第二十五章《概率初步》期末基础知识复习练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

九年级期末基础知识复习及真题汇编 第25章 概率初步 本章是初中数学统计与概率板块的核心内容，承接小学阶段的可能性认知，聚焦概率的定义、计算方法及实际应用，重点考查“随机事件的判断”“概率的定量计算”和“用频率估计概率”三大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破列表法与树状图法的应用难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：概率的核心定义与事件分类 准确区分事件类型、理解概率的本质内涵，是进行概率计算的前提，需重点把握“确定性”与“随机性”的本质差异。 1. 事件的三种类型 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件。其发生的可能性为1（概率P=1）。 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件。其发生的可能性为0（概率P=0）。 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。其概率取值范围为0＜P＜1。 2. 概率的定义与表示 定义：对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 核心关联：事件发生的可能性越大，概率越接近1；可能性越小，概率越接近0。 3. 概率计算的前提条件 运用公式计算概率时，需同时满足两个条件： ① 一次试验中，有n种等可能的结果（每种结果发生的机会均等）； ② 事件A包含其中的m种结果。 二、核心突破：概率的计算方法 概率计算是本章核心考点，需根据试验的因素数量和结果特征，选择合适的计算方法，确保不重不漏地列举所有等可能结果。 1. 古典概型：列举法求概率 适用于试验结果为有限个且等可能的场景，包括直接列举法、列表法和树状图法。 （1）直接列举法 适用场景：试验涉及的因素单一，等可能结果数目较少（通常n≤10）。 计算公式：P(A) = 事件A包含的结果数m / 所有等可能结果数n。 （2）列表法 适用场景：一次试验涉及两个因素（如“摸两张卡片”“掷两枚骰子”），结果数目较多。 操作步骤：① 确定第一个因素的所有结果，作为表格的横行；② 确定第二个因素的所有结果，作为表格的竖行；③ 填写表格，列出所有等可能结果；④ 统计m和n，计算概率。 易错警示：注意区分“有放回”与“无放回”试验——有放回时，横行与竖行的结果完全相同；无放回时，同一结果不会重复出现（如摸球后不放回，第二次结果需排除第一次已摸出的球）。 （3）树状图法 适用场景：一次试验涉及三个或更多因素（如“摸三次球”“抛三枚硬币”），或因素虽为两个但需体现顺序。 操作步骤：① 以第一个因素的所有结果作为第一层分支；② 每个第一层分支下，对应第二个因素的所有结果作为第二层分支；③ 依次类推，直至列出所有因素的结果；④ 从树根到树梢的每条路径即为一种等可能结果，统计m和n。 优势：相较于列表法，能更清晰地体现多步骤试验的顺序性，避免重复或遗漏。 （4）方法选择口诀 单一因素用直接列举，两个因素选列表，三个因素画树状，顺序相关优先树状图。 （5）古典概型的核心特征 古典概型的两大核心是“有限性”和“等可能性”。若结果不具有等可能性（如质地不均匀的骰子），则不能用上述方法计算概率。 2. 几何概型：用区域度量求概率 适用场景：试验的所有等可能结果为无限个，但结果的发生与区域的“度量”（长度、面积、体积）成正比。 核心特征：① 无限性（结果数不可数）；② 等可能性（每个点被选中的机会均等）。 计算公式：P(A) = 构成事件A的区域度量 / 试验全部结果构成的区域度量。 常见类型： ① 长度型（如“数轴上取点”）：用线段长度比计算； ② 面积型（如“转盘投镖”“方格取点”）：用图形面积比计算； ③ 角度型（如“扇形转盘”）：用圆心角度数比计算。 易错警示：避免混淆度量类型——平面图形问题用面积比，线段问题用长度比，不可混用（如误将转盘面积比算成半径比）。 3. 统计概型：用频率估计概率 适用场景：无法用古典概型或几何概型计算概率（如“射击命中概率”“产品合格率”），需通过大量重复试验获取数据。 核心原理：在大量重复试验中，事件A发生的频率（m/n，其中m为事件A发生的次数，n为试验总次数）会稳定在某个常数p附近，这个常数p就是事件A的概率（P(A)=p）。 频率与概率的区别：频率是“实际值”，随试验次数变化而变化；概率是“理论值”，是频率的稳定值，不随试验次数改变。 应用要点：试验次数需足够多（通常n≥100），频率才会趋近于概率；用频率估计的概率是近似值，而非精确值。 三、核心技能：概率的综合应用 概率的应用核心是“建立概率模型→选择计算方法→分析实际意义”，常结合游戏公平性判断、实际问题预测等场景。 1. 游戏公平性判断 判断标准：若游戏中双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平。 解题步骤：① 明确游戏规则，确定双方的获胜事件；② 计算双方获胜事件的概率；③ 比较概率大小，判断公平性；④ 若不公平，提出修改方案（如调整得分规则、改变试验条件）。 2. 概率与统计的综合应用 常见场景：结合扇形统计图、条形统计图或频数分布表，用频率估计概率，解决预测问题（如“估计一批产品的合格率”）。 解题关键：从统计图表中提取“试验总次数n”和“事件A发生的次数m”，计算频率，将其作为概率的估计值，进而预测总体情况。 3. 几何概型的实际应用 典型场景：转盘游戏（计算指针落在某区域的概率）、投镖问题（计算投中阴影部分的概率）、随机取点问题（计算点落在指定区域的概率）。 解题步骤：① 确定“试验全部结果的区域”和“事件A的区域”；② 分别计算两个区域的度量（面积、长度等）；③ 代入公式计算概率。 四、易错点避坑指南 1. 事件类型判断错误：混淆“随机事件”与“必然事件”，如认为“明天会下雨”是必然事件（实际是随机事件）。 避坑技巧：用“一定发生”“一定不发生”“可能发生”三个标准严格区分，结合生活常识与数学规律判断。 2. 列举结果时重复或遗漏：用列表法或树状图法时，未按顺序列举，导致结果重复（如将“(1,2)”与“(2,1)”误判为同一结果）或遗漏。 避坑技巧：列表时按从小到大的顺序填写，画树状图时按固定顺序展开分支，列举后数清结果总数n（列表法中n=横行数×竖行数，树状图中n=最后一层分支数）。 3. “有放回”与“无放回”混淆：计算摸球、抽卡片概率时，未明确试验规则，导致结果数计算错误。 避坑技巧：审题时圈出“有放回”或“无放回”关键词，无放回试验中，后续步骤的结果数会减少。 4. 几何概型度量类型错误：平面图形问题中误按长度计算概率，或线段问题中误按面积计算。 避坑技巧：根据试验场景确定度量类型——“线”用长度，“面”用面积，“角”用度数，确保分子分母的度量类型一致。 5. 频率与概率混淆：认为“频率就是概率”，或试验次数较少时用频率估计概率。 避坑技巧：明确“频率是实际数据，概率是理论值”，只有当试验次数足够大（如n≥100）时，频率才可以近似代替概率。 6. 游戏公平性判断片面：仅比较结果数，忽略结果的等可能性，如认为“转盘上红色区域占2份，蓝色占1份，故甲胜概率大”（若红色区域面积小，实际概率反而小）。 避坑技巧：判断公平性的核心是“概率相等”，而非“区域份数相等”，需通过计算概率得出结论。 五、备考策略 1. 夯实基础：分类梳理事件与方法：① 用表格对比三种事件的定义、概率范围及示例；② 整理三种列举法的适用场景、步骤及优缺点，结合具体例题强化记忆。 2. 突破难点：针对性训练核心题型：① 重点练“有放回vs无放回”“两个因素vs三个因素”的列举法计算；② 多练几何概型的面积、长度计算，熟悉常见图形（正方形、扇形、三角形）的面积公式；③ 强化“概率与统计图表结合”的综合题，提升数据提取与应用能力。 3. 规范步骤：避免计算与书写错误：① 用列表法或树状图法时，必须先说明“所有等可能结果共有n种”“事件A包含m种结果”，再代入公式计算；② 几何概型题需写出“度量计算过程”（如面积公式），再求比值；③ 游戏公平性题需先判断，再说明理由，修改方案需具体可行。 4. 错题复盘：聚焦高频易错点：整理“结果重复遗漏”“有放回无放回混淆”“度量类型错误”三类典型错题，标注错误原因，重做时刻意规避同类问题。 5.复习口诀:事件分三类，必然1不可能0；随机事件在中间，概率大小看可能。 古典概型有限等可能，列举方法要选对；单一因素直接列，两个因素用表格，三个因素树状图，不重不漏是关键。 有放回，结果不变；无放回，总数递减。几何概型无限定，长度面积来度量，分子分母要对应，比值就是概率值。 频率估计概率时，试验次数要足够，游戏公平看概率，相等才是真公平。 一、选择题汇编 1.下列事件中，属于必然事件的是（ ） A.竹篮打水 B.水涨船高 C.百步穿杨 D.守株待兔 2.下列说法正确的是（      ） A.天气预报说“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨 B.“篮球队员在罚球线上投篮两次，都未投中”为不可能事件 C.“平分弦的直径必垂直于这条弦”是一个必然事件 D.“在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”为随机事件 3.下列说法错误的是（    ） A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是的概率为 B.不可能事件发生的概率为 C.买一张彩票会中奖是随机事件 D.一件事发生机会为，这件事就有可能发生 4.如图，把一个均匀的圆形转盘等分成份，在每一份上涂上红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种，再安装上指针，设计成一个“幸运大转盘”．任意转动转盘，指针停留在哪个区域的可能性最大？（    ） A.红色 B.黄色 C.蓝色 D.绿色 5. 在一个不透明的袋子中装有黑球个、白球个、红球个，除颜色外无其他差别，任意摸出一个球是红球的概率是（      ） 6.浙教版九年级上册课本第页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门，，或，再经过第二道门或才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（      ） A. B. C. D. 7.事件：打开电视，它正在播广告；事件：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（  ） A. B. C. D. 8.编号为、、、的试管中分别装有种溶液，个试管外观完全相同，号试管溶液呈红色；号试管溶液呈蓝色；号、号试管溶液呈紫色．将个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取个试管，溶液都为紫色的概率是（    ） A. B. C. D. 9.如图，电路图有只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（    ） A. B. C. D. 10.为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（    ） A. B. C. D. 11.小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A.若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B.小明获胜的概率是 C.小凡获胜的概率是 D.这个游戏是公平的 12.哥尼斯堡七桥问题是一条河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来，那么一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点？图是欧拉解决该问题所画的示意图，其中，，，四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥．欧拉将七桥问题转化成一笔画问题，即要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边，在图中，根据以上一笔画问题的规则，不同走法的总数是（   ） A.种 B.种 C.种 D.种 13.九年级同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A.抛一枚硬币，正面朝上的概率 B.掷一枚正方体的骰子，出现点数是的倍数的概率 C.将一副新的扑克牌（张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“”的概率 D.从装有个红球和个白球（个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是白球的概率 14.某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A. B. C. D. 15.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 “射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（   ） A. B. C. D. 16.如图，直角三角形的三边分别是，，，且，分别以三角形的三条边为边向外作正方形．若在该图形上做随机扎针试验，针头扎在三角形和三个正方形上的概率分别是，则下列关系式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 17.设是两个任意独立的一位正整数, 则点在抛物线上方的概率是 （      ） A. B. C. D. 18.在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A. B. C. D. 19.如图，一只圆形平盘被同心圆划成，，三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，，三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A. B. C. D. 20.一袋中装有形状、大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是，，，现从袋中任意摸出一个小球，对应的数字作为的值然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为的值，则使方程有两个不相等的实数根的概率为（    ） A. B. C. D. 二、填空题汇编 21.“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是       （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）． 22.“一只不透明的袋子中共装有个小球，它们的标号分别为，，，从中摸出个小球，标号为“”，这个事件是________．（选填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”） 23.一个不透明的盒子中装有个除颜色外无其他差别的小球，其中有个黄球和个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为____________． 24.一个不透明的口袋中有个黄色球和个红色球，这些球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是____________． 【答案】 【解析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，再根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【解答】解：设黄球用表示，红球用表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两次都摸出红球的结果有种， 两次都摸出红球的概率是， 故答案为：． 25.盒子里有个白球，个黄球和个红球，若从中任意摸一个球，摸到_____________球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要 26.把一个如图尺寸的长方形沿虚线裁成个完全相同的长方形拼成右图所示的正方形，在右图所在区域任意抛一粒豆子，落在空白区域的概率是____________． 27.从形状、大小相同的张数字卡片（分别标有数字，，，，，，，，）中任意抽张，抽出的恰好是：①偶数；②小于的数；③不小于的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是____________（填序号） 28.英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是___________． 29.如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为__________． 30.如图，有张标记数字的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取张，也可以取张，还可以取张卡片（取张或张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记，的卡片，乙又取走标记，的卡片，接着甲取走两张卡片，则       （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字，，的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是       ．（只填一种方案即可） 31.在不透明的袋子中有黑棋子枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出枚记下颜色后放回，这样连续做了次，记录了如下的数据： 次数 黑棋数 根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为___________枚． 32.如图所示的是一个面积为的正方形微信二维码，小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机挪点，经过大量重复试验，他将若干次有效试验的结果（点落在正方形区域外不计试验结果）绘制成了如图所示的折线统计图，由此估计黑色部分的面积大约为________． 33.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给，，，四家经销商销售．当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下： … … … 如果企业将台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到台设备，为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商____________分配台设备（填“”“”“”或“”）； 如果企业将台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_____________万元． 34.甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，的卡片，乙中有三张标有数字，，的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为，从乙中任取一张卡片，将其数字记为．若，能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为__________． 35.掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数分别记为，，则关于的方程有两个不相等的实数根的概率为_______________． 三、解答题汇编 36.在一个不透明的口袋中装有白、红两种颜色的小球，其中白球个，红球个．它们除了颜色外其他都相同． （1）从袋中随机摸出个球，求摸出白球的概率． （2）从袋中随机摸出个球，求摸出红球的概率． （3）请通过改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等， 37.如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），每个扇形区域内分别标有，，，，，，，这八个数字，转动转盘，停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： （1）转出的数字是是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）现有两张分别写有和的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．求这三条线段能构成三角形的概率． 38.《孟子·梁惠王上》中有言“老吾老，以及人之老”，“敬老爱老”是中华民族优良的传统美德，我们要弘扬这优良的传统，为新中国的精神文明建设贡献自己的一份力量．小颖计划利用周末从三个养老中心中，选择一个参加志愿服务活动，但一时间不知道该选择哪个养老中心，于是决定通过转转盘的方法决定．如图，有两个质地均匀的转盘，图①中的转盘被平均分成份，分别标上数字、、、，图②中的转盘被平均分成份，分别标上数字，小颖分别将两个转盘各转一次，记录下转盘停止转动后指针指向的数字（指针指向两个扇形的交线时视为无效，需重新转动转盘），若两个转盘都停止转动后指针指向的两个数字之积为正数，则去养老中心；若两个转盘都停止转动后指针指向的两个数字之积为负数，则去养老中心；若两个转盘都停止转动后指针指向的两个数字之积为零，则去养老中心． （1）图①中转盘停止转动后，指针指向的数字大于的概率为_____ （2）请用列表法或画树状图的方法求小颖最终去养老中心的概率．  39.年月日，神舟二十一号载人飞船与长征二号遥二十一运载火箭组合体已转运至发射区，计划近日择机实施发射．某航空航天博览会的展览馆展厅东、西、南、北面各有一个出入口，示意图如图所示．小华任选一个出入口进入展览大厅，参观结束后再任选一个出入口离开（选择出入口之间相互不受影响，且选择每个出入口的可能性均相同）． （1）小华从出入口进入展厅的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率．  40.小汤对九年级学生参与“力学”、“热学”、“光学”、“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 热学 光学 电学 （1）______，热学对应的圆心角____． （2）如图，当小汤随机闭合、、、这个开关中任意个时，用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 41.在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________． （2）“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）． （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 42.合肥市某小学准备开展“与春天进行一场浪漫的约会”的研学游活动，现对学校部分学生进行调研，选择研学游的地点：．祥源花世界，．骆岗公园，．合肥植物园，．合肥森林公园．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解答下列问题： （1）参加此次随机调查的学生共有多少人？选选项的学生人数有多少人？ （2）选项所对应的扇形圆心角的度数为______； （3）该校最终决定选择两处地址进行研学游，问选择的是骆岗公园和合肥植物园的概率为多少？ 43.随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：积极参与，一定参与，可以参与，不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图. 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 合计 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，_____，并将条形统计图补充完整； （2）该校有名学生，如果“不参与”的人数不超过人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ （3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果. 44.“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”，某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“、、、”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表： 血型统计表 血型 人数 ______ ______ （1）本次随机抽取献血者人数为____人，图中______； （2）补全表中的数据； （3）若这次活动中该校有人义务献血，估计大约有多少人是型血？ （4）现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率． 45.年月日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩分 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 说明：七年级抽取的名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为，，，，，，，．根据以上信息，解答下列问题． （1）_____；______； （2）学校从“”范围内随机抽取了名学生，其中有名男生和名女生，若从这名学生中随机选取名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的名学生恰好是名男生的概率． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末基础知识复习及习题汇编 第25章 概率初步 本章是初中数学统计与概率板块的核心内容，承接小学阶段的可能性认知，聚焦概率的定义、计算方法及实际应用，重点考查“随机事件的判断”“概率的定量计算”和“用频率估计概率”三大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破列表法与树状图法的应用难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：概率的核心定义与事件分类 准确区分事件类型、理解概率的本质内涵，是进行概率计算的前提，需重点把握“确定性”与“随机性”的本质差异。 1. 事件的三种类型 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件。其发生的可能性为1（概率P=1）。 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件。其发生的可能性为0（概率P=0）。 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。其概率取值范围为0＜P＜1。 2. 概率的定义与表示 定义：对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 核心关联：事件发生的可能性越大，概率越接近1；可能性越小，概率越接近0。 3. 概率计算的前提条件 运用公式计算概率时，需同时满足两个条件： ① 一次试验中，有n种等可能的结果（每种结果发生的机会均等）； ② 事件A包含其中的m种结果。 二、核心突破：概率的计算方法 概率计算是本章核心考点，需根据试验的因素数量和结果特征，选择合适的计算方法，确保不重不漏地列举所有等可能结果。 1. 古典概型：列举法求概率 适用于试验结果为有限个且等可能的场景，包括直接列举法、列表法和树状图法。 （1）直接列举法 适用场景：试验涉及的因素单一，等可能结果数目较少（通常n≤10）。 计算公式：P(A) = 事件A包含的结果数m / 所有等可能结果数n。 （2）列表法 适用场景：一次试验涉及两个因素（如“摸两张卡片”“掷两枚骰子”），结果数目较多。 操作步骤：① 确定第一个因素的所有结果，作为表格的横行；② 确定第二个因素的所有结果，作为表格的竖行；③ 填写表格，列出所有等可能结果；④ 统计m和n，计算概率。 易错警示：注意区分“有放回”与“无放回”试验——有放回时，横行与竖行的结果完全相同；无放回时，同一结果不会重复出现（如摸球后不放回，第二次结果需排除第一次已摸出的球）。 （3）树状图法 适用场景：一次试验涉及三个或更多因素（如“摸三次球”“抛三枚硬币”），或因素虽为两个但需体现顺序。 操作步骤：① 以第一个因素的所有结果作为第一层分支；② 每个第一层分支下，对应第二个因素的所有结果作为第二层分支；③ 依次类推，直至列出所有因素的结果；④ 从树根到树梢的每条路径即为一种等可能结果，统计m和n。 优势：相较于列表法，能更清晰地体现多步骤试验的顺序性，避免重复或遗漏。 （4）方法选择口诀 单一因素用直接列举，两个因素选列表，三个因素画树状，顺序相关优先树状图。 （5）古典概型的核心特征 古典概型的两大核心是“有限性”和“等可能性”。若结果不具有等可能性（如质地不均匀的骰子），则不能用上述方法计算概率。 2. 几何概型：用区域度量求概率 适用场景：试验的所有等可能结果为无限个，但结果的发生与区域的“度量”（长度、面积、体积）成正比。 核心特征：① 无限性（结果数不可数）；② 等可能性（每个点被选中的机会均等）。 计算公式：P(A) = 构成事件A的区域度量 / 试验全部结果构成的区域度量。 常见类型： ① 长度型（如“数轴上取点”）：用线段长度比计算； ② 面积型（如“转盘投镖”“方格取点”）：用图形面积比计算； ③ 角度型（如“扇形转盘”）：用圆心角度数比计算。 易错警示：避免混淆度量类型——平面图形问题用面积比，线段问题用长度比，不可混用（如误将转盘面积比算成半径比）。 3. 统计概型：用频率估计概率 适用场景：无法用古典概型或几何概型计算概率（如“射击命中概率”“产品合格率”），需通过大量重复试验获取数据。 核心原理：在大量重复试验中，事件A发生的频率（m/n，其中m为事件A发生的次数，n为试验总次数）会稳定在某个常数p附近，这个常数p就是事件A的概率（P(A)=p）。 频率与概率的区别：频率是“实际值”，随试验次数变化而变化；概率是“理论值”，是频率的稳定值，不随试验次数改变。 应用要点：试验次数需足够多（通常n≥100），频率才会趋近于概率；用频率估计的概率是近似值，而非精确值。 三、核心技能：概率的综合应用 概率的应用核心是“建立概率模型→选择计算方法→分析实际意义”，常结合游戏公平性判断、实际问题预测等场景。 1. 游戏公平性判断 判断标准：若游戏中双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平。 解题步骤：① 明确游戏规则，确定双方的获胜事件；② 计算双方获胜事件的概率；③ 比较概率大小，判断公平性；④ 若不公平，提出修改方案（如调整得分规则、改变试验条件）。 2. 概率与统计的综合应用 常见场景：结合扇形统计图、条形统计图或频数分布表，用频率估计概率，解决预测问题（如“估计一批产品的合格率”）。 解题关键：从统计图表中提取“试验总次数n”和“事件A发生的次数m”，计算频率，将其作为概率的估计值，进而预测总体情况。 3. 几何概型的实际应用 典型场景：转盘游戏（计算指针落在某区域的概率）、投镖问题（计算投中阴影部分的概率）、随机取点问题（计算点落在指定区域的概率）。 解题步骤：① 确定“试验全部结果的区域”和“事件A的区域”；② 分别计算两个区域的度量（面积、长度等）；③ 代入公式计算概率。 四、易错点避坑指南 1. 事件类型判断错误：混淆“随机事件”与“必然事件”，如认为“明天会下雨”是必然事件（实际是随机事件）。 避坑技巧：用“一定发生”“一定不发生”“可能发生”三个标准严格区分，结合生活常识与数学规律判断。 2. 列举结果时重复或遗漏：用列表法或树状图法时，未按顺序列举，导致结果重复（如将“(1,2)”与“(2,1)”误判为同一结果）或遗漏。 避坑技巧：列表时按从小到大的顺序填写，画树状图时按固定顺序展开分支，列举后数清结果总数n（列表法中n=横行数×竖行数，树状图中n=最后一层分支数）。 3. “有放回”与“无放回”混淆：计算摸球、抽卡片概率时，未明确试验规则，导致结果数计算错误。 避坑技巧：审题时圈出“有放回”或“无放回”关键词，无放回试验中，后续步骤的结果数会减少。 4. 几何概型度量类型错误：平面图形问题中误按长度计算概率，或线段问题中误按面积计算。 避坑技巧：根据试验场景确定度量类型——“线”用长度，“面”用面积，“角”用度数，确保分子分母的度量类型一致。 5. 频率与概率混淆：认为“频率就是概率”，或试验次数较少时用频率估计概率。 避坑技巧：明确“频率是实际数据，概率是理论值”，只有当试验次数足够大（如n≥100）时，频率才可以近似代替概率。 6. 游戏公平性判断片面：仅比较结果数，忽略结果的等可能性，如认为“转盘上红色区域占2份，蓝色占1份，故甲胜概率大”（若红色区域面积小，实际概率反而小）。 避坑技巧：判断公平性的核心是“概率相等”，而非“区域份数相等”，需通过计算概率得出结论。 五、备考策略 1. 夯实基础：分类梳理事件与方法：① 用表格对比三种事件的定义、概率范围及示例；② 整理三种列举法的适用场景、步骤及优缺点，结合具体例题强化记忆。 2. 突破难点：针对性训练核心题型：① 重点练“有放回vs无放回”“两个因素vs三个因素”的列举法计算；② 多练几何概型的面积、长度计算，熟悉常见图形（正方形、扇形、三角形）的面积公式；③ 强化“概率与统计图表结合”的综合题，提升数据提取与应用能力。 3. 规范步骤：避免计算与书写错误：① 用列表法或树状图法时，必须先说明“所有等可能结果共有n种”“事件A包含m种结果”，再代入公式计算；② 几何概型题需写出“度量计算过程”（如面积公式），再求比值；③ 游戏公平性题需先判断，再说明理由，修改方案需具体可行。 4. 错题复盘：聚焦高频易错点：整理“结果重复遗漏”“有放回无放回混淆”“度量类型错误”三类典型错题，标注错误原因，重做时刻意规避同类问题。 5.复习口诀:事件分三类，必然1不可能0；随机事件在中间，概率大小看可能。 古典概型有限等可能，列举方法要选对；单一因素直接列，两个因素用表格，三个因素树状图，不重不漏是关键。 有放回，结果不变；无放回，总数递减。几何概型无限定，长度面积来度量，分子分母要对应，比值就是概率值。 频率估计概率时，试验次数要足够，游戏公平看概率，相等才是真公平。 一、选择题汇编 1.下列事件中，属于必然事件的是（ ） A.竹篮打水 B.水涨船高 C.百步穿杨 D.守株待兔 【答案】B 【解析】本题主要考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然会发生的事件，根 据各选项描述的现象，结合物理常识和逻辑判断，逐一分析是否为必然事件． 【解答】解：选项：“竹篮打水”因竹篮有缝隙无法存水，属于不可能事件； 选项：“水涨船高”中，船浮于水面，水位上升时船体必然随之上浮，符合浮力原理， 是必然事件； 选项：“百步穿杨”依赖射箭者的技巧和偶然性，属于随机事件； 选项：“守株待兔”是极小概率事件，属于不可能事件或随机事件； 综上，只有是必然事件， 故选：． 2.下列说法正确的是（      ） A.天气预报说“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨 B.“篮球队员在罚球线上投篮两次，都未投中”为不可能事件 C.“平分弦的直径必垂直于这条弦”是一个必然事件 D.“在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”为随机事件 【答案】D 【解析】直接利用概率的意义以及随机事件的概念分别分析判断得出答案． 【解答】解：天气预报说“明天的降水概率为”，表示明天有的可能性都在降雨，此选项错误；“篮球队员在罚球线上投篮两次，都未投中”为随机事件，此选项错误； “平分弦的直径必垂直于这条弦”是一个随机事件，此选项错误； “在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”为随机事件，此选项正确． 故选：． 3.下列说法错误的是（    ） A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是的概率为 B.不可能事件发生的概率为 C.买一张彩票会中奖是随机事件 D.一件事发生机会为，这件事就有可能发生 【答案】A 【解析】必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是． 不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为． 不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率并且 ． 【解答】解：、同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是的概率，第一个出现的 机会是，第二个出现的机会也是，因而点数都是的概率为，错误，符合题 意； 、不可能事件发生机会为，正确，不符合题意； 、买一张彩票会中奖是随机事件，正确，不符合题意； 、一件事发生机会为，这件事就有可能发生，正确，不符合题意． 故选：． 4.如图，把一个均匀的圆形转盘等分成份，在每一份上涂上红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种，再安装上指针，设计成一个“幸运大转盘”．任意转动转盘，指针停留在哪个区域的可能性最大？（    ） A.红色 B.黄色 C.蓝色 D.绿色 【答案】D 【解析】本题考查比的应用，掌握知识点是解题的关键． 分别求出指针停留在红、黄、蓝、绿四种颜色区域的比，再比较即可解答． 【解答】解：由图，得 指针停留在红色区域的可能性为， 指针停留在黄色区域的可能性为， 指针停留在蓝色区域的可能性为， 指针停留在绿色区域的可能性为， 由，得 任意转动转盘，指针停留在绿色区域的可能性最大． 故选． 5. 在一个不透明的袋子中装有黑球个、白球个、红球个，除颜色外无其他差别，任意摸出一个球是红球的概率是（      ） 【答案】 【解析】利用概率计算公式即可。 【解答】袋子中装有黑球个、白球个、红球个，任意摸出一个球是红球的概率是故选 6.浙教版九年级上册课本第页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门，，或，再经过第二道门或才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解． 【解答】解：第一道门有、、三个出口，出第一道门有三种选择， 又第二道门有两个出口， 故出第二道门有、两种选择， 小松鼠走出笼子的路线有种选择， 分别为、、、、、， 故选． 7.事件：打开电视，它正在播广告；事件：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出、、，然后排序即可得 【解答】 解：事件：打开电视，它正在播广告是随机事件，； 事件：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于是必然事件，； 事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化是不可能事件，． ． 故选．  8.编号为、、、的试管中分别装有种溶液，个试管外观完全相同，号试管溶液呈红色；号试管溶液呈蓝色；号、号试管溶液呈紫色．将个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取个试管，溶液都为紫色的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，随机选择个试管，溶液都为紫色的结果数有种， 溶液都为紫色的概率是． 故选：． 9.如图，电路图有只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【解答】解：如图， 设开关分别为：， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的有种， 小灯泡发光的概率为， 故选：． 10.为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【解答】解：用表示祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共种等可能得结果，其甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的情况有种， ． 故选。  11.小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A.若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B.小明获胜的概率是 C.小凡获胜的概率是 D.这个游戏是公平的 【答案】C 【解析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图，再分别求出概率逐一对选项进行分析即可． 【解答】解：根据题意，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中： 小明获胜概率：， 小颖获胜概率：， 小凡获胜概率：即， 这个游戏不公平，故选项说法正确，符合题意， 故选：． 12.哥尼斯堡七桥问题是一条河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来，那么一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点？图是欧拉解决该问题所画的示意图，其中，，，四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥．欧拉将七桥问题转化成一笔画问题，即要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边，在图中，根据以上一笔画问题的规则，不同走法的总数是（   ） A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】D 【解析】本题考查了列举法，以及对题干规则的理解，根据题意记图中各顶点为、、、，分别以、、、为起点分种情况讨论，再分别列出其走法，即可解题． 【解答】解：记图中各顶点为、、、， ①以为起点，无法一笔画完； ②以为起点，无法一笔画完； ③以为起点，则可按以下顺序一笔画完， ， ， ， ， ， ， 共有种不同的走法； ④以为起点，则可按以下顺序一笔画完， ， ， ， ， ， ， 共有种不同的走法； 综上所述，不同走法的总数是种． 故选：． 13.九年级同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A.抛一枚硬币，正面朝上的概率 B.掷一枚正方体的骰子，出现点数是的倍数的概率 C.将一副新的扑克牌（张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“”的概率 D.从装有个红球和个白球（个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是白球的概率 【答案】B 【解析】求出各选项的概率，与统计图比较即可得到结论． 【解答】解：．抛一枚硬币，正面朝上的概率是，故选项不符合题意； ．掷一枚正方体的骰子，出现点数是的倍数的概率为，即频率在附近波动，故选 项符合题意； ．将一副新的扑克牌（张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“”的概率为 ，故选项不符合题意； ．从装有个红球和个白球（个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个 球恰好是白球的概率为，故选项不符合题意． 故选：． 14.某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有袋苹果，袋橘子，画树状图进而可得答案． 【解答】解：转动转盘次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有袋苹果，袋橘子，画树状图如下： 转动转盘次，共种情况，其中苹果和橘子都获得的有种情况， 转动转盘次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：． 15.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 “射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此求解即可． 【解答】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在附近， 估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是， 故选：． 16.如图，直角三角形的三边分别是，，，且，分别以三角形的三条边为边向外作正方形．若在该图形上做随机扎针试验，针头扎在三角形和三个正方形上的概率分别是，则下列关系式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据勾股定理可得，即，根据几何概率即可求解． 【解答】直角三角形的三边分别是，，，且， ， 根据几何概率的定义可知． 故选：． 17.设是两个任意独立的一位正整数, 则点在抛物线上方的概率是 （      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据、是两个任意独立的一位正整数，得出，取，然后求出点在抛物线的上方的所有情况，再根据概率公式，即可求出答案． 【解答】解：、是两个任意独立的一位正整数，，取， 代入时，， 点在抛物线的上方， ， 当时，， ，有个数，，，，，，，，，， 当时，， ，有个数，，，，，，，， 当时，， ，有个数，，，， 当时，， ，有个数，在此以上无解， 共有个，而总的可能性为， 点在抛物线的上方的概率是； 故选． 18.在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了列表法与树状图法、二次根式的性质等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． 由二次函数不经过第四象限，，或，再列表得到、的所有可能的值以及图象不经过第四象限的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【解答】解：二次函数不经过第四象限， ，或顶点纵坐标，即：，或， 列表： 共有种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为， 二次函数不经过第四象限的概率为． 故选：． 19.如图，一只圆形平盘被同心圆划成，，三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，，三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出部分面积与整个圆面积的比即为概率． 【解答】 解：如图，设小圆的半径为，则大圆的半径为，设， ， ， 解得：，， 部分面积与整个圆面积的比：， 等于， 故选． 20.一袋中装有形状、大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是，，，现从袋中任意摸出一个小球，对应的数字作为的值然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为的值，则使方程有两个不相等的实数根的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查列表法与树状图法、一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根需判别式大于零，即，化简得，画树状图，总共有 种可能，得出的情况数，再求概率即可． 【解答】解：方程有两个不相等的实数根， 判别式， 即，化简得， 和均从，，，中选取， 画树状图如下， 总可能结果数为，满足的有对： 所以，使方程有两个不相等的实数根的概率为 故选：． 二、填空题汇编 21.“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是     随机事件   （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）． 【答案】随机事件 【解析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【解答】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件． 22.“一只不透明的袋子中共装有个小球，它们的标号分别为，，，从中摸出个小球，标号为“”，这个事件是___不可能事件_____．（选填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】不可能事件 【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【解答】解：∵ 袋子中个小球的标号分别为，，，没有标号为的球， ∴ 从中摸出个小球，标号为“”，这个事件是不可能事件. 故答案为：不可能事件. 23.一个不透明的盒子中装有个除颜色外无其他差别的小球，其中有个黄球和个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为______________． 【答案】 【解析】根据盒子中共有个球，有个黄球和个绿球，可知红球的数量是 个，再根据概率的计算公式即可解答． 【解答】解：盒子中有个球，有个黄球和个绿球， 红球的数量为（个）， 红球的概率为：， 故答案为． 24.一个不透明的口袋中有个黄色球和个红色球，这些球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是____________． 【答案】 【解析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，再根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【解答】解：设黄球用表示，红球用表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两次都摸出红球的结果有种， 两次都摸出红球的概率是， 故答案为：． 25.盒子里有个白球，个黄球和个红球，若从中任意摸一个球，摸到____红_________球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加___6__________个这种颜色的球． 【答案】红,6 【解析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题 的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之， 数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至 少要比多，据此即可确定需要增加的个数． 【解答】解：， 红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． （个）， 要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加个这种颜色的球． 故答案为：红，6 26.把一个如图尺寸的长方形沿虚线裁成个完全相同的长方形拼成右图所示的正方形，在右图所在区域任意抛一粒豆子，落在空白区域的概率是____________． 【答案】 【解析】本题考查几何概率，求出中间空白正方形的面积和大正方形的面积即可． 【解答】解：大正方形的边长为，大正方形的面积为，中间空白小正方形的边长为，面积为， 所以中间小正方形的面积占大正方形的， 因此任意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率为， 故答案为：． 27.从形状、大小相同的张数字卡片（分别标有数字，，，，，，，，）中任意抽张，抽出的恰好是：①偶数；②小于的数；③不小于的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是_____②①③________（填序号） 【答案】②①③ 【解析】先找出恰好是偶数的有张卡片，小于的有张卡片，不小于的有张 卡片，再根据概率公式分别进行求解，然后比较即可． 【解答】从形状、大小相同的张数字卡片（分别标有数字，，，，，，， ，）中任意抽张，抽出的恰好是偶数的概率是； 小于的数的概率是； 不小于的数概率是 ， 则这些事件按发生的可能性从大到小排列是②①③； 故答案为②①③． 28.英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是___________． 【答案】 【解析】此题主要考查了列表求概率．设五大名窑的卡片分别为，根据列表法求得所有等可能结果，进而根据概率公式计算，即可求解． 【解答】解： 设五大名窑的卡片分别为，列表如下， 共有种等可能的结果，其中他抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的结果有 种， 抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是， 故答案为：． 29.如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为____________． 【答案】 【解析】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：设、、、分别用、、、表示， 画树状图得： 共有种等可能的结果，能够让灯泡发光的有种结果， 能够让灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 30.如图，有张标记数字的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取张，也可以取张，还可以取张卡片（取张或张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记，的卡片，乙又取走标记，的卡片，接着甲取走两张卡片，则     甲   （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字，，的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是    取走标记，，的卡片（答案不唯一）    ．（只填一种方案即可） 【答案】甲 ,取走标记，，的卡片（答案不唯一） 【解析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【解答】解：若甲先取走标记，的卡片，乙又取走标记，的卡片，接着甲取走 两张卡片，为，或，，则剩余的卡片为，或，，然后乙只能取走一张卡 片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；若甲首次取走标记数字，，的卡 片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案，，，理由如下： 乙取走，，，则甲再取走和中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获 胜， 故答案为：甲；，，（答案不唯一）． 31.在不透明的袋子中有黑棋子枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出枚记下颜色后放回，这样连续做了次，记录了如下的数据： 次数 黑棋数 根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为_____40________枚． 【答案】40 【解析】根据表格中的数据求出摸出黑棋的概率，然后求出棋子的总个数，再减去黑棋子的个数即可． 【解答】黑棋子的概率，棋子总数为，所以， 白棋子的数量（枚）． 故答案为：40. 32.如图所示的是一个面积为的正方形微信二维码，小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机挪点，经过大量重复试验，他将若干次有效试验的结果（点落在正方形区域外不计试验结果）绘制成了如图所示的折线统计图，由此估计黑色部分的面积大约为____55________． 【答案】55 【解析】根据频率估算点落在白色部分的概率，然后求出点落在黑色部分的概率，再乘以正方形面积即可． 【解答】解：根据折线统计图可知点落在白色部分的频率稳定在左右， 故点落在白色部分的概率是 所以黑色部分的面积大约为． 故答案为：55 33.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给，，，四家经销商销售．当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下： … … … 如果企业将台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到台设备，为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_____________分配台设备（填“”“”“”或“”）； 如果企业将台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_____________万元． 【答案】， 【解析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． 分别计算各经销商销售完第台比第台的利润的增长量，比较即可得答案； 分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即 可得答案． 【解答】解：当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ， 应向经销商分配台设备． 当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 34.甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，的卡片，乙中有三张标有数字，，的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为，从乙中任取一张卡片，将其数字记为．若，能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为___________． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程根的判别方法，列表或画树状图求随机事件的概率，根据方程有两个不相等的实根可得，画树状图表示所有等可能结果，再找出甲获胜的概率，即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即， 画树状图表示所有等可能结果如下，抽取结果表示为， 共有种等可能结果，其中的有，，，，，共 种， 甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为， 故答案为： ． 35.掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数分别记为，，则关于的方程有两个不相等的实数根的概率为_________________． 【答案】 【解析】本题考查了用列表法与画树状图法求概率，以及根的判别式，通过列表法或 画树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然 后根据概率公式求出事件的概率为．先画树状图展示所有种等可能的结果 数，然后根据判别式的意义找出满足的结果数，最后根据概率公式求 解即可． 【解答】解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中满足的结果数 有，，，，，，，，，，， ，，，，，，共有种情况， 关于的方程有两个不等实数根的概率为． 故答案为：． 三、解答题汇编 36.在一个不透明的口袋中装有白、红两种颜色的小球，其中白球个，红球个．它们除了颜色外其他都相同． （1）从袋中随机摸出个球，求摸出白球的概率． （2）从袋中随机摸出个球，求摸出红球的概率． （3）请通过改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等， 【答案】； ； 【解析】（1）本题考查了概率公式，改变条件使事件发生的可能性相同，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据概率公式即可求解； 根据概率公式即可求解； 根据改变条件使事件发生的可能性相同即可． 【解答】（1）解：根据题意，小球共个， 从袋中随机摸出个球，共有种相同可能性的情况， 白球个， 从袋中随机摸出个球，摸出白球的概率为； （2） 解：从袋中随机摸出个球，共有种相同可能性的情况， 红球个， 从袋中随机摸出个球，摸出红球的概率为； （3） 解：设向袋中加白球的数量为个（或者去掉个红球），摸到红球和摸到白球 的概率相等，答案不唯一，合理即可． 37.如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），每个扇形区域内分别标有，，，，，，，这八个数字，转动转盘，停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： （1）转出的数字是是___随机事件_____；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）现有两张分别写有和的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．求这三条线段能构成三角形的概率． 【答案】随机事件 【解析】（1）在一定条件下，移动会发生的事件叫做必然事件，可能发生，可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此可得答案； （2）根据构成三角形的条件可求出转出的数字大于且小于时能够与和作为三条线段的长度构成三角形，据此根据概率计算公式求解即可． 【解答】（1）解：由题意得，转出的数字是是随机事件； （2） 解：， 转出的数字大于且小于时能够与和作为三条线段的长度构成三角形， 转出的数字是，，时，满足题意， 这三条线段能构成三角形的概率是． 38.《孟子·梁惠王上》中有言“老吾老，以及人之老”，“敬老爱老”是中华民族优良的传统美德，我们要弘扬这优良的传统，为新中国的精神文明建设贡献自己的一份力量．小颖计划利用周末从三个养老中心中，选择一个参加志愿服务活动，但一时间不知道该选择哪个养老中心，于是决定通过转转盘的方法决定．如图，有两个质地均匀的转盘，图①中的转盘被平均分成份，分别标上数字、、、，图②中的转盘被平均分成份，分别标上数字，小颖分别将两个转盘各转一次，记录下转盘停止转动后指针指向的数字（指针指向两个扇形的交线时视为无效，需重新转动转盘），若两个转盘都停止转动后指针指向的两个数字之积为正数，则去养老中心；若两个转盘都停止转动后指针指向的两个数字之积为负数，则去养老中心；若两个转盘都停止转动后指针指向的两个数字之积为零，则去养老中心． （1）图①中转盘停止转动后，指针指向的数字大于的概率为_______ （2）请用列表法或画树状图的方法求小颖最终去养老中心的概率． 【答案】 【解析】（1）大于的有和，直接利用概率公式计算即可； （2）用画树状图的方法画出所有的结果，再判断正负后利用概率公式计算即可. 【解答】（1）解：大于的有和，故指针指向的数字大于的概率为， 故答案为：； （2） 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两个转盘都停止转动后指针指向的数字之积为正数的有种情况， (小颖最终去养老中心)  39.年月日，神舟二十一号载人飞船与长征二号遥二十一运载火箭组合体已转运至发射区，计划近日择机实施发射．某航空航天博览会的展览馆展厅东、西、南、北面各有一个出入口，示意图如图所示．小华任选一个出入口进入展览大厅，参观结束后再任选一个出入口离开（选择出入口之间相互不受影响，且选择每个出入口的可能性均相同）． （1）小华从出入口进入展厅的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率． 【答案】 【解析】 1）直接利用概率公式计算可得； （2）列出表格，得出总共的等可能的结果数，以及小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果数，再由概率公式求解即可． 【解答】（1）解：根据题意可得，展厅总共有个出入口， 所以小华从出入口进入展厅的概率为； 故答案为：； （2）解：列表如下： 进入展厅离开展厅 由表格可知，小华进入展厅和离开展厅的出入口选择共有种，其中进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果有种， 因此小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率为．  40.小汤对九年级学生参与“力学”、“热学”、“光学”、“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 热学 光学 电学 （1）___40____，热学对应的圆心角__36_____． （2）如图，当小汤随机闭合、、、这个开关中任意个时，用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 【答案】40， 见解答， 【解析】 1）先求出调查的总人数，再用总人数乘以频数分布表中“力学”对应的频率可求出；用乘以本次调查中“热学”所占的百分比即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及能使灯泡亮的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】（1）解：调查的人数为（人）， ， 热学对应的圆心角为． 故答案为：；； （2） 解：画树状图如下： 有种等可能结果，其中能使灯泡亮的结果有：，共种， 灯泡亮的概率为． 41.在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的______0.78____，_____158_____． （2）“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）． （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 【答案】； 除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 【解析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答． 【解答】（1）解：，； 故答案为：；； （2） 解：由表可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 摸到白球的概率估计值是； 故答案为：； （3） 解：（个）； 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 42.合肥市某小学准备开展“与春天进行一场浪漫的约会”的研学游活动，现对学校部分学生进行调研，选择研学游的地点：．祥源花世界，．骆岗公园，．合肥植物园，．合肥森林公园．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解答下列问题： （1）参加此次随机调查的学生共有多少人？选选项的学生人数有多少人？ （2）选项所对应的扇形圆心角的度数为___ ____； （3）该校最终决定选择两处地址进行研学游，问选择的是骆岗公园和合肥植物园的概率为多少？ 【答案】参加此次随机调查的学生共有人；选选项的学生人数有人 【解析】（1）用选项的人数除以其所占的比例，即可求出学生总数，然后用总人数减去其他三组的人数，即可求解； （2）用乘以其所占比例即可； （3）先分析出所有符合题意得情况，即可求出概率． 【解答】（1）解：人， 人； 参加此次随机调查的学生共有人；选选项的学生人数有人； （2） 解： 选项所对应的扇形圆心角的度数为； （3）解：该校最终决定选择两处地址进行研学游， 共有种情况可选：， 选择的是骆岗公园和合肥植物园的概率为．  43.随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：积极参与，一定参与，可以参与，不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图. 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 合计 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，__8____，并将条形统计图补充完整； （2）该校有名学生，如果“不参与”的人数不超过人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ （3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果. 【答案】，，补图详见解析 这次活动能顺利开展 【解析】 （1）先用除以％求出样本容量，然后求出， 的值，并补全条形统计图即可； （2）先求出的值，用的值乘以，然后把计算的结果与进行大小比较，则可判断这次活动能否顺利开展； （3）画树状图展示所有种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数为，然后根据概率公式计算． 【解答】 （1） 解：）％人， ， ， （2） ，（人） 这次活动能顺利开展. （3） 树状图如下： 由此可见，共有种等可能的结果，其中所选两人都是女生的结果数有种 44.“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”，某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“、、、”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表： 血型统计表 血型 人数 ______ ______ （1）本次随机抽取献血者人数为___50___人，图中__20____； （2）补全表中的数据； （3）若这次活动中该校有人义务献血，估计大约有多少人是型血？ （4）现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率． 【答案】50， ， 估计这人中大约有人是型血； 【解析】（1）用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算的值； （2）先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据； （3）用样本中型的人数除以得到血型是型的概率，然后用乘以此概率可估计这人中是型血的人数； （4）画出树状图，根据概率公式即可得到结果． 【解答】（1）解：这次随机抽取的献血者人数为（人）， 所以； 故答案为，； （2） 解：型献血的人数为（人）， 型献血的人数为（人）， 血型 人数 故答案为，； （3） 解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是型的概率， （人）， 估计这人中大约有人是型血； （4） 解：画树状图如图所示， 所以． 45.年月日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩分 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 说明：七年级抽取的名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为，，，，，，，．根据以上信息，解答下列问题． （1）__16_____；__19_____； （2）学校从“”范围内随机抽取了名学生，其中有名男生和名女生，若从这名学生中随机选取名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的名学生恰好是名男生的概率． 【答案】， 【解析】（1）将七年级名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，中间第名同学的成绩即为中位数，八年级名同学中出现次数最多的成绩即为众数； （2）方差的计算公式：；中位数、众数越大，掌握情况越好，方差越小，越稳定，只需比较这三个数即可； （3）列表可知所有可能的情况共有种，其中选取的名学生恰好是两名男生的结果有种，； 本题主要考查了中位数、众数和方差的定义与计算，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握方差的计算和列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【解答】（1）解：将七年级抽取的名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第名的成绩为， ． 由八年级抽取的名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为的人数最多， ． 故答案为：，； （2）列表如表： 男 男 男 女 男 —— (男，男) (男，男) (男，女) 男 (男，男) —— (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，男) —— (男，女) 女 (女，男) (女，男) (女，男) —— 共有种等可能的结果，其中所选取的名学生恰好是两名男生的结果有种， 所选取的名学生恰好是名男生的概率为． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $