1.3 反比例函数的应用 课件 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦湘教版九年级上册“反比例函数的应用”，通过复习矩形面积一定时长与宽的反比例关系，引导学生举例生活实例，搭建从旧知到新知的学习支架，系统呈现反比例函数在实际中的应用。 其亮点在于情境化设计，以科技小组过湿地、电路电压电流关系等实例，引导学生经历抽象模型、分析图象性质的过程，培养抽象能力、推理意识和模型观念，助力学生用数学解决实际问题，教师教学更易落实核心素养。

2025-2026学年湘教版数学九年级上册 第1章 反比例函数 1.3 反比例函数的应用 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 的反比例函数 (答案不唯一) 函数表达式： ． . 对于一个矩形，当它面积一定时，长 a 是宽 b 的反比例函数，其函数表达式可以写为 (S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数表达式． 实例： (S＞0) 下面是人教版九年级下册1.3《反比例函数的应用》的教学资源包，涵盖教学过程、PPT分页、典型例题与易错案例等内容，聚焦反比例函数在生活、工程、物理等领域的应用，助力学生掌握建模解题的思路。 # 反比例函数的应用教学资源包 （含教学过程、PPT分页内容、典型例题、易错案例、板书设计） ## 一、教学过程（45分钟） ### （一）情境导入（5分钟） 1. 提问生活实例：周末骑车去公园，路程固定，骑行速度越快，花费时间越短；买单价固定的文具，总预算一定，文具单价越高，购买数量越少。引导学生发现：生活中存在一类“一个量变大，另一个量随之变小，且两者乘积固定”的关系。 2. 衔接旧知：这种关系符合我们学过的反比例函数特征。今天我们就来探究如何运用反比例函数解决这类实际问题，引出课题《反比例函数的应用》。 ### （二）探究新知（25分钟） 本节课围绕4类典型应用场景展开，通过建立函数模型逐步讲解解题思路。 1. **工程与体积问题** 出示例题：某公司要修建容积为10⁴m³的圆柱形煤气储存室。①求储存室底面积S（m²）与深度d（m）的函数关系；②若底面积定为500m²，需掘进多深；③若深度改为15m，底面积应改为多少？ - 引导学生分析：圆柱体积公式V=Sd，体积V是常量10⁴，因此S与d成反比例关系。 - 解题步骤：①由Sd=10⁴，得函数关系式S=10⁴/d；②当S=500时，d=10⁴/500=20m；③当d=15时，S=10⁴/15≈666.67m²。 - 小结：解决此类问题，先根据几何公式确定常量与变量，再转化为反比例函数解析式，最后代入已知量求解。 2. **行程与运输问题** 出示例题：码头工人每天往轮船上装30吨货物，8天装完。①求卸货速度v（吨/天）与卸货天数t的函数关系；②若要求5天内卸完，每天至少卸货多少吨？ - 小组讨论：先算货物总量30×8=240吨，总量固定，v与t成反比例。 - 解题步骤：①函数关系式v=240/t；②当t≤5时，v≥240/5=48吨。 - 强调：遇到“不超过”“至少”等表述时，需结合反比例函数增减性确定取值范围。 3. **物理学应用** 出示例题：蓄电池电压恒定，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例。已知当R=2Ω时，I=3A。①求I与R的函数关系式；②若电流不能超过3A，电阻应控制在什么范围？ - 结合物理知识：电压U=IR，U为常量。设I=k/R，代入R=2，I=3，得k=6，函数式为I=6/R。 - 求解范围：当I≤3时，6/R≤3，解得R≥2Ω。 - 拓展：类似的还有杠杆原理、气体压强与体积的关系等，均可用反比例函数解决。 4. **销售利润问题** 出示例题：某水果试销时，日销量y（千克）是日单价x（元/千克）的反比例函数，且x=4元时y=3000千克。①求y与x的函数关系式；②若成本为3元/千克，某天利润9000元，求当日销售量。 - 解题步骤：①设y=k/x，代入x=4，y=3000，得k=12000，关系式为y=12000/x；②每千克利润为(x - 3)元，由利润=销量×单利润，得9000=(x - 3)y，将y=12000/x代入，解得y=1800千克。 ### （三）课堂练习（10分钟） 1. 基础题：气球内气体温度不变时，气压p（千帕）与体积V（立方米）成反比例，当V=64时p=1.5，求p与V的函数关系式（答案：p=96/V）。 2. 提高题：某运动鞋售价x（元）与销量y（双）成反比例，x=200时y=30。若进价180元，要使利润达2400元，售价应定为多少（答案：300元）。 3. 综合题：轿车可行驶总路程S与平均耗油量a成反比例，a=0.1升/千米时S=800千米。若耗油量变为0.08升/千米，可行驶多少千米（答案：1000千米）。 ### （四）课堂小结（3分钟） 1. 核心思路：实际问题→提取常量与变量→建立反比例函数模型→代入计算或求取值范围。 2. 常见场景：体积工程、行程运输、物理公式、销售利润等。 3. 关键技巧：注意单位统一，结合题意判断函数值或自变量的取值范围。 ### （五）课堂答疑（2分钟） 针对练习中出现的建模困难、取值范围判断错误等问题，集中讲解，强化学生对解题步骤的记忆。 ## 二、PPT分页内容（共14页） 1. **第1页：标题页** - 标题：反比例函数的应用 - 副标题：人教版九年级下册 - 作者：XXX 2. **第2页：情境导入** - 生活思考：路程固定时，速度与时间的关系；预算固定时，单价与数量的关系。 - 问题：这些关系符合哪种函数特征？ 3. **第3页：例题1-工程体积问题** - 题目：圆柱形煤气储存室容积10⁴m³相关问题（3小问） - 核心公式：圆柱体积=底面积×深度 4. **第4页：例题1解答** - 函数关系式：S=10⁴/d - 答案：①S=10⁴/d；②20m；③≈666.67m² 5. **第5页：例题2-行程运输问题** - 题目：轮船卸货速度与时间相关问题（2小问） - 关键：先求货物总量（常量） 6. **第6页：例题2解答** - 函数关系式：v=240/t - 答案：①v=240/t；②至少48吨 7. **第7页：例题3-物理学应用** - 题目：蓄电池电流与电阻相关问题（2小问） - 物理依据：电压恒定，I与R成反比例 8. **第8页：例题3解答** - 函数关系式：I=6/R - 答案：①I=6/R；②R≥2Ω 9. **第9页：例题4-销售利润问题** - 题目：水果日销量与单价相关问题（2小问） - 利润公式：利润=（单价-成本）×销量 10. **第10页：例题4解答** - 函数关系式：y=12000/x - 答案：①y=12000/x；②1800千克 11. **第11页：课堂练习（基础题）** - 题目：气球气压与体积的函数关系式求解 - 提示：利用压强与体积的乘积为常量 12. **第12页：课堂练习（提高+综合题）** - 题目：运动鞋利润问题、轿车行驶路程问题 - 留白：供学生书写解题过程 13. **第13页：课堂小结** - 建模步骤：实际问题→反比例函数模型→求解 - 常见场景：工程、行程、物理、销售 14. **第14页：结束页** - 感谢观看！敬请指导 ## 三、典型例题+易错案例 ### （一）典型例题（拓展延伸） 1. **气球气压问题**：气球内气体温度不变时，气压p（千帕）随体积V（立方米）成反比例，表格数据显示p=1.5时V=64。①求p关于V的函数解析式；②气压超144千帕时气球爆炸，求安全体积至少多少。 - 解答：①由pV=96，得p=96/V；②当p≤144时，V≥96/144=2/3立方米，即安全体积至少2/3立方米。 2. **销售定价问题**：某衬衣日销售量y是日售价x的反比例函数，x=100元时y=30件，进价80元。若日利润1800元，求单价。 - 解答：设y=k/x，得k=3000，y=3000/x；由（x-80）y=1800，解得x=130元。 ### （二）易错案例（纠错分析） 1. **案例1：忽略常量计算错误** - 问题：计算轮船卸货问题时，误将每日装货量30吨当作货物总量，得出v=30/t的错误关系式。 - 纠正：需先算总量30×8=240吨，正确关系式为v=240/t。强调建模前要先确定准确的常量，避免直接套用变量。 2. **案例2：取值范围忽略实际意义** - 问题：气球气压问题中，解得安全体积V≥2/3立方米后，未注明V>0。 - 纠正：实际问题中，体积、电阻、单价等变量均为正数，需补充自变量的实际取值范围，使答案更严谨。 3. **案例3：单位不统一导致错误** - 问题：行程问题中，速度单位为千米/时，时间单位误写为分钟，导致计算结果错误。 - 纠正：解题前先统一单位，确保所有变量单位符合实际场景要求，避免单位混淆引发错误。 ## 四、板书设计 ``` 反比例函数的应用 一、核心思路 实际问题 → 找常量变量 → 建反比例函数模型 → 求解 二、典型例题 1. 工程体积 公式：V=Sd → S=10⁴/d 答案：20m；≈666.67m² 2. 行程运输 总量：30×8=240 → v=240/t 答案：至少48吨 3. 物理应用 关系：I=k/R → I=6/R 答案：R≥2Ω 4. 销售利润 关系式：y=12000/x 答案：1800千克 三、易错点 1. 常量计算错误 2. 忽略自变量实际取值范围 3. 单位不统一 ``` 情景导入 某科技小组在一次野外考察途中遇到一片烂泥湿地. 为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利通过了这片湿地. （1）根据压力F（N）、压强 p（Pa）与受力面积S（ m2 ） 之间的关系式 ，请你判断：当F一定时，p是S 的反比例函数吗？ 解 对于 ，当 F 一定时， 根据反比例函数的定义可知，p是S 的反比例函数． 新课讲解 探究新知 （2） 若人对地面的压力 F=450N， 完成下表： 受力面积S/m2 0.005 0.01 0.02 0.04 压强 p/Pa 新课讲解 探究新知 当S = 0.02 m2时，p=22500 Pa； 当S = 0.04 m2 时，p =11250 Pa. 类似地，当S = 0.01 m2时，p= 45000 Pa； （Pa）. 所以当S =0.005 m2 时，由 ，得 解 因为F = 450N， （2） 若人对地面的压力 F=450N， 完成下表： 受力面积S/m2 0.005 0.01 0.02 0.04 压强 p/Pa 90000 45000 22500 11250 新课讲解 探究新知 （3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积 S 增大时，地面所受压强 p 是如何变化的.据此，请说出他们铺垫木板（木板重力忽略不计）通过湿地的道理. 新课讲解 探究新知 （3）当F=450N时， 该反比例函数的表达式为 ， 它的图象如图1-10所示. 图1-10 由图象的性质可知， 当受力面积S增大时，地面所受压强 p 会越来越小. 因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积，以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地. 新课讲解 探究新知 你能根据波义耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强P与它的体积V的乘积是一个常数k（k＞0），即pV=k）来解释： 为什么使劲踩气球时，气球会爆炸？ 踩气球时,气球的体积变小，此时气球内气体的压强变大， 这是根据反比例函数当k>0，V>0时，p的值随着V的减小而增大的性质. 所以当气球内气体的压强大到一定程度时，气球会爆炸。 解： 新课讲解 探究新知 分析 由于该电路的电压U为定值，即该电路的电阻R 与电流I的乘积为定值，因此该电路的电阻R与电流I成反比例关系． 已知某电路的电压 U（V）、电流 I（A）、电阻 R（Ω）三者之间有如下关系式：U=I R，且该电路的电压U恒为220V. 例 新课讲解 探究新知 （1）写出电流I关于电阻R 的函数表达式； 解： 因为 U=IR，且 U=220V，所以 IR=220， 即该电路的电流 I 关于电阻 R 的函数表达式为 . 已知某电路的电压 U（V）、电流 I（A）、电阻 R（Ω）三者之间有如下关系式：U=I R，且该电路的电压U恒为220V. 例 新课讲解 探究新知 （2）如果该电路的电阻为200Ω，则通过它的电流是多少？ (2) 因为该电路的电阻R = 200Ω， 所以通过该电路的电流 = 1.1（A）. 已知某电路的电压 U（V）、电流 I（A）、电阻 R（Ω）三者之间有如下关系式：U=I R，且该电路的电压U恒为220V. 例 新课讲解 探究新知 （3）如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整 电阻R ，就可以使电路中的电流I增大？ （3）根据反比例函数 的图象（如右图所示） 及性质可知， 当滑动变阻器的电阻 R 减小时， 就可以使电路中的电流 I 增大． 已知某电路的电压 U（V）、电流 I（A）、电阻 R（Ω）三者之间有如下关系式：U=I R，且该电路的电压U恒为220V. 例 新课讲解 探究新知 1.举例说明反比例函数在生活中的应用. [选自教材P16 练习 第1题] 课堂练习 课堂练习 2.某天然气公司要在地下修建一个容积为105 m3 的圆柱形天然气储存室. （1）储存室的底面积 S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？ （2）若公司决定把储存室的底面积S定为5000 m2 ，则施工队施工时应 该向下掘进多深？ （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石， 为了节约建设资金，公司决定把储存室的深度改为15m ，则储存 室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01 m2 ） ？ 解:（1） （d＞0）. [选自教材P16 练习 第2题] 课堂练习 课堂练习 （2） 中 时， （m）. 2.某天然气公司要在地下修建一个容积为105 m3 的圆柱形天然气储存室. （1）储存室的底面积 S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？ （2）若公司决定把储存室的底面积S定为5000 m2 ，则施工队施工时应 该向下掘进多深？ [选自教材P16 练习 第2题] 课堂练习 课堂练习 时： 中 （3） 中 2.某天然气公司要在地下修建一个容积为105 m3 的圆柱形天然气储存室. （1）储存室的底面积 S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？ （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石， 为了节约建设资金，公司决定把储存室的深度改为15m ，则储存 室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01 m2 ） ？ [选自教材P16 练习 第2题] 课堂练习 1.某动物园根据杠杆原理G1·l1 =G2·l2上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下: 如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤(重量可以忽略不计)和装有大象的铁笼，其中l1 =6 m， l2 = 0.2 m.已知当钢梁又呈水平状态(铁笼已经离地)时，弹簧秤显示的读数为G1 =1200 N. (1)根据上述原理，求出装有大象的铁笼及其挂钩的总重量; (2)若装有大象的铁笼固定不动,向左移动弹簧秤，则弹簧秤的读数是增大还是减小?为什么? [选自教材P16 习题1.3 A组 第1题] 解：（1）因为 G1·l1＝G2·l2， G2＝36000 N 答：装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为36000 N. 所以 课堂练习 课堂练习 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸. 为了安全起见，气球的体积应（ ） A. 不大于 B. 小于 C. 不小于 D. 大于 C 课堂练习 A 返回 1． [2025常德月考]已知矩形的面积为24 cm2，相邻两条边长分别为x cm和y cm，则y关于x的函数图象大致是(　　) 考试考法 19 返回 2． [2025邵阳月考]当温度不变时，某气球内的气压p(kPa)与气体体积V(m3)成反比例函数关系(其图象如图所示)，已知当气球内的气压p＞120 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是________m3. 考试考法 20 4 返回 3． 如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝ 90 kg时，它的最快移动速度v＝__________m/s. 考试考法 21 4． 返回 [教材P16习题T1] 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话精辟地阐明了杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．张师傅欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为900 N和1 m．当动力臂l为2 m时，撬动这块石头至少需要的动力F是多少？ 考试考法 22 5． 返回 B 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图②)，已知在高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A．0.1 h B．0.35 h C．0.45 h D．0.5 h 考试考法 23 6． 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880，0.25)．根据图象可知，下列说法正确的是(　　) A．当I＜0.25时，R＜880 考试考法 24 【点拨】 【答案】D 返回 考试考法 7． 考试考法 26 【点拨】 【答案】B 返回 考试考法 实际问题 建立 反比例函数 模型 反比例函数的 图象与性质 课堂小结 课堂小结 谢谢观看！ 不小于 【解】由题意，得Fl＝900×1，∴F＝. 当l＝2 m时，F＝＝450(N)． 答：撬动这块石头至少需要的动力F是450 N. B．I与R的函数关系式是I＝(R＞0) C．当R＞1 000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25 由图象可知，当I＜0.25时，R＞880，故A不符合题意；设I与R的函数关系式是I＝(R＞0)．∵该图象经过点P(880，0.25)，∴0.25＝，∴U＝220，∴I与R的函数关系式是I＝(R＞0)，故B不符合题意；当R＝1 000时，I＝＝0.22.由图象可知I随R的增大而减小，∴当R＞1 000时，I＜0.22，故C不符合题意；当880＜R＜1 000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意．故选D. [2025石家庄新华区模拟]如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，将每个台阶拐角的顶点叫作拐点，记作Tm(m为1～7的整数)，函数y＝(x＞0)的图象为曲线L.当曲线L同时经过的拐点最多时，k的值为(　　) A．6 B．8 C．12 D．16 ∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1(2，4)，T2(2，3)，T3(4，3)，T4(4，2)，T5(6，2)，T6(6，1)，T7(8，1)．∵y＝(x＞0)，∴k＝xy.∵横、纵坐标的积为8的点有T1，T4和T7，横、纵坐标的积为6的点有T2和T6，横、纵坐标的积为12的点有T3和T5，∴要使曲线L同时经过的拐点最多，则k＝8. $