5.1.1 从算式到方程 课件 2025-2026学年人教新版七年级数学上册

5.1.1从算式到方程 第五章 一元一次方程 作者：泰平一生 1 1.通过算术与方程方法的使用与比较，体验用方程解决某些 问题的优越性，提高解决实际问题的能力. 2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学会判断 某个数值是不是一元一次方程的解.（重点） 3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. （难点） 学习目标 2 情景引入1 数学无处不在，即便是一些综艺节目中，也时常会用到一些数学知识.其中在“奔跑吧，兄弟”中，有一期节目就涉及中国古代著名典型趣题之一—— 鸡兔同笼问题. 观看视频，你能帮陈赫解决问题吗？ 情景引入2 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km．多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？下面我们将学习一种新的方法，通过列方程来解决这个问题． 思考 问题１ 用买3个大水杯的钱，恰好能买4个小水杯，大水杯的单价比小 水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 分析：如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为（x-5）元．因为用买３个大水杯的钱，恰好能买４个小水杯，所以 3x＝4（x-5）． 由这个含有未知数x的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯的单价． 5 思考 问题２ 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4000mm２，长和宽的比为8∶5（即宽是长的）．这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 分析：如果设这枚纪念币的长为xｍｍ，则纪念币的宽可以表示为xmm，面积可以表示为x2m２．已 知纪念币的面积为4000mm2，所以 x2＝4000． 由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念 币的长，进而可以求出纪念币的宽． 6 温故知新 小学我们已经学过简易方程，你能判断出下列各式哪些是方程吗？ (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) (6) ( ) √ × √ × √ × 含有未知数的等式叫做方程. 7 追根溯源 李善兰 （1811—1882） 在我国古代，一般用“天元”,“地元”,“人元”, “物元”等表示未知数．17世纪，法国数学家笛卡儿最早使用x，y，z 等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今． 汉语中 “方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题．我国古代数学著作 《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”．19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation(指含有未知数的等式）一词译为“方程” 8 归纳 比较：列算式和列方程 从算式到方程是数学的进步！ 列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难. 列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便. 9 观察与思考 观察下列方程，它们有什么共同点？ 70y=60（y+1） 70（z-1）=60z 问题1 每个方程中，各含有几个未知数？ 问题2 说一说每个方程中未知数的次数. 问题3 等号两边的式子有什么共同点？ 1个 1次 都是整式 10 知识要点 这样的方程叫做一元一次方程. 等号两边都是整式， （一次） 只含有一个未知数, （一元） 未知数的次数都是1, 概念：一元一次方程 11 练一练 √ √ 下列哪些是一元一次方程？ 练一练 【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程 是关于x的一元一次方程，则 m= . 1 注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0. 例1 若关于x的方程 是一元一次方程，则 n 的值为 . 2或－2 13 讲授新课 例１ 根据下列问题，设未知数并列出方程： （１）某校女生占全体学生数的52％，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ 二 列方程 解：（１）设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为（1-0.52）x． 根据 “女生比男生多80人”，列得方程： 0.52x－（1-0.52）x＝80． 14 讲授新课 例１ 根据下列问题，设未知数并列出方程： （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5ｍ，扩大后的绿地面积是500ｍ２，求正方形绿地的边长． 二 列方程 解：设正方形绿地的边长为xｍ，那么扩大后的绿地 面积为（x＋5x）m2．根据 “扩大后的绿地面积 是500m2”，列得方程 x2＋5x＝500． 15 讲授新课 例3 文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数. 二 列方程 解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60－x）支. 等量关系：x支铅笔的售价+（60－x）支圆珠笔的售价=87， 列方程： . 16 思考： 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 请同学们思考： 1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？ 2.列方程的依据是什么？ 设未知数列方程 一元一次方程 抓关键句子找等量关系 实际问题 17 讲授新课 对于方程4x=24，容易知道 x = 6可以使等式成立， 对于方程 170+15x =245，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？我们来试一试. 三 方程的解 x 1 2 3 4 5 6 … … 我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程 170+15x = 245中的未知数的值应是5． 185 200 215 230 245 260 170+15x 18 概念 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值． 对于前面根据本章引言中的问题列出的方程1.2x+1=0.8x+3，可以发 现，当x＝5时，左边＝1.2×5+1=7，右边＝0.8×5+3=7，这时方程左、右两边的值相等． 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值， 叫作方程的解（solution）．求方程的解的过程，叫作解方程． 19 讲授新课 例4（1）x=2，x=是方程2x=3的解吗？ （2）x10，x=20是方程3x＝4（x-5）的解吗？ 解：（１）当x＝2时，方程2x＝3的左边＝2×2＝4，右边＝3，方程左、 右两边的值不相等，所以x＝2不是方程2x＝3的解．当x＝时，方程2x＝3的左边＝2×＝３，右边＝3，方程左、右两边的值相等，所以x＝是方程2x＝3的解． （２）当x＝10时，方程3x＝4（x－5）的左边＝3×10＝30，右边＝4×（10－5）＝20，方程左、右两边的值不相等，所以x＝10不是方程3x＝4（x－5）的解． 当x＝20时，方程3x＝4（x－5）的左边＝3×20＝60，右边＝4×（20－5）＝60，方程左、右两边的值相等，所以x＝20是方程3x＝4（x－5）的解． 20 方法归纳 1. 将数值代入方程左边进行计算， 2. 将数值代入方程右边进行计算， 3. 若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是． 判断一个数值是不是方程的解的步骤： 21 练一练 2. 若 x =1是方程x2 －2mx +1=0的一个解，则m的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. -1 1. x =1是下列哪个方程的解 （ ） A. B. C. D. B C 练一练 3. 下列方程： ； ； ； ； . 其中是方程的是 ，是一元一次方程的 是 ．(填序号) ①②③④⑤ ②③ 23 练一练 4. 根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程， 并指出其是不是一元一次方程. （1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可 以跑3000 m？ 解：设沿跑道跑x周. 400x=3000， 是一元一次方程. 24 练一练 （2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买 了多少支？ 解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支. 0.3x+0.6(20－x)=9， 是一元一次方程. 25 练一练 （3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面 积是40 cm2，求上底． 解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm. ， 是一元一次方程. (上底+下底）×高=梯形面积 26 练一练 5. 已知方程 是关于x的一元一 次方程，求m的值，并写出其方程． 解：因为方程 是关于x的一元 一次方程， 所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得m = －2. 所以原方程为－4x+3 = －7. 27 阅读与思考 用正负数表示允许偏差 在现代工业生产中，产品的尺寸、质量等都有标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内， 只要不影响使用，产品比标准规格稍大或稍小一点，稍轻或稍重一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格品．生活中经常能看到用正负数表示允许偏差的情形． 如图１，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是40ｍｍ±0.05ｍｍ，这表示乒乓球的标准直径是40ｍｍ，允许偏差是±0.05ｍｍ．也就是说实际直径最大可以是（40＋0.05）ｍｍ，最小可以是（40－0.05）ｍｍ， 直径在这个范围内的乒乓球都是合格的． 类似地，你能说出图中2.74ｇ±0.02ｇ的含义吗？你还能举出用正负数表示允许偏差的例子吗？ 28 反思与小结 GOOD HABIT 29 课堂小结 1. 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两 边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 2. 方程的解： 解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知 数的值，这个值就是方程的解. 同学们，加油！ 31 UH Fujiya & Miyagi Lightbulbs, track 2 2008 Alternative & Punk 180672.67 XXX - 163 key(Don't modify):L64FU3W4YxX3ZFTmbZ+8/YnkFNfmFmKtjSd3xUNEHbFqLd3l8KuH8Nedw+9Vlys915U+PvzNaeEavB3GkQEBTCYYRC7EMNtI7RKTM/UdL2ZfToRioLq5ZxH9mgJEwkbALzKWfcapcucFx1XzVxB/BJ82BUcS32XoaNCu02HOB+bRcpV5HZx8hHyYXNb1YCObFQaPK63Ql2y3mCUtKUCcipp/vu0bpsLAf8QwtNMYOzRay6Zndpmn9iwqgySTtYthwJpjzaQ25lOM83YEg+yYUP2dpFUVWkuNJXyRveeAAtulo1BfK/+7X8hl0KIRzuSP5KcLuFDYsvScvI6oeIKGF/SQrV+8KpS+Vgm2mtDHbTb0oLgkEu1JwfSUVe3kj21My8fEHEIXfJq+ku0BjkUJfLNORUsHDP/j2vNDtHioADzvRAgZhoD6H5cgXzX0MpirziR3QmMByoPGgZ25N34SFemFEQAcokR0OgiObb7cc0I= Lavf58.46.101 $