2.6 正多边形与圆 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级上册数学

2.6 正多边形与圆 一、单选题 1．下列图形中，绕它的中心旋转后可以和原图形重合的是（　　） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 2．如图，正方形内接于，若是的周长为，则正方形的边长为（　　） A．2 B． C．4 D． 3．下列说法正确的是（      ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．一个圆有且只有一个内接正多边形 C．圆内接正四边形的边长等于半径 D．圆内接正n边形的中心角度数为 4．正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ） A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm 6．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（　　） A．18+36π B．24+18π C．18+18π D．12+18π 7．如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．半径为3的正六边形内接于，则正六边形的边长为 ． 9．如图，正六边形内接于圆，则六边形中心角的度数是 ． 10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是 11．正十二边形的每一个外角为 ，每一个内角是 ，该图形绕其中心至少旋转 才能和本身重合． 12．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对角线CF和BE相交于点N，对角线DF与BE相交于点M，则MN＝ ． 13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= °． 三、解答题 14．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 15．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 16．已知：⊙O与⊙O上的一点A （1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由． 17．如图，⊙O外接于正方形为弧上一点，且，求正方形的边长和的长． 18．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查旋转对称图形．熟练掌握正多边形的中心角等于，以及旋转对称图形的定义，是解题的关键． 2．B 【分析】此题主要考查了正多边形和圆．连接，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是的周长为， ∴， 则，， 在中，． 正方形的边长是， 故选：B． 3．D 【解析】略 4．D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接， ， ， 这个正多边形的边数为， 故选：． 5．C 【详解】解：要用一个圆盖去盖住一个正方形的洞口，则圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，∵正方形边长为50cm， 由勾股定理可得正方形的对角线的长为：50cm． 故答案选C． 6．C 【详解】分析：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出AE=6，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF进行计算． 详解：作FH⊥BC于H，连接FH，如图， ∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点， ∴BE=CE=CH=FH=6， AE==6， 易得Rt△ABE≌△EHF， ∴∠AEB=∠EFH， 而∠EFH+∠FEH=90°， ∴∠AEB+∠FEH=90°， ∴∠AEF=90°， ∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF =12×12+•π•62﹣×12×6﹣•6×6 =18+18π． 故选C． 点睛：本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积． 7．C 【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可． 【详解】解：如图所示， ∵正六边形的中心角为60°， ∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成， ∴，，， 因此每个正六边形的面积为：， 图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：． 整个图形是一个矩形，长为12，宽为， 矩形的面积为：， 因此图中阴影部分的面积是：， 故选C． 【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键． 8．3 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．六边形是的内接正六边形，证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：解：如图，是的内接正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为． 9．/60度 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【详解】解：正六边形的中心角为：． 故答案为：． 10． 【分析】由题可知，直径AC=2，根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】∵⊙O的半径是1， ∴AC=2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴在△ADC中，由勾股定理得， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆等知识，属于基础题，解题的关键是要熟练掌握正方形的性质． 11． 30° 150° 30° 【分析】根据多边形内角和公式可得正十二边形的内角和为1800°，因为正十二边形有12个内角，且每个内角都相等，所以每个内角的度数为1800°÷12=150°；每个外角和每个内角都是互补的关系即可得到每个外角的度数. 【详解】易得正十二边形的内角和为1800°，故其每个内角为1800°÷12=150°； 由多边形外角与内角互补可得其每个外角的度数为180°-150°=30°； 因为正十二边形的中心角为=30°， 所以正十二边形绕其中心经过旋转与原图重合，则要至少旋转的度数为30°． 【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角，解题的关键是内角和与边数成正比,边数增加,内角和增加；边数减少,内角和减少.每增加一条边,内角和就增加180°. 12．1 【分析】根据正六边形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵正六边形ABCDEF的边长为2，且对角线CF和BE相交于点N， ∴∠FNE=60°， ∴△ENF是等边三角形， ∴∠FNM=60°，FN=EF=2， ∵对角线DF与BE相交于点M， ∴∠FMN=90°， ∴MN=FN=2=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 13．215． 【详解】解：连接CE ∵五边形ABCDE为内接五边形 ∴四边形ABCE为内接四边形 ∴∠B+∠AEC=180° 又∵∠CAD＝35 ∴∠CED＝35°（同弧所对的圆周角相等） ∴∠B+∠E=∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215° 故答案为：215． 【点睛】本题考查正多边形和圆． 14．周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 15．(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 16．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF； （2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形． 【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）四边形BCEF为矩形．理由如下： 连接BE，如图， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∴， ∴， ∴， ∴BE为直径， ∴∠BFE=∠BCE=90°， 同理可得∠FBC=∠CEF=90°， ∴四边形BCEF为矩形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质． 17．， 【分析】连接AC，作AE⊥PB于E，由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠D=∠BCD=90°，∠ACB=45°，由圆周角定理得出AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，得出∠APC=90°，AC=AB，由勾股定理得出AC=，得出AB=，由圆周角定理得出∠APB=∠ACB=45°，证出△APE是等腰直角三角形，得出PE=AE= AP=，再由勾股定理得出BE=，即可得出PB的长． 【详解】解：连接，作于点， 如图所示． ∵四边形是正方形， ， 是的直径，是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ． 正方形的边长为的长为． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 18．正六边形的中心角为，边长为4，边心距为． 【分析】连接，在圆内接正六边形中，可得，从而得到为等边三角形，可得正六边形的边长为4 ，再由勾股定理，求出边心距，即可求解． 【详解】解：连接， ∵六边形为正六边形， ∴． ∵ ， ∴为等边三角形． ∴， ∵六边形是正六边形， ∴ ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． ∴正六边形的中心角为，边长为4，边心距为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $