精品解析：江西省上饶市广信区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中考试 九年级上册·数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每道题只有一个正确的选项，本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根是（ ） A 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 4. 抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ） A. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 B. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 C. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 D. 开口向下，对称轴直线，顶点是 5. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数（）图象的一部分如图所示，顶点坐标为，与轴的一个交点的坐标为，给出以下结论：①；②；③、为函数图象上的两点，则；④当时方程有实数根，则的取值范围是，其中正确的结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则______． 8. 点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____． 9. 如图，是圆的直径，，点为弧的三等分点，则为______． 10. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是______． 11. 在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为______． 12. 已知在轴上有线段，且为个单位长度，以为边作等边，使点落在二次函数的图象上，则点的坐标为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 14. 如图，已知抛物线经过A（-3，0）、C（0，-3）两点． （1）求b，c的值； （2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当时，x的取值范围． 15. 已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，是边的中点； （2）如图2，直线与相切于点，且． 16. 已知关于x的方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数m使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 17. 如图，AB是⊙O弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝4时，求方程的根． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2； （3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标． 20. 如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了响应党中央的扶贫政策，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题： （1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； （2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系． 六、（本大题共12分） 23. 如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，-3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中考试 九年级上册·数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每道题只有一个正确的选项，本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. 已知是方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵x=2是方程的一个解， ∴， 解得：a=3， ∴2a-1=5． 故选：C． 3. 方程的根是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为两个一元一次方程或，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴ 或， 解得：或 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键． 4. 抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ） A. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 B. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 C. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 D. 开口向下，对称轴是直线，顶点是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数的开口方向由a的正负决定、对称轴为，顶点坐标． 直接根据二次函数的顶点式的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴ 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 故选：B． 5. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据“直径所对的圆周角为”可得，进而可得，然后结合“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 6. 二次函数（）图象的一部分如图所示，顶点坐标为，与轴的一个交点的坐标为，给出以下结论：①；②；③、为函数图象上的两点，则；④当时方程有实数根，则的取值范围是，其中正确的结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系，关键是熟练应用知识点解题； 根据抛物线的开口方向、增减性、对称轴等情况进行推理，对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，与轴交点在正半轴， ∴，， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，①正确； ∵与轴的一个交点的坐标为， ∴与轴的另一个交点的坐标为， ∴时， ∴，②正确； ∵、为函数图象上的点，且离对称轴较近，抛物线开口向下， ∴，③正确； ∵顶点坐标为， ∴当时，若方程有实数根， 则的取值范围是，④错误； 综上所述：正确的结论共个．  故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：． 故答案为：1． 8. 点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键． 9. 如图，是圆的直径，，点为弧的三等分点，则为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及弧、弦圆周角的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由圆周角定理可得，再分、两种情况解答即可． 【详解】解：∵是圆的直径，， ∴， ∵点为弧的三等分点， ∴当，即时，； 当，即时，． 故答案为：或． 10. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系是解题的关键． 根据流感传染模型，初始患病人数为1人，每轮传染中平均一人传染x人．第一轮传染后患病人数为人，第二轮传染新增患病人数为人，两轮后总患病人数为人．再根据题意两轮后共225人即可列出方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人． 第一轮传染后，患流感的人数为：． 第二轮传染时，第一轮后的每个患者传染x人，新增患病人数为：． 第二轮传染后，总患病人数为：． 因为经过两轮传染后总人数共有225人患了流感， 所以列方程：，整理得：． 故答案为：． 11. 在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握正六边形内接于圆时边长最大是解题的关键． 如图：先求得圆内接正六边形的中心角，进而证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 详解】解：如图， 由题意：，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是． 故答案为：8． 12. 已知在轴上有线段，且为个单位长度，以为边作等边，使点落在二次函数的图象上，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质，可求出其高为3，从而点C的纵坐标为3或，再代入二次函数解析式求解横坐标． 【详解】解：作于点H，等边三角形的边长为， ， 则其高， ∵线段在轴上， 因此点C的纵坐标为3或， 当点C的纵坐标为时，代入得：， 整理得：，即， 解得， 此时点C坐标为， 当点C的纵坐标为时，代入得：， 整理得：， 解得或， 此时点C坐标为或， 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：整理为一般式，得：， ，，， ， 则， 即，． 14. 如图，已知抛物线经过A（-3，0）、C（0，-3）两点． （1）求b，c的值； （2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将A（-3，0）、C（0，-3）两点的坐标代入抛物线解析式，即可得出b，c的值； （2）根据x轴上的点的纵坐标为零，令，求出的值即可得出B的坐标，结合图像，直接写出当时，x的取值范围即可． 【详解】解：（1）将（-3，0），（0，-3）代入得： ， 解得：， ∴b，c的值分别为2，-3； （2）由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）， 由图象可知当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数值的范围求自变量取值范围等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合的思想解题． 15. 已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，是边的中点； （2）如图2，直线与相切于点，且． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于，根据是边的中点，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求； （2）连接并延长，交于，根据直线与相切于点，且，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了复杂作图、垂径定理以及切线的性质的综合应用，解题的关键是掌握：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 16. 已知关于x的方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数m使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，m=-1 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，利用得到，则，然后解方程后利用（1）中的范围确定的值． 【详解】解：（1）根据题意得△， 解得； （2）存在． 根据题意得，， ， ， 即， 整理得，解得，， ； 的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．也考查了根的判别式． 17. 如图，AB是⊙O弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）60°；（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果． 【详解】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OD⊥AB， ∴＝，， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝4时，求方程的根． 【答案】（1）k＞﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣1． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-3）2+4k＞0，然后解不等式即可； （2）将k=4代入方程，因式分解法求出方程的根即可． 【详解】（1）∵方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0， 解得：k＞﹣； （2）将k＝4代入方程，得：x2﹣3x﹣4＝0， 则（x+1）（x﹣4）＝0， ∴x+1＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2； （3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（-1，0）． 【解析】 【分析】（1）根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可． 【详解】解：（1）△A1B1C如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换． 20. 如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5 【解析】 【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即， （2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5． 【小问1详解】 证明：连接、、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即， 【小问2详解】 解：设求的半径为， 由（1）可知， ∴为中点，为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵ ∴， 解得， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了响应党中央的扶贫政策，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）该产品销售价定为每千克31元时，每天销售利润最大，最大利润为242元． 【解析】 【分析】（1）根据销量乘以每千克利润=总利润进而得出答案； （2）把（1）中所得二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：（1）由题得出：， 故与的函数关系式为：； （2）， ∵，抛物线开口向下，且，得 ∴当时，有最大值，最大值为. 即该产品销售价定为每千克31元时，每天销售利润最大，最大利润为242元． 【点睛】此题考查了二次函数的应用-销售问题，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h． 22. 在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题： （1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； （2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系． 【答案】（1） 证明见解析；（2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接，则再证明即可；思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接，则再证明即可； （2）如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 再证明为等边三角形，从而可得结论. 【详解】解：（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接， 则 ∴， 根据勾股定理得，， ∵AP=1， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接， ∴ ∴, ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； （2），理由如下： 如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 则 为等边三角形， 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，作出适当的辅助线是解本题的关键. 六、（本大题共12分） 23. 如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，-3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）P点的坐标为（，）；（3）N的坐标为：（2，），（，3）或（，3） 【解析】 【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由△PBC的面积=S△PHB+S△PHC，即可求解； （3）分AC是边、AC是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为（a≠0）， ∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）三点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的解析式为． （2）如图1，作PE⊥AB于E交BC于D点， 设BC的解析式为， 把B（4，0）代入得， 解得：． ∴BC的解析式为， 设P点的坐标为（m，），D（m，）， ∴， ∴ ， 当时，S的值最大，此时， ∴P点的坐标为（，）． （3）存在．如图2所示， ①当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线，且C（0，-3），CN1∥AM1， ∴N1（2，）； ②当点N在x轴上方时，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中， ∴△AN2D≌△M2CO， ∴，即N2点的纵坐标为3． ∴， 解得：，， ∴N2（，3），N3（，3）． 综上所述，符合条件的点N的坐标为： （2，），（，3）或（，3）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $