第12章 全等三角形（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格和框架图系统梳理了全等三角形的知识体系，将定义性质、判定定理、辅助线作法等要点按“基础判定-性质应用-综合探究”的逻辑组织，并用思维导图呈现SSS、SAS等判定定理的联系与区别，突出复杂图形中隐含条件挖掘等重难点。 讲义亮点在于“分层题型+方法建模”的设计，如通过倍长中线法构造全等解决中点问题培养推理意识，网格作图题发展几何直观。基础题巩固对应边识别等规范，综合题结合旋转平移提升创新意识，助力不同学生进阶，也为教师提供精准教学的分层资源。

第12章 全等三角形 教学目标 1.掌握全等三角形的定义、性质及5种判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），明确SSA不能判定全等。 2.能准确识别全等三角形的对应边、对应角，熟练运用性质解决线段、角相等问题。 3.学会运用公共边、公共角等隐含条件，掌握倍长中线、角平分线建模等辅助线作法。 4.能解决全等三角形基础证明、综合探究等题型，提升几何推理和识图能力。 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形判定定理的理解与灵活应用。 （2）对应边、对应角的准确识别与对应关系书写规范。 （3）角平分线的性质、判定及相关证明。 （4）常见全等模型（公共边、一线三等角等）的应用。 2.难点 （1）复杂图形中隐含条件的挖掘与全等三角形的识别。 （2）辅助线的构造（倍长中线、截长补短等）及逻辑推理。 （3）判定定理的选择（如SAS中“夹角”的辨析）。 （4）综合题型中全等与图形变换（平移、旋转）的结合应用。 考点01命题、定义、定理与证明 1.命题：能判断真假的陈述句，形式为“如果……那么……”，分为题设和结论两部分。 2.定义：对概念的明确描述，具有确定性；定理：经逻辑推理证明为真的命题。 3.真命题与假命题：真命题需证明，假命题可通过反例证伪；原命题与逆命题的真假相互独立。 考点02全等三角形的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（夹角为两边的夹角，不可误用SSA）。 3.角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 4.角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.斜边直角边（HL）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。 考点03全等三角形的性质 1.对应边相等、对应角相等。 2.对应边上的中线、高线、角平分线分别相等。 3.周长相等、面积相等。 4.全等三角形经过平移、翻折、旋转后仍全等（全等变换不改变形状和大小）。 考点04等腰三角形的性质与判定 1.性质：①等边对等角（两腰对应的底角相等）； ②三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）； ③两腰上的中线、高线、底角平分线分别相等。 2.判定：①定义法（有两条边相等的三角形是等腰三角形）； ②等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形，需在同一三角形中）。 考点05等边三角形的性质与判定 1.性质：①三边相等；②三个内角均为60°；③是轴对称图形，有三条对称轴；④具备等腰三角形的所有性质。 2.判定：①定义法（三边相等的三角形）；②三个角都相等的三角形；③有一个角是60°的等腰三角形。 考点06逆命题和逆定理 1.互逆命题：两个命题的题设和结论相互交换，原命题为真时逆命题不一定为真。 2.互逆定理：若一个定理的逆命题经证明为真，则两者为互逆定理（如线段垂直平分线的性质与逆性质）。 3.等价命题：真假性一致的命题，可通过逆命题转换实现。 考点07线段垂直平分线的性质与判定 1.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 3.应用：可用于证明线段相等、确定对称点位置。 考点08角平分线的性质与判定 1.性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（距离为垂线段长度）。 2.判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.常用辅助线：过角平分线上一点向角两边作垂线段，构造全等三角形。 考点09构造全等三角形的常用方法 1.倍长中线法：延长中线至等长，构造SAS全等，集中分散的边和角。 2.截长补短法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段至与长线段相等（补短），证明线段和差关系。 3.旋转法：将三角形绕某点旋转一定角度，使分散的线段或角重合，适用于正方形、等腰直角三角形等对称图形。 4.翻折法：沿角平分线、中线等翻折三角形，构造全等，利用轴对称性质。 5.作平行线法：平移线段，构造等腰三角形或全等三角形，集中分散的线段。 题型01全等三角形的判定（选条件/辨依据） 方法技巧： 1.牢记5大判定定理：SSS（三边对应相等，即、、)、SAS(两边及夹角对应相等，即、、)、ASA(两角及夹边对应相等，即、、)、 AAS(两角及对边对应相等，即、、)、HL(直角三角形斜边+直角边对应相等，即、，)。 2.排除易错点：SSA不能判定全等(两边及其中一边的对角相等不满足全等条件)，需注意“夹角”“对应边”的精准识别。 3.优先找公共边、公共角、对顶角等隐含相等条件(如、、)。 【典例1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据即可解答． 【详解】解：由图可以看出这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边， 因此符合． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·福建福州·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（   ）去． A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理“角边角”，根据三角形全等的判定定理，分析哪一块玻璃能提供足够的条件确定原三角形的形状和大小，从而选出正确选项． 【详解】解：由图可知，带第③块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，，，，下列条件中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，如图，设交于点，延长交于点，先利用平行线的性质得到，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）并能根据情况选用适当的方法进行全等的判定． 【详解】解：如图，设交于点，延长交于点，    ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，根据可判断，故选项A不符合题意； 当时，这是“两边及一边的对角对应相等”的形式，不能判断，故选项B符合题意； 当时，根据可判断，故选项C不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴，根据可判断，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式3】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，，若添加一个条件后，能使，则这个条件是 （写出一个即可）． 【答案】或或（写出一个即可） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可得解，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加：， 在和中， ， ∴； 添加：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加：， 在和中， ， ∴； 故答案为：或或（写出一个即可）． 题型02全等三角形性质的直接应用(求角/边长) 方法技巧： 1.核心逻辑：先证全等(如)，再用“对应边相等(、)、对应角相等(、)”求未知量。 2.辅助思路：全等三角形的周长相等()、面积相等()，对应边上的中线、高、角平分线相等(如，、)。 3.步骤规范：先标注全等条件→写出全等结论(注明判定依据)→推导对应量相等。 【典例】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则 ． 【答案】36 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵O是和的中点， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：36． 【变式1】．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，点在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质． 由全等三角形的性质，可得，，可得，由三角形外角的性质，等量代换，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据题意可证，由此即可求解； （2）根据线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． （2）解：由（1）知， 又, ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·江西赣州·期中）（1）在中，，，求的度数． （2）如图，已知线段、相交于点E，，．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，理解题意是解决本题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）证明即可得证． 【详解】解：（1）在中，，， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 题型03等腰三角形的基础性质与判定 方法技巧： 1.性质：等边对等角(若，则)、三线合一(若是等腰顶角平分线，则且)。 2.判定：等角对等边(若，则)，注意“在同一三角形中”的前提。 3.易错点：未明确腰底时需分类讨论(如已知等腰一边长为5，另一边长为8，则腰长为5时底边长为8，腰长为8时底边长为5)。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义．题中给出的边长可能是腰或底边，需分两种情况讨论，并验证是否满足三角形三边关系，即可作答． 【详解】解：依题意，当为腰时，底边为， 此时，符合三边关系； 当为底边时，腰长为， 此时，符合三边关系， 故答案为：4或 【变式1】．（25-26八年级上·湖北·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是 ． 【答案】40 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 【变式2】．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，设出未知数列出方程是解题关键． 由题意可得，，都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点为外一点，平分交于点，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质；掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键． 利用角平分线的定义和三角形外角的性质计算角的和差，可得，由等腰三角形等边对等角的性质，再由三角形内角和为，即可解答； 【详解】解：∵平分， ， ∵为的外角， ， 又 ∵， ， ， ， ， ． 题型04角平分线与线段垂直平分线的基础应用 方法技巧： 1.角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等(若平分，、，则)；逆定理(若且、，则在平分线上)。 2.线段垂直平分线：线上点到线段两端距离相等(若是垂直平分线，在上，则)；逆定理(若，则在垂直平分线上)。 3.常用辅助线：过角平分线上的点作角两边的垂线段，转化为线段相等问题。 【典例1】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得出，，，，再由全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论． 【详解】解：， ，，，， ，故①正确，符合题意； 四边形的对角线、相交于点， ， 在和中， ， ，故③正确，符合题意； ，故②正确，符合题意； 与不一定相等， ∴不一定垂直平分．， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，的角平分线交于点F，平分．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有几个（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确； 根据等腰三角形三线合一的性质得出，故③正确； ②④利用反证法判断错误． 【详解】解：连接． ，， ，，， ，，故①正确； ，， 平分， ， 根据①，， ， ， ， ， 若，则是等边三角形，推出，与题目条件矛盾，故②错误． ，且平分， 是等腰顶角的角平分线， 根据等腰三角形“三线合一”性质， ，故③正确． 若， 平分，， ，， ， ， 是等边三角形，则，与题意不符，故④错误． 综上所述，正确的结论是①③． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中余角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，通过垂直、角平分线条件推导角的等量关系是解题关键． 【变式2】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 【变式3】．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，与相交于点O，点B的对应点D恰好落在边上，且点A，B，E在同一条直线上． (1)求证：平分； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）根据旋转的性质可得：，求出，然后求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； （2）解：如图， 由旋转得：， ∴，， 由（1）得，， ∴． 题型05辅助线构造(倍长中线/截长补短) 方法技巧： 1.倍长中线法：延长中线到，使，构造(SAS)，解决线段和差、中点相关问题。 2.截长补短法：①截长：在长线段上截取，构造；②补短：延长短线段到，使，转化为“线段和差=第三边”(如证明)。 3.关键：通过辅助线将分散的线段/角集中到同一三角形中。 【典例1】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 【答案】；；；；；； 【分析】本题考查了中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系． 根据中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系补全求解过程即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴①， 在和中， ②，，． ∴（③）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 故答案为：；；；；；；． 【变式2】．（25-26九年级上·河南周口·期中）在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的判定依据是解题的关键． （1）作，通过证和全等，得到，同时利用等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． （3）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 同理， 要使点恰好落在上，则， 平分， ， ， 如图，作， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）关系成立， 如图作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故（1）问中、、的数量关系成立． （3）不成立，关系为， 如图，作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 【变式3】．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，在等边中，点在上，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点在上，，连接交于点，点在的延长线上，且，连接，证明：； (3)如图3，若点是的中点，点在线段上，点在线段上，满足，连接，点是的中点，连接，，直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理、二次函数的应用等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形、直角三角形． （1）过点D作，垂足为H，把分成两个直角三角形，含的直角三角形， 等腰直角三角形，由此可得：，，，进而求解； （2）在上取点K，使得是等边三角形，，设，再证明，从而可得，，由此即可证明结论； （3）取的中点N，连接，得中位线，构造直角三角形（）由勾股定理表示出长与关系，根据二次函数最值求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为H，如图1， ∵在等边中，， ∴， ， ∴，， 设，则，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， 故，， ∴， ∴； （2）在上取点K，使如图2， ∵在等边中， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ （3）取的中点N，连接，如图3， ∵， ∴，， ∵在等边中，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ， 在中，，其中， ∴， ∴当时，最小，此时：， ∴ 题型06全等与等腰/等边三角形综合 方法技巧： 1.等边三角形特性：三边相等()、三角均为()，可利用旋转法构造全等(如将绕点顺时针旋转得到，则)。 2.等腰三角形与全等结合：用“三线合一”创造相等条件(如则)，再通过全等推导线段/角关系。 3.常用模型：角平分线+平行→等腰三角形(如平分，，则， 故)。 【典例1】．（25-26八年级上·四川德阳·期中）以线段为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点三点共线时，求证：； (2)如图2，当点三点不共线时，连接，点F为中点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和，解决问题的关键是作出适当的辅助线构造全等三角形和画出相应的图形进行分析． （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵点三点共线， ， ∴； （2）证明：延长至，使，连接，， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 由（1）知，， 设，， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． (1)求的度数； (2)如图2，交于点，延长，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质； （1）易得，，，由，即可求解； （2）利用证即可得证； （3）连接，作于点M，于点N，易得，可得，然后证明，再证明，即可得解. 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴. （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴. （3）解：连接，作于点M，于点N， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴即平分， 又∵，， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在与中 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积是. 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）【发现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出三角形全等的模型图（如图2），如图2，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）【类比】如图，在中，，点都在直线上，并且．若，，求的长度（用含的代数式表示）； （3）【拓展】如下图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）根据全等三角形的性质即可得答案； （2）利用外角性质可得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案； （3）利用角的和差关系得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，． 故答案为：， （2）∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，在中，，． (1)平分，交于点，，交的延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） (2)点为的中点，交于点，求的度数； (3)点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理、外角定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）延长、交于点，利用证，得到，由可知，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据三角形的外角性质解答即可； （3）过点作，使，证明，求得，当点、、共线时，最短，即取最小值，证明是等腰三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长、交于点，如图1， 则， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，使， ∵，，， ∴， ∴， 当点、、共线时，最短，即取最小值， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型07网格中的全等与等腰三角形 方法技巧： 1.网格特性：利用勾股定理计算边长(如)，用坐标法判断线段垂直(斜率)或平行(斜率)。 2.全等判定：通过计算边长、夹角(如、)验证SSS、SAS等条件(如、、，对应边相等则全等)。 3.等腰三角形构造：以已知线段为腰或底，结合网格格点找满足条件的顶点(如以为腰，找格点使 或)。 【典例1】．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（    ） A．小于 B．小于 C．等于 D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，所以，然后通过全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由网格可知，，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画线段的中点C； (2)在图2中，作，交于点E； (3)在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； (4)在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图所示，取格点E、F，连接交于C，可证明，则，故点C即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接并延长交于E，可证明，则，则可证明，故点E即为所求； （3）取格点E、F，延长交于点C，可证明，则，故点C即为所求； （4）设分别与格线交于G、H，连接，并延长分别交格线于D、E，根据网格的特点可知G、H分别为的中点，则可证明，则可证明，进而可证明，同理可证明；取格点M、N，连接并延长，交于R，连接交于K，连接并延长交于T，连接，由网格的特点可知点M为的中点，则可证明得到，由网格的特点可得点K为的中点，则可证明得到，则可证明，同理可证明，故． 【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：如图所示，点C即为所求； （4）解：如图所示，即为所求； 【变式2】．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点均为格点，用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)在图1中画出的中线，高； (2)在图2中，取格点，使； (3)已知，在图3中画出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）取格点F，G，连接交于D，线段即为所求；取格点H，连接交于E，线段即为所求； （2）取格点P，连接，，则，得到，点P即为所求； （3）取格点G，使，连接，取格点H、I，连接与交于点J，连接与交于点F，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，的中线，高即为所求： （2）解：如图，点即为所求： （3）解：如图，的角平分线即为所求： 【变式3】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，是网格中的三角形，且三个顶点都在格点上． (1)若与关于轴对称，请在平面直角坐标系中画出； (2)若以点，，为顶点的三角形与全等（点与点不重合），请在图中标出点所有可能的位置并写出它们的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，或或 【分析】本题主要考查作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及全等三角形的判定． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据全等三角形的判定，结合网格求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图， 点，，，即为所求， 即所有符合条件的点P的坐标为或或． 题型08折叠与旋转中的全等问题 方法技巧： 1.折叠性质：折叠前后的图形全等(如沿折叠得，则)，对应边、 ，对应角，折痕是对应点垂直平分线(且)。 2.旋转性质：旋转前后的图形全等(如绕点旋转得，则)，对应边夹角=旋转角()，对应点到旋转中心距离相等(、)。 3.关键：找准旋转中心、旋转角，或折叠的对应边/角，转化为全等三角形求解。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解： ， ． 由折叠的性质得， ， ． 分三种情况： 当时，则， ， ， 解得； 当时，则， ， ， ， 解得； 当时，则， 不存在， 综上所述，的度数为或， 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图1，在和中，，，，且点B，A，D在一条直线上，连接，． (1)求证：； (2)在图1的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图2所示的图形，且点M，N分别为，的中点，依次连接点A、M、N得到，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：为等腰三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 【变式2】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． (1)【操作判断】如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，则，的数量关系是_____． (2)【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形内部一点，满足点到等腰三角形的两端点、的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰中，，于点，于点，点为三角形内部一点．求证：． (3)【拓展应用】已知是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，若点在外部，请求出的度数． 【答案】(1)相等 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了三线合一，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题的关键是掌握与三角形有关的性质． （1）证明是的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由和是等腰三角形，证明，从而证明，即可证明结论； （3）结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ，点为的中点， 是的角平分线． ，， ． 故答案为：相等． （2）证明：， ． 点到点、的距离相等， ． ． , 即． ，， ． ． （3）如图， 是等边三角形， ． ，是等腰直角三角形， ． ,． ． 【变式3】．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）提出问题：数学课上，老师给出一个问题，让同学们探究．在中，过点作，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： （1）当时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，认真观察，分析条件，通过证明三角形全等，最终证出了结论； 推理证明：根据该同学的思路或其他方法，写出图①的证明过程； 探究问题： （2）当时，如图②；当时，如图③，请猜想并直接写出线段，，有怎样的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，则___________． 【答案】（1）见解析；（2）图②，；图③，；（3）或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（等）是解题的关键． （1）通过证明三角形全等，将线段、转化到上，从而证明． （2）类比（1）的思路，通过分析图形中线段的位置关系和三角形全等情况，得出线段之间的数量关系． （3）结合（1）（2）的结论，代入已知数据计算的长度． 【详解】证明：（1）由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2）图②，由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 图③，由旋转的性质得． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）当是图①的情况时，由（1）知，又由全等知， ∵， ∴． 当是图③的情况时，由（2）知，， ∴． 综上，或， 故答案为：或． 题型09直角三角形全等(HL)的综合应用 方法技巧： 1.适用条件：仅用于直角三角形(标注)，优先验证“斜边+直角边”对应相等(如与， (斜边)、(直角边)，则(HL))。 2.辅助思路：直角三角形中可利用“同角的余角相等”推导相等角(如、， 则)，再结合HL或其他判定定理。 3.常见模型：直角三角形+角平分线→双垂线段相等(如平分，，，则)。 【典例1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 【变式1】．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中点D为中点，于点E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得到结论； （2）利用证明，得出，再根据得到，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴ ， ∵，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴ . ∵， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 【答案】（1）三角形全等；对应角的平分线相等；（2）图见解析；（3），，证明见解析 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．根据证明全等三角形是解决问题的关键． （1）根据命题判断条件与结论即可； （2）利用基本作图作的平分线即可； （3）根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）这个命题的 条件是：三角形全等， 结论是：对应角的平分线相等； 故答案为：三角形全等；对应角的平分线相等； （2）如图所示： （3）已知：如图，，线段，分别是和的角平分线． 求证：， 故答案为：，； 证明：（已知）， （全等三角形的性质） 线段，分别是和的角平分线（已知）， （角平分线的定义） （等量代换）， ， （全等三角形的性质）． 【变式3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明过程见解析；（2），理由见解析；（3）的面积为8 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用，结合平行线的判定和性质、直角三角形的性质证明是解题的关键． （1）根据已知条件证明，，即可得到，证明即可； （2）根据已知条件证明，得到，，即可得证； （3）过点作于点，点落在的延长线上，证明，根据平行线间的距离处处相等，可得点到边的距离为2，根据三角形面积计算式计算即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． 于点， ， ， ． ，， ． （2），理由如下： ， ， 于点， ， ， ，， ， ，， ． （3）的面积为8． 如图，过点作于点，点落在的延长线上， 由（2）得， ． ， ． ， ． ∵平行线间的距离处处相等， ∴点到边的距离也为2， ． 题型10全等三角形中的动点问题 方法技巧： 1.用时间表示线段长度(如点速度为，运动秒则)，明确动点运动范围(如点从到，，则)。 2.分类讨论：根据全等的不同对应情况列方程(如，分、或、两种情况)。 3.关键：锁定“全等时的对应边/角关系”，排除不符合运动范围的解。 【典例1】．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在、两点，．已知小明的速度是，小楠的速度是，当小楠第一次回到点时，小明和小楠同时停止运动，设运动时间为（秒）． (1)小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ (2)小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点可得到等边三角形？ (3)当小明和小楠在边上运动时（、两点除外），能否使得两人和点构成以点为顶点的等腰三角形？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10秒 (2)秒 (3)能；秒 【分析】本题是三角形和几何动点的综合题，考查了行程问题中的相遇问题和追及问题，等边三角形的性质和判定，最基本的数量关系：． （1）根据小明的路程小楠的路程，列方程可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知当即可符合条件，列方程可解答； （3）证明，则，列方程可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得． 答：小明和小楠同时运动秒后，小楠追上小明； （2）解：是等边三角形， ． 当时，是等边三角形， ． ． 答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点可得到等边三角形； （3）解：如图，当小明和小楠在边上运动时（、两点除外）， 能使得两人和点构成以点为顶点的等腰三角形，即， 由（1）知：当时，小明和小楠在点处相遇，当时，运动停止， ， ． ． 是等边三角形， ． 在和中 ． ． ． ． 当小明和小楠在边上运动时（、两点除外）， 能使得两人和点构成以点为顶点的等腰三角形， 此时小明和小楠运动的时间是秒． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由． (2)若点P，Q同时出发，但运动速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的运动速度从C点出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多少时间点P与点Q第二次在三角形的哪边上相遇？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) (3)经过64秒点P与点Q在上第二次相遇 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的性质得出，，则可得出答案； （3）设经过秒后点与点第二次相遇，由题意列出方程，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ，点的运动速度与点的运动速度相等， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）解：点的运动速度与点的运动速度不相等， 与不是对应边， 即， ，且， 则，， 点，点运动的时间， ； （3）解：设经过秒后点与点第二次相遇， 由题意，得， 解得， 即经过64秒点P与点Q第二次相遇， 点运动距离为， ， 点与点在上第二次相遇． 答：经过64秒点P与点Q在上第二次相遇． 【变式2】．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：；             【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得结论． 【详解】解：（1）∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）（1）观察推理：如图1，中，，，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，，，垂足分别为D、E．求证：； （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图3，等边中，，点O在上，且，动点P从点E沿射线以速度运动，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点F恰好落在射线上，求点P运动的时间． 【答案】（1）见解析，（2）18，（3）2.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，等式的性质，等边三角形的性质，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）利用同角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）先作出高，进而判断出，求出，最后用三角形的面积公式即可得出结论； （3）利用等式的性质得出，进而判断出，即可求出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图2，过点作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图3， 由旋转知，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P运动的时间． 题型11 全等三角形的实际应用(测量距离) 方法技巧： 1.模型构建：将实际问题转化为“无法直接测量的线段=可测量的线段”，通过构造全等三角形实现转化(如测量池塘两端、距离，取点，延长到使，延长到使，则，)。 2.常用方案：延长线段至等长、利用对顶角/公共边构造全等(SAS/SSS)。 3.步骤：确定测量对象→设计全等模型→测量已知边(如长度)→计算未知量()。 【典例1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离． 下列判断正确的是（    ） A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行 C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 根据题意依据能否证明即可解答． 【详解】解：甲同学方案： 由题意得， 在与中， ， ∴，．故甲同学的方案可行． 乙同学方案： 在与中，只能知道，不能判定与全等，故方案不可行． 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余； ②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【答案】教学楼顶部宣传牌的高度为 【分析】本题考查了全等三角形的应用，余角，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．根据三角形内角和定理和余角的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答：教学楼顶部宣传牌的高度为． 【变式2】．（25-26八年级上·河南许昌·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在CD的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为32米． 请你根据上述方案求出A，B两点间的距离． 【答案】32米 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．证明，得出，根据，求出． 【详解】解： ，， ， ∵， ， 在与中， ， ， 又， 米． 【变式3】．（25-26八年级上·山西朔州·月考）项目学习 项目背景：某市新开发一个旅游区，该旅游区有个湖，湖心有一个小岛，现要在小岛的中心修建一个观景台C，因此需要测量出景点A，B与C的距离．综合实践小组的同学们围绕“景点与小岛中心距离的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 活动主题 景点与小岛中心距离的测量与计算 驱动问题 如何求线段的长度 活动内容 利用构造全等三角形的有关知识进行测量与计算 活动过程 1．活动方案：①画出如图所示的示意图，连接； ②在平面内取一点D，使得C，D在的两侧，使得，． 2．测量数据：测得． 3．说理与计算：…… 交流展示 …… 根据以上信息，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据证明，然后利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：在和中， ， ． ， ． 题型12 新定义与全等结合问题 方法技巧： 1.紧扣新定义：理解“倍长三角形”(一边=2×另一边，如)、“格线三角形”(三个顶点在三条平行线上)等新概念的本质。 2.转化条件：将新定义转化为全等三角形的判定条件(如等腰倍长三角形中，，可构造）。 3.分类讨论：结合新定义和全等性质，分情况验证结论（如倍长三角形中“腰=2底”或“底=2腰”两种情况）。 【典例1】．（25-26八年级上·江西赣州·期中）新定义：若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”． (1)下列三角形一定是“倍角三角形”的是__________（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点P，交于点E，连接．请判断是否是“倍角三角形”，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)是“倍角三角形”，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，再根据三角形外角的定义和性质即可得出，再根据 “倍角三角形”的定义判断即可． 【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③； （2）解：是“倍角三角形”．理由如下： ， ， 将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个三角形中，有两边分别相等且其中一组等边的对角相等，但不是全等三角形，我们称这两个三角形是“关联三角形”，这组相等角的两条对边称为“关联边”． (1)如图1，在中，，是边上任意一点（非的中点），则与BCD___________“关联三角形”（填“是”或“不是”），若是“关联三角形”，则___________是“关联边”（若不是“关联三角形”，此空无需填写）； (2)如图2，与是“关联三角形”，其中与是“关联边”，．与有怎样的数量关系，证明你的结论； (3)已知是的边或边延长线上一点（不与点、重合），连接，与是“关联三角形”，且与是“关联边”．若，直接写出的范围（不要证明）． 【答案】(1)是， (2)，理由见解析 (3)且 【分析】（1）充分理解“关联三角形”的定义，结合等边对等角，得，又因为，且结合“关联三角形”的定义，故与是“关联三角形”，即可作答． （2）先由“关联三角形”的定义，得，，再证明，得，，然后根据邻补角互补以及等边对等角，得，即可作答． （3）充分理解“关联三角形”的定义，再分类讨论，且逐个情况作图，运用三角形外角性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴ ∵，且结合“关联三角形”的定义， ∴与是“关联三角形”， ∴在中，的对边是，在中，的对边是， ∵这组相等角的两条对边称为“关联边” ∴则是“关联边”， （2）解：，理由如下： ∵与是“关联三角形”，其中与是“关联边”， ∴，， 如图：在线段上取点，使得，连接 由题意可知，在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：依题意， 当是的边上一点（不与点、重合），连接，如图所示： ∵与是“关联三角形”，且与是“关联边”． ∴， ∴， ∵，且）（不与点重合） ∴，， ∵，， ∴， 则 ∵， ∴ ∴， 当是的边延长线上一点（不与点、重合），连接，如图所示： 此时是钝角三角形，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∵与是“关联三角形”，且与是“关联边”． ∴， 此时与重合，与题干相矛盾，故舍去， 综上：且． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和性质，等边对等角，邻补角互补性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2】．（25-26八年级上·山西忻州·期中）阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）--猜想--推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图，四边形中，，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图中直角筝形的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． 中，， ， … 关于对角线：… 任务： (1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； (2)小颖在图的基础上连接对角线，交于点，得到图，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； (3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接，利用直角三角形内角和与全等三角形，推导与的和． （2）①通过证得角平分线；②用全等与等腰三角形三线合一证垂直平分． （3）根据“筝形”定义（两组邻边分别相等），构造以为对角线的直角筝形（需满足两组邻边相等直角），分在延长线、在线段上两种情况，结合三角形内角和计算． 【详解】（1）解：补全内角性质说理：连接对角线． ∵中，， ∴， 同理，中，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，即与互补． （2）解：①在和中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴平分与． ②∵， ∴， 又∵， ∴，（等腰三角形三线合一）， ∴垂直平分． （3）解：情形：当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，此时，点在的延长线上，， ∴； 情形：当时，点在上， ∵四边形是直角筝形，为对角线， ∴，， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形内角和，熟练掌握“筝形”的定义（两组邻边分别相等的四边形）及分类讨论思想是解题的关键． 【变式3】．（25-26九年级上·福建厦门·期中）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 【答案】（1）①是；②3；（2）6；（3）见解析 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）①先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． ②作，交的延长线于点，作于点，根据新定义，推出，证明，得到，进而得到． 【详解】解：（1）①∵点是上一点，且， 又∵， ∴， 即：为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴不全等， ∴与是偏等积三角形； 故答案为：是； ②∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，与是偏等积三角形，此时； 故当时，与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）如图2，过C作交的延长线于E， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长为偶数， ； （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． ②作，交的延长线于点，作于点， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 全等三角形 教学目标 1.掌握全等三角形的定义、性质及5种判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），明确SSA不能判定全等。 2.能准确识别全等三角形的对应边、对应角，熟练运用性质解决线段、角相等问题。 3.学会运用公共边、公共角等隐含条件，掌握倍长中线、角平分线建模等辅助线作法。 4.能解决全等三角形基础证明、综合探究等题型，提升几何推理和识图能力。 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形判定定理的理解与灵活应用。 （2）对应边、对应角的准确识别与对应关系书写规范。 （3）角平分线的性质、判定及相关证明。 （4）常见全等模型（公共边、一线三等角等）的应用。 2.难点 （1）复杂图形中隐含条件的挖掘与全等三角形的识别。 （2）辅助线的构造（倍长中线、截长补短等）及逻辑推理。 （3）判定定理的选择（如SAS中“夹角”的辨析）。 （4）综合题型中全等与图形变换（平移、旋转）的结合应用。 考点01命题、定义、定理与证明 1.命题：能判断真假的陈述句，形式为“如果……那么……”，分为题设和结论两部分。 2.定义：对概念的明确描述，具有确定性；定理：经逻辑推理证明为真的命题。 3.真命题与假命题：真命题需证明，假命题可通过反例证伪；原命题与逆命题的真假相互独立。 考点02全等三角形的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（夹角为两边的夹角，不可误用SSA）。 3.角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 4.角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.斜边直角边（HL）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。 考点03全等三角形的性质 1.对应边相等、对应角相等。 2.对应边上的中线、高线、角平分线分别相等。 3.周长相等、面积相等。 4.全等三角形经过平移、翻折、旋转后仍全等（全等变换不改变形状和大小）。 考点04等腰三角形的性质与判定 1.性质：①等边对等角（两腰对应的底角相等）； ②三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）； ③两腰上的中线、高线、底角平分线分别相等。 2.判定：①定义法（有两条边相等的三角形是等腰三角形）； ②等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形，需在同一三角形中）。 考点05等边三角形的性质与判定 1.性质：①三边相等；②三个内角均为60°；③是轴对称图形，有三条对称轴；④具备等腰三角形的所有性质。 2.判定：①定义法（三边相等的三角形）；②三个角都相等的三角形；③有一个角是60°的等腰三角形。 考点06逆命题和逆定理 1.互逆命题：两个命题的题设和结论相互交换，原命题为真时逆命题不一定为真。 2.互逆定理：若一个定理的逆命题经证明为真，则两者为互逆定理（如线段垂直平分线的性质与逆性质）。 3.等价命题：真假性一致的命题，可通过逆命题转换实现。 考点07线段垂直平分线的性质与判定 1.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 3.应用：可用于证明线段相等、确定对称点位置。 考点08角平分线的性质与判定 1.性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（距离为垂线段长度）。 2.判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.常用辅助线：过角平分线上一点向角两边作垂线段，构造全等三角形。 考点09构造全等三角形的常用方法 1.倍长中线法：延长中线至等长，构造SAS全等，集中分散的边和角。 2.截长补短法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段至与长线段相等（补短），证明线段和差关系。 3.旋转法：将三角形绕某点旋转一定角度，使分散的线段或角重合，适用于正方形、等腰直角三角形等对称图形。 4.翻折法：沿角平分线、中线等翻折三角形，构造全等，利用轴对称性质。 5.作平行线法：平移线段，构造等腰三角形或全等三角形，集中分散的线段。 题型01全等三角形的判定（选条件/辨依据） 方法技巧： 1.牢记5大判定定理：SSS（三边对应相等，即、、)、SAS(两边及夹角对应相等，即、、)、ASA(两角及夹边对应相等，即、、)、 AAS(两角及对边对应相等，即、、)、HL(直角三角形斜边+直角边对应相等，即、，)。 2.排除易错点：SSA不能判定全等(两边及其中一边的对角相等不满足全等条件)，需注意“夹角”“对应边”的精准识别。 3.优先找公共边、公共角、对顶角等隐含相等条件(如、、)。 【典例1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·福建福州·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（   ）去． A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【变式2】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，，，，下列条件中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，，若添加一个条件后，能使，则这个条件是 （写出一个即可）． 题型02全等三角形性质的直接应用(求角/边长) 方法技巧： 1.核心逻辑：先证全等(如)，再用“对应边相等(、)、对应角相等(、)”求未知量。 2.辅助思路：全等三角形的周长相等()、面积相等()，对应边上的中线、高、角平分线相等(如，、)。 3.步骤规范：先标注全等条件→写出全等结论(注明判定依据)→推导对应量相等。 【典例1】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则 ． 【变式1】．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，点在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】．（25-26八年级上·江西赣州·期中）（1）在中，，，求的度数． （2）如图，已知线段、相交于点E，，．求证：． 题型03等腰三角形的基础性质与判定 方法技巧： 1.性质：等边对等角(若，则)、三线合一(若是等腰顶角平分线，则且)。 2.判定：等角对等边(若，则)，注意“在同一三角形中”的前提。 3.易错点：未明确腰底时需分类讨论(如已知等腰一边长为5，另一边长为8，则腰长为5时底边长为8，腰长为8时底边长为5)。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是 ． 【变式2】．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为 ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点为外一点，平分交于点，且，若，求的度数． 题型04角平分线与线段垂直平分线的基础应用 方法技巧： 1.角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等(若平分，、，则)；逆定理(若且、，则在平分线上)。 2.线段垂直平分线：线上点到线段两端距离相等(若是垂直平分线，在上，则)；逆定理(若，则在垂直平分线上)。 3.常用辅助线：过角平分线上的点作角两边的垂线段，转化为线段相等问题。 【典例1】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，的角平分线交于点F，平分．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有几个（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【变式3】．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，与相交于点O，点B的对应点D恰好落在边上，且点A，B，E在同一条直线上． (1)求证：平分； (2)求的度数． 题型05辅助线构造(倍长中线/截长补短) 方法技巧： 1.倍长中线法：延长中线到，使，构造(SAS)，解决线段和差、中点相关问题。 2.截长补短法：①截长：在长线段上截取，构造；②补短：延长短线段到，使，转化为“线段和差=第三边”(如证明)。 3.关键：通过辅助线将分散的线段/角集中到同一三角形中。 【典例1】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 【变式2】．（25-26九年级上·河南周口·期中）在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 【变式3】．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，在等边中，点在上，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点在上，，连接交于点，点在的延长线上，且，连接，证明：； (3)如图3，若点是的中点，点在线段上，点在线段上，满足，连接，点是的中点，连接，，直接写出线段的最小值． 题型06全等与等腰/等边三角形综合 方法技巧： 1.等边三角形特性：三边相等()、三角均为()，可利用旋转法构造全等(如将绕点顺时针旋转得到，则)。 2.等腰三角形与全等结合：用“三线合一”创造相等条件(如则)，再通过全等推导线段/角关系。 3.常用模型：角平分线+平行→等腰三角形(如平分，，则， 故)。 【典例1】．（25-26八年级上·四川德阳·期中）以线段为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点三点共线时，求证：； (2)如图2，当点三点不共线时，连接，点F为中点，连接，求证：． 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． (1)求的度数； (2)如图2，交于点，延长，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，，，求的面积． 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）【发现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出三角形全等的模型图（如图2），如图2，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）【类比】如图，在中，，点都在直线上，并且．若，，求的长度（用含的代数式表示）； （3）【拓展】如下图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【变式3】．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，在中，，． (1)平分，交于点，，交的延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） (2)点为的中点，交于点，求的度数； (3)点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 题型07网格中的全等与等腰三角形 方法技巧： 1.网格特性：利用勾股定理计算边长(如)，用坐标法判断线段垂直(斜率)或平行(斜率)。 2.全等判定：通过计算边长、夹角(如、)验证SSS、SAS等条件(如、、，对应边相等则全等)。 3.等腰三角形构造：以已知线段为腰或底，结合网格格点找满足条件的顶点(如以为腰，找格点使 或)。 【典例1】．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（    ） A．小于 B．小于 C．等于 D．与互补 【变式1】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画线段的中点C； (2)在图2中，作，交于点E； (3)在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； (4)在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 【变式2】．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点均为格点，用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)在图1中画出的中线，高； (2)在图2中，取格点，使； (3)已知，在图3中画出的角平分线． 【变式3】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，是网格中的三角形，且三个顶点都在格点上． (1)若与关于轴对称，请在平面直角坐标系中画出； (2)若以点，，为顶点的三角形与全等（点与点不重合），请在图中标出点所有可能的位置并写出它们的坐标． 题型08折叠与旋转中的全等问题 方法技巧： 1.折叠性质：折叠前后的图形全等(如沿折叠得，则)，对应边、 ，对应角，折痕是对应点垂直平分线(且)。 2.旋转性质：旋转前后的图形全等(如绕点旋转得，则)，对应边夹角=旋转角()，对应点到旋转中心距离相等(、)。 3.关键：找准旋转中心、旋转角，或折叠的对应边/角，转化为全等三角形求解。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图1，在和中，，，，且点B，A，D在一条直线上，连接，． (1)求证：； (2)在图1的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图2所示的图形，且点M，N分别为，的中点，依次连接点A、M、N得到，判断的形状，并说明理由． 【变式2】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． (1)【操作判断】如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，则，的数量关系是_____． (2)【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形内部一点，满足点到等腰三角形的两端点、的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰中，，于点，于点，点为三角形内部一点．求证：． (3)【拓展应用】已知是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，若点在外部，请求出的度数． 【变式3】．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）提出问题：数学课上，老师给出一个问题，让同学们探究．在中，过点作，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： （1）当时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，认真观察，分析条件，通过证明三角形全等，最终证出了结论； 推理证明：根据该同学的思路或其他方法，写出图①的证明过程； 探究问题： （2）当时，如图②；当时，如图③，请猜想并直接写出线段，，有怎样的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，则___________． 题型09直角三角形全等(HL)的综合应用 方法技巧： 1.适用条件：仅用于直角三角形(标注)，优先验证“斜边+直角边”对应相等(如与， (斜边)、(直角边)，则(HL))。 2.辅助思路：直角三角形中可利用“同角的余角相等”推导相等角(如、， 则)，再结合HL或其他判定定理。 3.常见模型：直角三角形+角平分线→双垂线段相等(如平分，，，则)。 【典例1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等． 【变式1】．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中点D为中点，于点E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 【变式3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 题型10全等三角形中的动点问题 方法技巧： 1.用时间表示线段长度(如点速度为，运动秒则)，明确动点运动范围(如点从到，，则)。 2.分类讨论：根据全等的不同对应情况列方程(如，分、或、两种情况)。 3.关键：锁定“全等时的对应边/角关系”，排除不符合运动范围的解。 【典例1】．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在、两点，．已知小明的速度是，小楠的速度是，当小楠第一次回到点时，小明和小楠同时停止运动，设运动时间为（秒）． (1)小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ (2)小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点可得到等边三角形？ (3)当小明和小楠在边上运动时（、两点除外），能否使得两人和点构成以点为顶点的等腰三角形？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由． (2)若点P，Q同时出发，但运动速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的运动速度从C点出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多少时间点P与点Q第二次在三角形的哪边上相遇？ 【变式2】．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：；             【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 【变式3】．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）（1）观察推理：如图1，中，，，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，，，垂足分别为D、E．求证：； （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图3，等边中，，点O在上，且，动点P从点E沿射线以速度运动，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点F恰好落在射线上，求点P运动的时间． 题型11全等三角形的实际应用(测量距离) 方法技巧： 1.模型构建：将实际问题转化为“无法直接测量的线段=可测量的线段”，通过构造全等三角形实现转化(如测量池塘两端、距离，取点，延长到使，延长到使，则，)。 2.常用方案：延长线段至等长、利用对顶角/公共边构造全等(SAS/SSS)。 3.步骤：确定测量对象→设计全等模型→测量已知边(如长度)→计算未知量()。 【典例1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离． 下列判断正确的是（    ） A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行 C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行 【变式1】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余； ②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【变式2】．（25-26八年级上·河南许昌·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在CD的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为32米． 请你根据上述方案求出A，B两点间的距离． 【变式3】．（25-26八年级上·山西朔州·月考）项目学习 项目背景：某市新开发一个旅游区，该旅游区有个湖，湖心有一个小岛，现要在小岛的中心修建一个观景台C，因此需要测量出景点A，B与C的距离．综合实践小组的同学们围绕“景点与小岛中心距离的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 活动主题 景点与小岛中心距离的测量与计算 驱动问题 如何求线段的长度 活动内容 利用构造全等三角形的有关知识进行测量与计算 活动过程 1．活动方案：①画出如图所示的示意图，连接； ②在平面内取一点D，使得C，D在的两侧，使得，． 2．测量数据：测得． 3．说理与计算：…… 交流展示 …… 根据以上信息，求的长度． 题型12新定义与全等结合问题 方法技巧： 1.紧扣新定义：理解“倍长三角形”(一边=2×另一边，如)、“格线三角形”(三个顶点在三条平行线上)等新概念的本质。 2.转化条件：将新定义转化为全等三角形的判定条件(如等腰倍长三角形中，，可构造）。 3.分类讨论：结合新定义和全等性质，分情况验证结论（如倍长三角形中“腰=2底”或“底=2腰”两种情况）。 【典例1】．（25-26八年级上·江西赣州·期中）新定义：若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”． (1)下列三角形一定是“倍角三角形”的是__________（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点P，交于点E，连接．请判断是否是“倍角三角形”，请说明理由． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个三角形中，有两边分别相等且其中一组等边的对角相等，但不是全等三角形，我们称这两个三角形是“关联三角形”，这组相等角的两条对边称为“关联边”． (1)如图1，在中，，是边上任意一点（非的中点），则与BCD___________“关联三角形”（填“是”或“不是”），若是“关联三角形”，则___________是“关联边”（若不是“关联三角形”，此空无需填写）； (2)如图2，与是“关联三角形”，其中与是“关联边”，．与有怎样的数量关系，证明你的结论； (3)已知是的边或边延长线上一点（不与点、重合），连接，与是“关联三角形”，且与是“关联边”．若，直接写出的范围（不要证明）． 【变式2】．（25-26八年级上·山西忻州·期中）阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）--猜想--推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图，四边形中，，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图中直角筝形的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． 中，， ， … 关于对角线：… 任务： (1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； (2)小颖在图的基础上连接对角线，交于点，得到图，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； (3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度【变式3】．（25-26九年级上·福建厦门·期中）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $