专题06 分式章末70道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题06 分式章末70道题型专训（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程综合运算 题型七 分式方程解的情况求值问题 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 题型十 分式规律运算 【经典例题一 分式的求值】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 【答案】(1)； (2)；当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据已知得到，利用异分母分式的加减法则计算后，将代入计算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】（1）解：原式 因为，即 所以，原式； （2）原式 ； 因为在中的整数有 当时，分式无意义 所以当时，原式；当时，原式． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍. 3．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． （1）按照例子解题即可； （2）设，，，，三式相加得：，求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：设， ，，， 三式相加得：， ， ， ． 5．（25-26八年级上·河北唐山·期中）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，0，1”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】(1)乙、丁； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是注意运算顺序及掌握运算法则． （1）观察四人的计算过程即可作出判断； （2）按照分式的混合运算顺序正确计算即可； （3）使分式有意义的的值只能取，把代入化简后的算式中计算即可． 【详解】（1）解：乙分式分子相减时符号错误；丁遗漏了负号； 故答案为：乙、丁； （2）解：原式 ； （3）解：由于且， 所以且， 所以， 当时， 原式． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 7．（24-25八年级上·山东烟台·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 【经典例题二 分式规律性计算】 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为． （2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明． 【详解】（1）解：∵第一个式子， 第二个式子， 第三个式子， …… ∴第（n+1）个式子； （2）解：∵右边==左边， ∴． 【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律． 9．（2025·安徽合肥·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第5个等式________； (2)请写出第个等式，并证明． 【答案】(1) (2)第个等式为，证明见解析 【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可； （2）根据规律写出代数式然后证明即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，第5个等式为， 故答案为：； （2）解：根据题意，第个等式为， 证明：右边 =左边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， (1)请直接写出方程的解为________； (2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为的分式方程：________； (3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________． 【答案】(1)x=6 (2) (3)，x=n 【分析】（1）根据材料可知，方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，即可得解； （2）根据材料信息，写出一个解为-5的分式方程即可； （3）观察所给的材料，从特殊形式到一般形式总结出规律，可得方程． 【详解】（1）解：根据材料发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数， ∴方程的解为x=＝6． （2）由题意可得：解是x=-5的方程可以是： ； （3）由题意可得： ， 解是x=n． 【点睛】本题考查学生阅读分析理解能力，解答本题的关键是通过对所给材料的理解得出方程以及方程解的一般形式． 11．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，． 解答下列问题： （1）请你写出一个符合上述特征的方程为_______，其解为，． （2）根据这类方程特征，写出第n个方程为_________，其解为，； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（其中n为正整数）的解． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． 【详解】（1）； （2）根据题意归总结得第n个方程应为：， 故答案为：； （3）将原方程变形为：， 令，即：， ∴根据题意直接写出解为：， ∴，． 【点睛】本题考查分式方程的解，理解方程的解，并根据题意总结归纳出一般规律是解题关键． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明； (3)若的值为，求正整数n的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)7 【分析】（1）根据前四个式子的规律，写出第5个式子，即可求解； （2）由（1）中的式子得到规律，即可求解； （3）根据题意把原式变形为，可得，再化简可得到，然后得到关于n的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 故答案为： （2）由（1）得：第n个等式： 证明： 右边 =左边； （3） ∵的值为， ∴， 整理得： 解得：， 检验：当n=7时，， ∴是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，分式加减的应用，解分式方程，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 13．（24-25八年级上·河北张家口·期末）阅读理解 【发现】如果记，并且f（1）表示当x=1时的值，则f（1）=______； 表示当时的值，则______； 表示当时的值，则=______； 表示当时的值，则______； 表示当时的值，则______； 【拓展】试计算的值． 【答案】，，，，；2012.5 【分析】（1）【发现】分别把x=1、2、 、3、 代入即可得出答案 （2）【拓展】根据f的变化规律得到然后求解即可． 【详解】解：【发现】； ；； ； 【拓展】∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了函数值，数字变化规律，读懂题目信息，理解变化规律f的方法并确定出是解题的关键． 14．（24-25八年级上·云南临沧·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… （1）写出第5个等式：________________； （2）探究规律：猜想第个等式，并证明； （3）问题解决：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升的，如果不考虑实际操作因素，按照这种倒水的方法，这1升水能倒完吗？为什么？ 【答案】（1）   （2）；证明见解析  （3）不能；见解析 【分析】（1）观察各等式，找出分子分母中的数与序号的关系即可写出第五个等式； （2）根据题目中的式子，可以写出生意人猜想，并验证猜想是否正确； （3）根据题意求出前n次倒水量之和，再与1进行比较即可． 【详解】解：（1）第5个等式：； 故答案为：； （2）猜想：，证明： 等式右边等式左边， ∴猜想成立； （3）由题意可得： 第次倒出水量：， ∴前次总共倒出水量： ， ∵， ∴这1L水不能倒完． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律的问题，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解题的关键是发现分子分母中的数与序号的关系． 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 15．（25-26八年级上·北京·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的化简，分式有意义的条件． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，进行化简求解； （3）将原式进行化简，根据题意可得，根据分式有意义的条件进行检验，即可得符合条件的整数的值． 【详解】（1）解： ，是和谐分式， ，不是和谐分式， ，是和谐分式． 故答案为：． （2）解：， ． 故答案为：，． （3）解：， ∵的值为整数，且为整数， ∴为整数，为整数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴为整数， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，当或时，分母均不为零，符合题意． ∴符合条件的整数的值为或． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4或10或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或7或，即可求解． 【详解】（1）解：∵分式，是“合分式”， ∴， ∴与关于的“合值”为3； 故答案为：3 （2）解： ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， （3）解：， ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ∴， ∴， ∴， ∵分式的值为正整数，为整数， ∴7是的整数倍， ∴取1或7或， 此时x的值为4或10或． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 【答案】（1）①③；（2）；（3）2,4 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据真分式的定义即可求解； （2）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）根据定义得：①③ 故答案为：①③ （2）．     （3）     ∵分式的值为整数， ∴ ∴ 故答案为：. 18．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】真； ； 或或或． 【分析】本题考查了分式的运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则整理分式． 根据真分式的定义判断； 根据阅读材料中的思路，可得：； 把分式化为带分式的形式，可得：，因为是整数，所以是整数，可得：或，分情况解方程求出的值即可． 【详解】解：分式的分子是常数，分母是 分子的次数是，分母的次数是， ， 分式是真分式； 故答案为：真； 解：； 故答案为：； 解： ， 的值为整数， 的值为整数， 的值为整数， 或， 解得：或或或． 19．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． (1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________． ①；②；③． (2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． (3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 【答案】(1)② (2)①；② (3)当整数为或或或或或时，分式的值为整数 【分析】本题考查分式的加减运算，求代数式，分式为整数， （1）根据“和整分式”的定义进行判断即可； （2）①根据“和整分式”的定义可得的值；②根据，得到，然后代入计算即可； （3）根据“和整分式”的定义可得出为整数，即可求解； 掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵ ， 则该分式与假分式的和不是整式， ∴该分式与假分式不是互为“和整分式”； ②∵， 则该分式与假分式的和是整式， ∴该分式与假分式互为“和整分式”； ③∵， 则该分式与假分式的和不是整式， ∴该分式与假分式不是互为“和整分式”； 故答案为：②； （2）①∵， 又∵存在一个真分式与互为“和整分式”， ∴； ②∵， ∴， 当时，； （3）∵与均与真分式互为“和整分式”， 设，， ∴，都是整式，且， ∵的值为整数， ∴为整数， ∴能被整除，且即， ∴或或， 解得：或或或或或， ∴当整数为或或或或或时，分式的值为整数． 20．（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 21．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 【经典例题四 分式混合运算压轴】 22．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知，，小宇和小恒在对，进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大，请你判断谁的说法正确，并说明理由． 【答案】小宇说法正确，理由见解析． 【分析】本题考查了分式的运算，先进行运算，即，因为，所以，故有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：小宇说法正确，理由， ， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴不论取何值，的值都比的值大； ∴小宇说法正确． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：，小明的解题步骤如下： 解：原式       ①        ②          ③ ．        ④ 问： (1)从第_______步开始出错，出错的原因是______________； (2)请写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①，除法没有分配律 (2)，步骤见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用分式的混合运算法则判断即可; （2）直接利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：从第①步开始出错，出错的原因是除法没有分配律 故答案为：①，除法没有分配律． （2）原式 ． 24．（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见详解 【分析】本题考查分式的化简运算，涉及分式的基本性质和乘法分配律的应用． （1）小明的解法是通过通分进行，依据分式的基本性质；小红的解法是直接分配乘法，依据乘法分配律． （2）根据两种方法，分别运用分式的基本性质和乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律， 故答案为②；③． （2）解：选择小明： 原式 选择小红： 原式 25．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 【答案】(1) (2)，时，整数为1 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）根据同分母分式加法将各分式变形； （2）先根据分式的四则混合运算法则化简，再变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 要使得该式的值为整数， 则， ∴或（为满足分母不为0，故舍）， ∴该式子的值为． 26．（25-26八年级上·河北沧州·阶段练习）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了分式的化简， 对于（1），将化成，即可得出整数和分式和的形式； 将化成，即可得出整式和分式的和的形式； 对于（2），先把M，N化成整数和分式的和的形式，再根据，可得， 然后令，，可得，再讨论a，b的值可得答案. 【详解】（1）解：． ； （2）解：，， 因为，所以， 即， 令，，则， ， ， ， ， ，均为正数，，均为正整数， ，为正整数， 或或 当时，则，； 当时，则，（舍） 当时，则，（舍）． ，， ，，经检验，符合题意， ，． 27．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读材料，解答下列问题：神奇的等式当时，一般来说会有，然而当a和b是特殊的分数时，这个等式却是成立的！例如：… (1)特例验证：请再写出一个具有上述特征的等式______； (2)猜想结论：用为正整数表示分数的分母，上述等式可表示为______； (3)证明推广：中得到的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)等式成立，理由见解析 【分析】（1）根据已知等式的规律即可得； （2）用含n的是式子表示所得规律； （3）根据分式的混合运算计算等式左右两边即可得． 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出规律及分式的混合运算顺序和运算法则． 【详解】（1）解：具有上述特征的等式可以是， 故答案为：； （2）上述等式可表示为， 故答案为：； （3）等式成立， 证明：左边， 右边， 左边=右边， 等式成立． 28．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）任老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有______； (2)请你写出正确的解答过程． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)小王 (2)见解析 (3)分式化简时如果分子或分母是负数时，注意符号的变化（合理即可，答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式的运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题目逐步计算判断即可； （2）先通分，再利用平方差公式计算化简即可； （3）根据分式化简的运算过程提出合理建议即可． 【详解】（1）解：， 小王的计算错误； ， 小李的计算正确； ， 小李的计算正确， 故答案为：小王； （2） ； （3）分式化简时如果分子或分母是负数时，注意符号的变化（合理即可，答案不唯一） 【经典例题五 分式中的最值问题】 29．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料： 分式（）的最大值是多少？ 解：， ∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是． ∴的最大值是．∴（）的最大值是． 解决问题： (1)分式（）的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值． 【答案】(1)9 (2)7 (3)4，6，8 【分析】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即， 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，由，得到的最大值为8，即可解题． （2）根据，由，得到的最大值为3，即可解题 （3）根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为3的因数，从而可得到整数的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴，即：的最小值为1， ∴的最大值为8， ∴的最大值为9， 即：分式（）的最大值是9， 故答案为：9； （2）由题意可知，， ∵， ∴，即：的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为7， 即：分式的最大值是7； （3）由题意可知，， ∵分式（）的值为整数，且为整数， ∴的值为整数，， ∵， ∴的值为，1，3， ∴的值为4，6，8． 30．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： (1)______； (2)______； (3)若，求的值； (4)当时，则的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)4 【分析】本题考查新定义，分式的运算，解一元一次方程，解题的关键是得到的结果以，5个为一组进行循环； （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据前面的几个等式，推出规律，进行求解即可； （3）根据规律，列出方程进行求解即可； （4）根据规律求出，再根据的取值范围求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ，， ∴， ∴， ∴的结果以，5个为一组进行循环， ∵， ∴； （3）由（2）可知： ∴， 解得：； ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，最小， 此时最大为； 故答案为：4． 31．（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①√；②× (2) (3)7 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． （2）解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； （3）解：∵设的“互动分式”为， ∴， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴且， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， ∴， ∴当时的最大值是7． 32．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下面材料： 小雅这学期学习了轴对称的知识，知道像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小雅发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．她把这样的式子命名为交换对称式，她还发现像，等交换对称式都可以用，表示，例如：，．于是小雅把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式①，②，③，④，⑤中，属于交换对称式的是_____（填序号）； （2）已知． ①_____，______（用含m，n的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，判断交换对称式是有最小值还是最大值，并求出最值． 【答案】（1）①④；（2）①p=m+n，q=mn；②；③最小值,-2． 【分析】（1）根据神奇对称式的定义即可判断； （2）①利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，然后根据两个多项式相等时同类项的系数相等即可求出p、q； ②①由p=1，q=-2可得m+n=1，mn=-2，再将用mn，m+n表示，再代入即可； ③由可得p2=q2，即q=±p．将用含p、q的式子表示，然后分q=p；q=-p两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）①，②，③，④，⑤，∴属于神奇对称式的是①，④； （2）①∵（x+m）（x+n）=x2+（m+n）x+mn，（x+m）（x+n）=x2+px+q， ∴x2+（m+n）x+mn=x2+px+q， ∴p=m+n，q=mn； ②由①得p=m+n=1，q=mn=-2， 而m²+n²=(m+n)²-2mn， ∴=． 答：对称式的值为． ③∵（x-m）（x-n）=x2-（m+n）x+mn=x2-px+q， ∴p=m+n，q=mn． ∴=m2++n2+ =（m+n）2-2mn+ =p2-2q+． ∵， ∴p2=q2，即q=±p． （i）当q=p时， ∴原式=p2-2p+1=（p-1）2≥0； （ii）当q=-p时， ∴原式=p2+2p-1=（p+1）2-2≥-2． 综上，的最小值为-2． 【点睛】本题考查了新定义，多项式乘多项式，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 33．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 34．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如： ，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式． 解决问题： (1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　； (2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ (3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式； (2)当时，原式为整数 (3)，5 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）分式若为整数，则真分式的值要为整数，即可求解； （3）分式拆分成带分式即的形式．利用完全平方公式将分母变形，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等， 故答案为：假分式； （2）解：原式， 当时，原式为整数； （3）解：， ， 时，有最小值，值最大， ，即时，， 当a为2，分式有最大值，最大值是5. 35．（24-25八年级上·江西南昌·期末）阅读下列材料： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ ．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式． 例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式． 方法1： = = =x-1- 方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数) ∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x²+(a+3)x+(3a+b) ∴x²+2x-5=x²+(a+3)x+(3a+b) 对于任意x，上述等式均成立， ∴ ，解得 ∴x²+2x-5=(x+3)(x-1)-2 ∴ = = =x-1- 这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式． 【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x²的最小值为1，所以 的最大值为3， 所以2+ 的最大值为5． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）分式 是________分式(填“真”或“假”)．     （2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式： ① =________+________． ② =________+________． （3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．     （4）当x的值变化时，求分式 的最大值． 【答案】（1）真；（2）①2；；②x；；（3）当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数；（4）当x的值变化时，原分式的最大值是6 【分析】（1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）根据分母为（x-3），可将原方式转化为x+5+   ， 再根据原分式的值为整数，可得到x-3=±1或x-3=±2，分别求出x的值即可． （4）先将分式转化为2+ ，根据分母可知分母的最小值为1，由此可得到的最大值为4，由此可得到原分式的最大值为6． 【详解】解（1）∵分子为常数项，故次数为0，分母次数为1 ∴为真分式 （2）① ② （3）解： = = =+5+ 若原分式的值为整数，则x-3=±1或x-3=±2 ①若x-3=1，则x=4； ②若x-3=-1，则x=2； ③若x-3=2，则x=5； ④若x-3=-2，则x=1． ∴当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数． （4）解： = =2+ =2+ ∵(x-1)²≥0， ∴(x-1)²+1有最小值1 ∴ 有最大值4， ∴2+ 有最大值6， ∴当x的值变化时，原分式的最大值是6 【点睛】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． 【经典例题六 解分式方程综合运算】 36．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 37．（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为 ， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解： ， ∵分式方程的根为正数， ∴，且，即 解得且． 38．（25-26八年级上·吉林长春·期中）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：第一步：方程两边同乘，得， 第二步：， 第三步：． 第四步：检验，当时，， 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)无解，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）小叶的解答在去分母时，第一步去分母时方程右边的常数项1没有乘以公分母，导致错误，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：小叶的解法从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的常数项1没有乘以公分母． 故答案为：一； （2）解：方程两边同乘，得， 简化得： 解得 检验：当时，分母， 所以是增根，原方程无解． 39．（24-25八年级下·河南开封·期末）（1）解方程： （2）先化简，再求值：，其中 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （I）甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （II）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）无解；（2）（I）②，③；（II）见解析． 【分析】本题考查了解分式方程，分式的混合运算． （1）解分式方程需通过去分母化为整式方程求解，并检验增根； （2）（I）化简分式时，甲同学使用通分，依据分式的基本性质；乙同学使用分配律，依据乘法分配律； （II）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得， 经检验，当时，分母，所以是增根， ∴原方程无解； （2）（I）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质；乙同学解法的依据是乘法分配律； 故答案为：②，③； （II）解：甲同学的解法： 原式 ， 当时，原式； 乙同学的解法： 原式 ， 当时，原式． 40．（25-26八年级上·江西抚州·阶段练习）请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程等知识，理解“换元法”是解题关键，注意分式方程要进行检验．设得到，解得或，再分别代入，解方程，检验即可求解． 【详解】解：． 设 则， 解得或， 当时，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验，是分式方程的解， 原分式方程的解是，． 41．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）对于两个不等的非零实数，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，则 ； (2)关于的方程的两个解分别为，求和的值； (3)若关于的方程的两个解分别为（为实数）．且，求的值． 【答案】(1)2 (2)14； (3) 【分析】本题考查分式方程的解，解一元二次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出方程的两个解为，再进行求解即可； （2）根据新定义，得到，，利用完全平方公式变形，求出，再根据，进行求解即可； （3）将，转化为，根据新定义得到，，进而得到，，根据，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴方程的两个解分别为， ∴， 故答案为：2； （2）由题意，方程的两个解分别为 ∴，． ∴ ， ∴， ∴ ． （3）由题意，∵x， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 42．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，③ (2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元，过程见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所列方程和题意即可得到答案； （2）解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，建立方程求解即可；解法二，设甲种商品购进x件，根据每种商品的单价等于总价除以数量，再结合甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元， 解法二中x表示甲种商品购进x件， 故答案为：①，③； （2）解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 解法二，设甲种商品购进x件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元． 【经典例题七 分式方程解的情况求值问题】 43．（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的分式方程 (1)若，求分式方程的解 (2)若分式方程无解，求a的值 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）将代入分式方程中，求出分式方程的解； （2）先去分母，根据分式方程无解，再分3种情况，分别求得a的值． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得， 解得：， 经检验是原分式方程的解； （2）， 去分母，得， 整理方程，得 解得：， ∵分式方程无解， ∴，或或 ， ①当时，， 所以， 解得：， ②当时，， 此时， 解得：， ③当时，方程也无解，此时， 综上所述，a的值为或或． 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 45．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查了数字类规律问题，分式方程的解，理解并找出题目中的特征是解题的关键． （1）根据题中给出的特征即可得到解答； （2）根据题中给出的特征及其对应的解总结规律即可； （3）将方程的解代入原方程，判断左右两边是否相等即可解答． 【详解】（1）解：的解为：，， 故答案为：，； （2）解：∵①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… ∴第个方程为的解为，， 故答案为，，； （3）证明：当时，左边右边； 当时，左边右边； ∴，均为方程的解． 46．（24-25八年级上·山东淄博·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； （3）解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 47．（24-25八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查分式方程；理解“阅读材料”中的答题方法，能够将所求分式方程转化为，求解是解题的关键． （1）类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解； （2）结合运用“阅读材料”即可求出和的值，并代数运算即可求解； （3）善于观察并分析方程，即可求出和的值，代入运算即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 经检，是该方程的解． 故答案为：，； （2）由已知得，， ∴ ． （3）原方程变为， ∴，， ∴，， ∴． 48．（24-25八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 49．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）且；（3）或． 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数： （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 50．（2025·云南丽江·一模）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 51．（24-25八年级下·重庆南岸·期中）阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，＝1成立，我们称(2，2)是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题： （1）数对(，4)，(1，1)中，使＝1成立的“神奇数对”是　 　； （2）若(5﹣t，5+t)是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值； （3）若(m，n)是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值． 【答案】（1）(，4)；（2）±；（3）﹣36 【分析】（1）按照题中定义将数对（，4），（1，1）分别验算即可； （2）根据题意得关于t 的分式方程，解方程即可； （3）根据已知条件，先将m和n用含a，b，c的式子表示出来，再根据题意得出关于m和n的等式，然后可得关于a，b，c的等式，从而可对所给的代数式配方，求得最值． 【详解】解：（1）∵+＝+＝1 ∴（，4）是使＝1成立的“神奇数对”． ∵+＝2≠1 ∴（1，1）不是使＝1成立的“神奇数对”． 故答案为：（，4）； （2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”， 则：+＝1 ∴5+t+5﹣t＝25﹣t2 ∴t＝± 经检验，t＝±是原方程的解 ∴t的值为±； （3）∵a＝b+m，b＝c+n ∴m＝a﹣b，n＝b﹣c 由题意得：+＝1 +＝1 ∴b﹣c+a﹣b＝（a﹣b）（b﹣c） ∴a﹣c＝（a﹣b）（b﹣c） ∴（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c） ＝（a﹣c）2﹣12（a﹣c） ＝（a﹣c﹣6）2﹣36 ∵（a﹣c﹣6）2≥0 ∴（a﹣c﹣6）2﹣36≥﹣36 ∴代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值为﹣36． 【点睛】本题考查了分式方程在新定义习题和整式的化简求值中的应用，解题的关键是正确按照定义列式求解． 52．（25-26八年级上·河北唐山·期中）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 【答案】(1)1600元 (2)30辆 【分析】本题主要考查了列分式方程和一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是找准等量关系和不等关系． （1）设今年售价为元，则去年售价为元，根据数量相等列出方程求解即可； （2）设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据利润列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：设今年售价为元，则去年售价为元，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴今年A型车每辆售价为1600元； （2）解：设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据题意得， ， 解得， ∴A型车至多进30辆． 53．（2025·广东汕头·一模）如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时． (1)求小牧上山的平均速度； (2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？ 【答案】(1)4千米/时 (2)千米 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程在行程问题中的应用；解题关键是根据路程、速度、时间关系，分别找出总时间和两段路程时间相等的等量关系，列出方程求解． （1）设小牧上山平均速度为千米/时，根据路程千米、下山速度是上山速度倍及总时间小时，利用“时间 = 路程÷速度”，列出上山时间与下山时间之和为小时的分式方程，求解并检验得到上山平均速度． （2）设C处离山顶A为a千米，依据第（1）问求出的速度，结合“小牧从处走到山顶所用时间等于从处走到山脚所用时间”这一条件，根据“时间 = 路程÷速度”列出方程，求解得出处离山顶的距离． 【详解】（1）解：设小牧上山的平均速度是x千米/时，根据题意，得 ． 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：小牧上山的平均速度是4千米/时． （2）设C处离山顶A为a千米． 根据题意，得． 解得． 答：C处离山顶A 4.8千米． 54．（2025·重庆·模拟预测）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 55．（2025·广西·模拟预测）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 56．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【研究问题】一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？ 【操作方法】先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 【活动结果】摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表： 球的类别 无记号 有记号 红色 黄色 红色 黄色 摸到的次数 18 28 2 2 【推测计算】由上述的摸球实验可推算： （1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ （2）盒中有红球多少个？ 【拓展延伸】在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，试估计盒子中白球的个数． 【答案】（1）红球占40%，黄球占60%；（2）盒中红球有40个；（3）16 【分析】此题考查了分式方程的应用等知识，理解题意，正确列式是解题的关键． 推测计算：（1）50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次，分别列式计算即可；（2）先求出总球数，再乘以对应的百分比即可求出答案； 拓展延伸：先求出白球所占的比例，据此列分式方程进行求解即可． 【详解】解：推测计算：（1）由题意可知，50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次， ∴红球所占百分比为， 黄球所占百分比为， 答：红球占，黄球占； （2）由题意可知，50次摸球试验活动中，出现有记号的球4次， ∴总球数为，. ∴红球数为， 答：盒中红球有个． 拓展延伸：∵共试验50次，其中有10次摸到黑球， ∴白球所占的比例为，. 设盒子中共有白球x个，则 解得：． 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故白球的个数是16个．. 【经典例题九 分式的新定义问题】 57．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 【答案】(1)满足，推导过程见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，新定义下的实数运算，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）根据定义的新运算“※”，计算出和，即可得出结论； （2）根据定义的新运算“※”，直接列式计算即可得出答案； （3）根据定义的新运算“※”，得出关于的分式方程，解之并检验即可． 【详解】（1）解：新运算“※”满足乘法交换律，理由如下： ， ， ； （2）解： ； （3）解：， 当时，， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值为． 58．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）定义：如果两个分式与的差为1，则称是的“最友好分式”，如分式，，，则是的“最友好分式”． (1)已知分式，，请判断是否为的“最友好分式”，并说明理由． (2)已知分式，，且是的“最友好分式”．求（用含的式子表示） 【答案】(1)是的“最友好分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了分式减法与乘法的应用，正确理解“最友好分式”的定义是解题关键． （1）根据分式的减法法则计算的值，再根据“最友好分式”的定义即可得； （2）先根据“最友好分式”的定义可得，则可得，计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可得． 【详解】（1）解：是的“最友好分式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴是的“最友好分式”． （2）解：∵，，且是的“最友好分式”， ∴， ∴， ∴ ． 59．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）对于等式，若知道和求，则称为乘方运算；若知道和求，则称为开方运算．现新定义，对于等式中，知道和求，且规定，如，则有：． (1)根据上述规定、填空： ①______，②______． (2)计算：； (3)探索与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①4；② (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据所给的新定义进行求解即可； （2）分别求出，，据此即可得到答案； （3）设，，则，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：4； ②， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． （3）解：，理由如下： 设，， ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，幂的乘方的逆运算，负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． 60．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“______阶差分式”． (2)分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 【答案】(1)1 (2)3或6 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论求解即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴当时，， 当时，； 综上所述，的值为3或6． 61．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 62．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 63．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 【经典例题十 分式规律运算】 64．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）观察下面的变形规律，解答下列问题．；；； (1)若为正整数，则猜想_______________． (2)根据上面的结论，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程以及规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知算式的变化规律即可得结论； （2）结合（1）将原方程变形即可解方程，再根据解分式方程进行作答，注意验根． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； …… 观察已知算式的变形规律可知， 当为正整数时，， 故答案为：； （2）解：依题意， ， ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 65．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：， 方程变形得：， 即 ∴或， 解得：或． 66．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读材料，并完成下列问题： 已知分式方程：①＝3，②x+＝5，③x+＝7． 其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4． （1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+＝11的解是 　 　． （2）关于x的方程x+＝101+有2个解，它们是x＝101或x＝，根据所猜想的规律，求m的值． 【答案】（1）x＝5或x＝6；（2）5 【分析】（1）观察阅读材料中求方程解的方法得出所求即可； （2）根据得出的规律列出方程，求出解即可得到m的值． 【详解】解：（1）∵①，②，③，其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4． ∴可得的解有2个：或， ∴即的解为x＝5或x＝6； 故答案为：x＝5或x＝6； （2）∵方程的解是x＝101或； 根据规律的解有2个：或， ∴可得， 解这个方程，得m＝5， 经检验，m＝5是所列方程的根． ∴m的值为5． 【点睛】本题主要考查了分式相关的规律性问题，解分式方程，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解． 67．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）先阅读下面的材料，然后解答问题． 通过计算，发现：方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察猜想：关于x的方程的解是 ； (2)利用你猜想的结论，解关于x的方程； (3)实践运用：对关于x的方程的解，小明观察得“”是该方程的一个解，则方程的另一个解= ，请利用上面的规律，求关于x的方程的解． 【答案】(1)， (2)， (3)；， 【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的形式相同，按照此规律即可得出方程的解； （2）根据（1）的规律，得出，，解出即可得出方程的解； （3）根据（1）中的规律，即可得出另一个解；首先对方程进行整理，得出，然后按照（1）中的规律，解出即可得出结果． 【详解】（1）解：，． 故答案为：， （2）解： ∵，， ∴，； （3）解：； 整理，得：， 整理，得：， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解本题的关键在正确理解题意找出方程与解之间的规律． 68．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用计算即可； （2）先计算，再根据求解即可； （3）利用（2）的结论，将方程整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴； （3）解： ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查分式的加减法及解分式方程，解答的关键是读懂材料，对所求的式子拆项． 69．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）【阅读材料】 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．例如：18可以分解成或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1），猜想：_________； （2），猜想：______________； 【应用规律】 （1）若，其中是正整数，求的值； （2）若，其中是正整数，求的值． 【答案】探索规律：（1）；（2）1； 应用规律：（1）2020；（2）5 【分析】探索规律（1）根据前几项的最佳分解，找到规律，即可求解； （2）根据前几项的最佳分解，找到规律，即可求解； 应用规律（1）根据得到的规律，列出方程，求解即可； （2）设，推出，所以，再分类求解即可． 【详解】解：探索规律 （1）∵f(6)=f(23)=，f(15)=f(35)=，f(24)=f(46)==， ∴f()=f=； （2）∵f(4)=f(22)=1，f(9)=f(32)=1，f(25)=f(52)=1， ∴f()=1； 应用规律 （1）∵f()=f=，且f()=， ∴， ∴1011x=1010x+2020， 解得：x=2020， 经检验，x=2020符合题意，所以x的值是2020； （2）由，可设（为正整数）， 即，所以， ①当时，，解得，不符合题意，舍去； ②当时，，解得，符合题意； ③当时，，无意义，舍去； ④当时，，解得，不符合题意，舍去； ⑤当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，的值是5． 【点睛】本题主要考查了新定义“最佳分解”，读懂题目信息，理解“最佳分解”的定义：p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小是解题的关键． 70．（24-25八年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成任务． 材料：近几年来，我国已成为全球最大的电动汽车销售市场，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．当充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．求这款电动汽车平均每公里的充电费． 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得…… 老师在解此方程时给大家介绍了一种新的解法，如下： ，从而可得， 解得． 经检验，是原方程的根…… 探究：小明同学对老师的这一解法非常感兴趣，于是自己随意找了几个式子进行探究． 由比例式，得成立，同时由，得也成立，由此发现规律． 任务： (1)已知a，b，c，d均不为0，若，则有①_______；②_________． (2)请用上述规律，解分式方程：． 【答案】(1)①；② (2)． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）设，则，，代入计算即可求解； （2）利用规律，求解即可． 【详解】（1）解：已知a，b，c，d均不为0，若， 设，则，， ∴，， ∴①；②． 故答案为：①；②； （2）解：由（1）得， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式章末70道题型专训（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程综合运算 题型七 分式方程解的情况求值问题 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 题型十 分式规律运算 【经典例题一 分式的求值】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 3．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 5．（25-26八年级上·河北唐山·期中）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，0，1”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 7．（24-25八年级上·山东烟台·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【经典例题二 分式规律性计算】 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 9．（2025·安徽合肥·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第5个等式________； (2)请写出第个等式，并证明． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， (1)请直接写出方程的解为________； (2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为的分式方程：________； (3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________． 11．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，． 解答下列问题： （1）请你写出一个符合上述特征的方程为_______，其解为，． （2）根据这类方程特征，写出第n个方程为_________，其解为，； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（其中n为正整数）的解． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明； (3)若的值为，求正整数n的值． 13．（24-25八年级上·河北张家口·期末）阅读理解 【发现】如果记，并且f（1）表示当x=1时的值，则f（1）=______； 表示当时的值，则______； 表示当时的值，则=______； 表示当时的值，则______； 表示当时的值，则______； 【拓展】试计算的值． 14．（24-25八年级上·云南临沧·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… （1）写出第5个等式：________________； （2）探究规律：猜想第个等式，并证明； （3）问题解决：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升的，如果不考虑实际操作因素，按照这种倒水的方法，这1升水能倒完吗？为什么？ 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 15．（25-26八年级上·北京·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3） 已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 18．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 19．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． (1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________． ①；②；③． (2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． (3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 20．（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 21．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【经典例题四 分式混合运算压轴】 22．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知，，小宇和小恒在对，进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大，请你判断谁的说法正确，并说明理由． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：，小明的解题步骤如下： 解：原式       ①        ②          ③ ．        ④ 问： (1)从第_______步开始出错，出错的原因是______________； (2)请写出正确的解题步骤． 24．（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 25．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 26．（25-26八年级上·河北沧州·阶段练习）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 27．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读材料，解答下列问题：神奇的等式当时，一般来说会有，然而当a和b是特殊的分数时，这个等式却是成立的！例如：… (1)特例验证：请再写出一个具有上述特征的等式______； (2)猜想结论：用为正整数表示分数的分母，上述等式可表示为______； (3)证明推广：中得到的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由． 28．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）任老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有______； (2)请你写出正确的解答过程． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【经典例题五 分式中的最值问题】 29．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料： 分式（）的最大值是多少？ 解：， ∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是． ∴的最大值是．∴（）的最大值是． 解决问题： (1)分式（）的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值． 30．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： (1)______； (2)______； (3)若，求的值； (4)当时，则的最大值为______． 31．（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 32．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下面材料： 小雅这学期学习了轴对称的知识，知道像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小雅发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．她把这样的式子命名为交换对称式，她还发现像，等交换对称式都可以用，表示，例如：，．于是小雅把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式①，②，③，④，⑤中，属于交换对称式的是_____（填序号）； （2）已知． ①_____，______（用含m，n的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，判断交换对称式是有最小值还是最大值，并求出最值． 33．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 34．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如： ，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式． 解决问题： (1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　； (2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ (3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 35．（24-25八年级上·江西南昌·期末）阅读下列材料： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ ．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式． 例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式． 方法1： = = =x-1- 方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数) ∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x²+(a+3)x+(3a+b) ∴x²+2x-5=x²+(a+3)x+(3a+b) 对于任意x，上述等式均成立， ∴ ，解得 ∴x²+2x-5=(x+3)(x-1)-2 ∴ = = =x-1- 这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式． 【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x²的最小值为1，所以 的最大值为3， 所以2+ 的最大值为5． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）分式 是________分式(填“真”或“假”)．     （2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式： ① =________+________． ② =________+________． （3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．     （4）当x的值变化时，求分式 的最大值． 【经典例题六 解分式方程综合运算】 36．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 37．（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 38．（25-26八年级上·吉林长春·期中）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：第一步：方程两边同乘，得， 第二步：， 第三步：． 第四步：检验，当时，， 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 39．（24-25八年级下·河南开封·期末）（1）解方程： （2）先化简，再求值：，其中 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （I）甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （II）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 40．（25-26八年级上·江西抚州·阶段练习）请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 41．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）对于两个不等的非零实数，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，则 ； (2)关于的方程的两个解分别为，求和的值； (3)若关于的方程的两个解分别为（为实数）．且，求的值． 42．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【经典例题七 分式方程解的情况求值问题】 43．（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的分式方程 (1)若，求分式方程的解 (2)若分式方程无解，求a的值 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 45．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 46．（24-25八年级上·山东淄博·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 47．（24-25八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 48．（24-25八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 49．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 50．（2025·云南丽江·一模）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 51．（24-25八年级下·重庆南岸·期中）阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，＝1成立，我们称(2，2)是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题： （1）数对(，4)，(1，1)中，使＝1成立的“神奇数对”是　 　； （2）若(5﹣t，5+t)是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值； （3）若(m，n)是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值． 52．（25-26八年级上·河北唐山·期中）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 53．（2025·广东汕头·一模）如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时． (1)求小牧上山的平均速度； (2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？ 54．（2025·重庆·模拟预测）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 55．（2025·广西·模拟预测）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 56．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【研究问题】一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？ 【操作方法】先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 【活动结果】摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表： 球的类别 无记号 有记号 红色 黄色 红色 黄色 摸到的次数 18 28 2 2 【推测计算】由上述的摸球实验可推算： （1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ （2）盒中有红球多少个？ 【拓展延伸】在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，试估计盒子中白球的个数． 【经典例题九 分式的新定义问题】 57．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 58．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）定义：如果两个分式与的差为1，则称是的“最友好分式”，如分式，，，则是的“最友好分式”． (1)已知分式，，请判断是否为的“最友好分式”，并说明理由． (2)已知分式，，且是的“最友好分式”．求（用含的式子表示） 59．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）对于等式，若知道和求，则称为乘方运算；若知道和求，则称为开方运算．现新定义，对于等式中，知道和求，且规定，如，则有：． (1)根据上述规定、填空： ①______，②______． (2)计算：； (3)探索与的大小关系，并说明理由． 60．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“______阶差分式”． (2)分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 61．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 62．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 63．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【经典例题十 分式规律运算】 64．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）观察下面的变形规律，解答下列问题．；；； (1)若为正整数，则猜想_______________． (2)根据上面的结论，解方程：． 65．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 66．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读材料，并完成下列问题： 已知分式方程：①＝3，②x+＝5，③x+＝7． 其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4． （1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+＝11的解是 　 　． （2）关于x的方程x+＝101+有2个解，它们是x＝101或x＝，根据所猜想的规律，求m的值． 67．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）先阅读下面的材料，然后解答问题． 通过计算，发现：方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察猜想：关于x的方程的解是 ； (2)利用你猜想的结论，解关于x的方程； (3)实践运用：对关于x的方程的解，小明观察得“”是该方程的一个解，则方程的另一个解= ，请利用上面的规律，求关于x的方程的解． 68．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 69．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）【阅读材料】 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．例如：18可以分解成或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1），猜想：_________； （2），猜想：______________； 【应用规律】 （1）若，其中是正整数，求的值； （2）若，其中是正整数，求的值． 70．（24-25八年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成任务． 材料：近几年来，我国已成为全球最大的电动汽车销售市场，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．当充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．求这款电动汽车平均每公里的充电费． 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得…… 老师在解此方程时给大家介绍了一种新的解法，如下： ，从而可得， 解得． 经检验，是原方程的根…… 探究：小明同学对老师的这一解法非常感兴趣，于是自己随意找了几个式子进行探究． 由比例式，得成立，同时由，得也成立，由此发现规律． 任务： (1)已知a，b，c，d均不为0，若，则有①_______；②_________． (2)请用上述规律，解分式方程：． 学科网（北京）股份有限公司 $