2.5 直线与圆的位置关系 核心素养测评卷 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

2.5 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．圆的直径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 2．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．圆内接四边形对角互补 3．如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大交于点A，B，若，则直线l与小的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 4．下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 5．正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（　　） A．1：2 B．1： C． ：1 D．2：1 6．已知⊙O的半径为3 cm，点P是直线上一点，OP长为5 cm，则直线与⊙O的位置关系为(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交、相切、相离都有可能 7．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为(   ) A． B． C． D． 8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为(　 　) A．65° B．130° C．50° D．100° 二、填空题 9．如图，是的内切圆，，若，则的半径为 ． 10．如图，、分别切圆于、，并与圆的切线，分别相交于、，已知，则的周长等于 ．    11．如图，与相切于点B，的延长线交于点C．若，则∠C= ． 12．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，单位长1为半径的圆与直线相切于点M，直线与y轴交于点N，当取得最小值时，k的值为 ． 13．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是 ．    14．在半径为1的⊙O中，两条弦AB、AC的长分别为，则由两条弦AB与AC所夹的锐角的度数为 ． 三、解答题 15．如图，以的边的长为直径作，交于点D，若，求证：是的切线． 16．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线． 17．如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB． （1）求圆心C到直线AB的距离； （2）求△PAB面积的最大值． 18．如图，⊙O的半径为4，B为⊙O外一点，连结OB，且OB＝6.过点B作⊙O的切线BD，切点为点D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为点C． (1)求证：AD平分∠BAC； (2)求AC的长． 19．已知：如图，是的直径，点为圆上两点，且，于点，的延长线于点． （1）试说明：； （2）若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是解题的关键．比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：∵圆的直径是， ∴半径为． ∵圆心与直线上某一点的距离是， ∴圆心到直线的距离小于半径， ∴因此直线与圆相交． 故选C． 2．D 【分析】本题考查切线的判定，圆的相关概念，根据有关概念性质和性质进行判定即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误，不符合题意； B、不在同一直线上得三点确定一个圆，故错误，不符合题意； C、经过半径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线，故错误，不符合题意； D、圆内接四边形对角互补，是圆内接四边形的性质，故正确，符合题意； 故选：D． 3．C 【分析】如图，作于．解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于． ， ， 在中，， ， 直线与相离． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识． 4．C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 5．D 【分析】画出图形，利用等边三角形的性质及角的直角三角形的性质即可得到结果． 【详解】如图， △ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心． ∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°， ∴BO=2OD，而OA=OB， ∴OA：OD=2：1． 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含角直角三角形的性质，熟悉等边三角形的性质及三角形的内心、外心是关键． 6．D 【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系： 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5. 此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能. 故答案为相切，相交或相离. 【点睛】考查直线和圆的位置关系，需要求出圆心到直线的距离，与半径进行比较即可得出结论. 7．D 【分析】先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可． 【详解】解：∵点M的坐标是（4，3）， ∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离， ∴r的取值范围是3＜r＜4， 故选D． 【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键． 8．C 【详解】解：是的切线， ， ， 又∵ ， 则． 故选：C． 9．3cm 【分析】连接OE、OD、OF、OC、OA、OB，根据三角形内切圆的性质可得OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，OD=OE=OF，然后根据勾股定理可得AB=15cm，进而根据三角形面积可进行求解． 【详解】解：连接OE、OD、OF、OC、OA、OB，如图所示： ∵是的内切圆， ∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，OD=OE=OF， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为3cm． 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、切线的性质、等积法及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆、切线的性质、等积法及勾股定理是解题的关键． 10．14 【分析】此题主要考查了切线长定理的应用，由于、、都是的切线，可根据切线长定理，将的周长转换为、的长，然后再进行求解． 【详解】解：设与的切点为； 、分别是的切线，且切点为、； ； 同理，可得：，； 则的周长； 故答案为：14． 11．/25度 【分析】连接，与相切于点B，得到，根据三角形内角和得到的度数，然后用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，求出的度数是解题的关键． 12．或/或 【分析】根据题意先求得，即可求得，，设直线与x轴的交点为，然后利用，即可求得k的值 【详解】∵直线与y轴交于点N， ∴，且， ∴， ∵单位长1为半径的圆与直线相切于点M， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴点， 设直线与x轴的交点为， ∴，，，， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理及分式方程，解决问题的关键是利用三角形的面积相等解分式方程 13．4.8 【详解】设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D， 连接PD，连接CP，CD， 则有PD⊥AB； 由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF， 由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD； 只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长， 即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值， 由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB=4.8． 故答案为：4.8．    考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理 14．75°或15° 【分析】半径为1，弦AB、AC分别是，作OM⊥AB，ON⊥AC；利用余弦函数，可求出∠OAM=45°，∠OAN=30°；AC的位置情况有两种，如图所示；故∠BAC的度数为45°+30°或45°-30°．问题可求． 【详解】 作OM⊥AB,ON⊥AC; ∵弦AB、AC分别是, ∴ ∵半径为1, ∴OA=1； 同理, 当OA在AB和AC之间时，如图1， ∴ 当B.C在OA的同一侧时，如图2， . ∴∠BAC=75°或15° 故答案为75°或15° 【点睛】考查垂径定理以及锐角三角函数，画出示意图，数形结合是解题的关键． 15．见解析 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDC＝∠BDA＝90°，然后可得∠A＋∠ABD＝90°，等量代换求出即可证得结论． 【详解】证明：∵BC为的直径， ∴∠BDC＝∠BDA＝90°， ∴∠A＋∠ABD＝90°， ∵， ∴，即， ∴AB⊥BC， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，切线的判定，熟练掌握基础知识是解题的关键． 16．见解析 【分析】连接OA．欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可． 【详解】证明：连接OA ∵OA=OC ∴∠OCA=∠OAC ∵AB⊥PO ∴∠AEC=90° ∴∠OCA+∠BAC=90° ∵∠EAC=∠CAP ∴∠OAC+∠CAP=90° ∴OA⊥AP ∴PA是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 17．（1）；（2）51． 【分析】（1）求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB．过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积面积法求高，可知圆心C到直线AB的距离； （2）由（1）中的数据即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：解：（1）如图1，过C作于M，连接AC，MC的延长线交于N， 由题意：，， ，，． ， 则由三角形面积公式得，， ， ， 圆心C到直线AB的距离是； （2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是． 则圆C上点到直线的最大距离是， 故面积的最大值是：． 【点睛】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，直线与圆的位置关系，解此题的关键是由三角形面积法求高得出圆心C到直线AB的距离，难度不是很大． 18．（1）证明见解析；（2）AC=． 【详解】(1)证明：连接OD． ∵BD是⊙O的切线， ∴OD⊥BD． ∵AC⊥BD， ∴OD∥AC， ∴∠2＝∠3． ∵OA＝OD． ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， 即AD平分∠BAC． (2)解：∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴，即． 解得． 19．（1）答案见解析；（2）． 【分析】（1）由可知，，；由得出，；由得出；进而可说明． （2）由，，可知；在中，可得，在中可得；由圆内接四边形的对角互补知，有，在等腰三角形中，，根据可求得的面积． 【详解】解：（1） ， 在和中， 在和中， （2）， 在中 同理在中可得， 又圆内接四边形的对角互补 得 在中 为等腰三角形 的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；圆内接四边形对角的关系；圆心角、弧、弦的关系等知识点．解题的关键在于判定三角形全等以及三角形的面积公式的表示． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $