15.3.2 等边三角形 教案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦含30°角的直角三角形性质，通过拼接两个含30°角的三角尺得到等边三角形，引导学生发现直角边与斜边关系，搭建从等边三角形到直角三角形性质的学习支架，梳理前后知识脉络。 特色在于以学生手边工具为探究起点培养几何直观与抽象能力，通过测量验证、“截长补短”多种证法发展推理意识，结合屋架设计例题与逆命题推导练习提升应用意识，配套思维导图辅助总结，助力学生构建知识体系，为教师提供可操作的探究式教学路径。

15.3.2　等边三角形 教学目标 1．利用等边三角形的性质和判定，通过探索、发现、证明，得到含30°角的直角三角形的性质，在此过程中，体会从特殊到一般地发现问题，经历从多角度探究解决问题的思路和方法，培养高阶思维能力． 2．能够利用含30°角的直角三角形的性质解决直角三角形中的一些简单的计算和证明问题． 教学重点 利用等边三角形的性质和判定，发现和证明直角三角形的性质． 教学难点 含30°角的直角三角形的性质的证明方法． 教学过程 新课导入 【思考】如图，将两个含有30°角的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到 Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 【师生活动】教师提示：将两个含30°角的三角尺拼在一起，能得到一个怎样的三角形？学生发现是一个等边三角形，从而结合等边三角形的性质，得出：BC＝CD＝AB． 【追问1】你能把上述发现描述出来吗？ 【师生活动】学生得：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，那么BC＝AB． 【追问2】对于任意一个有一个锐角等于30°的直角三角形，这个结论都成立吗？ 【设计意图】让学生从手边的学习用具入手，为后面的探究学习作好铺垫． 新知探究 【问题】请你画几个大小不同的满足条件的直角三角形（有一个锐角等于30°），量一量30°角所对的直角边和斜边的长度，看一看是否满足上述结论？ 【师生活动】学生通过测量，发现结论仍然成立．教师指出根据大家的测量结果，我们猜想“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这一命题是正确的，接下来要想办法证明这个命题． 如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝AB． 【师生活动】教师提示：要证明BC＝AB，也就是要证明2BC＝AB．为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可．学生在教师的提示下，独立思考并尝试在学习任务单上进行证明．教师请学生代表分享证明过程，并进行讲解． 【答案】方法一 证明：如图所示，延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线． ∴ AB＝AD． 又 ∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°， ∴ △ABD是等边三角形． ∴ BD＝AB． 又BD＝2BC， ∴ BC＝AB． 【追问】你还有其他证明方法吗？ 【师生活动】教师组织学生分享交流，对于学生的其他证明方法，只要是合理的，教师都应予以肯定．教师选取构造长为AB的线段来示例证明． 【答案】方法二 证明：如图，在AB边上截取BD＝BC，连接CD． 在Rt△ABC中， ∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴ ∠B＝90°－30°＝60° ． 又 BD＝BC， ∴ △BCD是等边三角形． ∴ BD＝CD＝BC，∠BCD＝60°． ∵ ∠ACB＝90°， ∴ ∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝30°． 又 ∠A＝30°， ∴ ∠A＝∠ACD． ∴ AD＝CD＝BC＝BD． ∴ BC＝AB． 【归纳】要证明两条线段的倍半关系，通常是将倍半关系转化为相等关系，经常用的方法叫“截长补短”，既可以将长边截短为原来的一半，也可以把短边延长为原来的两倍． 【新知】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【设计意图】通过多种方式论证“含30°角的直角三角形的性质”，开拓学生思维，提升对知识的灵活运用能力． 例题精讲 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°．求立柱BC，DE的长． 【师生活动】学生独立思考并在学习任务单上完成解题过程，教师讲评． 【答案】解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴ BC＝AB，DE＝AD． ∴ BC＝×7.4＝3.7（m）． 又 AD＝AB， ∴ DE＝AD＝×3.7＝1.85（m）． 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m． 【设计意图】通过例题的讲解，加深学生对已学知识的理解，进一步体会运用“含30°角的直角三角形的性质”解决简单计算问题的方法． 课堂练习 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 【师生活动】学生独立思考并在学习任务单上完成解题过程，教师讲评． 【答案】解：∵ ∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴ ∠A＋2∠A＋90°＝180°． ∴ ∠A＝30°． ∴ ∠B＝2∠A＝60°． ∴ AB＝2BC． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∠B和∠A各是多少度？ 【师生活动】学生独立思考并在学习任务单上完成解题过程，教师讲评． 【答案】解：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，则BD＝2BC． ∵ AB＝2BC， ∴ AB＝BD． ∵ ∠ACB＝90°，CD＝BC， ∴ AC是BD的垂直平分线． ∴ AD＝AB＝BD． ∴ △ABD是等边三角形． ∴ ∠B＝60°． ∴ ∠CAB＝90°－∠B＝30°． 【归纳】在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°． 【设计意图】通过练习，一方面进一步巩固“含30°角的直角三角形的性质”的应用，另一方面推导得出含30°角的直角三角形的性质的逆命题也是成立的． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并记录在学习任务单上． 1．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边与斜边有什么关系？ 2．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角有什么特点？ 3．要证明两条线段的倍半关系，通常用什么样的方法作出辅助线？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第84～86页习题15.3第7、12题． 学科网（北京）股份有限公司 $