精品解析：江西省赣州市大余县部分学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025～2026学年度上学期期中考试 九年级数学试题卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，1 B. 3， C. ，1 D. ， 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C三点在上，，则等于（ ） A B. C. D. 5. 如图，小球悬浮于液体中（，，），若，小球质量m为，则x的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或 D. 6. 二次函数的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点和关于原点对称，则______． 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则______． 9. 如图，为的直径，弦，垂足为，若的半径为，，则的长为______． 10. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则他将铅球推出的距离是____m． 11. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 12. 在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，在中，，是直径，，求证：． 15. 已知，，为中点，于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）图1中，将绕点逆时针旋转至； （2）在图2中，将绕点顺时针旋转 至． 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求m的值． 17. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． （1）将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； （2）求该雕像下半身设计高度． 19. 如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，连接，恰好使得，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 商城某商品现在售价为每件600元，每星期可卖出3000件，市场调查反映：如果上调价格，每涨价1元，每星期要少卖10件，已知商品的进价为每件400元，设每星期的销量为y件，每件商品的售价为元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价为多少时，每星期所获利润最大？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程是倍根方程； （2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ （3）若一元二次方程有两个实数根且是倍根方程，则，的等量关系是______（直接写出结果）． 22. 【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上学期期中考试 九年级数学试题卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义（轴对称图形：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合）． 依次分析每个选项的图形，判断是否同时满足轴对称和中心对称的条件． 【详解】A、图形沿中间竖直线折叠后两边能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，同时满足两个特征； B、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； C、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； D、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形． 故选：A． 2. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，1 B. 3， C. ，1 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程化为一般形式，再根据定义找出二次项系数和一次项系数． 【详解】解：原方程为， 移项得：， ∴二次项系数为3，一次项系数为． 故选：B． 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴所得抛物线的解析式是， 故选：B． 4. 如图，点A，B，C三点在上，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，题目比较基础，关键是找准同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 5. 如图，小球悬浮于液体中（，，），若，小球质量m为，则x的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，准确计算是解题的关键．根据浮力等于小球的重力列方程求解即可． 【详解】解：，，），， ， 解得，， 故选：C． 6. 二次函数的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键． 由二次函数图象可得：，可判断①；由对称轴，可判断②；将代入函数，求得y值，判断③；抛物线与x轴有两个交点，可判断④ 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴上， ∴，即，故①正确； ∵对称轴，即， ∴，故②正确； 当时，，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④四个． 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点和关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标均互为相反数，求解 m 和 n 的值，再计算它们的和，即可作答． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴，， 因此， 故答案为：． 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这一关系是解题的基础；由一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴； 故答案为：3． 9. 如图，为的直径，弦，垂足为，若的半径为，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得，由勾股定理即可得，进而即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则他将铅球推出的距离是____m． 【答案】 【解析】 【分析】令，解关于的一元二次方程，取的根即可； 【详解】解：令，可得： 解得：（舍）， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，令求得二次函数图像与轴的交点坐标是解题的关键． 11. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 12. 在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 分三种情况：若；若，且时，若，且时；若；分别画出图形，结合正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：若，如图，连接， 则点在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点也在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若， 此时点重合， 不符合题意； 综上，是等腰三角形，则或或； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）通过因式分解法将方程变形，转化为两个一元一次方程求解； （2）利用因式分解法把方程分解为两个一次因式的乘积，进而求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴． 14. 如图，在中，，是直径，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，先结合，得，又因为，则，得出，根据同位角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 已知，，为中点，于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中，将绕点逆时针旋转至； （2）在图2中，将绕点顺时针旋转 至． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长、交于点，即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长交于，连接并延长交的延长线于，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，延长、交于点，即为所求， ， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接、交于点，连接并延长交于，连接并延长交的延长线于，即为所求， ， ∵在中，， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴即为所求． 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，得，即可作答． （2）理解题意，将代入方程，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：依题意，将代入方程中， 得， 解得：． 17. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ， 该抛物线的顶点坐标为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． （1）将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； （2）求该雕像的下半身设计高度． 【答案】（1）； （2）该雕像的下半身设计高度为． 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：（或）． 【小问2详解】 解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 19. 如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，连接，恰好使得，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据三角形外角的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再由全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：线段绕点旋转到， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 ，， ． 又， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20. 商城某商品现在售价为每件600元，每星期可卖出3000件，市场调查反映：如果上调价格，每涨价1元，每星期要少卖10件，已知商品的进价为每件400元，设每星期的销量为y件，每件商品的售价为元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价为多少时，每星期所获利润最大？ 【答案】（1）； （2）每件商品的售价为650元时，每星期所获利润最大． 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是正确理解题意列出函数关系式，本题属于中等题型． （1）根据题意给出的等量关系即可求出与的关系式． （2）根据题意列出与的关系式，然后利用二次函数的性质即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：根据题意知，； 【小问2详解】 解：设每星期所获利润为， 则 ， 因为 所以当时，取得最大值，最大值为625000， 答：每件商品的售价为650元时，每星期所获总利润最大． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程是倍根方程； （2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ （3）若一元二次方程有两个实数根且是倍根方程，则，的等量关系是______（直接写出结果）． 【答案】（1）见解析； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用配方法解方程得到，，然后根据“倍根方程”可判断方程是倍根方程； （2）利用因式分解法解方程得，，再利用“倍根方程”的定义即可求解； （3）设一元二次方程的两个根为，，且，根据根与系数的关系得，即可求解． 【小问1详解】 解： ，， ， 该方程是倍根方程； 【小问2详解】 解方程得，， 该方程是倍根方程， 或； 【小问3详解】 设一元二次方程的两个根为，，且， ，即， 整理得． 22. 【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图①，连接，， 在中，，， ； （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 【答案】（1）①③； （2）； （3）水位超过了警戒线，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确理解新定义． （1）先设出直线上的参数坐标，再根据“相反点”的定义得到方程求解判断即可； （2）把代入得：①．再根据“相反点”的定义关于x的方程有两个相等的实数根，则②，再联立①②解方程组即可； （3）先确定，，设抛物线解析式为，再代入求出函数解析式，然后根据“相反点”的定义得到方程当，再解方程即可判断． 【详解】解：（1）①设直线上任意一点为， 由题意得，，解得， ∴“相反点”为，故①正确； ②设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故②错误； ③直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③正确， 故答案为：①③； （2）把代入得：①． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴②． 由①②可得，． ∴抛物线的解析式为； （3）水位超过了警戒线． 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $