精品解析：河南省新乡市2025-2026学年高二上学期教学目标测评数学试题

2025—2026学年高二数学目标测评卷 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 3. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形OABC中，，，，D是棱BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，集合（），当时，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆（）的右焦点为F，点P是椭圆C上一点，且（O为坐标原点），以P为圆心，PF为半径的圆与y轴相交于A，E两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. （多选）下列叙述错误的是（ ） A. 数列10，9，8，7可表示为 B. 数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C. 数列的项可以相等 D. 数列和可能是同一数列 10. 已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. 时，则点P的轨迹为线段BD B. 时， C. 时，的最小值为 D. 时，三棱锥的体积为定值 11. 已知直线（）与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，下列结论正确的是（ ） A. 线段中点的轨迹方程是 B. 点到点的距离的最大值为 C. 点到点的距离的最小值为 D. 点活动区域围成图形的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是________． 13. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 14. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则________，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 16. 实数x，y满足． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，，，M为棱PC的中点． （1）求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； （2）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由． 18. 已知双曲线过点，且离心率． （1）求双曲线C的方程； （2）设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是C上的一点，且的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，直线GA，GB的倾斜角分别为，． ①证明：； ②若动点H满足，求H的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二数学目标测评卷 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线方程得出斜率，进而可得出倾斜角. 【详解】因为， 可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为． 故选：B. 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】应用空间向量数量积坐标公式计算得出，进而应用模长坐标公式计算求解. 【详解】由向量，，且，得，则， 则． 故选：C. 3. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据椭圆方程得出焦点坐标，进而得出抛物线的准线方程. 【详解】∵椭圆的上焦点坐标为，根据抛物线方程可知， 抛物线的焦点坐标为， 抛物线的准线方程为． 故选：A. 4. 如图，空间四边形OABC中，，，，D是棱BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，计算化简，即可得答案. 【详解】 ． 故选：D 5. 设集合，集合（），当时，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出集合，再结合集合并集关系结合图形关系得出参数范围. 【详解】由得，所以集合表示以点为圆心，以2为半径的左半圆， 与轴的交点为，， 集合表示以点为圆心，以为半径的圆及其内部， 当圆过点时，此时，所以， 所以当时，则的取值范围是． 故选：B. 6. 已知椭圆（）的右焦点为F，点P是椭圆C上一点，且（O为坐标原点），以P为圆心，PF为半径的圆与y轴相交于A，E两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得出，再结合垂直关系列式解齐次式得出离心率. 【详解】由题可知，，过作轴，垂足为，如图所示． 因为点是椭圆上一点，且，设，所以， 即，解得， 不妨设点在第一象限，所以， 即圆的半径，因为圆心在弦的垂直平分线上，所以为的中点． 又因为，所以． 在中，，，所以，所以， 即，即，解得或， 因为，所以． 故选：D. 7. 正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 8. 在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，结合线面垂直得出法向量，，再应用面面角余弦公式计算求解. 【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为， 因为平面，平面， 所以，且，，，平面， 所以平面，同理平面， 所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ，，，，， 则. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. （多选）下列叙述错误的是（ ） A. 数列10，9，8，7可表示为 B. 数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C. 数列的项可以相等 D. 数列和可能是同一数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数列的表示法和定义、项的组成即可一一判断. 【详解】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误； 对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同， 那么这两个数列是不同的数列，故B错误； 对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确； 对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确． 故选：AB. 10. 已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. 时，则点P的轨迹为线段BD B. 时， C. 时，的最小值为 D. 时，三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，三点共线，可判定A；当时，点在线段上运动，可证平面，可判定B；当时，可得点在线段上运动，沿将平面旋转到与平面重合，计算求得的最小值，可判定C；取的中点，分别连接，，，，可得平面，进而可判断D. 【详解】由题意，正方体的棱长为为线段的中点， 且，其中， 对于A，当时，三点共线，即点P的轨迹为线段BD，故A正确； 对于B，取的中点分别为，连接， 当时，可得点在线段上运动，如图（1）所示， 在正方形中，因为，的中点，可得， 又由平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，所以B正确； 对于C，在，上分别取点和点，使得，连接， 当时，可得点在线段上运动， 在直角中，，，可得， 如图（2）所示，沿将平面旋转到与平面重合， 得到平面，连接， 则， 即的最小值为，所以C错误； 对于D，如图（3）所示，取的中点，分别连接，，，， 当时，可得点在线段上运动，由且平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值， 即三棱锥的高为定值，又由的面积为定值， 所以（定值），所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知直线（）与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，下列结论正确的是（ ） A. 线段中点的轨迹方程是 B. 点到点的距离的最大值为 C. 点到点的距离的最小值为 D. 点活动区域围成图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】先求得，两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，进而可得线段中点的轨迹方程，判断A，应用点到圆上点的距离得出最值判断BC，应用面积公式计算判断D. 【详解】由，得， 由，得， 由，得，设，则， 即， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 即线段中点的轨迹方程是，所以A错误； 点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为，所以B正确； 点与圆上点连线的距离减去圆C的半径即为点到点的距离的最小值， 所以最小值为，所以C错误； 点轨迹是以圆心在圆上，半径为的圆， 故点C的活动区域为圆盘，其面积为，所以D项正确． 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是________． 【答案】平行或直线在面内 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得结论. 【详解】由，， 可得，所以， 所以直线与平面的位置关系是平行或直线在面内． 故答案为：平行或直线在面内. 13. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取线段的中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，取线段的中点， 因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是即，， 在中，，整理得， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：. 14. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则________，则________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】先联立直线和椭圆方程得出韦达定理，由得出，进而得出，又，即可解出第二个空. 【详解】当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以，所以， 所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，（或）， 所以，则，所以， 又，，设， 所以，， 所以． 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）因为是棱的中点， 故,则，同理， 由于,所以,故， 又，平面， 故平面， 平面，因此平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，平面，故, 又平面, 故平面,平面, 故, 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设平面的一个法向量为 则，令，故 设平面的一个法向量为 则，令，故， 所以，则， 故二面角的正弦值为 【点睛】 16. 实数x，y满足． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，利用直线与圆有公共点可得，求解即可； （2）利用，结合两式的几何意义，作出示意图，数形结合可求解. 【小问1详解】 由得，令， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以的最小值为． 【小问2详解】 ， 可以看作点到直线的距离与它到距离比值的2倍， 设过点的直线与圆相切于点，此时取到最大值； 设直线方程为， 由，得， ，解得，结合图形可知， 把代入联立后的方程可得切点， 代入可得的最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，，，M为棱PC的中点． （1）求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； （2）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）建系求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）设，再应用点到平面距离向量公式计算求参，再应用模长公式计算. 【小问1详解】 因为，，两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系， ，，，，， 得，，， 设平面的一个法向量为， 得，令，得， 所以 所以 所以直线与平面所成角的正弦值是． 【小问2详解】 假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，则，， 设平面的一个法向量为 由，得， 令，得，得， 所以， ∴点到平面的距离是，， 即，存在点满足题意， 此时，所以 18. 已知双曲线过点，且离心率． （1）求双曲线C的方程； （2）设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 【答案】（1） （2）① 证明：如图，设的内切圆与，，分别切于，，， 所以，，， 所以， 又，所以，， 又，，所以与重合，所以的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，所以，，三点共线. ②， 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入C中，可得，根据离心率，可得，根据a，b，c的关系，联立求解，即可得答案. （2）①设的内切圆与，，分别切于，，，根据内心的性质及双曲线的定义，化简可得，，由题意可得，，所以与重合，所以的横坐标为，同理可证的横坐标也为，即可得证；②设直线的倾斜角为，则，，代入可得的表达式，根据题意，可得的范围，代入求解，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由双曲线过点，得， 又因为离心率，所以，结合，解得，， 所以方程为． 【小问2详解】 ①略 ②设直线的倾斜角为，则，， 则 ， 当时，， 当时，由题知，，，，则， 所以渐近线的斜率为，则渐近线的倾斜角为和， 因为，两点在双曲线的右支上，所以，且， 所以或，所以，且， 则， 综上所述，． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是C上的一点，且的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，直线GA，GB的倾斜角分别为，． ①证明：； ②若动点H满足，求H的轨迹方程． 【答案】（1） （2） ①证明：设直线的方程为，代入椭圆， 得， 因为直线与交于，两点，所以，解得， 设，，则，， 所以 ， 即直线与的斜率互为相反数，所以． ② 【解析】 【分析】（1）设，根据的面积，可求得c值，根据a，b，c的关系，可得，将G点坐标代入，可得，联立求解，即可得答案. （2）①设直线的方程为，，，与椭圆C方程联立，根据韦达定理，可得，的表达式，根据斜率公式，代入化简，可得，即可得证；②设直线的方程为，与椭圆C联立，根据韦达定理，可得，设直线的中点为，代入化简，可得P点坐标，进而可得直线的中垂线方程，同理可得中垂线方程，由题意，H为的中垂线与中垂线的交点，两方程联立，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 设，则的面积为， 解得，所以 由是上的一点，得， 联立，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②设直线的方程为，即，代入， 得， 因为，为直线与椭圆的交点，所以， 设直线的中点为，则， 所以， 即， 所以直线的中垂线方程为， 即， 根据，设直线的方程为， 同理得中垂线方程为， 因为动点H满足，所以H为的中垂线与中垂线的交点， 联立，得，消去得， 所以的轨迹方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $