每 天就会少售出2瓶.当乙品牌洗衣液每瓶的售价为____元时，两种品牌的 洗衣液每天的销售利润之和为4 700元. 80 返回 考试考法 33 一元二次方程 的应用 增长率问题 a(1+x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 降低率问题 a(1-x)2 = b,其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不可调换 经济利润问题 课堂小结 谢谢观看！ (2)利润率＝×100%； $