精品解析：上海市金山中学2025-2026学年高三上学期10月学科素养数学试卷

2025-2026学年上海市金山中学高三年级上学期学科素养数学试卷 2025.10 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 若复数在复平面内对应的点为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，复数与复平面内点的一一对应关系，得出复数虚部. 【详解】由题意知，虚部为1. 故答案为：1. 2. 设为实数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为： 3. 已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，先求底面半径，再根据求，利用圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，，即， 所以，所以圆锥侧面积为， 故答案为：. 4. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. 5. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 6. 已知向量，且，则___________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算得出正切，再应用两角差的正切公式计算可得. 【详解】由于，所以，则， 所以． 故答案为：-3. 7. 已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期得出，再分类讨论代入计算应用诱导公式计算求解. 【详解】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 故答案为：. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，是上的点.若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义写出与，然后代入求解，即可求出. 【详解】由题意可知，，由椭圆的定义知，，则，所以. 故答案为：. 9. 已知，，且，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 10. 从1､2､3､4､5､6､7､8､9中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有__________.种 【答案】1584 【解析】 【分析】根据与的奇偶性相同分情况讨论，再结合排列组合的知识分别计算出每种情况的取法数量，最后将所有情况的取法数量相加即可. 【详解】与的奇偶性相同有两种情况：与均为偶数；与均为奇数. 要使与均为偶数，则、、、要么全是奇数，要么全是偶数. 从、、、、这个奇数中取出个不同数，其取法有种，得种. 从、、、这个偶数中取出个不同的数，其取法有种，得种. 取出的个数进行全排列，排列数为种，得种. 所以与均为偶数的取法共有种. 要使与均为奇数，则、、、中两个为奇数，两个为偶数. 从个奇数中取出个不同的数，其取法有种，得种. 从个偶数中取出个不同的数，其取法有种，得种. 取出的个数进行全排列，排列数为种. 所以与均为奇数的取法共有种. 将与均为偶数和均为奇数的取法数量相加，可得总的取法数量为种. 故答案为：1584. 11. 如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意设，则.，在，，中，分别用正弦定理，得，，再相乘化简即可求解. 【详解】由题可得， 设，则. 由题意，在中，， 在中，， 在中，， 将上述三式相乘，得， 从而有， 得， 所以. 故答案为： 12. 对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有__________个. 【答案】18 【解析】 【分析】根据题目所给条件，先根据定义域确定关键的函数值，然后根据计数原理将不能确定的几个函数值进行排列即可得到答案. 【详解】由题意，函数的定义域为和函数的值域均为：，可知自变量和函数值是一一对应的关系； 的定义域为，根据题目给出的“3”函数的新定义：有，即： ，，. 可得：，只能是，，，这样在值域当中只剩下是的倍，故，. 因为函数是“2”函数，根据题意恰有2个根，结合，，，，；剩余的不能确定的个函数值中，只需要，不同的分配方法有种. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（ ） A. 吸烟者一定会患肺癌 B. 吸烟者患肺癌的概率为99% C. 100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验思想，即可判断选项. 【详解】根据独立性检验思想可知，有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，也可认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%. 故选：D 14. 已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求出球的直径，进而求出球的半径和表面积. 【详解】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 15. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（ ） A. 存在满足 B. 存在锐角满足 C. 该表达式不存在最大值 D. 该表达式不存在最小值 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理，由可得，可得，所以，再结合的取值范围判断各选项的正误即可. 【详解】由题意得，因为，所以， 由正弦定理可得，，所以， 所以. 因为，所以， 设，则， 由得， 所以在上递减，在上递增， 又，所以， 所以无解，A错误； 若，则，与锐角相矛盾，B错误；由得C正确，D错误. 故选：C. 16. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题可得、、三点共线，进而可得的最小值为到边上的高，根据几何关系求出，将化成，通过几何关系求出的最小值即可. 【详解】设，故，若， 由，则，，共线，故， 由图得，当时有最小值，又， ∴，即，即为等边三角形． 由余弦定理，， 设M为BC中点，， ∴当取最小值时，有最小值， ∵为边上任意一点， ∴当时，有最小值， 设，过点作于点，则， 又，为的中位线， ∴，即， ∴． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：、构造等边三角形且，，共线，设M为BC中点，由，（先求出），数形结合判断最小与相关线段位置关系. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，应用中位线得出，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解. 【小问1详解】 连接交于点， ∵是的中点，是中点，， 又∵平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，∴， 令，则，， ∴是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为 18. 已知，函数. （1）若，求函数的表达式及定义域； （2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1），定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即可； （2）根据对数运算法则化简方程，结合对数函数的性质得方程，分类讨论得方程的根从而得实数的取值范围. 【小问1详解】 ，令， 则 因为，所以，又得，解得或， 则函数的定义域为； 【小问2详解】 由（1）得 方程， 即 可转化为，且 ①当即时，，符合题意； ②当即时， （i）当时，符合题意 （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解 综上可得，的取值范围. 19. 某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． （1）求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； （2）记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； （3）若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）13分 【解析】 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女学生人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （3）根据一名女学生和一名男学生参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 设“有女学生参加活动”为事件A，“恰有一名女学生参加活动”为事件， ，，． 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ，，， 的分布列为 0 1 2 ． 【小问3详解】 设一名女学生参加活动可获得的分数为，一名男学生参加活动可获得的分数为，则的所有可能的取值为3，6，的所有可能的取值为6，9， ，， ，， 有名女学生参加活动，有名男学生参加活动， ， ， 两个学生的得分之和的期望为13分． 20. 已知椭圆，，A是的右顶点． （1）若的焦点，求离心率e； （2）若，且上存在一点P，满足，求m； （3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【小问1详解】 由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. 【小问2详解】 由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. 【小问3详解】 由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）若，直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 【答案】（1） （2） （3） 先说明，设点为函数图象上的一点， 因为存在，则存在，设直线， 其中为任意的正常数， 考虑的最小值， 因为，且在上为严格增函数， 故当时，，即在上严格减， 当时，，即在上严格增， 故为函数的极小值点，也是最小值点，故， 若令，， 则对恒成立，即， 所以，且直线的“距离”为， 因为对任意的，都有， 考虑直线， 考虑， 因为直线的“距离”和直线的“距离”相等， 所以对任意的恒成立，所以， 则, 即，即， 同理有，故， 由的任意性可知函数为上的偶函数. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况进行分析，说明，再结合可得出的取值范围，即可得出集合； （2）要求直线的“距离”，则求的最小值，分、两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，可得出，再利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）先推导出，设点为函数图象上的一点，的最小值，令，，结合题中定义推导出，结合的任意性以及函数奇偶性的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 若，由可得，可知当时，，不合乎题意； 若，由可得，可知当时，，不合乎题意. 故，由可得，故. 【小问2详解】 要求直线的“距离”，则求的最小值，分以下两种情况讨论： ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格减，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故，所以， 令，其中，则， 由得，由得， 所以，函数在区间上严格增，在区间上严格减， 由题意知，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市金山中学高三年级上学期学科素养数学试卷 2025.10 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 若复数在复平面内对应的点为，则________． 2. 设为实数，则不等式的解集是__________. 3. 已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为________． 4. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 5. 在的展开式中，的系数为_________． 6. 已知向量，且，则___________． 7. 已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则________． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，是上的点.若，则的值为______. 9. 已知，，且，的最小值为________． 10. 从1､2､3､4､5､6､7､8､9中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有__________.种 11. 如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 12. 对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有__________个. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（ ） A. 吸烟者一定会患肺癌 B. 吸烟者患肺癌的概率为99% C. 100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 14. 已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 15. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（ ） A. 存在满足 B. 存在锐角满足 C. 该表达式不存在最大值 D. 该表达式不存在最小值 16. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值． 18. 已知，函数. （1）若，求函数的表达式及定义域； （2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 19. 某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． （1）求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； （2）记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； （3）若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 20. 已知椭圆，，A是的右顶点． （1）若的焦点，求离心率e； （2）若，且上存在一点P，满足，求m； （3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）若，直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $