第二十四章 圆 期末基础知识复习及习题汇编2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学讲义通过思维导图梳理圆的知识体系，结合表格对比点与圆、直线与圆的位置关系，用对比辨析区分弦与直径等易混概念，系统呈现垂径定理、切线判定等核心内容及内在联系，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，如切线判定两种方法的5道变式题，结合方程思想和转化法突破阴影面积计算，培养推理能力与运算能力。辅助线口诀“遇弦作距、遇切连径”帮助学生快速解题，支持不同层次学生自主复习，助力教师精准教学。

九年级期末基础知识复习及习题汇编 第24章 圆 本章是初中几何的核心内容，衔接直线形图形知识，聚焦圆的性质、与圆有关的位置关系及相关计算，重点考查 “垂径定理应用”“切线的判定与性质”“弧长与扇形面积计算” 三大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破几何证明与计算难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：圆的核心定义与基本性质 准确理解圆的相关概念、把握圆的对称性，是运用定理解决问题的前提，需重点区分易混淆概念的本质差异。 1. 圆的定义与相关概念 圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形。固定端点 O 为圆心，线段 OA 为半径。 关键关联：圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心距离等于半径的点都在圆上。 易混淆概念辨析： 弦与直径：直径是过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。 弧与半圆：圆上任意两点间的部分叫弧，半圆是圆的一半（180° 弧），小于半圆的是劣弧（用两个字母表示），大于半圆的是优弧（用三个字母表示）。 等圆与等弧：能够重合的两个圆是等圆（半径相等）；在同圆或等圆中，能够重合的弧是等弧（长度和度数都相等）。 2. 圆的对称性 轴对称性：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴（无数条对称轴）。 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合（圆心角、弧、弦关系定理的依据）。 3. 点与圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，位置关系与数量关系对应如下： 点在圆内：d＜r（如圆内接多边形的顶点）。 点在圆上：d＝r（如圆的弦的端点、切点）。 点在圆外：d＞r（如圆外一点引圆的切线的端点）。 4. 三角形的外接圆与内切圆 外接圆与外心：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三角形三个顶点的距离相等。 内切圆与内心：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三角形三边的距离相等。 二、核心突破：圆的关键定理与计算方法 圆的定理应用与计算是本章核心考点，需熟练掌握定理条件与结论，结合图形性质选择合适方法，确保逻辑严谨、计算准确。 1. 垂径定理及其推论 核心定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论（知二推三）：对于圆的直径、弦、垂直关系、弧的平分，五个要素中知道两个，可推出另外三个。 关键限制：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，避免忽略 “弦不是直径” 的前提。 适用场景：求解弦长、弦心距、半径等问题（构造直角三角形）。 操作步骤： 过圆心作弦的垂线（弦心距），连接半径，构造直角三角形。 利用勾股定理：r²＝d²＋()²（r 为半径，d 为弦心距，a 为弦长）。 2. 圆心角、弧、弦关系定理 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其余各组量都相等。 关键前提：必须强调 “同圆或等圆”，否则结论不成立。 角度关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数（1° 的圆心角对 1° 的弧）。 3. 圆周角定理及其推论 核心定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 重要推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等（同圆或等圆中）。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径（常用作辅助线构造直角）。 圆内接四边形的对角互补（对角和为 180°）。 易错警示：避免将 “同弧或等弧” 错记为 “同弦或等弦”，一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 4. 直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，位置关系如下： 位置关系 公共点个数 数量关系 关键特征 相离 0 个 d＞r 直线与圆无交点 相切 1 个 d＝r 直线与圆有唯一公共点（切点） 相交 2 个 d＜r 直线与圆有两个交点（割线） 5. 切线的性质与判定 切线的性质： 切线垂直于过切点的半径（核心性质，见切线必连半径）。 过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 切线的判定（两大方法）： 判定定理法（连半径，证垂直）： 适用场景：已知直线与圆有公共点。 步骤：连接圆心与公共点（半径），证明该半径与直线垂直（通过全等、勾股定理或角度计算）。 距离判定法（作垂直，证半径）： 适用场景：未知直线与圆的公共点。 步骤：过圆心作直线的垂线，计算垂线段长度 d，若 d＝r，则直线为切线。 易错警示：判定切线时不可缺少关键条件，避免误说 “垂直于半径的直线是切线”（需强调 “过半径外端”）。 6. 切线长定理 核心定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等（PA＝PB）。 推论：圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角（∠APO＝∠BPO），且垂直平分切点连线（AB⊥OP）。 适用场景：证明线段相等、角相等，求解切线长、角度等问题。 7. 弧长与扇形面积计算 弧长公式：（n 为圆心角度数，r 为圆的半径）。 扇形面积公式： S 扇＝nπr²（与弧长公式关联：S 扇＝）。 注意：n 为圆心角的度数，需与半径单位统一。 圆锥的侧面积与全面积： 圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长＝圆锥底面圆的周长（l＝2πr）。 侧面积：S 侧＝πr（为圆锥母线长，r 为底面圆半径）。 全面积：S 全＝πr＋πr²。 易错警示：避免混淆圆锥母线长与底面圆半径，计算时需明确扇形的半径是圆锥的母线长。 三、核心技能：圆的综合应用 圆的综合应用核心是 “定理融合＋模型构造”，常结合三角形、四边形、坐标系等知识，重点突破证明与计算的综合题型。 1. 切线相关综合证明 常见模型：切线与全等三角形、相似三角形、勾股定理的结合。 解题思路： 见切线，连半径，构造直角三角形。 利用直角关系推导角度相等或线段相等，结合全等或相似证明结论。 2. 圆与几何计算的综合 常见题型：求线段长、角度、面积（阴影部分面积）、弧长等。 解题关键： 构造直角三角形（垂径定理、切线性质、直径所对圆周角）。 利用方程思想：设未知数，通过勾股定理或线段关系列方程。 阴影部分面积：转化为规则图形（扇形、三角形、四边形）的面积和或差。 3. 坐标系中的圆问题 常见考点：求圆心坐标、半径、切线方程，判断直线与圆的位置关系。 解题方法： 利用坐标公式求圆心到直线的距离（d＝）。 结合距离判定法判断直线与圆的位置关系（d 与 r 比较）。 四、易错点避坑指南 1. 概念混淆类： 易错表现：混淆弦与直径、优弧与劣弧的定义，误将 “弦是直径”“优弧用两个字母表示”。 避坑技巧：结合图形标注概念关键词，如直径需满足 “过圆心”“弦” 两个条件，优弧必须用三个字母标注（起点 - 中间点 - 终点）。 2. 定理应用类： 易错表现：运用圆心角、弧、弦关系定理时忽略 “同圆或等圆” 前提；垂径定理推论中忽略 “弦不是直径” 的限制。 避坑技巧：解题前先检查定理适用条件，在图形中标记 “同圆” 符号，遇到弦被直径平分时，先判断该弦是否为直径。 3. 切线判定类： 易错表现：证明切线时缺少关键条件，如 “连半径后未证垂直”“作垂直后未证半径”；误将 “垂直于半径的直线是切线”。 避坑技巧：牢记切线判定的 “两步法”。 4. 计算失误类： 易错表现：弧长公式中误用圆心角的弧度制；圆锥侧面积计算时混淆母线长与底面半径；勾股定理应用时漏算 “弦长的一半”。 避坑技巧：计算前统一单位（圆心角用度数），标记圆锥的母线长（）和底面半径（r），垂径定理相关计算。 5. 辅助线添加类： 易错表现：遇到弦长问题未作弦心距；遇到切线问题未连半径；遇到直径问题未构造直角圆周角。 避坑技巧：牢记高频辅助线口诀 “遇弦作距、遇切连径、遇直径构直角”。 五、备考策略 1. 夯实基础：构建定理体系： 用思维导图梳理圆的概念、定理、推论，标注各定理的条件与结论。 分类整理易混淆概念（弦与直径、圆心角与圆周角等），对比差异。 2. 突破难点：针对性训练： 重点练切线的两种判定方法，每种方法至少完成 5 道变式题（含坐标系题型）。 强化垂径定理与勾股定理的综合计算。 多练阴影部分面积计算，总结 “转化法” 的常见应用（扇形减三角形、三角形减扇形等）。 3. 规范步骤：避免逻辑漏洞： 几何证明题按 “已知→求证→证明” 格式书写，每一步推理都要有定理依据（如 “由垂径定理得”“由切线性质得”）。 计算题写出公式，代入数据时标注单位，结果化简到位（含 π 的保留 π）。 4. 错题复盘：聚焦高频错误： 整理 “定理条件遗漏”“概念混淆”“计算失误” 三类错题，标注错误原因，重做时重点关注易错点。 复习口诀： 圆的概念要记清，圆心半径定图形；弦是端点在圆上，直径是弦过圆心。 垂径定理很重要，垂直平分弦与弧；知二推三需注意，弦非直径是前提。 圆心圆周角关系，同弧所对倍半比；直径对直圆周角，圆内接四边形对角补。 直线与圆三位置，距离半径来判定；切线判定两步走，连径证垂或作垂证径。 弧长扇形面积算，圆心角度不能乱；圆锥侧面是扇形，母线半径要分辨。 辅助线，有技巧，遇弦作距切连径；期末备考抓核心，定理应用要熟练。 一、选择题汇编 1.下列说法正确的是（   ） A.直径是弦，弦是直径 B.过圆心的线段是直径 C.直径只有一条 D.圆中最长的弦是直径 2.的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数是（   ） A. B. C. D.或 3.在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A. B. C. D. 4.如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 5.如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，连接，，，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 6.如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（   ） A. B. C. D.无法确定 7.如图，是的弦，与相切于点，连接，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 8.如图,、分别是☉的切线,、为切点,是☉的直径,已知,则的度数为（      ） A. B. C. D. 9.如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A.， B.， C.， D.， 10.如图，、分别为正方形边、的中点，以为半径，为圆心作扇形与延长线交于点，与交于点．若，则长为（      ） A. B. C. D. 11.如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点，以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A. B. C. D. 12.如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A. B. C. D. 13.如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点，．若，，则的度数为（      ） A. B. C. D. 14.如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（    ） A. B. C. D.随直线的变化而变化  15.如图，六边形是内接正六边形，以为边作正五边形，连接，延长交于点，若半径为，则的长为（   ） A. B. C. D. 16.如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A. B. C. D. 17.如图，为的直径，弦于，，，则的面积为（    ） A. B. C. D. 18.如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 19.如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 20.如图，在中，是直径，且，点是上一点，点是的中点， 于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交、于点、，连接，，．关于下列结论：①；②；③点是的外心；④点是的内心；⑤若，则． 其中正确结论的个数为（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 二、填空题汇编 21.下列说法中正确的有___________（填序号）． ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆； ④面积相等的两个圆是等圆． 22.已知正边形的一个内角为，则的值是          ． 23.传统服饰日益受到关注，如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为       米． 24.如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为_____________． 25.如图，周长为厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是________________． 26.如图，是的内接四边形，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，则＝      度． 27.如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则         ． 28.如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为____________． 29.如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，是的外接圆，则点的坐标为 ． 30.如图，正方形的顶点，都在上，且边与相切于点，如果的半径为，那么正方形的边长为______________． 31.如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是___________． 32.如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为___________．   33.如图，在平面直角坐标系中，，， 的半径为，为上任意一点，是的中点，则的最大值是 _______． 34.如图，正方形内接于，点为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点作于点，连接，若的半径为，则长的最小值为 ____________________ ． 35.如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，点与点关于对称，点与点关于点对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时，__________； （2）当的一边与相切时，的长为____________． 三、解答题汇编 36.一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数．  37.如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，，交的延长线于，交半圆于，且，求的度数． 38.如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，求证：； 若求平分． 【答案】证明见解答；证明见解答． 【解析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；利用等腰三角形的性质证明：再证明利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：从而可得答案． 39.已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） 如图②，为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径． 40.如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 41.如图，在中，，以为直径的交于点，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 42.如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与轴相切于原点，过点的直线与圆相切于点． （1）求的长； （2）求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； （3）求直线的解析式． 43.如图，、为的直径，弦于点，点在延长线上，交弦于点，为的中点，． （1）求证：为的切线； （2）求，求图中阴影部分的面积． 44.已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为，求的半径． 45.如图，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末基础知识复习及习题汇编 第24章 圆 本章是初中几何的核心内容，衔接直线形图形知识，聚焦圆的性质、与圆有关的位置关系及相关计算，重点考查 “垂径定理应用”“切线的判定与性质”“弧长与扇形面积计算” 三大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破几何证明与计算难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：圆的核心定义与基本性质 准确理解圆的相关概念、把握圆的对称性，是运用定理解决问题的前提，需重点区分易混淆概念的本质差异。 1. 圆的定义与相关概念 圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形。固定端点 O 为圆心，线段 OA 为半径。 关键关联：圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心距离等于半径的点都在圆上。 易混淆概念辨析： 弦与直径：直径是过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。 弧与半圆：圆上任意两点间的部分叫弧，半圆是圆的一半（180° 弧），小于半圆的是劣弧（用两个字母表示），大于半圆的是优弧（用三个字母表示）。 等圆与等弧：能够重合的两个圆是等圆（半径相等）；在同圆或等圆中，能够重合的弧是等弧（长度和度数都相等）。 2. 圆的对称性 轴对称性：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴（无数条对称轴）。 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合（圆心角、弧、弦关系定理的依据）。 3. 点与圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，位置关系与数量关系对应如下： 点在圆内：d＜r（如圆内接多边形的顶点）。 点在圆上：d＝r（如圆的弦的端点、切点）。 点在圆外：d＞r（如圆外一点引圆的切线的端点）。 4. 三角形的外接圆与内切圆 外接圆与外心：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三角形三个顶点的距离相等。 内切圆与内心：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三角形三边的距离相等。 二、核心突破：圆的关键定理与计算方法 圆的定理应用与计算是本章核心考点，需熟练掌握定理条件与结论，结合图形性质选择合适方法，确保逻辑严谨、计算准确。 1. 垂径定理及其推论 核心定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论（知二推三）：对于圆的直径、弦、垂直关系、弧的平分，五个要素中知道两个，可推出另外三个。 关键限制：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，避免忽略 “弦不是直径” 的前提。 适用场景：求解弦长、弦心距、半径等问题（构造直角三角形）。 操作步骤： 过圆心作弦的垂线（弦心距），连接半径，构造直角三角形。 利用勾股定理：r²＝d²＋()²（r 为半径，d 为弦心距，a 为弦长）。 2. 圆心角、弧、弦关系定理 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其余各组量都相等。 关键前提：必须强调 “同圆或等圆”，否则结论不成立。 角度关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数（1° 的圆心角对 1° 的弧）。 3. 圆周角定理及其推论 核心定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 重要推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等（同圆或等圆中）。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径（常用作辅助线构造直角）。 圆内接四边形的对角互补（对角和为 180°）。 易错警示：避免将 “同弧或等弧” 错记为 “同弦或等弦”，一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 4. 直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，位置关系如下： 位置关系 公共点个数 数量关系 关键特征 相离 0 个 d＞r 直线与圆无交点 相切 1 个 d＝r 直线与圆有唯一公共点（切点） 相交 2 个 d＜r 直线与圆有两个交点（割线） 5. 切线的性质与判定 切线的性质： 切线垂直于过切点的半径（核心性质，见切线必连半径）。 过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 切线的判定（两大方法）： 判定定理法（连半径，证垂直）： 适用场景：已知直线与圆有公共点。 步骤：连接圆心与公共点（半径），证明该半径与直线垂直（通过全等、勾股定理或角度计算）。 距离判定法（作垂直，证半径）： 适用场景：未知直线与圆的公共点。 步骤：过圆心作直线的垂线，计算垂线段长度 d，若 d＝r，则直线为切线。 易错警示：判定切线时不可缺少关键条件，避免误说 “垂直于半径的直线是切线”（需强调 “过半径外端”）。 6. 切线长定理 核心定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等（PA＝PB）。 推论：圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角（∠APO＝∠BPO），且垂直平分切点连线（AB⊥OP）。 适用场景：证明线段相等、角相等，求解切线长、角度等问题。 7. 弧长与扇形面积计算 弧长公式：（n 为圆心角度数，r 为圆的半径）。 扇形面积公式： S 扇＝nπr²（与弧长公式关联：S 扇＝）。 注意：n 为圆心角的度数，需与半径单位统一。 圆锥的侧面积与全面积： 圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长＝圆锥底面圆的周长（l＝2πr）。 侧面积：S 侧＝πr（为圆锥母线长，r 为底面圆半径）。 全面积：S 全＝πr＋πr²。 易错警示：避免混淆圆锥母线长与底面圆半径，计算时需明确扇形的半径是圆锥的母线长。 三、核心技能：圆的综合应用 圆的综合应用核心是 “定理融合＋模型构造”，常结合三角形、四边形、坐标系等知识，重点突破证明与计算的综合题型。 1. 切线相关综合证明 常见模型：切线与全等三角形、相似三角形、勾股定理的结合。 解题思路： 见切线，连半径，构造直角三角形。 利用直角关系推导角度相等或线段相等，结合全等或相似证明结论。 2. 圆与几何计算的综合 常见题型：求线段长、角度、面积（阴影部分面积）、弧长等。 解题关键： 构造直角三角形（垂径定理、切线性质、直径所对圆周角）。 利用方程思想：设未知数，通过勾股定理或线段关系列方程。 阴影部分面积：转化为规则图形（扇形、三角形、四边形）的面积和或差。 3. 坐标系中的圆问题 常见考点：求圆心坐标、半径、切线方程，判断直线与圆的位置关系。 解题方法： 利用坐标公式求圆心到直线的距离（d＝）。 结合距离判定法判断直线与圆的位置关系（d 与 r 比较）。 四、易错点避坑指南 1. 概念混淆类： 易错表现：混淆弦与直径、优弧与劣弧的定义，误将 “弦是直径”“优弧用两个字母表示”。 避坑技巧：结合图形标注概念关键词，如直径需满足 “过圆心”“弦” 两个条件，优弧必须用三个字母标注（起点 - 中间点 - 终点）。 2. 定理应用类： 易错表现：运用圆心角、弧、弦关系定理时忽略 “同圆或等圆” 前提；垂径定理推论中忽略 “弦不是直径” 的限制。 避坑技巧：解题前先检查定理适用条件，在图形中标记 “同圆” 符号，遇到弦被直径平分时，先判断该弦是否为直径。 3. 切线判定类： 易错表现：证明切线时缺少关键条件，如 “连半径后未证垂直”“作垂直后未证半径”；误将 “垂直于半径的直线是切线”。 避坑技巧：牢记切线判定的 “两步法”。 4. 计算失误类： 易错表现：弧长公式中误用圆心角的弧度制；圆锥侧面积计算时混淆母线长与底面半径；勾股定理应用时漏算 “弦长的一半”。 避坑技巧：计算前统一单位（圆心角用度数），标记圆锥的母线长（）和底面半径（r），垂径定理相关计算。 5. 辅助线添加类： 易错表现：遇到弦长问题未作弦心距；遇到切线问题未连半径；遇到直径问题未构造直角圆周角。 避坑技巧：牢记高频辅助线口诀 “遇弦作距、遇切连径、遇直径构直角”。 五、备考策略 1. 夯实基础：构建定理体系： 用思维导图梳理圆的概念、定理、推论，标注各定理的条件与结论。 分类整理易混淆概念（弦与直径、圆心角与圆周角等），对比差异。 2. 突破难点：针对性训练： 重点练切线的两种判定方法，每种方法至少完成 5 道变式题（含坐标系题型）。 强化垂径定理与勾股定理的综合计算。 多练阴影部分面积计算，总结 “转化法” 的常见应用（扇形减三角形、三角形减扇形等）。 3. 规范步骤：避免逻辑漏洞： 几何证明题按 “已知→求证→证明” 格式书写，每一步推理都要有定理依据（如 “由垂径定理得”“由切线性质得”）。 计算题写出公式，代入数据时标注单位，结果化简到位（含 π 的保留 π）。 4. 错题复盘：聚焦高频错误： 整理 “定理条件遗漏”“概念混淆”“计算失误” 三类错题，标注错误原因，重做时重点关注易错点。 复习口诀： 圆的概念要记清，圆心半径定图形；弦是端点在圆上，直径是弦过圆心。 垂径定理很重要，垂直平分弦与弧；知二推三需注意，弦非直径是前提。 圆心圆周角关系，同弧所对倍半比；直径对直圆周角，圆内接四边形对角补。 直线与圆三位置，距离半径来判定；切线判定两步走，连径证垂或作垂证径。 弧长扇形面积算，圆心角度不能乱；圆锥侧面是扇形，母线半径要分辨。 辅助线，有技巧，遇弦作距切连径；期末备考抓核心，定理应用要熟练。 一、选择题汇编 1.下列说法正确的是（   ） A.直径是弦，弦是直径 B.过圆心的线段是直径 C.直径只有一条 D.圆中最长的弦是直径 【答案】D 【解析】本题主要考查了圆的基本概念，掌握直径和弦的关系是解题的关键． 根据圆的相关概念逐项判断即可． 【解答】解：由直径是过圆心的弦，且圆中最长的弦是直径； 弦是连接圆上任意两点的线段，但弦不一定是直径（如非直径弦），故选项错误，不符合题意； ． 过圆心的线段且两端点在圆上的线段是直径，故选项错误，不符合题意； ．直径有无数条，故选项错误，不符合题意； ． 圆中最长的弦是直径，故选项正确，符合题意． 故选：． 2.的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数是（   ） A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，比较大小即可得到答案，熟记直线与圆的位置关系的判定是解决问题的关键． 【解答】解： 的半径是，圆心到直线的距离为， ，即直线与相离，公共点个数是， 故选：． 3.在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【解答】解：如图， 由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 4.如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【考点】圆周角定理 已知圆内接四边形求角度 【解析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角与圆周角的关系，解题的关键熟知相关性质． 根据圆内接四边形对角互补可求得，然后再根据同弧上的圆心角等于圆周角的倍即可得到结论． 【解答】 四边形内接于， ， ， ， 与所对的弧都是， ． 故选：． 5.如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，连接，，，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【考点】圆周角定理 半圆（直径）所对的圆周角是直角 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【解析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据弧、弦的关系及等腰三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【解答】解：如图，连接， 是的直径， ， ，， ， 点是的中点， ， ， ， ， 故选：． 6.如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（   ） A. B. C. D.无法确定 【答案】C 【解析】连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理、垂径定理以及三角形中位线定理来求解的长度． 【解答】解：连接并延长交于点，连接，， 是直径， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 又， 是的中位线， ， 故选：．   7.如图，是的弦，与相切于点，连接，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出及即可解决问题． 【解答】解：与相切于点， ， ， ， ． ， ， ． 故选． 8.如图,、分别是☉的切线,、为切点,是☉的直径,已知,则的度数为（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】根据切线的性质得．根据切线长定理得,所以,所以．故选． 9.如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，根据正六边形内接于，可得：，又因为，可知是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一定理可得：，利用勾股定理求出的长度，再利用弧长公式求出的长度即可． 【解答】解：如下图所示，连接、，则， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 故选：． 10.如图，、分别为正方形边、的中点，以为半径，为圆心作扇形与延长线交于点，与交于点．若，则长为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】此题暂无解析 【解答】解：依题意，，，，， 故此题答案为． 11.如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点，以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了正方形的性质、求扇形面积等知识点，弄清图形间的面积关系是解题的关键． 根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据求解即可． 【解答】解：在正方形中，， 的半径为：， 过点， 根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，即， 阴影部分面积为： ． 故选：． 12.如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，求特殊图形的面积，掌握扇形面积公式是解题关键． 连接，过点作于点，先求出、扇形的面积、扇形的面积，再利用面积的和差进行计算即可． 【解答】解：连接，过点作于点， ，， ，， ，， ，，， ， 的面积为：， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 图形的面积为：， 阴影部分的面积为：． 故选：． 13.如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点，．若，，则的度数为（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题暂无解析 【解答】四边形是的内接四边形,， ，， ， ，，， ，解得， ，．故此题答案为   14.如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（    ） A. B. C. D.随直线的变化而变化 【答案】A 【解析】本题主要考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 设与的切点为，与的切点为，利用全等三角形的判定与性质，再根据三角形的周长公式求解即可． 【解答】解：如图，设与的切点为，与的切点为，连接， 与相切， ， ， ， ， 同理可得：， 的周长 ． 故选：．  15.如图，六边形是内接正六边形，以为边作正五边形，连接，延长交于点，若半径为，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了求弧长，正多边形和圆，连接，根据正多边的性质求得，进而求得，根据圆周角定理求得，然后根据弧长公式，即可求解． 【解答】解：如图，连接， 六边形是内接正六边形， ， 为边作正五边形， ，， 的长为 故选：． 16.如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可． 【解答】解：连接， ， ， ， ， ， 在中，，即， （负值舍去）， ，， ， ，， ， 阴影部分的周长， 阴影部分的周长． 故选：．   17.如图，为的直径，弦于，，，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，解决此题的关键是合理的利用垂径定理；先根据垂径定理得到的长，根据勾股定理和线段的和差得到的长度，进而即可得到答案； 【解答】解：连接， 为的直径， ， ， 弦于， ， 在中，， 即 ， ， 的面积为； 故选：． 18.如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，，由勾股定理及圆周角定理的推论得，是的直径，根据等腰直角三角形的性质得，，从而，点在定圆的上运动，利用勾股定理得，进而利用三角形的三边关系即可得解． 【解答】解：如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，， ，， ，是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， 点在定圆的上运动， 根据三角形的两边只差小于第三边得，当、、三点共线时，最小， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故选∶． 19.如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】本题考查圆的有关知识，勾股定理及三角形全等等知识点，关键是综合运用几何知识点．根据圆周角定理判断①，弧、弦、圆心角的关系判断②，求出，根据等腰直角三角形的性质可判断③，作轴于，轴于，通过构造全等三角形，可判断④． 【解答】解：是直径， ，故①符合题意； 是中点， ，故②符合题意； ， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积为，故③符合题意； 作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ，， 是正方形， 设正方形的边长为， ， ， ， 点坐标是，故④不符合题意， 故选：． 20.如图，在中，是直径，且，点是上一点，点是的中点， 于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交、于点、，连接，，．关于下列结论：①；②；③点是的外心；④点是的内心；⑤若，则． 其中正确结论的个数为（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】①用反证法即可判断结论①；②通过证明即可判断结论②；③通过证明即可判断结论③；④说明与不一定相等，即可判断结论④；⑤证明是等边三角形，求出即可判断结论⑤． 【解答】解：设，则， ， ， 即：、是的三等分点， 这显然不符合题意，故结论①错误； 如图，连接， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论②正确； 是直径， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的外心，故结论③正确； 与不一定相等， 与不一定相等， 点不一定是的内心，故结论④错误； ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 点是的内心， ， ，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有：，共个， 故选：． 二、填空题汇编 21.下列说法中正确的有____①③④________（填序号）． ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆； ④面积相等的两个圆是等圆． 【答案】①③④ 【解析】根据圆的基本定义判断即可． 【解答】解：①直径是圆中最大的弦，故正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧一定是等弧，故错误； ③半径相等的两个圆是等圆，故正确； ④面积相等的两个圆半径相等，则两个圆是等圆，故正确； 故答案为：①③④． 22.已知正边形的一个内角为，则的值是    8        ． 【答案】8 【解析】根据正边形的每一个内角公式计算即可； 【解答】 正边形的一个内角为，， 解得：； 故答案是． 23.传统服饰日益受到关注，如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为       米． 【答案】 【解析】由题意知，，求得，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可． 【解答】解：由题意知，，解得， 裙长为米， 米， （米） 24.如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】连接，由点是的中点得到，，由勾股定理得到，求出，，，即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：连接， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 阴影的面积， 故答案为：． 25.如图，周长为厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是_________________． 【答案】 【解析】本题考查了求圆的面积，根据：，可先求出圆的半径，进而求出圆的面积即是长方形的面积，圆的面积就是阴影部分的面积，再分别算出圆面积和阴影部分的面积，再求出它们的比． 【解答】解：半径：（厘米) 圆面积为（平方厘米） 阴影部分的面积为 （平方厘米) 则． 故答案为： 26.如图，是的内接四边形，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，则＝    115   度． 【答案】115 【解析】连接，根据切线的性质定理，得，从而求得的度数，根据等边对等角得到；再根据圆内接四边形的对角互补，即可求得的度数． 【解答】连接，过点的切线交的延长线于点， ， ； ， ， ， 故答案为． 27.如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则     66    ． 【答案】66 【解析】连接，则有，然后可得，则，进而问题可求解． 【解答】 解：连接，如图所示： 是的直径，且是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：．   28.如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为________________． 【答案】 【解析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示： 则圆心是， 则圆的半径为 故答案为：． 29.如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，是的外接圆，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】如图：由题意可得在、的垂直平分线上，则；证得，即是等腰直角三角形，得出，即可得出答案. 【解答】 解：如图圆是的外接圆点在、的垂直平分线上， ， 点，，的坐标分别是，， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，点的坐标为． 故答案为． 30.如图，正方形的顶点，都在上，且边与相切于点，如果的半径为，那么正方形的边长为_________________． 【答案】 【解析】连接并延长，交于点，连接，设正方形的边长为，根据正方形的性质和切线的性质，得到，，根据垂径定理和勾股定理，进行求解即可． 【解答】解：连接并延长，交于点，连接， 正方形的边与相切于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 正方形的顶点，都在上， ， 的半径为， ， 设正方形的边长为，则：，， 在中：， 即：， 解得：（舍掉）或； 正方形的边长为：； 故答案为：． 31.如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是____________． 【答案】 【解析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理等知识，连接，由切线性质可得，又，则，所以，则，根据是的直径，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 故答案为：． 32.如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为_______2__________． 【答案】2 【解析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点在以为直径的圆上，以为直径作圆，连接交圆于点，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为﹒ 【解答】解：如图，是内部的一个动点，且满足， 点在以为直径的圆上， 以为直径作圆，连接交圆于点，此时有最小值﹒ ， ， ， 在中，， ﹒ 故答案为：   33.如图，在平面直角坐标系中，，， 的半径为，为上任意一点，是的中点，则的最大值是 ____3.5_______． 【答案】 【解析】连接，取的中点，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点的运动轨迹是以为圆心半径为的圆． 【解答】解：如图，连接，取的中点，连接、． ，， 的半径为， 点的运动轨迹是以为圆心半径为的圆， ，， ， 的最大值， 故答案为：． 34.如图，正方形内接于，点为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点作于点，连接，若的半径为，则长的最小值为 _______________________ ． 【答案】 【解析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点，以为直径作，则点在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【解答】如图，取的中点，以为直径作，连接 四边形是正方形， ， ， ， 则点在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． 四边形是正方形， ， 当在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 35.如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，点与点关于对称，点与点关于点对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时，____________； （2）当的一边与相切时，的长为__ __________． 【答案】 【解析】（1）先利用对称的性质得到，则可判断四边形为矩形，再根据圆周角定理，由为直径得到，则，由于点与点关于对称，则于，如图，设，在中利用含度的直角三角形三边的关系得到，，接着利用正方形的性质得，则，所以，解得，于是得到； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则，先证明，得到，同时有，，设，则，，所以，在中，可表示出，，然后根据度的直角三角形得，即，解方程求出即可得到的长． 【解答】（1）解：点与点关于对称，点与点关于点对称， ，， 点与点关于对称，点与点关于对称， ，， ， 四边形为矩形， 为直径， ， 在中， ， ，， 点与点关于对称， 于，如图， 设， 在中， ，则， ，， 四边形是正方形， ， 为等腰直角三角形， ， 而， ，解得， ； 故答案为：； 当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则， 四边形为矩形， ，， 而， ， ， ，， 设，则，， ， 在中，，， ， ，则， ，解得， ， 故答案为：． 三、解答题汇编 36.一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】 【解析】（1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 【解答】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， 该多边形的边数为 （2）解：由可得该多边形是正七边形， 中心角的度数．   37.如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，，交的延长线于，交半圆于，且，求的度数． 【答案】 【解析】此题暂无解析 【解答】试题分析:连结，如图，由，得到，则根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质得，加上，所以，即，然后解方程即可． 解:连结，如图， ， 而， ， ， ， ， ， ， ， ． 38.如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，求证：； 若求平分． 【答案】证明见解答；证明见解答． 【解析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；利用等腰三角形的性质证明：再证明利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：从而可得答案． 【解答】证明： 为直径， ． 证明： 为半圆的切线， 平分．  39.已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） 如图②，为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径． 【答案】见解答；的半径． 【解析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心． 根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可； 由题意易得是等边三角形，则，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【解答】解：的外接圆如图所示： 连接， ， 由作图知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 的半径． 40.如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】见解答 【解析】（1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【解答】（1）解：证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 41.如图，在中，，以为直径的交于点，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】证明见解答 【解析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【解答】（1）解：证明：如图，连接， 为的直径， 为的斜边上的中线， 是的半径， 为的切线； （2）解：为的斜边上的中线， ． 42.如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与轴相切于原点，过点的直线与圆相切于点． （1）求的长； （2）求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； （3）求直线的解析式． 【答案】 【解析】（1）连接，由于的坐标已知，因此求出的长度，根据直线与相切于点，与轴相切于原点，利用勾股定理定理可以求出的长度； （2）连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边三角形的性质得出，最后根据即可求出阴影部分面积； （3）过作轴于，用面积法得即得，从而，再用待定系数法可得直线解析式为． 【解答】（1）解：连接， 点的坐标分别为， ， ． 直线与相切于点， ， 与轴相切于原点， ， （2）连接， ，， ， ， ， ． （3）过作轴于，如图： ， ， ， 设直线解析式为，把代入得： ，解得 直线解析式为． 43.如图，、为的直径，弦于点，点在延长线上，交弦于点，为的中点，． （1）求证：为的切线； （2）求，求图中阴影部分的面积． 【答案】见解答 图中阴影部分的面积为 【解析】（1）连接，根据三角函数的定义得到推出是等边三角形，得到求得根据切线的判定定理即可得到结论． （2） 根据三角形的内角和定理得到根据平行线的性质得到根据三角函数的定义得到由扇形和三角形的面积公式即可得的答案． 【解答】证明：连接， ，， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， 是直角三角形， ， 是的半径， 为的切线； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 图中阴影部分的面积． 44.已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为，求的半径． 【答案】见解答 【解析】（1）根据四边形是正方形，可得是的直径，根据圆周角定理可得，再根据，可得，可证，由此即可求证； （2）如图所示，连接，过作于，可得四边形是矩形，可求出的长，设，可用含的式子表示，在中，根据勾股定理即可求解． 【解答】（1）解：证明：四边形是正方形， ， 是的直径， ，， ， ，即 是的切线． （2）解：如图所示，连接， 与相切于点，即是的切线， ，且（圆的半径相等）， 过作于，则四边形是矩形，， ， ，即分别是的中点， ， 设， ， 在中， ， ， ． 45.如图，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】见解答 ①；②，见解析 【解析】（1）由平分，得，则； （2）①连接，设，则，．可证明，则在中由勾股定理得，，解得，（不合题意，舍去），即的半径为； ②，理由如下：过点作于点，可证明，则．而，则四边形是矩形，则． 【解答】（1）解：证明：平分， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：①如图，连接， 设，则，． 由知， 又， ，    在中，，即， 解得，（不合题意，舍去）， 即的半径为； ②．       理由如下： 如图，过点作于点， 是的直径， ． 平分，，， ，， 由知， ， ． ， 四边形是矩形， ． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $