精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2026届高三上学期12月月考数学试题

2025年11月19日高中数学作业 一、单选题 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线，，则“或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前n项和为，，且，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域为R，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ） ①的一个周期为2； ②； ③的一个对称中心为； ④. A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时当且仅当 D. 数列是等比数列 10. 已知向量，，已知，则下列结论正确的有（ ） A B. 若，则 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 11. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 三、填空题 12. 已知正数满足，则的最大值为______. 13. 已知是函数的一个极值点，则______. 14. 在正三棱台中，，侧棱与底面所成角为，则此正三棱台的体积为______. 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）证明: 17. 已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 18. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点．现将沿折起，连接与，如图2． （1）当时，证明：平面平面； （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知，. （1）若函数在处取得极小值，求的单调递减区间； （2）在（1）的条件下，求过点且与函数图象相切的直线方程； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月19日高中数学作业 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意解一元二次不等式，求出集合的元素，根据交集的概念求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，即， 则； 故选：C. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，对应的点为，位于第一象限. 【详解】因为，所以， 对应的点为，位于第一象限. 故选：A 3. 已知直线，，则“或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行求出，从而得到答案. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或. 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合， 故舍去. 综上所述，“或”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量垂直数量积为零及向量夹角公式可得，再借助二倍角公式计算即可得. 【详解】由，则， 故，则， 故. 故选：D. 5. 已知数列的前n项和为，，且，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列前项和与数列通项之间的关系，求出数列递推公式，进而求出数列前6项，求出结果. 详解】由可得，即，得， 由可得，，， 故是周期为3的周期数列，且，故. 故选：A. 6. 函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分段得出函数解析式，再应用指数函数图象计算判断各个选项. 【详解】依题意可得 ， 又，当，；当，，只有选项B符合. 故选：B. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质比较大小. 【详解】，，， 因为指数函数单调递减，所以, 所以，所以. 故选:D. 8. 若函数定义域为R，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ） ①的一个周期为2； ②； ③的一个对称中心为； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，故②正确；由关于点成中心对称，得到关于中心对称，推理出，从而得到周期为4，①错误；由函数的周期及关于中心对称，得到一个对称中心为，③正确；利用函数的周期性及对称性求出函数值的和. 【详解】由题意得：，将替换为得：， 即，②正确； 中将替换为得：， 因为向左平移个单位得到， 而关于点成中心对称，所以关于中心对称，故关于中心对称， 所以， 故， 所以， 所以的一个周期为4，①错误； 关于中心对称，又的一个周期为4，故的一个对称中心为，③正确； 中，令得：， 中，令得：，故， 中，令得：， 又因为，故，所以， 所以， 其中，，， 故 ，④正确. 故选：C 【点睛】若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时当且仅当 D. 数列是等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，结合已知可求得，，可求得数列的通项公式，前项和公式，以及前项和的最小值可判断ABC；利用等比数列的定义可判断是等比数列判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，， 所以，， 当或时，有最小值，最小值为，故A正确，B，C错误； 因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确. 故选：AD. 10. 已知向量，，已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的模的坐标公式求，判断A；根据向量平行的坐标表示列方程求，判断B， 根据数量积的坐标运算结合正弦函数性质求最大值，判断C，根据数量积的运算性质判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，若，则， ，，所以；B正确； 对于C，， ，所以当时最大值为2，C正确； 对于D，，， ，， 当，取得最小值1，D错误 故选：ABC. 11. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 已知正数满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 13. 已知是函数的一个极值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数极值点定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点， 得，解得，此时， 因为函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，而， 当时，； 当时，，则函数在处取得极小值，符合题意， 所以 所以，. 故答案为： 14. 在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正三棱台的性质求出上下底面的面积，再结合侧棱与底面所成角求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积. 【详解】对于正三角形，其面积公式（为边长） 已知正三棱台中，， 则上底面，下底面 设正三棱台上下底面中心分别为,连接，则为正三棱台的高 因为正三角形中心到顶点的距离是边长的倍 所以， 则，且 已知侧棱与底面所成角为，在直角梯形中， 过点作底面的垂线，垂足为，则在上，且，， 侧棱与底面所成角为，在中，， 所以，即，解得， 根据棱台体积公式将代入可得 . 故答案为： 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】 ，又， ，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得， 所以. 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）证明: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用，计算得出，最后应用累乘计算求解通项即可； （2）应用裂项相消法计算证明不等式. 【小问1详解】 依题意 ① 当时， ② 由①-②， 得 ∴当且时， 又 也符合上式，即 【小问2详解】 17. 已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为椭圆的焦距为2，则可得出c的值，再由三角形面积公式可求得b的值，进而求得的值，进而求得椭圆的标准方程；（2）由于直线l为圆的切线，注意讨论直线l的斜率存在情况，先确定一般情况下的取值范围，再确定特殊情况下的值，最后整合两种情况下的范围，即取两者的并集，最终得到的取值范围． 【小问1详解】 依题意，， 所以． 在中，， 解得，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立 整理得， 则，则， 则 ． 又直线l为圆的切线， 则，即， 则 ． 又，于是； 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，则，， ． 综上， 【点睛】方法点睛：在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 18. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点．现将沿折起，连接与，如图2． （1）当时，证明：平面平面； （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理求出，即可得到，，从而得到平面，即可得证； （2）在平面内过作，建立如图所示空间直角坐标系，表示出，利用空间向量法构造方程，解方程求出． 【小问1详解】 连接，， 为等边三角形，故， ，为的中点， 在中， ， 由余弦定理得， ，则，故， ，，即， 又平面，平面， 又平面，平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，当时，平面平面，在平面内过作， 平面平面，平面， 平面，平面，则， 以点为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ， 则 ， 故， ， ， 轴垂直平面，是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， ， 化简得，解得或(舍去)， 当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知，. （1）若函数在处取得极小值，求的单调递减区间； （2）在（1）的条件下，求过点且与函数图象相切的直线方程； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用极值的意义可得，可求得，进而令，可求单调递减区间； （2）设在处的切线过点，利用导数的几何意义可求得切线方程为，代入点的坐标，进而求解即可； （3）（分离参数，得到恒成立，令，求出函数的最大值，即可求得的范围. 【小问1详解】 由，可得， 因为函数在处取得极小值，所以， 所以，解得，所以， 当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，所以，所以. 所以，令，得， 所以的单调递减区间为； 【小问2详解】 设在处的切线过点， 由（1）可得，所以， 所以在处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得，所以，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即， 所以切线方程为或； 【小问3详解】 由，可得， 由不等式恒成立，所以在上恒成立， 整理得在上恒成立， 令， 所以， 令，所以，解得或（舍去）， 所以当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $