精品解析：广东省清远市阳山县南阳中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期中段考高一数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 奇函数在上单调递增，若，则不等式解集是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数在R上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值 C. 若，则 D 若，则有最大值1 11. 某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究“成果”如下，正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是非奇非偶函数 C. 对于任意的，都有 D. 对于任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_____. 13. 已知定义在上的偶函数满足当时，则_________． 14. 已知函数，若方程有三个根，则 的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且满足不等式的解集为. （1）求，的值； （2）求函数在上的最值. 16. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值. 17. 已知幂函数 上单调递增，函数. （1）求的值； （2）记在区间上的值域分别为集合，若，求实数的取值范围. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）当，证明在上单调递增，并求不等式解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期中段考高一数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集与补集运算即可得答案. 【详解】全集， 又，，则， 所以. 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分与必要条件的概念，分别判断其是否成立即可得解. 【详解】当时，则，即充分性成立； 当时，取，显然不成立，即必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD选项可以根据排除法解决，B选项根据不等式的性质判断. 【详解】A选项，取，满足，但是，A选项错误； B选项，显然，则，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以可得，，B选项正确； C选项，取，，，此时，C选项错误； D选项，若，则，D选项错误. 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用配凑法即可计算求解. 【详解】因为函数， 所以函数. 故选：A 5. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次不等式在上恒成立问题，利用判别式的符号列不等式求参数范围. 【详解】由命题“，”是真命题，则满足，解得． 故选：B 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的单调性，及中间量1，即可求解. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 同时， 所以， 故选：C 7. 奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性，单调性结合题意可得答案. 【详解】因奇函数在上单调递增， 则在上单调递增，. 得；. 则或. 故选：C 8. 已知函数在R上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合指数函数性质列式求解. 【详解】因为在R上是减函数，则， 解得，所以a的取值范围是． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义域及解析式逐项分析即可. 【详解】A 选项，定义域为，的定义域为， 它们的定义域不同，故不为同一函数； B选项，定义域都为，解析式相同，故为同一函数； C选项，定义域为，定义域为，它们的定义域不同，故不为同一函数； D选项，定义域都为，，故为同一函数. 故选：BD 10. 若，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据得到，A正确，，展开利用均值不等式计算得到B正确，举例说明C不正确，，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，则，即，正确； 对选项B：，则，当且仅当， 即时取等号，正确； 对选项C：，由可取则 ，不正确； 对选项D：，则，当且仅当时取等号，正确. 故选：ABD 11. 某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究“成果”如下，正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是非奇非偶函数 C. 对于任意的，都有 D. 对于任意的，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的性质求定义域判断A；利用奇偶性定义判断B；根据对数运算性质判断C、D. 【详解】由解析式知，即函数定义域为，A对； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由，显然是奇函数，B错； 由，，C对； 由，，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则有：，所以且. 所以函数的定义域为：. 故答案为： 13. 已知定义在上的偶函数满足当时，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先需要明确偶函数的性质，即.然后根据已知的分段函数表达式求出，再进一步求出. 【详解】因为是偶函数，所以. 当时，由于，根据，可得. 因为，所以. 又因为是偶函数，所以. 当时，由于，根据分段函数， 可得. 所以. 故答案为：2. 14. 已知函数，若方程有三个根，则 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象，数形结合得解. 【详解】函数的图象如图所示： 若方程 有三个根， 则与的图象有3个交点， 由图象可得，解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且满足不等式的解集为. （1）求，的值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值4，最小值 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可. 【小问1详解】 由题意可知是方程的两个根， 代入得，解方程得； 【小问2详解】 由上知， 由二次函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上最大值为， 而，所以其最小值为， 综上函数在上的最大值4，最小值. 16. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2）47 【解析】 【分析】(1)直接利用对数和指数的运算规则逐步化简计算； (2)通过对已知条件平方构造出所求式子形式，再逐步计算. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为，又，所以， 因所以. 17. 已知幂函数 在上单调递增，函数. （1）求的值； （2）记在区间上的值域分别为集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）m = 3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质列式求解； （2）求出的值域和的值域，根据，得到不等式，求出实数k的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得，经验证，符合题意. 【小问2详解】 由（1）得在上单调递增，且， 当时，的值域为，即. 又因为在为单调递减，且， 所以的值域. 因为， 可得，解得，所以的取值范围是. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． 【小问2详解】 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 19. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析，不等式解集为或 【解析】 【分析】（1）令求，令求. （2）令得，结合函数的定义域得为偶函数. （3）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，根据函数为偶函数得到在上单调递减，利用函数的单调性求不等式的解集. 【小问1详解】 令得，故， 令得，故. 【小问2详解】 令得. ∵是定义在非零实数集上的函数， ∴为偶函数. 【小问3详解】 设任意的， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. ∵在上单调递增，且为偶函数， ∴在上是减函数， ∵， ∴， ∴且，解得且， ∴不等式解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $