几何模型：猪蹄+铅笔头+锯齿+臭脚+骨折模型（相交线与平行线）2025-2026学年中考数学一轮复习

常考的重难点几何模型 七年级部分 初中数学 目录 七年级下册 · 相交线与平行线 模型1：“三线八角”模型………………………………………………………… 2 模型2：“猪蹄”模型……………………………………………………………… 3 模型3：“铅笔头”模型…………………………………………………………… 4 模型4：“锯齿”模型……………………………………………………………… 5 模型5：“臭脚”模型……………………………………………………………… 6 模型6：“骨折”模型……………………………………………………………… 7 模型7：“三角尺”模型…………………………………………………………… 7 实战演练…………………………………………………………………………… 9 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“三线八角”模型 题目条件中含有两条直线被第三条直线所截时，考虑用此模型 一、两条被截线互相不平行 如图，同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8； 内错角有：∠3和∠5，∠4和∠6； 同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5 . 二、两条被截线互相平行 已知：如图，a∥b 结论：（1）同位角相等：∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8； （2）内错角相等：∠3=∠5，∠4=∠6； （3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°，∠4+∠5= 180°. 【例1】如图，两条平行线、被第三条直线所截．敲黑板，记重点 “F”型中找同位角， “Z”型中找内错角， “U”型中找同旁内角. 若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】两条直线相交，可以构成四个角，若在图中再添加 一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了 个 角，简称“ ”． 同位角： 图中∠1与∠5，这两个角分别在直线AB，CD的同一方（上方）， 并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角 叫做 ． 图中还有同位角： ． 内错角： ∠3与∠5，这两个角分别在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧，（∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧），具有这种位置关系的一对角叫做 ． 图中还有内错角： ． 同旁内角： ∠3与∠6，这两个角分别在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做 ． 图中还有同旁内角： ． 模型2：“猪蹄”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线内凹拐点时，考虑用此模型 一、1个拐点 已知：如图，AB∥CD，O是平行线间的内凹拐点A B C D O 结论：∠O=∠B+∠D . 模型依据：平行线的判定与性质 证明：法1） 过拐点作平行线 如图1，过点O作EF∥ABA B C D O E F 1 2 图1 ∵ AB∥CD ∴ EF∥CD ∴ ∠B=∠1，∠D=∠2 ∴ ∠1+∠2=∠B+∠D，即∠BOD=∠B+∠D 法2） 作延长线 如图2，延长BO交CD于点GA B C D O G 图2 ∵ AB∥CD ∴ ∠B=∠BGD ∵ ∠BOD=∠D+∠BGD ∴ ∠BOD=∠B+∠D 也可以延长DO，证明方法同上 . A B C D O1 O2 图3 二、2个拐点 已知：如图3，AB∥CD，O1，O2是平行线间的内凹拐点 结论：∠O1+∠O2=∠B+∠D+180° . 三、n个拐点A B C D O1 O2 图4 O3 已知：如图4，AB∥CD，O1，O2……On是平行线间的内凹拐点 结论：∠O1+∠O2+……+∠On=∠B+∠D+（n－1）×180° . 【例1】如图，，，则，和的数量关系是 ． 【例2】如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）    A．个 B．个 C．个 D．个 模型3：“铅笔头”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线外凸拐点时，考虑用此模型 已知：如图，AB∥CDA B C D O 结论：∠B+∠O+∠C=360° 证明：法1） 过拐点作平行线 如图，过点O作EF∥AB ∵ AB∥CD ∴ EF∥AB∥CDA B C D O E F ∴ ∠B+∠BOE=180°，∠C+∠COE=180° ∴ ∠B+∠BOE+∠C+∠COE=360° ∴ ∠B+∠BOC+∠C=360° 法2） 作延长线 如图，延长AB，CO相交于点E ∵ AB∥CD ∴ ∠E+∠C=180°A B C D O E ∵ ∠ABO+∠EBO=180° ∴ ∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=360° ∵ ∠E+∠EBO=∠BOC ∴ ∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=∠ABO+∠BOC+∠C=360° 也可以延长BO，DC，证明方法同上. 模型括展：拐点数与角度和的关系 图示A B C D A B C D E F A B C D O A B C D E F G A B C D E F 平行线间的拐点数 0 1 2 3 n 平行线间的角度和 180° 360° 540° 720° 180°×（n+1） 【例1】如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 【例2】如图，如果，那么 ． 模型4：“锯齿”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线间多个拐点时，考虑用此模型 已知：如图，AB∥EFA B C D E F 结论：∠B+∠D=∠C+∠E 证明：如图，过点C作MN∥AB，过点D作PQ∥AB ∵ AB∥EF ∴ AB∥MN∥PQ∥EFA B C D E F M N P 1 Q 3 2 4 敲黑板，记重点 左角之和等于右角之和 ∴ ∠B=∠1，∠3=∠2，∠4=∠E ∴ ∠B+∠3+∠4=∠1+∠2+∠E ∴ ∠B+∠CDE=∠BCD+∠E 模型括展：研究多拐点时，可进行拆分 【例1】如图，ABEF，∠D=90°，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 模型5：“臭脚”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线外凸拐点时，考虑用此模型 已知：如图，AB∥CDA B C D E 1 2 3 F A B C D E 1 2 3 结论：∠2=∠1-∠3 证明：如图，过点E作EF∥AB ∵ AB∥CD，EF∥AB ∴ AB∥CD∥EF ∴ ∠FEB+∠1=180°，∠FED+∠3=180° ∵ ∠FED=∠FEB+∠2 ∴ ∠FEB+∠1=∠FED+∠3=∠FEB+∠2+∠3敲黑板，记重点 脚尖度数=大角-小角 ∴ ∠1=∠2+∠3即∠2=∠1-∠3 【例1】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 模型6：“骨折”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线外折拐点时，考虑用此模型 已知：如图，AB∥CDA B C D E 1 2 3 F A B C D E 1 2 3 结论：∠2=∠3-∠1 证明：如图，过点E作EF∥AB ∵ AB∥CD，EF∥AB ∴ AB∥CD∥EF ∴ ∠FEB+∠2=∠3，∠FEB=∠1 ∴ ∠1+∠2=∠3即∠2=∠3-∠1 【例1】如图，，已知，，则 ． 模型7：“三角尺”模型 题目条件中含有三角尺时，考虑用此模型 一、常见角度拼接 敲黑板，记重点 ① 一副三角尺拼接处的角度的和、差均为15°的整数倍； ② 三角尺本身的内、外两条边及直尺的两条边都是平行的. 二、常见的直尺与“三角尺”模型 【例1】把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（　　） A．90° B．105° C．120° D．135° 【例2】如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为 ． 实 战 演 练 【“三线八角”模型】 1．如图，直线、、相交于点，直线分别交、于、，则在图中的内错角有几个（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，求证：． 4．如图，点E、F分别在线段、上，连接、、，过点F作分别交、于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【“猪蹄”模型】 5．如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 6．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 7．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【“铅笔头”模型】 8．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 9．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 11．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度； 12．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【“锯齿”模型】 13．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 14．已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 15．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F． （1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答： 如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数； 解：过点P作直线PH∥AB， 所以∠A＝∠APH，依据是　　 ； 因为AB∥CD，PH∥AB， 所以PH∥CD，依据是　　 ； 所以∠C＝（　　 ）， 所以∠APC＝（　　 ）+（　　 ）＝∠A+∠C＝97°． （2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）： ①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由； ②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系． 16．（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由； （2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    【“臭脚”模型】 17．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 18．如图所示，，，，求的度数. 19．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【“骨折”模型】 20．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展： 在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 【“三角尺”模型】 22．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °． 23．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且． （1）将直角如图1位置摆放，如果，则________； （2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由； （3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $常考的重难点几何模型 七年级部分答案 初中数学 目录 七年级下册 · 相交线与平行线 模型1：“三线八角”模型………………………………………………………… 2 模型2：“猪蹄”模型……………………………………………………………… 3 模型3：“铅笔头”模型…………………………………………………………… 6 模型4：“锯齿”模型……………………………………………………………… 8 模型5：“臭脚”模型……………………………………………………………… 10 模型6：“骨折”模型……………………………………………………………… 11 模型7：“三角尺”模型…………………………………………………………… 11 实战演练…………………………………………………………………………… 14 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“三线八角”模型 题目条件中含有两条直线被第三条直线所截时，考虑用此模型 一、两条被截线互相不平行 如图，同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8； 内错角有：∠3和∠5，∠4和∠6； 同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5 . 二、两条被截线互相平行 已知：如图，a∥b 结论：（1）同位角相等：∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8； （2）内错角相等：∠3=∠5，∠4=∠6； （3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°，∠4+∠5= 180°.敲黑板，记重点 “F”型中找同位角， “Z”型中找内错角， “U”型中找同旁内角. 【例1】如图，两条平行线、被第三条直线所截． 若，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，由两直线平 行，同位角相等可得的度数，再由对顶角相等可得的度数． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】两条直线相交，可以构成四个角，若在图中再添加 一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了 个 角，简称“ ”． 同位角： 图中∠1与∠5，这两个角分别在直线AB，CD的同一方（上方）， 并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角 叫做 ． 图中还有同位角： ． 内错角： ∠3与∠5，这两个角分别在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧，（∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧），具有这种位置关系的一对角叫做 ． 图中还有内错角： ． 同旁内角： ∠3与∠6，这两个角分别在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做 ． 图中还有同旁内角： ． 【答案】8 三线八角 同位角 ∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8 内错角； ∠4和∠6 同旁内角 ∠4和∠5 模型2：“猪蹄”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线内凹拐点时，考虑用此模型 一、1个拐点 已知：如图，AB∥CD，O是平行线间的内凹拐点A B C D O 结论：∠O=∠B+∠D . 模型依据：平行线的判定与性质 证明：法1） 过拐点作平行线A B C D O E F 1 2 图1 如图1，过点O作EF∥AB ∵ AB∥CD ∴ EF∥CD ∴ ∠B=∠1，∠D=∠2 ∴ ∠1+∠2=∠B+∠D，即∠BOD=∠B+∠D 法2） 作延长线A B C D O G 图2 如图2，延长BO交CD于点G ∵ AB∥CD ∴ ∠B=∠BGD ∵ ∠BOD=∠D+∠BGD ∴ ∠BOD=∠B+∠D 也可以延长DO，证明方法同上 .A B C D O1 O2 图3 二、2个拐点 已知：如图3，AB∥CD，O1，O2是平行线间的内凹拐点 结论：∠O1+∠O2=∠B+∠D+180° .A B C D O1 O2 图4 O3 三、n个拐点 已知：如图4，AB∥CD，O1，O2……On是平行线间的内凹拐点 结论：∠O1+∠O2+……+∠On=∠B+∠D+（n－1）×180° . 【例1】如图，，，则，和的数量关系是 ． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【例2】如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）    A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】过点作，根据平行线的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：过点作，    ∵， ∴， ∴与不全等， 又∵点在上， ∴无法判断（1）是否正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故（2）正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故（3）正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴无法知道的度数， ∴无法判断（4）是否正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，添加辅助线是解题的关键． 模型3：“铅笔头”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线外凸拐点时，考虑用此模型 已知：如图，AB∥CDA B C D O 结论：∠B+∠O+∠C=360° 证明：法1） 过拐点作平行线 如图，过点O作EF∥AB ∵ AB∥CD ∴ EF∥AB∥CDA B C D O E F ∴ ∠B+∠BOE=180°，∠C+∠COE=180° ∴ ∠B+∠BOE+∠C+∠COE=360° ∴ ∠B+∠BOC+∠C=360° 法2） 作延长线A B C D O E 如图，延长AB，CO相交于点E ∵ AB∥CD ∴ ∠E+∠C=180° ∵ ∠ABO+∠EBO=180° ∴ ∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=360° ∵ ∠E+∠EBO=∠BOC ∴ ∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=∠ABO+∠BOC+∠C=360° 也可以延长BO，DC，证明方法同上. 模型括展：拐点数与角度和的关系 图示A B C D A B C D E F A B C D O A B C D E F G A B C D E F 平行线间的拐点数 0 1 2 3 n 平行线间的角度和 180° 360° 540° 720° 180°×（n+1） 【例1】如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C． 【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示， ∵MN//AB， ∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵， ∴ ∵MN//AB，AB//CD， ∴MN//CD， ∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°， 故选：C． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 【例2】如图，如果，那么 ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 模型4：“锯齿”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线间多个拐点时，考虑用此模型 已知：如图，AB∥EFA B C D E F 结论：∠B+∠D=∠C+∠E 证明：如图，过点C作MN∥AB，过点D作PQ∥AB ∵ AB∥EF ∴ AB∥MN∥PQ∥EFA B C D E F M N P 1 Q 3 2 4 敲黑板，记重点 左角之和等于右角之和 ∴ ∠B=∠1，∠3=∠2，∠4=∠E ∴ ∠B+∠3+∠4=∠1+∠2+∠E ∴ ∠B+∠CDE=∠BCD+∠E 模型括展：研究多拐点时，可进行拆分 【例1】如图，ABEF，∠D=90°，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB, ∵CGAB,DHAB, ∴CGDHAB, ∵ABEF, ∴ABEFCGDH, ∵CGAB, ∴∠BCG=α, ∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α, ∵CGDH, ∴∠CDH=∠GCD=β-α, ∵HDEF, ∴∠HDE=γ, ∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°, ∴γ+β-α=90°, ∴β=α+90°-γ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质． 模型5：“臭脚”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线外凸拐点时，考虑用此模型 已知：如图，AB∥CDA B C D E 1 2 3 结论：∠2=∠1-∠3 证明：如图，过点E作EF∥AB ∵ AB∥CD，EF∥AB ∴ AB∥CD∥EFA B C D E 1 2 3 F ∴ ∠FEB+∠1=180°，∠FED+∠3=180°敲黑板，记重点 脚尖度数=大角-小角 ∵ ∠FED=∠FEB+∠2 ∴ ∠FEB+∠1=∠FED+∠3=∠FEB+∠2+∠3 ∴ ∠1=∠2+∠3即∠2=∠1-∠3 【例1】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 模型6：“骨折”模型 题目条件中含有一组平行线+平行线外折拐点时，考虑用此模型 已知：如图，AB∥CDA B C D E 1 2 3 F 结论：∠2=∠3-∠1A B C D E 1 2 3 证明：如图，过点E作EF∥AB ∵ AB∥CD，EF∥AB ∴ AB∥CD∥EF ∴ ∠FEB+∠2=∠3，∠FEB=∠1 ∴ ∠1+∠2=∠3即∠2=∠3-∠1 【例1】如图，，已知，，则 ． 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：过点作，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 模型7：“三角尺”模型 题目条件中含有三角尺时，考虑用此模型 一、常见角度拼接 敲黑板，记重点 ① 一副三角尺拼接处的角度的和、差均为15°的整数倍； ② 三角尺本身的内、外两条边及直尺的两条边都是平行的. 二、常见的直尺与“三角尺”模型 【例1】把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（　　） A．90° B．105° C．120° D．135° 【分析】先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案. 【详解】作直线OE平行于直角三角板的斜边． 可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°， 故∠1的度数是：60°+45°＝105°． 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质. 【例2】如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为 ． 【分析】过点B作交 于点D，可证，利用平行线的性质可得，，进而可得． 【详解】解：如图，过点B作交于点D． 中，， ． ， ． ，， ， ， ， 故按为：． 【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 实 战 演 练 【“三线八角”模型】 1．如图，直线、、相交于点，直线分别交、于、，则在图中的内错角有几个（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】此题主要考查了三线八角．根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角解答即可． 【详解】解：如图， 根据内错角的定义知：的内错角有、、共3对， 故选：C． 2．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 根据题意得出，再由其性质即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A 3．如图，，，求证：． 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，点E、F分别在线段、上，连接、、，过点F作分别交、于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得，结合题意可得，即可得证； （2）根据平行线的性质并结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 【“猪蹄”模型】 5．如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【分析】作，根据平行线的判定和性质可得，结合，两式相加即可求出． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出是解题的关键． 6．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【分析】（1）过点作，可得，，根据即可求解； （2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解； （3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 7．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】（1）作，，如图，且 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 【“铅笔头”模型】 8．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数． 【详解】解：过点A作AB∥l1， ∵l1∥l2， ∴AB∥l1∥l2， ∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180， ∵∠1=105,∠2=140 ， ∴∠4=75,∠5=40， ∵∠4+∠5+∠3=180， ∴∠3=65. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质. 9．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 10．如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 11．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度； 【详解】解：过点B作BFAE， ∵CDAE， ∴CDBFAE， ∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°， ∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°， 即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE=90°， ∴∠ABC+∠BCD=270°． 故答案为：270． 【点睛】本题考查了平行线的性质．作出辅助线是解此题的关键． 12．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 【“锯齿”模型】 13．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项． 【详解】解：过C作CQAB， ∵ABDE， ∴ABDECQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°-30°=80°， ∴∠E=180°-80°=100°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 14．已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质和判定、垂直的定义即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质和判定即可求解； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质和判定得到，，，推出，，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：． 15．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F． （1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答： 如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数； 解：过点P作直线PH∥AB， 所以∠A＝∠APH，依据是　　 ； 因为AB∥CD，PH∥AB， 所以PH∥CD，依据是　　 ； 所以∠C＝（　　 ）， 所以∠APC＝（　　 ）+（　　 ）＝∠A+∠C＝97°． （2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）： ①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由； ②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空； （2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明； （3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系． 【详解】解：过点P作直线PH∥AB， 所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等； 因为AB∥CD，PH∥AB， 所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行； 所以∠C＝（∠CPH）， 所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH； （2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下： 过点P作直线PH∥AB，QG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PH∥QG， ∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°， ∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°． ∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立； ②如图3， 过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN， ∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN， ∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM， ∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°， ∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ）， ∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°． 【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键． 16．（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由； （2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    【分析】（1）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5； （2）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 【详解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5． 理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5， ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；    （2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7， ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．    【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【“臭脚”模型】 17．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 18．如图所示，，，，求的度数. 【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， 又因为，得到，所以. 【详解】因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， ， 即， ， 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质. 19．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 【“骨折”模型】 20．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 21．探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展： 在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可； （3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作， ∴（两直线平行，内错角相等） ，． （平行于同一直线的两直线平行） 即 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行； （2）①解：过点作， 所以， ，． ， ， ，， 即， 故答案为：； ②解：，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：． 理由是：如图4，过点作， ， ， ，， （平行于同一直线的两直线平行） ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键． 【“三角尺”模型】 22．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，两直线平行，内错角相等．作，根据平行线的性质求得，，再结合三角板的角的度数即可求得答案． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：38． 23．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且． （1）将直角如图1位置摆放，如果，则________； （2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由； （3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论． 【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解． （2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°． （3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解． 【详解】解：（1）如图，作CP//a， ∵a//b，CP//a， ∴CP//a//b， ∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°， ∴∠BCP=180°-∠CEF， ∵∠ACP+∠BCP=90°， ∴∠AOG+180°-∠CEF=90°， ∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°． （2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下： 如图，作CP//a，则CP//a//b， ∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°， ∵∠NEF+∠CEF=180°， ∴∠BCP=∠NEF， ∵∠ACP+∠BCP=90°， ∴∠AOG+∠NEF=90°． （3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b， ∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ， ∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF, ∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°， ∴∠GOP=135°-∠POQ， ∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF． 如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b， ∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ， ∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN， ∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF， ∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF． 【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $