专题05 二倍角公式、三角变换的应用重难点题型专训（17大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题05 二倍角公式、三角变换的应用重难点题型专训（17大题型+15道提优训练） 题型一 二倍角的正弦公式 题型二 二倍角的余弦公式 题型三 二倍角的正切公式 题型四 半角公式 题型五 积化和差公式 题型六 辅助角公式 题型七 三角恒等变换的化简问题 题型八 给角求值型问题 题型九 给值求值型问题 题型十 给值求角型问题 题型十一 利用三角恒等变换判断三角形的形状 题型十二 有（无）条件的恒等式证明 题型十三 三角形中的三角恒等式 题型十四 sin2x的降幂公式及应用 题型十五 cos2x的降幂公式及应用 题型十六 sinxcosx的降幂公式及应用 题型十七 三角恒等变换的实际应用 知识点01 二倍角的正弦、余弦和正切公式 ⑴． ⑵ 升幂公式 降幂公式，． ⑶． 知识点02 半角公式 知识点03 辅助角公式 【经典例题一 二倍角的正弦公式】 【例1】（24-25高一下·上海静安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）下列选项中，与不相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，满足，，则 ． 3．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 【经典例题二 二倍角的余弦公式】 【例2】（23-24高一下·上海·假期作业）已知，且则， ， 的值分别为（　　） A．，，2 B．，，2 C．，，2 D．，， 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）方程在区间上的解集为 . 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【经典例题三 二倍角的正切公式】 【例3】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知且，则=（   ） A． B． C． D．或 1．（2024·上海闵行·一模）若，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知是第二象限角终边上的一个点，且，将OP绕原点O顺时针旋转至，则点的坐标为 . 3．（23-24高一下·上海闵行·开学考试）（1）已知，，，求. （2）化简：. 【经典例题四 半角公式】 【例4】（2024·上海闵行·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）设 ，且 ，下列不等式中成立的是（  ） ① ； ② ； ③ ； ④ ． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 2．（23-24高一下·上海长宁·期末）若，，则 ． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）半角的正弦、余弦公式前面都含有“”，请问符号是如何确定的？ 【经典例题五 积化和差公式】 【例5】（23-24高一下·上海崇明·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海金山·三模）已知，且，，是在内的三个不同零点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二·安徽·竞赛） ． 3．（2024高一下·上海宝山·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 【经典例题六 辅助角公式】 【例6】（24-25高一下·上海徐汇·期中）关于的方程在上有（   ）个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在锐角中，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）某导航信号可以用函数近似模拟，若函数在上有4个零点，则实数的取值范围为 ． 3．（2024·上海·三模）化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 【经典例题七 三角恒等变换的化简问题】 【例7】（24-25高一下·上海静安·期中）若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海虹口·模拟预测）若，满足，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海金山·期中）设，为实数，已知，，则的值为 . 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【经典例题8 给角求值型问题】 【例8】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）求值：（    ） A．1 B． C． D． 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）若，则 . 3．（23-24高一下·上海杨浦·开学考试）求下列各式的值： (1)； (2). 【经典例题九 给值求值型问题】 【例9】（2024高一下·上海崇明·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海青浦·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知，，则的一个取值为 . 3．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若且，求的值． 【经典例题十 给值求角型问题】 【例10】（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）已知均为钝角，，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海静安·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）定义运算.若，，，则 . 3．（23-24高一下·上海·假期作业）求下列方程的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)，； (7). 【经典例题十一 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例11】（23-24高一下·上海宝山·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 1．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）中，是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，是以为第三项、4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．不能确定 2．（2024·上海虹口·模拟预测）三边长均不相等的满足：，则 ；若对任意正数恒成立，则的范围是 ． 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知和满足：，，. （1）试判断是否可以为等边三角形，并说明理由； （2）求证：是钝角三角形，并求的最大的内角. 【经典例题十二 有（无）条件的恒等式证明】 【例12】（2024高一下·上海·专题练习）已知，且，求证：． 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）已知，且满足． （1）求证： （2）求的最大值，并求当取得最大值时的值． 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）（1）求证：； （2）当时，求函数的所有零点. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立． ①； ②； ③； ④； ⑤． 她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值． 【经典例题十三 三角形中的三角恒等式】 【例13】（23-24高一下·上海闵行·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为 . 3．（23-24高一下·上海杨浦·期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.    (1)当时，求的面积； (2)求面积的最小值. 【经典例题十四 sin2x的降幂公式及应用】 【例14】（23-24高一下·上海崇明·期中）已知()，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海宝山·模拟预测）关于函数，有下面四个结论： ①是奇函数；             ②当时，恒成立； ③的最大值是；         ④的最小值是． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一·全国·单元测试）已知函数，设，，则 ， . 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期及的单调区间； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域. 【经典例题十五 cos2x的降幂公式及应用】 【例15】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·上海徐汇·专题练习）已知，，则 3．（2025高一下·全国·专题练习）把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 【经典例题十六 sinxcosx的降幂公式及应用】 【例16】（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知，，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）已知，， 则= （    ） A．2 B．-2 C． D． 2．（23-24高一下·长宁·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则 . 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解. 问题：若锐角满足________，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【经典例题十七 三角恒等变换的实际应用】 【例17】（2024高一下·上海静安·专题练习）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m    1．（2024·上海青浦·二模）如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角 来截. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 1．（24-25高一下·上海普陀·期末）已知，是第三象限角，则（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一下·上海嘉定·专题练习）若，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海闵行·期中）对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（    ） A． B． C． D．与有关的值 5．（23-24高一下·上海长宁·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海虹口·期末）若，，且，则的最小值为 . 7．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 8．（2024·上海宝山·模拟预测）已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为 ．    9．（23-24高一下·上海黄浦·期中）如图，、、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线，如果边长为的正三角形的三顶点分别在、、上，设与的距离为，与的距离为，则的最大值 . 10．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）如图在中，，点D，E在线段上，，若，则E到的距离为 . 11．（24-25高一下·上海·随堂练习）证明下列恒等式. (1)； (2). 12．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）（1）若，求的值； （2）已知，求的值 13．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，其边框由大､小不等的两个同心圆围成，内嵌的正方形孔的中心与同心圆的圆心重合．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其“小圆”内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比正方形孔的边长小､用于刻铜钱上的字），每个正方形有两个顶点在圆周上､另两个顶点在孔边上．设，五个正方形的面积和为． (1)求面积关于的函数表达式； (2)求面积最小值，和取到最小值时的的值． 15．（23-24高一下·上海徐汇·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米? (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后?                        学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二倍角公式、三角变换的应用重难点题型专训（17大题型+15道提优训练） 题型一 二倍角的正弦公式 题型二 二倍角的余弦公式 题型三 二倍角的正切公式 题型四 半角公式 题型五 积化和差公式 题型六 辅助角公式 题型七 三角恒等变换的化简问题 题型八 给角求值型问题 题型九 给值求值型问题 题型十 给值求角型问题 题型十一 利用三角恒等变换判断三角形的形状 题型十二 有（无）条件的恒等式证明 题型十三 三角形中的三角恒等式 题型十四 sin2x的降幂公式及应用 题型十五 cos2x的降幂公式及应用 题型十六 sinxcosx的降幂公式及应用 题型十七 三角恒等变换的实际应用 知识点01 二倍角的正弦、余弦和正切公式 ⑴． ⑵ 升幂公式 降幂公式，． ⑶． 知识点02 半角公式 知识点03 辅助角公式 【经典例题一 二倍角的正弦公式】 【例1】（24-25高一下·上海静安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，结合题目条件可得，利用倍角公式可计算的值. 【详解】∵，∴. ∵，∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴. 故选：C. 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）下列选项中，与不相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判断A；根据正切的诱导公式可判断BC，根据正切的和角公式可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】由余弦二倍角公式，正弦二倍角公式，同角的三角函数关系计算即可； 【详解】由，， 有． 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）由题意可得，结合任意角三角函数值的定义运算求解； （2）根据两角和差公式解得，结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以，，； （2）因为，解得， 所以原式. 【经典例题二 二倍角的余弦公式】 【例2】（23-24高一下·上海·假期作业）已知，且则， ， 的值分别为（　　） A．，，2 B．，，2 C．，，2 D．，， 【答案】B 【分析】利用象限角的范围结合倍角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， ， 由，得， 又，所以， 所以. 故选：B 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由倍角公式化简即可. 【详解】. 故选：B 2．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）方程在区间上的解集为 . 【答案】或或或或 【分析】利用二倍角公式，由，得到，所以，，又，从而求出结果. 【详解】由，得到，即， 解得或，又，, 当时，或或， 当时，或，所以或或或或， 故答案为：或或或或. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【详解】（1）连接，过作，则， 所以. （2）． ， ， 所以， （3）， 则 ， 令，则， 则，当时，. 【经典例题三 二倍角的正切公式】 【例3】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知且，则=（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解. 【详解】因，则， ， 因，，则，又，有， 于是得，因此，， 所以. 故选：C 1．（2024·上海闵行·一模）若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先利用诱导公式结合二倍角的正弦公式及商数关系和平方关系化弦为切，再根据二倍角的正切公式即可得解. 【详解】由，得， 即，即， 所以，所以， 则. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知是第二象限角终边上的一个点，且，将OP绕原点O顺时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意正切函数的二倍角公式可得，利用三角函数定义以及两角差的正弦、余弦公式计算可得结果. 【详解】设， 由可得（舍）或， 由正切函数定义可得，解得； ，，， 可得 . 即点的坐标为. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海闵行·开学考试）（1）已知，，，求. （2）化简：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求出，进而得到，然后求出，最后根据求出答案； （2）将分子化简为，然后结合二倍角公式和诱导公式即可化简. 【详解】（1）由题意，，而，则，而，解得：. 又因为，则，而，所以，故. 所以 . （2）原式. 【经典例题四 半角公式】 【例4】（2024·上海闵行·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解. 【详解】由题意，得角是第四象限角，则， 故，则为二､四象限角，则， 又因为， 所以（舍去）或， 所以. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）设 ，且 ，下列不等式中成立的是（  ） ① ； ② ； ③ ； ④ ． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】对于①②，可举出反例；对于③，由得到，变形得到，变形后得到结论；对于④，令，，代入③得到结论. 【详解】对于①②，取，则， 由于，故，①错误； 此时， 故，②错误； 对于③，因为，且，故， 即，， 故，所以， 所以，故， 故， 即，③正确； 对于④，令，，则，且， 由③得， 即，④正确. 故选：B 2．（23-24高一下·上海长宁·期末）若，，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再利用半角公式求出，，从而可求出，进而可求得答案 【详解】因为，， 所以， 因为 所以， 所以，， 所以， 所以， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·课后作业）半角的正弦、余弦公式前面都含有“”，请问符号是如何确定的？ 【答案】答案见解析 【分析】若给出角是某一象限角时，根据角的象限求得三角函数符号；若给出的范围时，可先求出的范围，再根据的范围确定符号.若没有给出决定符号的条件时，则要保留正负两个符号. 【详解】若给出角是某一象限角时，可根据下表决定符号: 第一象限 一、三象限 +、- +、- + 第二象限 一、三象限 +、- +、- + 第三象限 二、四象限 +、- -、+ - 第四象限 二、四象限 +、- -、+ - (2)若给出的范围时，可先求出的范围，再根据的范围确定符号. (3)若没有给出决定符号的条件时，则要保留正负两个符号. 【经典例题五 积化和差公式】 【例5】（23-24高一下·上海崇明·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 1．（2024·上海金山·三模）已知，且，，是在内的三个不同零点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程，求出，，，再逐项验证即可得到答案. 【详解】由题意：，得：， 所以或，， 又，所以，，. 故A正确； ，故B错误； ，故C正确； .故D正确. 故选：B 2．（2023高二·安徽·竞赛） ． 【答案】1 【分析】方法一：先得到，，，代入，三式相乘得到答案； 方法二：先计算出，再利用积化和差得到，和差化积结合半角公式化简得到，从而求出答案. 【详解】方法一：， ，同理得， ， 令，以上三式相乘有： ． 方法二：令． 令， ， ， 令 ， ． 故答案为：1 3．（2024高一下·上海宝山·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果； （2）利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果. 【详解】（1） ； （2） . 【经典例题六 辅助角公式】 【例6】（24-25高一下·上海徐汇·期中）关于的方程在上有（   ）个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将方程化为，令，，利用数形结合法求解. 【详解】解：当时，，原方程化为. 令，， 则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数. 作出函数和的大致图象如图， 则在上单调递增，，，， 由图可知函数和在上有3个交点， 即原方程在上有3个实数根. 故选：C. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在锐角中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式，结合角A的范围求得，再利用二倍角的正切公式即可得解. 【详解】因为，所以，即， 因为A为锐角的内角，所以，所以， 则，解得，又， 则， 即，又，解得. 故选：A. 2．（2024高一下·全国·专题练习）某导航信号可以用函数近似模拟，若函数在上有4个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用求解函数的零点，分析区间内有4个,即可得范围. 【详解】因为，所以． 由，得，解得， 所以函数的零点为， 可知在上的零点依次为， 若在上有4个零点，则． 故答案为：. 3．（2024·上海·三模）化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 【答案】(1); (2); (3); (4) 【分析】（1）利用切化弦、辅助角公式、诱导公式来求解即可； （2）利用切化弦，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可； （3）利用二角的降次升倍公式，再利用两角和差公式求解即可； （4）利用二倍角公式和半角公式求解即可. 【详解】（1） ; （2） ; （3） ; （4） , 因为，所以，即， 即上式. 【经典例题七 三角恒等变换的化简问题】 【例7】（24-25高一下·上海静安·期中）若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的零点计算即可得解. 【详解】由， 令，则， 则由题意知，解得. 故选：A. 1．（2024·上海虹口·模拟预测）若，满足，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换化简计算即可. 【详解】，∴ ∴， ∴ 易知，∴，所以， 故选：A. 2．（23-24高一下·上海金山·期中）设，为实数，已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将两式平方相加并利用平方关系和两角和的正弦化简得，再将两式平方相减结合化简得，即可得解. 【详解】由，， 得， ， 相加得， 即，所以， 相减得 ， 又， ， 所以， 所以， 所以，解得. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值； （2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值. 【详解】（1）由题知， 因为，所以，且， 所以. （2）法一：因为，所以且. 由题设， 当且仅当时取等，故的最大值为. 法二：令， 首先，所以， 其次，当且仅当时取等， 所以， 所以， 当时，，即的最大值为. 【经典例题8 给角求值型问题】 【例8】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）求值：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值. 【详解】原式 ， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体. 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式. 【详解】原式 . 故选：B. 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 3．（23-24高一下·上海杨浦·开学考试）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂与对数的运算法则即可得解； （2）利用三角恒等变换，结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】（1） . （2）因为， 则， 而， ， 所以. 【经典例题九 给值求值型问题】 【例9】（2024高一下·上海崇明·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正弦公式及辅助角公式得到，再结合二倍角公式、诱导公式即可求解. 【详解】由得， 所以． 又， 故． 故选：B 1．（23-24高一下·上海青浦·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数给值求值，解题关键是寻找已知角与所求角的关系，综合运用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换进行求解，易错点是因忽略角的范围而导致三角函数值的符号出现错误. 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知，，则的一个取值为 . 【答案】（或） 【分析】计算出的值，即可求得出的值. 【详解】因为，， 且 ， 所以，，故. 故答案为：（或）. 3．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，可求出，从而可求出，进而利用正切的二倍角公式可求得答案； （2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解； （3）先由已知条件求出，再利用展开代值可求得结果 【详解】（1）因为，，则， 所以. （2）由（1）可知：， 所以 . （3）因为，，且，则， 可得， 所以. 【经典例题十 给值求角型问题】 【例10】（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）已知均为钝角，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据三角函数恒等变形求得，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的余弦公式，结合角的范围，即可求解. 【详解】， 即，得，由，且均为钝角， 所以， ， ， 由，所以，所以. 故选：C 1．（2024·上海静安·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 2．（23-24高一·全国·课后作业）定义运算.若，，，则 . 【答案】/ 【分析】由已知可得出，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用两角差的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值. 【详解】由题意可得， 因为，则， 所以，， 因为，则， 所以， ， 因此，. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·假期作业）求下列方程的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)，； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)或 (6)答案见解析 (7)或 【分析】（1）由题意得，由此即可得解. （2）由题意，由此可知该方程无解. （3）由题意得，解得满足题意，进一步即可得解. （4）由题意有或，进一步即可得解. （5）由题意可得，进一步即可得解. （6）由题意可得，对分类讨论即可得解. （7）由题意得或，进一步即可得解. 【详解】（1）原方程即， 所以，得. 所以方程的解集为； （2）原方程即.所以方程的解集为. （3）原方程可化为， 整理，得．解得或（无解）， 因此原方程得解集为； （4）把原方程左边分解因式，得，所以或， 由，得； 由，得； 所以原方程的解集为或. （5）原方程可以化为， 所以， 所以， 经检验，也是原方程的解； 所以原方程的解集是或. （6）原方程可化为，所以. 当是负整数时，，不合题意； 取时，； 取时，或； 取时，或； 取时，； 当时，，不合题意； （7）或，则该方程的解集为或. 【经典例题十一 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例11】（23-24高一下·上海宝山·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【详解】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 1．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）中，是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，是以为第三项、4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用等差及等比数列的性质求出与的值，再利用两角和的正切公式求出的值，得出，及的范围，即可确定出三角形的形状． 【详解】是以为第三项、为第七项的等差数列的公差， ， 是以为第三项、4为第六项的等比数列的公比， ， 在中，有， ， ， 根据正切函数性质， 和都大于零，， 为锐角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：诱导公式，两角和的正切公式，以及等差数列、等比数列的性质，熟练掌握公式是解本题的关键． 2．（2024·上海虹口·模拟预测）三边长均不相等的满足：，则 ；若对任意正数恒成立，则的范围是 ． 【答案】 【分析】先由三角恒等变换将所给条件化为，再由角为三角形的内角，得到，结合题中条件，即可得出，从而可得角；将所给不等式化为，构造函数，利用二次函数的性质，即可列出关于角的不等式，从而可求出结果. 【详解】由可得， 则， 整理得， 因为角为三角形的内角，所以，因此， 又三角形各边均不相等，所以各角均不相等，因此，即，所以； 则，所以，且，则， 不等式可化为，即， 令，则其对称轴为； 又对任意正数恒成立，等价于对任意正数恒成立， 所以只需，即， 解得或，即或； 即的范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛： 求解本题第二个空的关键在于将所给不等式化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质进求解即可. 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知和满足：，，. （1）试判断是否可以为等边三角形，并说明理由； （2）求证：是钝角三角形，并求的最大的内角. 【答案】（1）不可以是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析，最大的内角. 【分析】（1）利用反证法证明不可以是等边三角形；（2）不妨假设最大角为，由已知条件知，，得，从而得到的最大的内角为. 【详解】（1）假设为等边三角形， 则 则 与矛盾 ∴不可以是等边三角形 （2）设中最大角为 则，必为锐角 ∵， ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴, 的最大的内角为. 【点睛】方法点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 【经典例题十二 有（无）条件的恒等式证明】 【例12】（2024高一下·上海·专题练习）已知，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】应用分析法，结合同角三角函数的商数关系及和差角正弦公式将结论逐步转化为题设条件，即得证. 【详解】要证结论中等式成立，需证， 即证， 即证， 即证． 结合已知条件，故所证的等式成立． 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）已知，且满足． （1）求证： （2）求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）的最大值为，当取得最大值时． 【分析】（1）由可得：，利用同角三角函数的基本关系公式对式子化简变形，可得答案； （2）由（1）中结论弦化切后，可将表示成的函数关系式，进而利用基本不等式得到的最大值，然后由条件可得，即可得到答案． 【详解】（1） ， ， ； （2）由（1）得：， ，， ， 由， 可得：当时，取得最大值， 即； 所以． 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）（1）求证：； （2）当时，求函数的所有零点. 【答案】（1）证明见解析；（2）和 【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式等知识进行证明. （2）由列方程，通过解方程来求得正确答案. 【详解】（1）证明：左边 =右边. 所以，原式成立； （2）解：由（1）可得： ， 令，得或， 因为， 所以或. 故当时，函数的零点为和. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立． ①； ②； ③； ④； ⑤． 她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值． 【答案】猜想规律：；. 【分析】猜想规律，再证明，再利用结论求解. 【详解】解：猜想规律：. 证明： =. = =. 【经典例题十三 三角形中的三角恒等式】 【例13】（23-24高一下·上海闵行·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据几何关系得，利用即可求出其最小值. 【详解】，，∴，， ， ∵，∴，∴当时，x＋y的最小值为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.    (1)当时，求的面积； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，进而可得，再求解； （2）设，根据可得，再根据三角函数范围求解即可. 【详解】（1）由，，故，故. 又，故，， 所以. （2）设，由题意，则，，，，， ， 所以 . ，， ，， ，当时取等号， 的面积的最小值. 【经典例题十四 sin2x的降幂公式及应用】 【例14】（23-24高一下·上海崇明·期中）已知()，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先对两边同时平方，求出并进一步精确的范围，同时结合求出，再利用诱导公式化对所求问题化简，进而求解. 【详解】∵， ∴，即， ∵，∴，∴， 故， ∴， 故， 故选：B. 1．（2024·上海宝山·模拟预测）关于函数，有下面四个结论： ①是奇函数；             ②当时，恒成立； ③的最大值是；         ④的最小值是． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义判断①；通过代特值可以判断②；将函数化为，进而结合函数的有界性判断③；容易判断当x=0时，同时取到最大值1和1，进而判断④. 【详解】对①，，则为偶函数，故①错误； 对②，当，故②错误； 对③，，而，则，又，于是，故③错误； 对④，，当x=0时，同时取到最大值1和1，则的最小值是，故④正确. 故选：A. 2．（23-24高一·全国·单元测试）已知函数，设，，则 ， . 【答案】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，则由已知条件可得，再利用同角三角函数的关系求出，则，展开化简计算即可. 【详解】 ， 所以， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 ， . 故答案为：， 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期及的单调区间； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域. 【答案】(1)的最小正周期为，递增区间是，递减区间是 (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，利用周期公式可求出最小正周期，由可求出增区间，由可求出减区间； （2）先利用三角函数图象变换规律求出的解析，再由，求出的范围，再利用正弦函数的性质可求得值域. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期， 由，解得， 所以的递增区间是， 由，解得， 所以的递减区间是； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数 的图象， 当， 所以， 所以. 【经典例题十五 cos2x的降幂公式及应用】 【例15】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解． 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 2．（2025高一下·上海徐汇·专题练习）已知，，则 【答案】 【分析】由，，可得，由，求值即可. 【详解】， ， 法一： ， ， 则， 所以. 法二：换元法 令，，则，， 即，， 故， 所以. 故答案为：. 3．（2025高一下·全国·专题练习）把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3)且 (4)且 (5) (6) (7) 【分析】（1）（2）（3）（4）均可根据辅助角公式（其中）直接转化即可； （5）先利用倍角公式将解析式进行降幂处理，再结合辅助角公式即可转化的形式； （6）先利用两角和与差的正弦公式将解析式转化成形式再利用辅助角公式进行转化即可； （7）先利用两角和的正弦公式将解析式中的转化成形式，再利用利用倍角公式将得到的解析式中的二次项进行降幂处理得到一次项，再将得到的一次项部分根据辅助角公式进行转化即可得解. 【详解】（1）因为，所以. （2）. （3）因为，所以， 其中满足，. （4）因为，所以， 其中满足，. （5），即. （6） . （7） . 【经典例题十六 sinxcosx的降幂公式及应用】 【例16】（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知，，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件化简后两边平方，由此求得的值，进而求得的值. 【详解】由于，所以，所以 由化简得， 两边平方得， 即，解得（负根舍去）， 由于，所以. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）已知，， 则= （    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件切化弦，再利用二倍角的正余弦公式变形计算作答. 【详解】因，，则， 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·长宁·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则 . 【答案】 【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得. 【详解】因t=2sin18°，则有 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决. 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解. 问题：若锐角满足________，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 【分析】若选①：先逆用二倍角的正弦公式求解出的值，然后根据同角三角函数的基本关系求解出的值，利用诱导公式先化简原式，然后代入相关值即可求解出结果； 若选②：先根据降幂公式求解出的值，然后再根据同角三角函数的基本关系求解出的值，利用诱导公式先化简原式，然后代入相关值即可求解出结果； 若选③：先逆用二倍角的正切公式求解出的值，然后然后再根据同角三角函数的基本关系求解出的值，利用诱导公式先化简原式，然后代入相关值即可求解出结果. 【详解】解：选择条件①： 由条件①，得，所以. 由，得 因为是锐角，所以，所以. 因为，， 所以. 选择条件②： 由条件②，因为，所以. 由，得， 因为是锐角，所以，所以 因为，， 所以. 选择条件③： 由条件③，得，所以，所以. 由，得，， 因为，是锐角，所以，， 所以，. 因为，， 所以. 【经典例题十七 三角恒等变换的实际应用】 【例17】（2024高一下·上海静安·专题练习）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 【答案】C 【分析】设球的半径为，再根据球相切的性质，结合三角函数关系求解即可. 【详解】如图，设球的半径为，球心为，为与球的切线，则. ， .    故选：C 1．（2024·上海青浦·二模）如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可. 【详解】解：设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形可得， 于是， 又，所以， . 故选：B. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角 来截. 【答案】或 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得的，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的边长为， 由题意可得，即，可得， 因为，则，所以，或，解得或. 故答案为：或. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 【答案】(1) (2)当时，. 【分析】（1）在中，由直角三角形的边角关系得出，进而得出梯形BCNM的面积S； （2）由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出，再由换元法结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1） ，， （2）由（1）可知， ，， 令，则，即 当，即时，. 1．（24-25高一下·上海普陀·期末）已知，是第三象限角，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先判断符号，后由二倍角正切公式可得答案. 【详解】因是第三象限角，则. 即在二象限或四象限，. 又，是第三象限角，则. 则 . 故选：C. 2．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数用辅助角公式化简为， 然后根据正弦函数的单调递减区间，求出的单调递减区间. 最后结合给定的这个区间，确定最终的单调递减区间. 【详解】对于，根据辅助角公式，得到.   令，因为的单调递减区间得. 解这个不等式：得到的单调递减区间是.   因为，当时，. 而，即函数的单调递减区间是， 故选：A. 3．（2025高一下·上海嘉定·专题练习）若，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换公式化简题干条件可得，进而结合余弦函数性质求解即可. 【详解】，. 由， 可得， 即. ， ， ，，且， 根据函数，易知：， 即. 故选：D. 4．（23-24高一下·上海闵行·期中）对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（    ） A． B． C． D．与有关的值 【答案】C 【分析】先确定集合相对于的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果. 【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为 把，， ，代入上式整理得，. 故选：C. 5．（23-24高一下·上海长宁·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角． 【详解】如图，    过作直线与水面平行， 过 作，垂足为点，过 作，垂足为点， 设，，则，其中， 则，， 所以，， 所以， 整理可得， 因为，则，所以，，解得. 故选：A. 6．（24-25高一下·上海虹口·期末）若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式化简可得，再利用平方关系及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，由，得，， 由，得， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用二倍角的正余弦公式变形，把用的正余弦表示是求解问题的关键. 7．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 【答案】 【分析】由偶函数的性质可得出，令，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值. 【详解】因为二次函数为偶函数， 则该函数的对称轴为直线，可得， 令，， 则， 因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为. 故答案为：. 8．（2024·上海宝山·模拟预测）已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据图象可利用周期得，进而将代入，结合二倍角公式可得，即可求解. 【详解】其中，设周期为， 由图象可知：，解得,故， 由于在图象上，所以； 且， 由于，所以，故， 故可得， 由于，所以，进而可得，所以， 故答案为： 9．（23-24高一下·上海黄浦·期中）如图，、、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线，如果边长为的正三角形的三顶点分别在、、上，设与的距离为，与的距离为，则的最大值 . 【答案】 【分析】设与所成角为，，即可表示出，，再由三角恒等变换公式将化简，再由正弦函数的性质计算可得. 【详解】解：设与所成角为，， 则，， 所以 ， ，，即时，， 即． 故答案为：． 10．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）如图在中，，点D，E在线段上，，若，则E到的距离为 . 【答案】/0.4 【分析】过点作，垂足为，利用求出的值，再利用三倍角求出的值，即可求得到的距离的值． 【详解】过点作，垂足为，如图所示： 中，，， ； ， 又，则， 即到的距离为． 故答案为：． 11．（24-25高一下·上海·随堂练习）证明下列恒等式. (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果； （2）利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果. 【详解】（1）左边右边，所以原式得证. （2）左边右边，原式得证. 12．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）（1）若，求的值； （2）已知，求的值 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据诱导公式和辅助角公式整理可得，以为整体，结合三角恒等变换分析求解； （2）根据两角和差公式以及倍角公式可得，再结合齐次化问题运算求解即可. 【详解】（1）因为 ， 即， 所以 ； （2）因为 ， 所以 . 13．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简的解析式，根据周期性求得，再利用整体代入法求得单调区间. （2）根据三角函数图象变换求得， 【详解】（1） ， ∵图象中两条相邻的对称轴之间的距离为， ∴，，由， ∴，， 令得， ∴的单调递减区间为. （2）图象向左平移个单位长度得， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得， 由①， ，令， 则， ∴，∴或（舍）． 由，∴，令，， 则，②， 在区间，结合正弦函数对称性可得，方程②有个根， 和分别关于、对称， 则所有根之和， 所以方程①的个根，满足. 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，其边框由大､小不等的两个同心圆围成，内嵌的正方形孔的中心与同心圆的圆心重合．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其“小圆”内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比正方形孔的边长小､用于刻铜钱上的字），每个正方形有两个顶点在圆周上､另两个顶点在孔边上．设，五个正方形的面积和为． (1)求面积关于的函数表达式； (2)求面积最小值，和取到最小值时的的值． 【答案】(1) (2)，此时 【分析】（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，则点分别为小正方形和大正方形边的中点，从而可表示出小正方形和大正方形的边长，进而可表示出面积 （2）对利用三角函数恒等变换公式化简变形后可求得其最小值. 【详解】（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点分别为小正方形和大正方形边的中点． 所以小正方形的边长为， 大正方形的边长为， 所以五个正方形的面积和为 ， 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以，得， 所以定义域为， （2） ，其中， 所以， 此时， 因为，所以， 得，所以. 15．（23-24高一下·上海徐汇·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米? (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后? 【答案】(1)， (2)分钟 (3)能，是在甲进入的分钟后 【分析】（1）根据最高点和最低点可得与，由周期求值，由结合的取值范围可得出的值，即可得函数的解析式； （2）令，结合可求得游客甲坐上摩天轮后距离地面的高度第一次恰好达到米所需时间； （3）求出经过分钟后甲距离地面的高度为，以及乙距离地面的高度为，，化简的表达式，结合可求得满足时的取值范围，即可得出结论. 【详解】（1）解：由题意，（其中，，）， 摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，，得，，              又函数周期为分钟，所以，，          又，所以， 因为，则，所以，． （2）解：， 所以，得， 因为，则， 当游客甲坐上摩天轮后，距离地面的高度第一次恰好达到米，则有，解得（分钟）， 因此，游客甲坐上摩天轮后分钟，距离地面的高度第一次恰好达到米. （3）解：经过分钟后甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度为，，            则 ， 因为，则， 由可得， 所以，，解得， 因此，在甲进入后的分钟后，游客乙进入座舱后距离底面的高度能超过游客甲. 学科网（北京）股份有限公司 $$