精品解析：山东省临沂市平邑县2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年度上学期质量 监测九年级数学试题 2025.11 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：四个选项中的图形都是轴对称图形，但只有选项C还是中心对称图形； 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 3. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质解答即可，y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h． 【详解】物线线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 4. 平面直角坐标系内，点M关于原点对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】平面直角坐标系内，点M（1，−2）关于原点对称点的坐标是（−1，2）， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（−x，−y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 7. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，解题的关键是先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线， 其图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴右侧随的增大而减小， 点，，都在抛物线上， 点关于直线的对称点在抛物线上，且， ， 故选：A． 9. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接、相交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、相交于点D， 由题意得，，则， 设圆的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为， 故选：D． 10. 已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能够根据对称性求出是解题的关键． 由可知B，C两点关于抛物线的对称轴对称，进而得出，再求出的取值范围即可解决问题． 【详解】解：， B，C两点关于抛物线的对称轴对称，则． 将直线解析式和抛物线解析式联立方程组得， 解得或． 且， 点A只能在点N的左下方， 将代入得， 抛物线的顶点坐标是， ． 故选A． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质． 先明确一元二次方程一般形式的根的判别式为；根据方程有两个相等实数根得出，再确定题目方程中、、的值，代入判别式公式求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数为1，一次项系数为，常数项为a， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ， 即，，解得． 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴是直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解∶ 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 13. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：5． 14. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，求一次函数解析式，一次函数和二次函数交点的坐标，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线的解析式，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得、的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设，直线的解析式为， ∵将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点， ∴轴，， 中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴ 中，令，则， ∴， 同理，， ， …， 即的横坐标为，纵坐标为 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当n为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或； 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或； 解得，． 17. 已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． （1）求这个二次函数解析式和它的图象的顶点坐标； （2）求该二次函数在范围内的最大值与最小值； （3）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）最大值为10，最小值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，利用抛物线图象求不等式解集．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出当时， 当时，求出y值，再将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线最小值，由抛物线的性质可求解． （3）利用图象法，根据抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上，数形结合即可求不等式的解． 【小问1详解】 解：把和代入，得 ，解得：， ∴这个二次函数的解析式为， ∵， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， 当时， ， 当时， ， ∴，抛物线对轴为直线， ∴抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值，当时，y随x增大 而减小，当时，y随x增大 而增大， ∴当时，最大值为10，最小值为． 【小问3详解】 解：由图可知，抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上， ∴不等式的解集或． 18. 已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示： （1） 0， 0；（填或或） （2）化简：． 【答案】（1）， （2）c 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，整式的加减运算，根据点在数轴的位置判断式子的正负，以及根据绝对值的意义化简绝对值. （1）根据数轴可知a．b，c正负性即可求解． （2）根据数轴可知，，，然后根据绝对值的性质化解求解即可． 【小问1详解】 解：根据数轴可得：， ∴，． 故答案为：， 【小问2详解】 根据数轴可得： ，， ∴ 19. 某淘宝体育用品店销售一款乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每支定价80元，乒乓球每盒定价20元．为了迎接即将到来“双十一”活动，该店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一支乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：买乒乓球拍或买乒乓球都按定价的90%付款． 现某客户准备购买乒乓球拍10支，乒乓球x盒（）． （1）若该客户按方案一购买，需付款___________元．（用含x的代数式表示） 若该客户按方案二购买，需付款___________元．（用含x的代数式表示）； （2）当时，请通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请写出你的购买方案．并计算所需付款数；若不能，则直接回答不能． 【答案】（1）； （2）方案一购买较为合算 （3）能，见解析，1160元 【解析】 【分析】此题考查列代数式及代数式求值问题，得到两种优惠方案付费的关系式是解题的关键． （1）方案一：买10支乒乓球拍送10盒乒乓球，方案二：定价的90%，由此列代数式即可； （2）将代入（1）中结论，比较大小即可； （3）乒乓球拍和乒乓球分开购买，即先买10支乒乓球拍，可送10盒乒乓球，再单独买20盒乒乓球． 【小问1详解】 解：按照方案一购买：， 按照方案二购买：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时 方案一：（元） 方案二：（元） 因为 故按方案一购买较为合算． 【小问3详解】 解：能．理由如下： 更节省方案：先用方案一买10支乒乓球拍，同时也赠送了10盒乒乓球， 然后再按方案二买20盒乒乓球． 此时需付款数为（元）（元）， 所以此购买方案比方案一、二均更为省钱． 20. 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如：，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作：“3的圈3次方”．记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把记作，读作：“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，_____； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）     ①试一试：仿照上面算式，将下列除方运算直接写成乘方幂的形式：______，_______，_____； ②将写成乘方幂的形式：_____， 【灵活运用】 （3）计算： 【答案】（1）；9 （2）①；； ② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键． （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果，并总结出的规律， （3）根据运算规定按照（2）的规律代入式子，再按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果即可． 【详解】解：（1）， （2）① ②由，，可知： 当写成乘方幂的形式为： （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期质量 监测九年级数学试题 2025.11 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系内，点M关于原点对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 6. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 12. 抛物线的对称轴是直线___________． 13. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 14. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． （1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标； （2）求该二次函数在范围内的最大值与最小值； （3）请直接写出不等式解集． 18. 已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示： （1） 0， 0；（填或或） （2）化简：． 19. 某淘宝体育用品店销售一款乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每支定价80元，乒乓球每盒定价20元．为了迎接即将到来的“双十一”活动，该店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一支乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：买乒乓球拍或买乒乓球都按定价的90%付款． 现某客户准备购买乒乓球拍10支，乒乓球x盒（）． （1）若该客户按方案一购买，需付款___________元．（用含x的代数式表示） 若该客户按方案二购买，需付款___________元．（用含x的代数式表示）； （2）当时，请通过计算说明按哪种方案购买较合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱购买方案吗？若能，请写出你的购买方案．并计算所需付款数；若不能，则直接回答不能． 20. 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如：，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作：“3的圈3次方”．记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把记作，读作：“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，_____； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）     ①试一试：仿照上面的算式，将下列除方运算直接写成乘方幂的形式：______，_______，_____； ②将写成乘方幂形式：_____， 【灵活运用】 （3）计算： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $