15.3.1 等腰三角形 教案 2025-2026学年人教版八年级 数学上册

该初中数学教学设计聚焦“等腰三角形的判定”核心知识点，通过回顾等腰三角形性质及“概念—性质—判定”研究思路搭建学习支架，引导学生从定义出发，自然过渡到从“角”的角度探究判定方法。 资料亮点在于以核心素养为导向，新知探究中通过性质与判定的互逆关系猜想“等角对等边”，结合作角平分线、高、中线等多种辅助线证明，发展推理能力与几何直观，例题精讲将文字命题转化为图形和符号语言，强化数学语言表达，课堂小结配思维导图助知识梳理，既提升学生探究与应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

15.3.1　等腰三角形 教学目标 1．经历猜想和论证等腰三角形判定方法的探究过程，掌握等腰三角形的判定定理，体会从“概念—性质—判定—应用”的思路展开的研究几何图形的一般思路与方法，发展几何直观与推理能力． 2．经历应用等腰三角形的性质与判定方法解决问题的过程，培养发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展空间观念与推理能力． 教学重点 等腰三角形的判定方法的探究和应用． 教学难点 等腰三角形的性质和判定方法的区别与联系． 教学过程 知识回顾 【问题】通过上节课的学习，你对等腰三角形有了哪些新的认识？请你画出一个等腰三角形，结合图形来说一说． 【师生活动】学生回顾等腰三角形的相关知识：等腰三角形是指有两条边相等的三角形，它是轴对称图形，具有“等边对等角”“三线合一”等性质． 【追问1】我们是如何研究等腰三角形的性质的？ 【师生活动】学生回顾研究方法：通过动手操作的方式，从定义出发，探究等腰三角形的元素（边、角）以及 “三线”之间特殊的不变关系，从而发现和论证性质． 【追问2】根据你们对图形的研究经验，了解了等腰三角形的性质之后，接下来，我们还要探索等腰三角形的哪些知识？ 【师生活动】学生明确：还需要研究等腰三角形的判定方法． 【设计意图】通过回顾等腰三角形的性质的相关知识及研究方法，找准认知起点，为本节课“等腰三角形的判定”的探究作好铺垫． 新知探究 【思考】怎样判断一个三角形是不是等腰三角形呢？ 【师生活动】学生明确：可以根据定义来判断，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 【追问1】大家根据定义，从“边”的角度得到了等腰三角形的判定方法．我们知道，边和角都是三角形非常重要的元素，那么，是否可以从“角”的角度进行判定呢？ 【师生活动】学生进行交流讨论，结合前面学过的一些性质和判定方法，从性质与判定方法的互逆关系中猜想得出等腰三角形的判定方法：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形． 【追问2】你能试着证明一下吗？ 【师生活动】学生根据问题，写出已知、求证．教师提示可以参照等腰三角形性质的证明方法，通过作角平分线、高、中线等辅助线来证明．学生在教师的提示下，独立思考并尝试在学习任务单上进行证明．教师请学生代表分享做法，并进行点评讲解． 已知：在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 方法1 证明：如图，作△ABC顶角∠BAC的平分线AD，则∠1＝∠2． 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD≌△ACD（AAS）． ∴ AB＝AC． 方法2 证明：如图，作△ABC底边BC上的高AD． 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD≌△ACD（AAS）． ∴ AB＝AC． 方法3 证明：如图，作△ABC底边BC的中线AD，则BD＝CD． 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． 在△DBE与△DCF中， ∴ △DBE≌△DCF（AAS）． ∴ DE＝DF． 又 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠1＝∠2． 在△BAD和△CAD中， ∴ △BAD≌△CAD（AAS）． ∴ AB＝AC． 【新知】等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 【设计意图】将文字语言转化为图形语言和符号语言，并进行推理论证，帮助学生进一步规范并熟悉文字叙述形式的证明题的解题步骤．从性质与判定的互逆关系中提出猜想，再推理论证猜想的正确性，引导学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，体验数学知识的形成过程，提升问题解决的能力． 【问题2】等腰三角形的性质与判定方法有什么区别与联系？ 【师生活动】学生思考后小组交流讨论，教师适时点拨，学生完成学习任务单上的相关任务． 联系：等腰三角形的性质与判定方法是互逆命题，它们都揭示了特殊三角形中，组成元素（边、角）之间存在的关系． 区别：等腰三角形的性质是已知三角形是等腰三角形，从“两边相等”出发，推出其他元素（角和“三线”）的特殊性；等腰三角形的判定是从“两角相等”出发，推出两边相等，从而说明这个三角形是等腰三角形． 【提醒】“等角对等边”“等边对等角”都是指同一个三角形中的边角关系． 【追问】你认为等腰三角形的判定方法有什么作用？ 【师生活动】学生交流后达成共识：可以用来判断一个三角形满足什么条件时为等腰三角形，由此解决一个三角形中与线段相等有关的问题． 【设计意图】引导学生梳理性质与判定方法之间的联系与区别，从而进一步理解与掌握等腰三角形的判定方法及其意义——它既是全等知识的运用和延续，又为证明两条线段相等提供了更为简捷的途径和方法，启发学生在对比中建立知识之间的联系，学会辩证地看问题． 例题精讲 【例1】求证：如果三角形一个外角的角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 【师生活动】学生根据命题在学习任务单上画出图形，写出已知和求证，教师巡视指导，对写得不对或不好的地方进行纠正． 【答案】已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC． 求证：AB＝AC． 【师生活动】师生共同分析，达成共识：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．根据已有条件∠1＝∠2，AD∥BC，可设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系，从而完成证明．学生根据证明思路在学习任务单上独立完成推理论证过程，教师进行点评，引导学生说出证明过程中每一步的依据． 【答案】证明：∵ AD∥BC ， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C． 　　 又 AD 平分∠CAE， ∴ ∠1＝∠2． ∴ ∠B＝∠C． ∴ AB＝AC． 【设计意图】在应用平行线的性质和等腰三角形的判定方法解决问题的过程中，发展推理能力．同时，再次经历文字叙述形式的命题证明的全过程，提升把文字语言转化为图形语言、符号语言的能力，强化几何证明过程的规范性． 【例2】尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形． 【师生活动】学生自主分析作图思路，探索作图方法，教师组织学生交流，师生共同明确作图思路：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，等腰三角形底边所对的顶点在底边的垂直平分线上．由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形．学生在学习任务单上进行作图，教师规范作法． 【作法】如图． （1）作线段AB＝a； （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； （3）在MN上取一点C，使DC＝h； （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形． 【设计意图】让学生经历“图形构思—形成策略—设计流程—实施作图”的过程，积累尺规作图的活动经验，理解尺规作图的原理与方法，增强动手能力，发展几何直观与空间观念，充分发挥尺规作图的育人价值． 课堂练习 1．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°．分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师点评． 【答案】解：∵ ∠DBC＝36°，∠C＝72°， ∴ ∠1＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°． ∴ BC＝BD，即△BDC为等腰三角形． 又 ∠1是△ABD的一个外角， ∴ ∠1＝∠A＋∠2． ∴ ∠2＝∠1－∠A＝72°－36°＝36°． ∴ ∠2＝∠A． ∴ DA＝DB，即△ABD为等腰三角形． ∴ ∠ABC＝∠DBC＋∠2＝72°． ∴ ∠ABC＝∠C＝72°． ∴ AB＝AC，即△ABC为等腰三角形． ∴ 图中共有三个等腰三角形，即△ABD，△BDC，△ABC． 2．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师点评． 【答案】解：是等腰三角形． 如图，∵ 长方形 ABCD 沿对角线折叠， ∴ △BCD≌△BFD． ∴ ∠1＝∠2． 又 四边形 ABCD 是长方形， ∴ AD // BC． ∴ ∠3＝∠2． ∴ ∠1＝∠3． ∴ BE＝DE． 即重合部分△BDE 是一个等腰三角形． 3．如图，AC和BD相交于点O，且AB // CD，OA＝OB．求证OC＝OD． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，全班交流，教师点评． 【答案】证明：∵ AB // CD， ∴ ∠B＝∠D，∠A＝∠C． 又 OA＝OB， ∴ ∠A＝∠B（等边对等角）． ∴ ∠C＝∠D． ∴ OC＝OD（等角对等边）． 【设计意图】通过练习，巩固学生对等腰三角形判定方法的理解和应用． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并记录在学习任务单上． 1．我们是如何研究等腰三角形的判定方法的？ 2．比较等腰三角形的性质和判定方法，它们的区别与联系分别是什么？ 3．利用等腰三角形的判定方法，能解决哪些类型的问题？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第84～86页习题15.3第2、9题． 学科网（北京）股份有限公司 $