期末复习06勾股定理讲义（一）(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学勾股定理复习讲义以“知识点梳理+题型突破”构建系统体系，通过表格对比勾股定理与逆定理的关系，思维导图呈现“定理验证-基础应用-实际拓展”脉络，易错点标注强化重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，如赵爽弦图证明题培养推理能力，“葛缠木”实际问题发展几何直观，勾股数规律探究提升抽象能力。典例配跟踪专练适配不同学生，教师可据此实施精准复习，助力学生全面掌握勾股定理应用。

期末复习06 勾股定理讲义（一） 1. 勾股定理在三角形中的基础应用 2. 直角三角形三边对应图形的面积关系 3. 利用勾股定理求解线段平方和与平方差 4. 勾股定理的多种证明方法及思路 5. 以弦图为背景的勾股定理计算问题 6. 用勾股定理构造图形的实际应用 7. 勾股定理与无理数的关联 8. 勾股树（数）的规律探究与计算 9. 三角形三边的直角三角形判定（勾股定理逆用） 10. 网格环境下直角三角形的判定方法 11. 勾股定理逆定理的综合求解 【知识点01】勾股定理 定理内容 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，直角边为 a、b，斜边为 c，则 a2+b2=c2。 适用前提：仅限直角三角形，非直角三角形不能直接使用。 2.定理验证（核心方法：面积法） 最经典的验证方式是赵爽弦图： *构造一个以直角三角形斜边c为边长的大正方形，内部放置 4 个全等的直角三角形。 *大正方形面积有两种计算方式： 方式一：直接用边长计算，面积为c2； 方式二：4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积，即 4×ab+(b−a)2。 *联立等式化简：c2=2ab+(a2−2ab+b2)=a2+b2，从而验证定理。 3基础应用 *已知两边求第三边（直角三角形中） 1 已知两直角边 a,b，求斜边：c=​； 2 已知斜边 c 和一条直角边 a，求另一条直角边：b= *在数轴上表示无理数 原理：构造直角三角形，用斜边长度表示无理数。 易错点 忽略定理适用范围，对锐角三角形或钝角三角形直接套用 a2+b2=c2。 混淆直角边和斜边，计算时将斜边当作直角边代入公式。 【知识点02】勾股定理的逆定理 1.核心内容 *文字表述：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 *符号语言：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90∘（c为最长边）。 *关键前提：使用时必须先确定最长边，只有两条较短边的平方和等于最长边的平方，才能判定为直角三角形。 2.应用步骤（判定直角三角形的三步法） ① 找最长边：确定三角形三边长中的最大值，记为c； ② 算平方和：计算两条较短边的平方和a2+b2，以及最长边的平方c2； ③ 作比较：若a2+b2=c2，则是直角三角形；若a2+b2>c2，则是锐角三角形；若a2+b2<c2，则是钝角三角形。 3.与勾股定理的关系（互为逆定理） 比维度 勾股定理 勾股定理的逆定理 地位 直角三角形的性质定理 直角三角形的判定定理 条件 三角形是直角三角形 三角形三边长满足a2+b2=c2 结论 两直角边的平方和等于斜边的平方 三角形是直角三角形 逻辑关系 由 “形” 推 “数” 由 “数” 推 “形” 易错点 1.未找最长边直接计算，例如对三边长3、4、5，误算32+52与42比较； 2.对三条线段 “能否构成三角形” 和 “能否构成直角三角形” 混淆，需先验证三边关系（任意两边之和大于第三边），再用逆定理判定。 【知识点03】勾股数 勾股数是勾股定理的正整数解实例，也是判断直角三角形边长的便捷工具 1.核心定义 满足 a2+b2=c2 的三个正整数 a,b,c 称为勾股数。 两个关键条件缺一不可： *数量关系：符合勾股定理； *数的类型：必须是正整数。 例：3、4、5 是勾股数；1.5 ,2, 2.5 虽满足 1.52+22=2.52，但不是正整数，因此不是勾股数。 2.常见勾股数及规律 *基础勾股数（牢记这几组，解题更高效） 1 3, 4, 5 2 5, 12, 13 3 7, 24, 25 4 8, 15, 17 *衍生规律 基础勾股数的正整数倍依然是勾股数 *代数式表示勾股数（拓展） 1 当 n 为正整数时，2n，n2−1，n2+1 是一组勾股数； 2 当 m>n 且 m,n 为正整数时，m2−n2，2mn，m2+n2 是一组勾股数。 3.勾股数的应用 *快速判定直角三角形：若三角形三边长是已知勾股数，可直接判定为直角三角形； *简化计算：在几何题中，若边长为勾股数，可直接利用勾股定理结论，无需复杂开方。 易错点 1.混淆 “勾股数” 与 “满足勾股定理的数”，忽略 “正整数” 条件； 2.认为勾股数只有固定的几组，忽略衍生勾股数和代数式生成的勾股数。 题型1.勾股定理在三角形中的基础应用 【典例】一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【跟踪专练1】如图，数轴上点表示的数为，轴，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，且端点可以在长方形内及边界上任意运动．    （1）长度的最大值为 ； （2）长度的最小值为 ． 题型2.直角三角形三边对应图形的面积关系 【典例】如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则的值是 ． 【跟踪专练2】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 题型3.利用勾股定理求解线段平方和与平方差 【典例】如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 题型4.勾股定理大多种证明方法及思路 【典例】将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 ． 【跟踪专练1】你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号） 【跟踪专练2】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 题型5.以弦图为背景的勾股定理计算问题 【典例】大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 【跟踪专练1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 【跟踪专练2】如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 题型6.用勾股定理构造图形的实际应用 【典例】如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 【跟踪专练1】如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为 ． 题型7.勾股定理与无理数的关联 【典例】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为1，，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，边在数轴上，若，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 【跟踪专练2】如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 题型8.勾股树(数)的规律探究与计算 【典例】下列各组数中是勾股数的是（   ） A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．4，5，6 D．9，12，15 【跟踪专练1】勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9 【跟踪专练2】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 题型9.三角形三边的直角三角形判定(勾股定理逆用) 【典例】一个直角三角形三边长度的比不可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】判断下列四组数据，可以作为直角三角形三条边长的是（   ） A．，， B．4，5，6 C．，， D．1，2，3 【跟踪专练2】如图，三角形，、、分别是以、、为直径的半圆的面积，若，则三角形是 ． 题型10.网格环境下直角三角形的判定方法 【典例】如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【跟踪专练1】如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是 ． 【跟踪专练2】如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型11.勾股定理逆定理的综合求解 【典例】如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【跟踪专练2】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 ．    1．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为 ． 2．下图中三角形边长的值是有理数的是（　　） A． B． C．z D． 3．如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 5．如图，中，，为的角平分线，则 ． 6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 9．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 10．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 11．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值． 13．如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 14．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 15．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习06 勾股定理讲义（一） 1. 勾股定理在三角形中的基础应用 2. 直角三角形三边对应图形的面积关系 3. 利用勾股定理求解线段平方和与平方差 4. 勾股定理的多种证明方法及思路 5. 以弦图为背景的勾股定理计算问题 6. 用勾股定理构造图形的实际应用 7. 勾股定理与无理数的关联 8. 勾股树（数）的规律探究与计算 9. 三角形三边的直角三角形判定（勾股定理逆用） 10. 网格环境下直角三角形的判定方法 11. 勾股定理逆定理的综合求解 【知识点01】勾股定理 定理内容 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，直角边为 a、b，斜边为 c，则 a2+b2=c2。 适用前提：仅限直角三角形，非直角三角形不能直接使用。 2.定理验证（核心方法：面积法） 最经典的验证方式是赵爽弦图： *构造一个以直角三角形斜边c为边长的大正方形，内部放置 4 个全等的直角三角形。 *大正方形面积有两种计算方式： 方式一：直接用边长计算，面积为c2； 方式二：4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积，即 4×ab+(b−a)2。 *联立等式化简：c2=2ab+(a2−2ab+b2)=a2+b2，从而验证定理。 3基础应用 *已知两边求第三边（直角三角形中） 1 已知两直角边 a,b，求斜边：c=​； 2 已知斜边 c 和一条直角边 a，求另一条直角边：b= *在数轴上表示无理数 原理：构造直角三角形，用斜边长度表示无理数。 易错点 忽略定理适用范围，对锐角三角形或钝角三角形直接套用 a2+b2=c2。 混淆直角边和斜边，计算时将斜边当作直角边代入公式。 【知识点02】勾股定理的逆定理 1.核心内容 *文字表述：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 *符号语言：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90∘（c为最长边）。 *关键前提：使用时必须先确定最长边，只有两条较短边的平方和等于最长边的平方，才能判定为直角三角形。 2.应用步骤（判定直角三角形的三步法） ① 找最长边：确定三角形三边长中的最大值，记为c； ② 算平方和：计算两条较短边的平方和a2+b2，以及最长边的平方c2； ③ 作比较：若a2+b2=c2，则是直角三角形；若a2+b2>c2，则是锐角三角形；若a2+b2<c2，则是钝角三角形。 3.与勾股定理的关系（互为逆定理） 比维度 勾股定理 勾股定理的逆定理 地位 直角三角形的性质定理 直角三角形的判定定理 条件 三角形是直角三角形 三角形三边长满足a2+b2=c2 结论 两直角边的平方和等于斜边的平方 三角形是直角三角形 逻辑关系 由 “形” 推 “数” 由 “数” 推 “形” 易错点 1.未找最长边直接计算，例如对三边长3、4、5，误算32+52与42比较； 2.对三条线段 “能否构成三角形” 和 “能否构成直角三角形” 混淆，需先验证三边关系（任意两边之和大于第三边），再用逆定理判定。 【知识点03】勾股数 勾股数是勾股定理的正整数解实例，也是判断直角三角形边长的便捷工具 1.核心定义 满足 a2+b2=c2 的三个正整数 a,b,c 称为勾股数。 两个关键条件缺一不可： *数量关系：符合勾股定理； *数的类型：必须是正整数。 例：3、4、5 是勾股数；1.5 ,2, 2.5 虽满足 1.52+22=2.52，但不是正整数，因此不是勾股数。 2.常见勾股数及规律 *基础勾股数（牢记这几组，解题更高效） 1 3, 4, 5 2 5, 12, 13 3 7, 24, 25 4 8, 15, 17 *衍生规律 基础勾股数的正整数倍依然是勾股数 *代数式表示勾股数（拓展） 1 当 n 为正整数时，2n，n2−1，n2+1 是一组勾股数； 2 当 m>n 且 m,n 为正整数时，m2−n2，2mn，m2+n2 是一组勾股数。 3.勾股数的应用 *快速判定直角三角形：若三角形三边长是已知勾股数，可直接判定为直角三角形； *简化计算：在几何题中，若边长为勾股数，可直接利用勾股定理结论，无需复杂开方。 易错点 1.混淆 “勾股数” 与 “满足勾股定理的数”，忽略 “正整数” 条件； 2.认为勾股数只有固定的几组，忽略衍生勾股数和代数式生成的勾股数。 题型1.勾股定理在三角形中的基础应用 【典例】一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，数轴上点表示的数为，轴，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点A表示的数． 【详解】解：轴， ∴， ， 点A表示的数为， 故选C． 【跟踪专练2】如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，且端点可以在长方形内及边界上任意运动．    （1）长度的最大值为 ； （2）长度的最小值为 ． 【答案】 5 / 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）最小时，最大，当I运动到点C时，最小，据此求解即可； （2）当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当最小时，最大，当I运动到点C时，最小， 此时长度的最大值为， 故答案为：5； （2）当最大时，最小，当I运动到点A时，最大， 此时， 而， ∴， ∴长度的最小值为． 故答案为：． 题型2.直角三角形三边对应图形的面积关系 【典例】如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出正方形B的面积即可． 【详解】解：如图： 这些四边形都是正方形 、、 、 因此，正方形B的面积是7， 故答案为：7． 【跟踪专练1】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可得，据此解答，熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可得，， 又∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的关键是利用勾股定理建立三个正方形面积的关系，结合已知条件求出相关正方形面积，再根据阴影部分与该正方形的面积关系得出答案． 先由勾股定理得出直角三角形三边平方的关系，即对应正方形面积的关系；将该关系代入已知等式求出目标正方形的面积；最后根据阴影部分面积是目标正方形面积的一半，计算出阴影面积． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 由勾股定理得． ∵ 正方形面积等于边长的平方，且，，， ∴ ． 又∵ ， ∴ 将代入得：． 化简得，解得． ∵ 阴影部分面积等于面积的一半， ∴ 阴影部分面积． 故选：C． 题型3.利用勾股定理求解线段平方和与平方差 【典例】如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 题型4.勾股定理大多种证明方法及思路 【典例】将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 【跟踪专练2】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 题型5.以弦图为背景的勾股定理计算问题 【典例】大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，再逐一判断，即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长， 斜边大正方形的面积， 故正确； 小正方形的边长为， ， 故正确； 小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积， ， ， 故正确； 综上可得正确． 故答案为：． 【跟踪专练1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ，， ， 的值是：． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理；“数学风车”的周长为，利用勾股定理将、求出即可. 【详解】解：∵“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”的周长为. 故选：D. 题型6.用勾股定理构造图形的实际应用 【典例】如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图，一条直角边(即大树的长)长14尺， 另一条直角边长(尺， 因此葛藤长(尺． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵ ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的拼接，合理做出辅助线结合正方形的性质是解题的关键． 过点作于点，证出四边形是长方形，利用勾股定理求出的长，设正方形的边长为，利用图形的拼接方法求出的值，结合勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴，四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为，则， 根据拼图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型7.勾股定理与无理数的关联 【典例】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为1，，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到的长，再根据，可以得到的长，然后根据数据，即可写出点所表示的数． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴点所表示的数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，边在数轴上，若，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是要分类讨论；根据勾股定理算出的长度，在数轴上画弧的时候要考虑在的左边和右边都有可能进而得到答案； 【详解】解：由题可知：， 在中，，， ∴， ∴（舍负）， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是或4， 故答案为4或． 【跟踪专练2】如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 题型8.勾股树(数)的规律探究与计算 【典例】下列各组数中是勾股数的是（   ） A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．4，5，6 D．9，12，15 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：A、因为，，不是正整数，所以，，不是勾股数，故该选项不符合题意； B、因为0.3，0.4，0.5不是正整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故该选项不符合题意， C、因为，所以4，5，6不是勾股数，故该选项不符合题意； D、因为，所以9，12，15是勾股数，故该选项符合题意， 故选：D． 【跟踪专练1】勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数且满足两数的平方和等于第三个数的平方），逐一验证各选项即可． 【详解】解：A 1，2，3：均为正整数，但最大数3的平方为9，而，不满足勾股定理． B．4，5，：不是正整数，不符合勾股数必须为整数的条件． C． 7，24，25：均为正整数．验证平方和：，，满足勾股定理． D． 0.6，0.8，0.9： 均为小数而非正整数，直接排除． 故选：C 【跟踪专练2】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 题型9.三角形三边的直角三角形判定(勾股定理逆用) 【典例】一个直角三角形三边长度的比不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据勾股定理，直角三角形三边比例必须满足两较小边的平方和等于最大边的平方，分别验证各选项是否满足此条件． 【详解】解：对于选项A：∵， ，满足勾股定理； 对于选项B：∵ ， ，不满足勾股定理； 对于选项C：∵， ，满足勾股定理； 对于选项D：∵， ，满足勾股定理． 故选：B． 【跟踪专练1】判断下列四组数据，可以作为直角三角形三条边长的是（   ） A．，， B．4，5，6 C．，， D．1，2，3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，验证每组数据中两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，，故A是直角三角形； B．，，，故B不是直角三角形； C．，，且，则 ，故C不是直角三角形； D．，不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，三角形，、、分别是以、、为直径的半圆的面积，若，则三角形是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据圆的面积公式求出，、、，然后结合可求出，最后根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵、、分别是以、、为直径的半圆的面积， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 题型10.网格环境下直角三角形的判定方法 【典例】如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是 ． 【答案】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 【跟踪专练2】如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 题型11.勾股定理逆定理的综合求解 【典例】如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可知，利用勾股定理可求出的长，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ， ； 故答案为：． 1．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据三角形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 2．下图中三角形边长的值是有理数的是（　　） A． B． C．z D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，有理数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理依次计算的长度，再判断其是否为有理数． 【详解】解：，是无理数， ，是无理数， ，是有理数， ，是无理数． 故选：C． 3．如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据可知，根据正方形，的面积分别为和，可知，，代入求出的长度即为正方形的边长． 【详解】解：如下图所示， ， ， 正方形，的面积分别为和， ，， ， ， ， 正方形的边长是. 故选：D． 4．如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 5．如图，中，，为的角平分线，则 ． 【答案】4.5 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点D作，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据角平分线的性质可得，最后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 7．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案 【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理； B、根据面积得到； C、根据面积得到，整理得； D、根据面积得到，整理得. 故选：A. 【点睛】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理. 8．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求得，进而可得，根据正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 依题意， ∴ ∴正方形的面积为， 故选：D． 9．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 10．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 11．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．连接，利用勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ∵， ， ∴． 13．如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 14．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 15．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）10或22 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得， ， 解得，即千米， 千米， 答：新路比原路少千米； （3）如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当点D在的延长线上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为10或22． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $