2.1.1 倾斜角与斜率 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，从“一点作多直线的区别在于倾斜程度”切入，衔接平面直角坐标系知识，构建从几何要素到代数表示的学习支架，为后续直线方程学习奠定基础。 其亮点在于通过几何直观与代数推理结合，如用直角三角形推导斜率公式培养数学思维，例8、例9动态分析斜率范围发展数学眼光，表格总结倾斜角与斜率关系体现数学语言简洁性。帮助学生形成逻辑体系，教师可提升教学效率。

第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 我们知道，在平面上，一个点不能确定一条直线。 如图，经过一点 P 可以作无数条直线 l1，l2，l3，… 这些直线的区别是什么？ 确定直线位置的几何要素 x O y l1 l2 l3 P 休问君 (authorId_228242789) - 既然有这么厉害的工具，我们想要将集合问题代数化，首先要解决的就是用代数语言去描述几何元素，比如，点就可以用坐标表示 确定直线位置的几何要素 x O y l1 l2 l3 P 区别：各直线相对于 x 轴的倾斜程度不同； 规定：平面直角坐标系中，水平直线的方向向右 休问君 (authorId_228242789) - 既然有这么厉害的工具，我们想要将集合问题代数化，首先要解决的就是用代数语言去描述几何元素，比如，点就可以用坐标表示 直线倾斜角的定义： 当直线 l 与 x 轴相交时，以 x 轴为基准， x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角。 例1. 下列各图中，表示直线倾斜角α的为( ) C 2.若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线 l 的倾斜角为(　 ) A．30°　　　　　　 B．60° C．30°或150° D．60°或120° 如图(1)，直线 l 的倾斜角是锐角； 如图(2)，直线 l 的倾斜角是钝角． 如图(3)，当直线 l 与 x 轴垂直时， 规定倾斜角 α = π/2(直角)； 如图(4)，当直线 l 与 x 轴平行或 重合时，规定倾斜角α=0． p y x (4)0°角 O p y x (1)锐角 O p y x (3)直角 O y p x (2)钝角 O 因此，倾斜角范围：0°≤ α＜180° 例2 下列命题中，正确的是( )(多选) A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角 B. 一条直线的倾斜角可以为-30° C. 倾斜角为0°的直线有无数条 D. 若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) AC √ 倾斜角不可能为负 有无数条，且都垂直于y轴 当α＝0°时，sin α＝0 当α＝90°时，sin α＝1 辨析1. 如图所示， 直线的倾斜角为( ). A. B. C. D.不存在 答案：B. 辨析2. 如图，直线l的倾斜角为(　　) C 随堂练习 作者编号：32001 我们把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 概念归纳 例3. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率. (1) (2) (3) (4) 答案： (1)； (2)； (3)； (4). 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角. (1) (2) (3) (4) 答案： 随堂练习 作者编号：32001 我们可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向，再结合直线上的一个定点，就可以唯一确定这条直线的位置了． 确定一条直线的方法有两种： ①直线上两点； ②直线上一点和直线的倾斜角。 概念总结 当倾斜角是锐角时 新知探究 当倾斜角是钝角时 新知探究 综上可知，经过两点P1(x1，y1)、P2 (x2，y2)的直线的斜率公式： (x1≠x2) (2) 与两点的顺序无关 (1) 直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示 注 意 例4. 设a为实数，已知过两点A(a，3)，B(5，a)的直线的斜率为1，则a的值为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C 求值： (1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线倾斜角为135°，则y＝_______； (2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________． 随堂练习 作者编号：32001 例5 如图，已知 A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线 AB、BC、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. O x y A C B 解：直线 AB 的斜率 ， 直线 BC 的斜率 ， 直线 CA 的斜率 . 由 及 知，直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角； 由 知，直线 BC 的倾斜角为钝角． 答案： 随堂练习 作者编号：32001 当直线与 y 轴平行或重合时，有α＝90° ，x1 = x2， 此时分母为0， 无意义. 式子仍然成立. 当直线与x轴平行或重合时，有α=0°，y1=y2，此时 倾斜角是90° 的直线没有斜率. 追问1：当直线与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 追问2：当直线与 y 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 例6 判断经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. (1) A(2，3)，B(4，5)； (2) C(－2，3)，D(2，－1)； (3) P(－3，1)，Q(－3，10)； (4) M(a，2)，N(3，6). 斜率为正，倾斜角为锐角； 斜率为负，倾斜角为钝角； 斜率为0，倾斜角为0°； 斜率不存在时，倾斜角为直角. 斜率与倾斜角的关系 答案： 随堂练习 作者编号：32001 总结归纳 (1)倾斜角不同的直线，斜率也不同，故可用斜率表示倾斜角不等于90° 的直线相对于 x 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向； (2)若直线经过两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) (x1 ≠ x2)，根据 tan α = 和 k = tan α 可得斜率公式： 思考：随着倾斜角大小变化，斜率如何变化？ 我们先来观察当倾斜角取到这些特殊角的斜率： 0°≤ α＜90°时，倾斜角增大，斜率从0逐渐增大； 90°＜ α＜180°时，倾斜角增大，斜率从-∞逐渐增大 新知探究 当倾斜角 α 为零时，斜率 k = 0； 当倾斜角 α 为锐角时，斜率 k > 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大； 当倾斜角 α 为钝角时，斜率 k < 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大． 斜率范围：k∈(-∞，+∞) 概念总结 斜率与倾斜角对应关系： 例7. 若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：直线倾斜角的取值范围是， 又直线经过第二、四象限， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 答案：C. 判断正误，并说出理由. (1)倾斜角为的直线的斜率为1.（ ） (2)直线斜率的取值范围是.（ ） (3)任一直线都有倾斜角且都存在斜率.（ ） (4)若一条直线的倾斜角为α ，则它的斜率为k = tan α.（ ） × √ × × 随堂练习 作者编号：32001 例8.过点 P(0，－2)的直线 l 与线段 AB 相交，若 A(1，3)，B(3，2)， 求直线 l 的斜率 k 范围. 所以 . 不含垂线取中间 例9.过点 P(0，－2)的直线 l 与线段 AB 相交，若 A(－2，3)，B(3，2)， 求直线 l 的斜率 k 范围. 包含垂线取两边 所以 . (1)确定边界的斜率 k1，k2 (k1 < k2)（注意能否取到）； (2)判断直线在旋转过程中是否出现垂直 x 轴的直线； (3)包含垂线取两边(k <k1或k > k2 )，不含垂线取中间( k1 < k < k2 )． 求过定点的动直线斜率k的取值范围 已知直线 l 过 P(－2，－1)，且与以 A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围． 随堂练习 作者编号：32001 已知两点，，过点的直线与线段有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 解：如图，由题意可知，， (1)要使与线段有公共点，则或， 即直线的斜率的取值范围是. (2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是， ∴的取值范围是. 随堂练习 作者编号：32001 x O y P1 P2 若直线 l 的斜率为 k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 . 特别地，当方向向量的横坐标为1时，纵坐标就是斜率 k ，即 . 直线的方向向量与斜率的关系 例10. 已知直线 l 的一个方向向量为( ，-3)，则直线 l 的斜率为______. (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为______. (2)已知直线 l 的方向向量的坐标为(1，)，则直线 l 的倾斜角为______. (3)已知直线 l 的方向向量的坐标为(3， )，则直线 l 的倾斜角为______. 练一练 直线的倾斜角： 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角． 倾斜角的取值范围： 0 ≤ α < π． 直线的斜率： 一条直线的倾斜角 α ( )的正切值 k 称为这条直线的斜率，即k =tan α ． 斜率公式：经过两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率为 A. B. C. D. $