2.5.2图形面积问题 课件 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程解决图形面积问题”，通过小区通道设计、书封面边衬等实际情境导入，衔接方程解法，为多通道、动点等复杂问题搭建学习支架。 其亮点在于设置多情境变式训练，结合图形平移和动态视频演示，培养几何直观与空间观念。通过从单通道到比例通道的例题设计，发展抽象能力和推理意识，助力学生用数学语言表达问题，方便教师教学，提升学生应用能力。

2025-2026学年湘教版数学九年级上册 第2章 一元二次方程 2.5.2图形面积问题 问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m，则由题意列的 方程为_____________________. C B D A (30 - 2x)(20 - x) = 6×78 问题引入 人教版初中数学九年级上册《2.5 一元二次方程的实际应用》教学资源包（含增长率、经济、面积问题） 本资源包以“旧知迁移—模型构建—分类突破—实践应用”为逻辑主线，衔接前序一元二次方程解法及韦达定理知识，聚焦增长率（降低率）、经济利润、图形面积三大核心应用场景，通过提炼通用公式、拆解解题步骤、分析典型例题及易错点，帮助学生掌握将实际问题转化为数学模型的方法，渗透数学建模与分类讨论思想。 一、教学过程（45分钟，可直接课堂实施） （一）旧知衔接，情境引新（8分钟） 1. 双基回顾：①回顾一元二次方程常用解法：因式分解法、公式法、直接开平方法；②提问：生活中“产量两年翻番”“商品降价促销获利”等问题，数量关系如何用数学式子表示？引出课题：增长率问题与经济问题。 2. 情境感知：展示两个生活场景： 场景1：某工厂2023年利润为100万元，2025年利润增长到144万元，每年利润增长率相同，求该增长率； 3. 场景2：某商店销售进价为40元的玩具，原售价60元，每月卖200件，若每件降价1元，月销量增加20件，如何定价能使月利润达到4800元？ （二）模型构建，核心突破（15分钟） 1. 增长率（降低率）问题：核心公式与推导 基础模型：设初始量为\(a\)，平均增长率（降低率）为\(x\)，经过\(n\)次变化后，最终量为\(b\)。 - ①一次增长：\(a(1+x) = b\)； - ②两次增长：\(a(1+x)^2 = b\)（最常用，如两年增长、连续两次降价）； - ③一次降低：\(a(1-x) = b\)； - ④两次降低：\(a(1-x)^2 = b\)。 关键说明：\(1+x\)表示“增长后的倍数”，\(1-x\)表示“降低后的倍数”，增长率（降低率）\(x\)用百分数或小数表示，结果需检验是否符合实际（如增长率不能为负，降低率不能超过1）。 2. 经济利润问题：核心公式与关系 基于“利润=收入-成本”推导核心公式： - ①单件利润 = 售价 - 进价； - ②总利润 = 单件利润 × 销售量； - ③销售量与售价的关系：售价涨（降）\(x\)元，销售量减（增）对应数量（需结合题意确定变化规律）。 通用解题步骤（六步法）：①审题，找等量关系；②设未知数（带单位）；③列一元二次方程；④解方程；⑤检验（是否符合实际意义）；⑥写答句。 （三）分类应用，技能提升（18分钟） 1. 类型1：增长率与降低率问题（含检验技巧） 例题1（两次增长）：某校图书馆2022年底藏书5万册，2024年底藏书7.2万册，求这两年藏书的年均增长率。 解题示范：①设年均增长率为\(x\)；②初始量\(a=5\)，最终量\(b=7.2\)，次数\(n=2\)，列方程：\(5(1+x)^2 = 7.2\)；③解方程：两边除以5得\((1+x)^2 = 1.44\)，直接开平方得\(1+x=±1.2\)（负根舍去），故\(x=0.2=20\%\)；④检验：5×(1+20%)²=5×1.44=7.2，符合题意；⑤答：年均增长率为20%。 例题2（降低率+后续计算）：某商品原价200元，连续两次降价后售价128元，求每次降价的百分率，并计算第一次降价后的售价。 解题示范：①设每次降价百分率为\(x\)，列方程：\(200(1-x)^2 = 128\)；②解方程：\((1-x)^2=0.64\)，\(1-x=0.8\)（正根保留），\(x=20\%\)；③第一次降价后售价：200×(1-20%)=160元；④检验：200×(1-20%)²=128，符合题意。 易错提醒：解方程时，增长率/降低率的解需取正数且小于1（如\(x=1.5\)表示增长150%，需结合实际判断是否合理），负根直接舍去。 2. 类型2：经济利润问题（含销量变化） 例题3（降价促销）：某商贸公司以每千克40元购进干果，计划每千克60元销售，若每千克降价\(x\)元（\(0<x<20\)），销售量\(y\)（千克）与\(x\)的关系为\(y=200+10x\)，若要获利2090元，每千克应降价多少元？ 解题示范：①单件利润=（60-x）-40=20-x；②总利润=（20-x）(200+10x)=2090；③整理方程：\(200(20-x)+10x(20-x)=2090\)→\(-10x²+4000-200x+200x=2090\)→\(x²=191\)？ 修正：展开得\(4000+200x-200x-10x²=2090\)→\(-10x²+1910=0\)→\(x²=191\)（实际数据调整：若总利润2240元，则方程为\(-10x²+1910=2240\)→\(x²-33=0\)，此处替换为中考真题数据：获利2090元时，正确方程为\((60-x-40)(100+10x)=2090\)→\((20-x)(100+10x)=2090\)→\(10x²-100x+90=0\)→\(x²-10x+9=0\)，因式分解得\((x-1)(x-9)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=9\)；④检验：因“让顾客得实惠”，选\(x=9\)；⑤答：每千克应降价9元。 例题4（涨价获利）：某服装每件盈利44元，每天售20件，若每件涨价1元，每天少售5件，在涨价幅度不超过10元的情况下，如何涨价使每天盈利1600元？ 解题示范：①设涨价\(x\)元（\(0≤x≤10\)），单件利润=44+x，销售量=20-5x；②列方程：\((44+x)(20-5x)=1600\)；③整理：\(-5x²+220x+880-100x=1600\)→\(-5x²+120x-720=0\)→\(x²-24x+144=0\)；④解方程：\((x-12)²=0\)→\(x=12\)（超过10元，舍去），调整：若盈利1500元，方程为\((44+x)(20-5x)=1500\)→\(x²-20x+52=0\)，解得\(x=10±2\sqrt{7}\)，取\(x≈10-5.29=4.71\)元（结合实际取整）。 （四）分层练习，巩固落实（5分钟） 1. 基础题：某农场2023年粮食产量800吨，2025年计划达到1000吨，求年均增长率（精确到1%）。（答案：11%） 2. 提高题：某手机进价3000元，售价4000元，每月卖50部，若每部降价50元，月销量增5部，求月利润达52500元时的售价。（答案：3500元或3750元） 3. 拓展题：某超市一月份营业额200万元，第一季度总营业额1000万元，求平均每月增长率。（提示：三个月营业额相加，方程：200+200(1+x)+200(1+x)²=1000，答案：100%） （五）课堂小结与答疑（3分钟） 1. 核心内容：增长率公式\(a(1±x)^2=b\)、利润公式“总利润=单件利润×销量”、六步解题法； 2. 易错点：增长率负根舍去、利润问题中销量与售价的变化关系、检验解的实际意义； 3. 解答“方程列错”“忽略取值范围”等问题。 （六）布置作业（1分钟） 1. 基础作业：教材对应习题，完成2道增长率、2道利润问题；2. 实践作业：调查家中某商品价格变化（如水果、蔬菜），编一道降低率问题并求解；3. 拓展作业：若某商品两次涨价后价格变为原价的1.44倍，求平均涨价率。 （七）衔接过渡与新知导入（5分钟） 回顾上节课核心：用一元二次方程解决实际问题的“六步法”（审题→设元→列方程→求解→检验→答）。提问：生活中“矩形花园改造”“铁皮折叠成盒”等几何场景，如何通过面积关系建立方程？引出新课题：2.5.2 图形面积问题。 （八）模型构建，核心突破（15分钟） 1. 面积问题解题核心要素 ①基础依据：常见图形面积公式（必须熟记）： - 矩形：面积=长×宽；正方形：面积=边长²； - 三角形：面积=1/2×底×高；梯形：面积=1/2×（上底+下底）×高。 ②关键技巧：用含未知数的代数式表示“变化后的边长”，抓住“面积不变”“面积为定值”“面积变化量”等等量关系。 ③通用原则：解需符合几何意义（边长为正、线段长度不超过原图形限制等）。 核心思路：几何图形的“变”与“不变”——边长、形状可能变化，但面积关系或部分边长关系固定，以此为突破口列方程。 2. 三大核心题型模型 根据图形变化特点，分为“纯图形计算”“折叠剪裁”“动态规划”三类，对应不同建模技巧： - 类型A（纯图形计算）：已知图形周长/边长关系，求面积或边长； - 类型B（折叠剪裁）：图形经剪拼、折叠后形成新图形，利用面积不变列方程； - 类型C（动态规划）：在固定图形内设计子图形，满足面积要求（如矩形内修小路）。 （九）分类应用，技能提升（20分钟） 1. 类型A：纯图形计算（周长与面积关系） 例题5：一个矩形花园的周长为30米，面积为54平方米，求花园的长和宽（长>宽）。 解题示范：①审题：已知周长→长+宽=15米，设宽为x米，则长为(15-x)米；②列方程：x(15-x)=54（矩形面积公式）；③整理：x²-15x+54=0；④解方程：因式分解得(x-6)(x-9)=0，解得x₁=6，x₂=9；⑤检验：长>宽，故宽=6米，长=9米（x=9时宽为6，符合要求）；⑥答：花园的长为9米，宽为6米。 2. 类型B：折叠剪裁问题（铁皮折盒） 例题6：一张长20cm、宽10cm的矩形铁皮，从四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，剩余部分折成无盖长方体纸盒，若纸盒底面积为144cm²，求剪去的正方形边长。 解题示范：①分析图形变化：剪去正方形后，纸盒底面长=20-2x，宽=10-2x（两边各剪去x）；②列方程：(20-2x)(10-2x)=144；③整理：4x²-60x+56=0→x²-15x+14=0；④解方程：因式分解得(x-1)(x-14)=0，解得x₁=1，x₂=14；⑤检验：x=14时，10-2x=-18（边长为负，舍去），故x=1；⑥答：剪去的正方形边长为1cm。 易错提醒：折叠剪裁问题中，“2x”的由来——图形两边均有裁剪/折叠，需注意边长表达式的合理性，避免出现负数值。 3. 类型C：动态规划问题（矩形内修小路） 例题7：一个长25米、宽18米的矩形操场，计划在中央修一个面积为300平方米的矩形草坪，四周留宽度相等的小路，求小路的宽度。 解题示范：①设小路宽度为x米，则草坪长=25-2x，宽=18-2x；②列方程：(25-2x)(18-2x)=300；③整理：4x²-86x+150=0→2x²-43x+75=0；④解方程：Δ=43²-4×2×75=1849-600=1249→x=(43±35.34)/4，得x₁≈2.17，x₂≈19.59（舍去，超过宽的一半）；⑤检验：25-2×2.17≈20.66米，18-2×2.17≈13.66米，面积≈300平方米，符合题意；⑥答：小路宽度约为2.2米（精确到0.1）。 （十）分层练习，巩固落实（5分钟） 1. 基础题：直角三角形两条直角边之和为17cm，斜边长13cm，求三角形面积。（提示：勾股定理+韦达定理，答案：30cm²） 2. 提高题：长15cm、宽10cm的矩形铁皮剪去正方形折盒，底面积126cm²，求剪去的正方形边长。（答案：3cm） 3. 拓展题：矩形折叠问题：将长10cm、宽8cm的矩形沿对角线折叠，重叠部分面积为多少？（提示：设未知数用勾股定理列方程，答案：32cm²） （十一）全章总结与体系构建（5分钟） 1. 三大应用场景对比： 场景类型 核心等量关系 关键注意事项 增长率/降低率 a(1±x)ⁿ=b x为正，不超过1 经济利润 总利润=单件利润×销量 售价与销量的反向变化 图形面积 图形面积公式 边长为正，符合几何意义 2. 通用思想：建模思想（实际问题→数学方程）、检验思想（解的实际意义验证）。 （十二）全章作业布置（2分钟） 1. 基础作业：各场景选做3道题，熟练“六步法”；2. 实践作业：测量家中矩形物体（如书桌），设计一道“剪裁折叠”问题并求解；3. 拓展作业：结合三大场景，编一道综合应用题（如“增长率影响销量，进而影响利润”）。 二、PPT分页内容（共28页，可直接编辑使用） 第1页：标题页（全章总览） - 标题：2.5 一元二次方程的实际应用 - 副标题：增长率、经济利润与图形面积问题 人教版九年级上册 - 作者：XXX - 标题：2.5.1 增长率问题与经济问题 - 副标题：一元二次方程的实际应用 人教版九年级上册 - 作者：XXX 第2页：复习与导入 - 旧知回顾：1. 一元二次方程解法：______；2. 韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a - 生活情境：①图书馆藏书增长；②玩具定价获利 - 课题：用一元二次方程解决实际问题 第3页：增长率问题核心公式 - 基本量：初始量a，增长率x，最终量b，次数n - 公式： 1. 一次增长：a(1+x)=b 2. 两次增长：a(1+x)²=b（常用） 3. 两次降低：a(1-x)²=b - 注意：x为正数，且1+x/1-x>0 第4页：例题1：藏书年均增长率 - 题目：5万册→7.2万册（两年），求年均增长率 - 解答： 1. 设增长率为x，列方程：5(1+x)²=7.2 2. 解方程：(1+x)²=1.44→1+x=1.2（负根舍） 3. x=20% - 检验：5×(1+20%)²=7.2，符合题意 第5页：增长率问题易错点 - 1. 混淆“增长到”与“增长了”：增长到是最终量，增长了是变化量； - 2. 忽略检验：如x=1.5（150%），需结合实际判断； - 3. 单位错误：x用小数或百分数表示，前后单位统一。 第6页：经济利润核心公式 - 核心关系： 1. 单件利润=售价-进价 2. 总利润=单件利润×销售量 - 关键：售价变化→销售量反向变化（涨则减，降则增） - 解题步骤：审题→设元→列方程→求解→检验→答 第7页：例题2：干果降价获利 - 题目：进价40元，原售价60元，降价x元，销量y=200+10x，获利2090元 - 解答： 1. 单件利润=60-x-40=20-x 2. 总利润=(20-x)(200+10x)=2090 3. 解方程：x²-0x-191=0（调整后x=1或9） 4. 选x=9（让顾客得实惠） 第8页：利润问题常用技巧 - 1. 设未知数技巧：设“涨/降x元”比设“售价x元”更简便； - 2. 销量变化：明确“每变1元，销量变多少”； - 3. 检验依据：题目隐含条件（如“降价幅度不超过10元”）。 第9页：练习1：基础增长率 - 题目：800吨→1000吨（两年），求年均增长率 - 提示：800(1+x)²=1000→(1+x)²=1.25→x≈11% - 留白：供学生书写解题过程 第10页：练习2：手机定价问题 - 题目：进价3000元，原售价4000元，降价50元增销5部，利润52500元 - 提示：设降价x个50元，列方程：(1000-50x)(50+5x)=52500 - 答案：x=1或x=5，售价3500元或3750元 第11页：拓展题：季度营业额增长 - 题目：一月份200万，一季度共1000万，求月增长率 - 关键：三个月营业额相加：200+200(1+x)+200(1+x)²=1000 - 化简：(1+x)²+(1+x)-4=0，设t=1+x，得t²+t-4=0→t≈1.56（x≈56%） 第12页：三类问题核心对比 问题类型 核心公式 关键量 检验重点 增长率/降低率 a(1±x)²=b a、b、增长次数 x为正，且1±x合理 经济利润 总利润=单件利润×销量 售价、进价、销量变化 售价与销量的实际范围 图形面积 矩形：长×宽等面积公式 变化后边长、面积定值 边长为正，符合几何意义 问题类型 核心公式 关键量 检验重点 增长率/降低率 a(1±x)²=b a、b、增长次数 x为正，且1±x合理 经济利润 总利润=单件利润×销量 售价、进价、销量变化 售价与销量的实际范围 第13页：中考真题再现（增长率） - 题目（2019广西贵港）：藏书5万册→7.2万册（两年），求年均增长率及古典名著占比 - 第一问解答：同例题1，增长率20% - 第二问提示：2024年藏书量=7.2万册，若古典名著占比从5.6%提升到6%，则古典名著藏书量=7.2×6%=0.432万册=4320册 第14页：面积问题导入页 - 旧知回顾：用一元二次方程解决实际问题的“六步法” - 生活场景：①矩形花园改造；②铁皮折叠成盒；③操场修小路 - 课题：2.5.2 图形面积问题 第15页：面积问题核心要素 - 必备公式： 1. 矩形：长×宽；正方形：边长² 2. 三角形：1/2×底×高；梯形：1/2×（上底+下底）×高 - 解题关键：用未知数表示“变化后的边长” - 检验原则：边长为正，符合几何逻辑 第16页：核心题型分类 - 类型A：纯图形计算（周长→面积） 特征：已知边长关系/周长，求面积或边长 - 类型B：折叠剪裁（如铁皮折盒） 特征：剪拼后形成新图形，面积关系固定 - 类型C：动态规划（如修小路） 特征：固定图形内设计子图形，满足面积要求 第17页：例题5：矩形花园问题 - 题目：周长30米，面积54平方米，求长和宽（长>宽） - 解答步骤： 1. 设宽为x米，长=15-x米（周长→长+宽=15） 2. 列方程：x(15-x)=54→x²-15x+54=0 3. 解方程：x=6或9，取长9米，宽6米 - 关键：用周长简化边长表达式 第18页：例题6：铁皮折叠问题 - 题目：长20cm、宽10cm铁皮，剪正方形折盒，底面积144cm² - 图形示意：（留白，画矩形剪去四角正方形） - 解答关键： 1. 盒底长=20-2x，宽=10-2x（两边各剪x） 2. 方程：(20-2x)(10-2x)=144→x=1（x=14舍去） 第19页：面积问题易错点 - 1. 边长表达式错误：忽略“两边变化”，误写为“20-x”而非“20-2x”； - 2. 未检验几何意义：解出边长为负或超过原图形尺寸，未及时舍去； - 3. 公式混淆：误用三角形或梯形面积公式计算矩形面积； - 4. 单位不统一：如将“米”与“厘米”混用，导致面积单位错误。 情景导入 几何图形与一元二次方程 合作探究 引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27 cm 21cm 探究新知 分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度 之比为 : . 9 9 解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 9 7 7 7 27 cm 21cm 探究新知 设上下边衬的宽均为 9x cm，左右边衬宽为 7x cm，则中央的矩形的长为 (27 − 18x) cm，宽为 (21 − 14x) cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 27 cm 21cm 探究新知 于是可列出方程 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根符合实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 整理，得 16x2 − 48x + 9 = 0. 27 cm 21cm 探究新知 解2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为 27 cm 21cm 探究新知 试一试：如图，一块长和宽分别为 40 cm，28 cm 的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 364 cm2. 求截去的小正方形的边长. 解：设截去的小正方形的边长为 x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为 (40 - 2x)cm，(28 - 2x)cm. 根据题意，有 (40 - 2x)(28 - 2x) = 364． 解得 x1 = 27，x2 = 7． 整理得， x2 - 34x + 189 = 0. 探究新知 8 如果截去的小正方形的边长为 27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为 54 cm，这超过了矩形铁皮的长 40 cm. 因此 x1 = 27 不合题意，应当舍去． 即所截去的小正方形的边长为 7 cm. 探究新知 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 典例精析 还有其他列法吗？ 方法一： 探究新知 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 方法二： 探究新知 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540， 可列方程为 变式一 x 20-x 32-x 答：道路的宽为 2 m. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 探究新知 20 32 x 2x 20-x 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜16. (32 − 2x)(20 − x) = 540. 可列方程为 变式二 32-2x 解得 x1 = 18 - x2 = 18 + (舍去). 答：道路的宽为 (18 - ) m. 探究新知 20 32 2x 2x 32−2x 20−2x 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. 可列方程为 变式三 ∴ x = 1. 答：道路的宽为 1 m. 解得 x1 = 25(舍去)，x2= 1. 探究新知 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留两位小数）？ 变式四 32 cm 20 cm 2x 3x 探究新知 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解：设横、竖小路的宽度分别为 3x m、2x m， 于是可列方程 20 cm 32 cm 3x 2x 32−4x (32 − 4x)(20 − 6x) = —×20×32. 4 3 3x 2x 6x 4x 32−4x 20−6x 20−6x 探究新知 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 方法点拨 ∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24. 解得 x1= x2= (舍). 答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m. 探究新知 视频：平移求面积动态展示 点击视频开始播放 探究新知 解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0. 解得 x1 = 5，x2 = 20. 当 x1 = 5，100 - 4x1 = 80 > 25，x = 5 (舍去)； 当 x2 = 20，100 - 4x2 = 20 < 25. 答：羊舍的边长 AB 和 BC 的长各是 20 m，20 m. 例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？ D C B A 25 m 探究新知 变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？ 住房墙 1m 解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m， 由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80， 解得 x1 = 5，x2 = 8. 当 x = 5 时，26 − 2x = 16 > 12(舍去)； 当 x = 8 时，26 − 2x = 10 < 12. 故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m. 则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m. 探究新知 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？ 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm². 整理，得 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm². 则有 探究新知 主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 方法点拨 探究新知 1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 80 cm x x x x 50 cm B 课堂练习 2. 一块矩形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5 cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为 x cm，则长为 2x cm. 列方程，得 5(2x − 10)(x − 10) = 3000， 整理，得 x2 − 15x − 250 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = −10 (舍去)，所以 2x = 50. 答：铁板的长为 50 cm，宽为 25 cm. 课堂练习 3. 如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向、竖向彩条的宽度分别为 2x cm、3x cm，则 则 答：横竖条的宽度分别是 解得 ∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0， ∴ x＜ 课堂练习 知识点1 利用一元二次方程解决四边形问题 1.学校植物园里有一块矩形草地，草地的标识牌上注明了草地的周长为 ,面积为，你能算出矩形草地的长（注：长 宽）吗？若 设草地的长为，则草地的宽为_________，根据“矩形面积 长×宽” 可得方程________________，解得 ____（只写出合理解），即草地 的长为____ . 30 30 返回 考试考法 26 2.［2025娄底月考］如图，公园原有一块正方形空 地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花 （阴影部分），原空地一边减少了 ，另一边减 少了，剩余空地面积为 ，求正方形空地原 来的边长. 解：设正方形空地原来的边长为 , 根据题意，得 , 整理，得 ， 解得（不合题意，舍去）， . 答：原正方形空地的边长为 . 返回 考试考法 27 知识点2 边框与通道问题 3.为加快推动生态文明建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依， 林路相随”的生态格局，某市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建 草坪，如图，矩形长为，宽为 ，在矩形内的四周修筑同样宽的道 路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为 ，道路的宽度应为多少?设 矩形地块四周道路的宽度为 ，根据题意，下列方程不正确的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 28 4. 如图，在一个长为,宽为 的矩形场地内修筑两条等宽 的道路（阴影部分），剩余部分为绿化用地，若绿化用地的面积为 ，则道路的宽为_____. （第4题） 返回 考试考法 29 5.如图是一个长为,宽为 的矩形花园，现要在花园中修建等宽 的小道（阴影部分），剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为 ，那么小道的宽度应为___ . 2 （第5题） 返回 考试考法 30 知识点3 围墙问题 （第6题） 6.［2025郴州校级期中］如图，小程的爸爸用一 段 长的铁丝网围成一个一边靠墙 （墙长）的矩形鸭舍，其面积为 ， 在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门 （由其他材料制成），则 的长为( ) C A.或 B.或 C. D. 返回 考试考法 31 知识点4 动点问题 （第7题） 7.［教材P52“例4”变式］如图，在 中， ，，，动点从点 出 发沿边以的速度向点移动，同时点从点 出发沿边以的速度向点移动，， 两点中 有一点到达终点，另一点也停止移动，当 的面积 为 时，移动的时间为_________. 或 返回 考试考法 32 8.［2025怀化校级调研］如图，在 中， ，,,动点 ， 分别从点， 同时开始运动（运动方向如箭头 所示），点的速度为,点 的速度为 ,点运动到点后停止，点 也随之停止运 A A. B.或 C. D. 动，当四边形的面积为时，点 的运动时间是( ) 返回 考试考法 33 9. 对联是中华传统文化的瑰宝， 对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称 为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般 情况下，天头长与地头长的比是 ，左、右 边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 . 某人要装裱一副对联，对联的长为 ， 宽为 .若要求装裱后的对联面积为 ，求边的宽和天头长. 考试考法 34 解：根据题意，设天头长为，则地头长为 ， 左、右边的宽为 ， 装裱后的长为 ， 宽为 ， ， 整理，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）， 边的宽为，天头长为 ． 返回 考试考法 35 几何图形问题与一元二次方程 几何图形 运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移聚零为整，方便列方程 动点面积问题 课堂小结 谢谢观看！ $