1.3　几何证明举例第2课时课件2025－2026学年青岛版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及推论、直角三角形性质与判定，课堂导入通过回顾上学期对内角和的说明，提出“怎样证明”的问题，衔接旧知，搭建从直观感知到逻辑证明的学习支架。 其亮点在于用三种作辅助线的证明方法（如过顶点或延长线作平行线）培养几何直观和创新意识，结合五边形内角和转化为三角形内角和的例题发展推理能力。学生能提升逻辑推理与几何直观，教师可借助系统例题与训练高效教学。

第1章　1.3　几何证明举例 第2课时　 三角形内角和定理及其推论 青岛版（2024）数学八年级上册 1.探究用多种方法证明三角形内角和定理，知道作辅助线是证明中的重要方法. 2.知道什么叫推论，会证明三角形内角和定理的两个推论. 3.利用三角形内角和定理探索并掌握直角三角的性质定理和判定定理. 学习目标 课堂引入 上学期，我们从基本事实出发说明了“三角形的内角和等于 180°”的正确性.怎样证明它呢？ 一、三角形内角和定理 问题1　证明：三角形的内角和等于180°. 已知：如图所示，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 提示　方法一　如图①，过点A作PQ∥BC， 则∠1=∠B，∠2=∠C(两直线平行，内错角相等). 因为∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义)， 所以∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换). 方法二　如图②，过点C作CE∥AB， 则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠B+∠BCE=180°(两直线平行，同旁内角互补). 因为∠BCE=∠BCA+∠1， 所以∠B+∠BCA+∠1=180°(等量代换)， 所以∠B+∠BCA+∠A=180°(等量代换). 方法三　如图③，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB. 所以∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)， ∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等). 因为∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义)， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换). 知识梳理 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于______. 180° 例1 如图，已知五边形ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗？你能运用三角形内角和定理证明吗？ 解　五边形的内角和等于540°.证明如下： 如图，连接AC，AD.由三角形内角和定理可知， ∠1+∠2+∠B=180°， ∠3+∠4+∠5=180°， ∠6+∠7+∠E=180°， 所以∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠E=540°. 又因为∠BAE=∠1+∠5+∠7，∠BCD=∠2+∠3，∠CDE=∠4+∠6， 所以∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°. 所以五边形的内角和等于540°. 跟踪训练1 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.已知∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D的度数. 解　因为DE⊥AB，所以∠FEA=90°. 因为在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°， 所以∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°. 又因为∠CFD=∠AFE， 所以∠CFD=60°. 所以在△CDF中，∠CFD=60°，∠FCD=80°， 所以∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°. 二、三角形内角和定理的推论 问题2　观察如图，若CE∥AB，则三角形的一个外角∠ACD和与它不相邻的两个内角∠A，∠B之间有怎样的数量关系？ 提示　因为CE∥AB， 所以∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B. 所以∠ACD>∠A，∠ACD>∠B. 知识梳理 1.由基本事实或定理直接推出的真命题叫作_____. 2.三角形内角和定理的推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 推论 例2 (课本P16例3)如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上的一点.过D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，D.求证：∠FDE=∠C. 证明　因为DE⊥AB，DF⊥BC(已知)， 所以∠DEB=90°，∠FDC=90°(垂直的定义). 因为∠EDC是△EBD的外角(已知)， 所以∠EDC=∠B+∠DEB(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和). 因为∠EDC=∠FDE+∠FDC(已知)， 所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB(等量代换). 所以∠FDE+90°=∠B+90°(等量代换). 所以∠FDE=∠B(等式的基本性质). 因为∠B=∠C(已知)， 所以∠FDE=∠C(等量代换). 跟踪训练2 如图，∠A=18°，∠B=42°，∠D=28°，求∠AED的度数. 解　因为∠ACD是△ABC的一个外角， 所以∠ACD=∠A+∠B， 因为∠A=18°，∠B=42°， 所以∠ACD=60°. 因为∠AED是△CDE的一个外角， 所以∠AED=∠ACD+∠D， 因为∠D=28°，∠ACD=60°， 所以∠AED=88°. 三、直角三角的性质定理和判定定理 问题3　在Rt△ABC中，∠C=90°(如图所示)，两个锐角∠A与∠B有什么数量关系？反过来成立吗？ 提示　在Rt△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A+∠B=180°-∠C. 因为∠C=90°， 所以∠A+∠B=90°. 同样，也可以证明它的逆命题是真命题. 1.直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余. 2.直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识梳理 例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE是∠ABC的平分线. 求证：∠CFE=∠CEF. 证明　因为∠BCA=90°， 所以∠ACD+∠BCD=90°， 因为CD为AB边上的高， 所以CD⊥AB， 所以∠ADC=90°， 所以∠A+∠ACD=90°， 所以∠A=∠BCD， 因为BE是∠ABC的平分线， 所以∠ABE=∠CBE， 因为∠CEF是△ABE的外角， 所以∠CEF=∠A+∠ABE， 因为∠CFE是△CBF的外角， 所以∠CFE=∠BCD+∠CBE， 所以∠CFE=∠CEF. 跟踪训练3 如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A=∠2， ∠1=∠B. (1)判断△ABC的形状； 解　△ABC是直角三角形，理由如下： 因为∠A=∠2，∠1=∠B， 所以∠A+∠2+∠1+∠B=180°， 所以∠A+∠B=90°， 所以∠ACB=90°， 所以△ABC是直角三角形. (2)判断CD是否与AB垂直. 解　CD⊥AB，理由如下： 因为∠A+∠B=90°，∠A=∠2， 所以∠2+∠B=90°， 所以∠CDB=90°，所以CD⊥AB. 课堂小结 1.一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶3，那么这个三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 √ 随堂演练 2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠B的度数为 A.20° B.30° C.40° D.50° √ 解析　在△ABC中，∠C=90°， 则∠A+∠B=90°， 因为∠A=2∠B，所以∠B=30°. 随堂演练 3.如图，AB∥CD，∠A=37°，∠C=63°，那么∠F等于 A.26° B.63° C.37° D.60° √ 随堂演练 4.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°， 求：(1)∠B的度数； 解　因为∠ADC是△ABD的外角. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， 所以∠B=×80°=40°. 随堂演练 (2)∠C的度数. 解　在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180°-40°-70°=70°. 随堂演练 谢谢 $