2.7 弧长及扇形的面积 核心素养测评卷 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.7 弧长及扇形的面积 一、单选题 1．如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（　　　） A． B． C． D． 2．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 4．如图，阴影部分的面积为 ( ) A．a2； B．2a2； C．a2； D．a2. 5．如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 6．在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（　　） A．π B．2π C．4π D．6π 7．一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知圆的周长为C，那么圆心角为n°的弧长l＝ ． 10．在半径为的圆中，所对的圆周角为，则的长为 ． 11．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π） 12．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，，则阴影部分面积是 . 13．如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值） 三、解答题 14．如图，某家设计公司设计了这样一种纸扇：纸扇张开的最大角度与的比为黄金比，那么制作一把这样的纸扇至少要用多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果精确到） 15．如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，求阴影部分面积． 16．如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．求点O所经过的路线长. 17．如图，已知是的直径，、为圆上的点，、，垂足分别为、． (1)求证：： (2)若，，求阴影部分的面积． 18．如图，在中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取点E，使∠A=∠ADE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 19．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到． （1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B． ①求的度数． ②求AP的长． （2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得． 【详解】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°， 则正五边形ABCDE的一个内角==108°， 连接OA、OB、OC， ∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C， ∴∠OAE=∠OCD=90°， ∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°， 所以劣弧AC的长度为， 故选：B. 【点睛】本题考查了正五边形的内角和的计算以及弧长的计算，难度适中． 2．D 【分析】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式：．据此计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴扇形的面积为． 故选：D． 3．B 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案． 【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC， ∴∠A＝50°， ∴∠BOC＝2∠A＝100°， ∵AB＝4， ∴BO＝2， ∴的长为：π． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键． 4．A 【详解】试题分析：先根据题意得到扇形BEF的面积等于扇形CED的面积，即图形1的面积等于图形3的面积，通过割补的方法可知阴影部分的面积=图形1的面积+图形3的面积=正方形ABEF的面积． 如图： 四边形ABEF和四边形ECDF为正方形，且边长为a 那么扇形BEF的面积等于扇形CED的面积 所以图形1的面积等于图形3的面积 则阴影部分的面积=图形1的面积+图形3的面积=正方形ABEF的面积=a2． 考点：本题主要考查了通过割补法把不规则图形转化为规则图形求面积的方法 点评：本题的关键是利用面积之间的等量代换得到阴影部分的面积=图形1的面积+图形3的面积=正方形ABEF的面积． 5．D 【分析】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键． 根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形的面积． 故选D． 6．B 【分析】根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：l===2π． 故选B． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式：是解题的关键． 7．B 【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可； 【详解】解：该扇形的半径为：， ∴扇形的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键． 8．B 【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】设，则DE=（6-x）cm， 由题意，得， 解得. 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 9． 【分析】由题意根据圆周角等于360°，先求得n°的圆心角与圆周角之间的倍分关系，再乘以圆的周长即为所求． 【详解】解：圆的周长为C，圆心角为n°的弧长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的周长与弧长之间的关系，熟练掌握圆的弧长公式是解题的关键． 10． 【分析】本题考查了弧长公式，直接根据弧长公式计算即可． 【详解】的长为． 故答案为：． 11．2π． 【详解】∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3， ∴扇形的弧长==2π． 故答案是：2π 12． 【分析】阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可． 【详解】阴影部分的面积==π． 【点睛】根据扇形面积公式计算即可． 13． 【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案． 【详解】解：连接BD交AC于点G， ∵四边形是菱形， ∴AB＝AD＝2，AC⊥BD， ∵， ∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°， ∴BD＝2， ∴BG＝， ∴， ∴AC＝， ∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 14．约 【分析】本题的关键是θ与360°－θ的比是黄金比，求得θ, 再根据纸面为两个扇形面积的差，可求得答案． 【详解】解:∵θ与360°-θ的比为黄金比， ∴ 解得: ∴所用纸的面积=cm2 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算以及黄金比，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 15． 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得． 【详解】解：， ∴阴影部分面积是． 16．12π 【详解】试题分析：点O所经过的路线是2段弧和一条线段，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出结果. 试题解析：点O所经过的路线长= =12π． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，，则，再根据垂径定理得，，则是的中位线，根据三角形的中位线定理可得，即可得出结论； （2）连接，，，根据三角形外角的性质以及得，由三角形的内角和定理得，则，可得是等边三角形，可得，，，利用勾股定理求出的长，根据即可得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：是的直径，是的弦，， ，， ， ，是的弦， ， ， 是的中位线， ， ； （2）如图，连接，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，扇形的面积计算、含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键． 18．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）如图，连接OD， ∵， ∴， ∵， ， ， 又， ， ∴，即， ∵点D在上，即OD为的半径， ∴DE是的切线； （2）如图，过点O作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 则阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． 19．（1）①60°；②；（2） 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案； （2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算． 【详解】解：（1）①如图1，为圆的切线． 由题意可得，，． ， ②如图1，连结，交BP于点Q．则有． 在中，． 在中，， ． （2）如图2．连结OD．设． ∵点D为的中点． ． 由题意可得，． 又 ，，解得． ． 【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $