6.2.2 二倍角公式 讲义--2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

该高中数学单元复习讲义以“四基”为框架系统构建二倍角公式知识体系，通过表格清晰呈现正弦、余弦、正切公式及简记形式，梳理降幂、升幂等公式变形，结合“四基”中基础知识与基本技能的递进关系，直观展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于练习设计融合数学史与现实情境，如赵爽弦图、高斯正十七边形问题，培养用数学眼光观察现实世界的能力。题型涵盖给值求值、化简证明、几何应用等，分层设置例题与同步练习，解析版提供思路提示与方法总结，帮助不同层次学生提升运算推理技能，支持教师实施精准化单元复习教学。

【原卷版】 第6章 三角 6.2.2 二倍角公式 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 【附录】本节相关考点。 考点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角比 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sinαcosα S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan 2α＝ T2α 例1、已知，若．则（    ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、化简得（     ） A． B． C． D．以上都不是 例3、求值：（     ） A． B． C． D． 例4、已知，则 . 例5、已知，则（    ）． A． B． C． D． 例6、已知为锐角，，则（     ） A． B． C． D． 例7、若等腰三角形的底角的正弦值为，则顶角的余弦值为（     ） A．； B．； C．； D．． 例8、已知，是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 例9、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ． 例9、1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，高斯墓碑上刻着如图所示的图案．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则的值为 ． 例11、（1）求证：； （2）若，求． 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 同步练习能即时巩固课堂所学的基础知识，通过对概念、定理、公式的针对性应用，避免知识浮于表面，填补课堂讲解后的理解盲区，防止漏洞累积影响后续学习。它能反复锤炼基本技能，让运算求解、逻辑推理、空间想象、数据处理等核心技能在实践中形成肌肉记忆，提升解题的熟练度与准确率。 1、利用二倍角公式给角为非特殊角的三角函数式求值； 要结合诱导公式、同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，化为适用二倍角公式的形式，进而求值. 2、给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍3、二倍角公式及其变形 （1）涉及三角函数的性质问题，常用二倍角的降幂公式把三角函数式化为一个角的三角函数，然后再研究其性质； （2）要结合之前所学习的公式，观察三角函数各角之间的关系，灵活运用，融会贯通. 4、二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变式 （1）公式S2α：sin 2α＝2sin__αcos__α. （2）公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）公式T2α：tan 2α＝. （4）.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. （5）升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， 5、教材的强调 1、如果等腰三角形ABC顶角A满足sinA=，则底角的余弦值为（    ） A． B． C．或 D．或 2、可以将化简为（     ） A． B． C． D． 3、已知，且为第二象限角，则 . 4、已知，则 . 5、已知，则 ． 6、已知，则的值为 ． 7、已知，则 ． 8、若，则 ． 9、在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求：的值； 10、求证下列恒等式： （1）； （2）． 【解析版】 第6章 三角 6.2.2 二倍角公式 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 【附录】本节相关考点。 考点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角比 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sinαcosα S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan 2α＝ T2α 例1、已知，若．则（    ） A． B． C． D． 【提示】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式可得出关于的等式，结合可得出的值. 【答案】A 【解析】由，得， 因为，所以，， 所以，，解得． 故选：A． 【说明】本题考查了已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式 例2、化简得（     ） A． B． C． D．以上都不是 【提示】根据诱导公式及二倍角公式化简即可. 【答案】C 【解析】解： . 故选：C. 【说明】本题考查了三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式 例3、求值：（     ） A． B． C． D． 【提示】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【答案】D 【解析】由题意， . 故选：D. 【说明】本题考查了诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 例4、已知，则 . 【提示】将看做一个整体，利用余弦的二倍角公式计算求得. 【答案】 【解析】因为，则. 故答案为： 【说明】本题考查了二倍角的余弦公式 例5、已知，则（    ）． A． B． C． D． 【提示】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答； 【答案】B 【解析】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【说明】本题考查了用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题； 三角比求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 例6、已知为锐角，，则（     ） A． B． C． D． 【提示】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出； 【答案】D 【解析】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 【说明】本题逆向考查了二倍角的余弦公式 例7、若等腰三角形的底角的正弦值为，则顶角的余弦值为（     ） A．； B．； C．； D．． 【提示】在等腰三角形中三角形内角和推得顶角，结合诱导公式和二倍角余弦公式计算得出结果； 【答案】B 【解析】设底角为α，则， 所以． 故选：B. 【说明】本题考查了三角比的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 例8、已知，是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 【提示】由题意可求出和的值，将中与表示 为， ，然后利用两角和差的正余弦公式展开后，化为齐次式求值即可； 【答案】D； 【解析】因为，是方程的两个实数根， 所以，， 因为 . 故选：D； 【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算、一元二次方程的解集及其根与系数的关系； 例9、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ． 【提示】设直角三角形的边长为，，，．解出利用倍角公式即可得出； 【答案】 【详解】设直角三角形的边长为，，则，．解得． 所以，，． cos2θ=2cos2θ－1=． 故答案为： 【说明】本题主要考查了二倍角的余弦公式 例9、1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，高斯墓碑上刻着如图所示的图案．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则的值为 ． 【提示】利用正弦二倍角公式化简得到，代入，结合诱导公式求出答案. 【答案】 【解析】， 因为， 所以． 故答案为： 【说明】本题考查了诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式 例11、（1）求证：； （2）若，求． 【提示】（1）由平方差公式和同角的三角函数关系即可证明； （2）由立方和公式，结合二倍角的正弦和余弦公式即可求解. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明： . （2） 所以. 【说明】本题考查了三角比恒等式的证明——同角三角比基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 同步练习能即时巩固课堂所学的基础知识，通过对概念、定理、公式的针对性应用，避免知识浮于表面，填补课堂讲解后的理解盲区，防止漏洞累积影响后续学习。它能反复锤炼基本技能，让运算求解、逻辑推理、空间想象、数据处理等核心技能在实践中形成肌肉记忆，提升解题的熟练度与准确率。 1、利用二倍角公式给角为非特殊角的三角函数式求值； 要结合诱导公式、同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，化为适用二倍角公式的形式，进而求值. 2、给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍3、二倍角公式及其变形 （1）涉及三角函数的性质问题，常用二倍角的降幂公式把三角函数式化为一个角的三角函数，然后再研究其性质； （2）要结合之前所学习的公式，观察三角函数各角之间的关系，灵活运用，融会贯通. 4、二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变式 （1）公式S2α：sin 2α＝2sin__αcos__α. （2）公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）公式T2α：tan 2α＝. （4）.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. （5）升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， 5、教材的强调 1、如果等腰三角形ABC顶角A满足sinA=，则底角的余弦值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】等腰的顶角为A，则，， 由三角形内角和定理得底角B，C满足：， 由及得：， 当时，，当时，， 所以底角的余弦值为或. 故选：C 2、可以将化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 故选：B 3、已知，且为第二象限角，则 . 【答案】 【解析】，且为第二象限角，, 又， 故答案为： 4、已知，则 . 【答案】 【解析】若，由二倍角的余弦公式可得，. 故答案为：. 5、已知，则 ． 【答案】 【解析】由两边平方得，所以． 故答案为： 6、已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 7、已知，则 ． 【答案】 【解析】原式． 故答案为：． 8、若，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， . 故答案为：. 9、在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求：的值； 【答案】 【解析】由三角函数定义可知，， 又α，β为锐角，所以，， 因此，， 所以， 因为α为锐角，所以， 又，所以， 又β为锐角，所以， 又，所以. 故答案为：. 10、求证下列恒等式： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）. （2）左边 第14页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $