精品解析：甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段性考试数学试题

甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. ，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过和讨论集合，再结合集合真子集的概念即可判断. 【详解】， 当时，， 当时，， 由此可知：是的真子集， 故选：A 2. 已知，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得到判断. 【详解】解：因为，且， 所以， 所以是第一象限角， 故选：A 3. 函数零点存在的区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数在上单调递增，，的零点所在区间为，故选C. 4. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象． 【详解】函数（且）中由得， 则函数过定点， 设，代入可得，解得， 故幂函数，则B选项图象符合. 故选：B. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. f(x)是偶函数，单调递增区间是 B. f(x)是偶函数，单调递增区间是 C. f(x)是奇函数，单调递减区间是 D. f(x)是奇函数，单调递增区间是 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域关于原点对称，结合奇偶性的定义，即可判断函数奇偶性；画出函数图象，根据图象即可求得函数的单调区间. 【详解】由函数可得，函数的定义域为， 且， 故函数f(x)为奇函数， 函数其图象如图所示， 所以函数f(x)的单调递减区间为(-1，1). 故选：C. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，以及数形结合求函数的单调区间，属综合基础题. 6. 下列结论错误的是（ ） A. “”的否定是“” B. 已知角的终边在直线上，则的值为 C. 已知，且，则 D. 设，则“，且”是“”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】A根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B根据任意角三角函数值的定义结合齐次式问题运算求解；C利用基本不等式运算求解即可；D根据充分、必要条件分析判断即可. 【详解】A：“”的否定是“”，正确； B：因为角的终边在直线上，则，所以，正确； C：因为，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，正确； D：若且，则且，可得，即充分性成立； 若，例如，满足，但不满足且，即必要性不成立； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，错误； 故选：D 7. 火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ） （参考数据，） A. 22.1 B. 22.3 C. 22.5 D. 22.7 【答案】C 【解析】 【分析】首先将条件中的数据代入速度公式求，再估算，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为. 故选：C 8. 已知函数，设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数奇偶性定义得到该函数为偶函数，则可得，再借助中间值从而去比较与的大小关系，则可得，最后借助对勾函数单调性与复合函数性质判断函数在上的单调性即可得解. 【详解】由恒成立，故的定义域为， ， 由，故为偶函数， 则， 又，， ， 故，当时，，令， 令，，由对勾函数性质可得该函数在上单调递增， 故在上单调递增，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点有三个，一是借助函数奇偶性定义得到该函数为偶函数，二是借助中间值从而去比较与的大小关系，三是借助对勾函数单调性与复合函数性质判断函数在对应区间内的单调性. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设为实数，且，则 B. 弧长和面积均为的扇形的半径为2 C. 若是第二象限角，则是第四象限角 D. 函数的零点是 【答案】BC 【解析】 【分析】通过举例可判断A，由扇形面积公式可判断B，由象限角的范围可判断C，由零点的概念可判断D. 【详解】对于A，取，满足，此时，故错误， 对于B，由扇形面积公式，可得，解得，故正确， 对于C，由条件知， 则，即第四象限的角，故正确， 对于D，函数的零点是，故错误， 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可判断AB选项的正误；利用函数对称性的定义可判断C选项的正误；利用对数函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】对于函数，有，可得， 即函数的定义域为，且， 令，则，D对； 函数上单调递增，在上单调递减， 而外层函数为增函数，所以，函数在上单调递增，在上单调递增，A对，B错； 因为， 即的图象关于直线对称，C对. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合任意角三角函数值的定义运算求解即可. 【详解】因为角的始边为轴的非负半轴，终边经过点， 所以. 故答案为：. 13. 计算：_______________ 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 已知函数.若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________，4个零点之和的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对数函数的性质化简函数的解析式，进而画出函数图象；将题干中的零点问题转化为两个函数图象的交点问题；结合对数运算，二次函数的对称性，对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，，则函数的大致图象如下： 由函数有4个不同的零点， 得函数的图象与直线有4个不同的交点，如图所示， 则，解得. 设函数的四个零点从小到大依次为， 由，得，即，解得， 由二次函数的对称性可知， 由图可知，又对勾函数在上单调递增， 所以， 因此，. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 分析】（1）先求出集合，再求其并集即可； （2）求出集合，再由题意可得是的真子集，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 解不等式，得，即， 解不等式，得，即， 所以； 【小问2详解】 由， 由是的充分不必要条件，可得是B的真子集， 所以，解得, 所以实数m的取值范围是. 16. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到的值，将除以，分子分母同时除以，即可得到有关的式子，代入即可得到答案； （2）先根据完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，构造等式即可求得结果. 【详解】（1）由，得或， 是方程的一个实根，且是第三象限角，， . （2）， ，则， ，所以， 故， . 17. 国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量（万片）随方案实施年数增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型： 方案一：； 方案二：； 方案三：． 如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？ 【答案】应该选择方案二，理由见解析． 【解析】 【分析】计算出方案一需要6年时间，方案二的年产量将在5年后超过15万片，方案三无法在7年内达到年产量15万片的目标，得到答案. 【详解】应该选择方案二，理由如下： 由题意可知，应在满足，且的情况下，选择所需时间最短的方案， 方案一：因为在上单调递增，且， 则方案一可以在7年内实现年产量15万片的目标， 由，解得， 所以方案一实现年产量15万片需要6年时间； 方案二：因为在上单调递增，且， 则方案二可以在7年内实现年产量15万片的目标， 由得，又因为，所以， 即方案二的年产量将在5年后超过15万片； 方案三：因为在上单调递增，且， 所以方案三无法在7年内达到年产量15万片的目标，故不能选择方案三． 综上，应该选择方案二． 18. 已知函数在时有最大值和最小值，设. （1）求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得的值. （2）结合换元法、分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得的取值范围. （3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围. 【小问1详解】 函数时不合题意， 所以为，所以在区间上是增函数， 故，解得. 【小问2详解】 由已知可得，则， 所以不等式， 转化为在上恒成立， 设，则，即，在上恒成立， 即， 当时，取得最小值，最小值为，则，即. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 方程可化为：，， 令，则方程化为，， ∵方程有三个不同的实数解， ∴画出的图象如下图所示， 所以，，有两个根､，且或，. 记， 则，即，此时， 或得，此时无解， 综上. 【点睛】研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解. 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点. （1）求函数的次不动点； （2）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数次不动点定义建立方程，求解即得； （2）因函数各有一个不动点和一个次不动点，故相当于对应的两个方程各有一个解，将两个方程利用参变分离法转化成求解对应函数的值域问题，最后求交即得. 【小问1详解】 设函数的次不动点为，则，即，将等式两边平方整理得：或，均符合题意， 故函数的次不动点为和. 【小问2详解】 设函数在上的不动点和次不动点分别为和.则由可得：， 即：，化简得：，，因在时为增函数，故，即； 再由可得：，即：，化简得：，， 因在时为增函数，故，即.综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是函数新定义问题. 解题关键在于设出不动点（或次不动点）后，对于方程有解的问题最便捷的方法就是运用参变分离法，把求参数取值范围的问题转化为求对应函数在给定区间上的值域问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. ，则与的关系是（ ） A B. C. D. 2. 已知，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 函数零点存在的区间为 A. B. C. D. 4. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. f(x)是偶函数，单调递增区间是 B. f(x)是偶函数，单调递增区间是 C. f(x)是奇函数，单调递减区间是 D. f(x)是奇函数，单调递增区间是 6. 下列结论错误的是（ ） A. “”的否定是“” B. 已知角的终边在直线上，则的值为 C. 已知，且，则 D. 设，则“，且”是“”必要不充分条件 7. 火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ） （参考数据，） A. 22.1 B. 22.3 C. 22.5 D. 22.7 8. 已知函数，设，，，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设为实数，且，则 B. 弧长和面积均为的扇形的半径为2 C. 若是第二象限角，则是第四象限角 D. 函数的零点是 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的值域为 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角始边为轴的非负半轴，终边经过点，则的值为____________. 13. 计算：_______________ 14. 已知函数.若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________，4个零点之和的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值. 17. 国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量（万片）随方案实施年数增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型： 方案一：； 方案二：； 方案三：． 如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？ 18. 已知函数时有最大值和最小值，设. （1）求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点. （1）求函数的次不动点； （2）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $