1.3 专题 带电粒子在复合场中的运动（提优）讲义 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦带电粒子在复合场中的运动核心知识点，系统梳理组合场（电场与磁场偏转对比、复合方式）、叠加场（三种场力与能量特点、三步法）及交变电磁场内容，通过表格对比、模型分类搭建学习支架，呈现从单一到场复合的运动规律递进脉络。 该资料以模型建构为主线，通过表格对比电场与磁场偏转的受力、轨迹、动能变化培养科学思维，题目示例涵盖从电场进入磁场等典型情境提升科学推理能力。课中辅助教师引导学生形成运动与相互作用观念，课后精练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026高中物理选修二同步精讲及课时精练 1.3 带电粒子在复合场中的运动 【模型一】带电粒子在组合场中的运动 【模型剖析】 1.组合场中的两种典型偏转 垂直于电场线进入匀强电场（不计重力） 垂直于磁感线进入匀强磁场（不计重力） 受力情况 电场力FE＝Eq，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹 求解方法 利用类似平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t vy＝t，y＝t2 偏转角φ：tanφ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 2.常见复合方式 （1）从电场进入磁场 电场中：匀变速直线运动⇒磁场中：匀速圆周运动 电场中：类平抛运动⇒磁场中：匀速圆周运动 （2）从磁场进入电场 磁场中：匀速圆周运动⇒电场中：匀变速直线运动（v与E共线） 磁场中：匀速圆周运动⇒电场中：类平抛运动（v与E垂直） 3.带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析 【题目示例】 1．（2025秋•天津校级月考）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的质量相等的离子P和P′，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P、P′在磁场中转过的角度θ分别为30°和60°，则离子P和P′（离子重力忽略不计）（　　） A．在磁场中运动的半径之比为2：1 B．在磁场中运动的半径之比为 C．电量之比为1：2 D．电量之比为1：3 2．（2025•东丽区校级二模）如图所示，在Oxy坐标系内，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，两极板间存在平行于y轴的匀强电场。第一四象限有匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。一个质量为m、电量为+q的带电粒子以一定的初速度v0沿x轴正方向射入电场。经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再次进入电场。则（　　） A．极板P带正电 B．粒子进入磁场时速度方向与y轴夹角为60° C．匀强磁场磁感应强度大小为 D．粒子最终离开电场时速度大小为v0 3．（2025•永州模拟）如图，是交替出现的宽为L的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为E，2、4区域为磁场，场强均为B，方向如图所示。质量为m，带电量为q的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 4．（2025•泉州校级模拟）回旋加速器以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同匀强磁场，方向垂直纸面向里。一质量m电荷量+q的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，再进入电场做匀加速运动，后第二次进入磁场中运动……粒子在电场和磁场中不断交替运动，已知粒子第二次在磁场中运动半径是第一次的2倍，第三次是第一次的3倍……以此类推，则（　　） A．虚线之间的电场强度大小恒定 B．粒子第一次经过电场时电场力做功等于mv2 C．粒子第二次经过磁场时洛伦兹力做功等于 D．假设粒子穿过电场时，此过程电场可视为匀强电场，则第6次经过电场的时间为 5．（2025•怀化二模）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线y＝a的上方有一沿y轴负方向的矩形匀强电场区域，场强大小为E。在x＝﹣a处的A点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从x＝a处的C点第二次飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子进入磁场的初速度为 B．矩形匀强电场区域的最小面积为 C．粒子从A点运动到C点的最短时间为 D．粒子从A点运动到C点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为πqBa （多选）6．（2025•江西模拟）现代科技常使用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如图所示，将边长为L的正方形ABCD沿对角线AC分成区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ（包括边界AB、BC）内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ内有方向平行于CD且由C指向D的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒于从A点沿AB方向以速率v射入区域Ⅰ，刚好从AC的中点O进入区域Ⅱ，最后恰好打在D点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．电场的电场强度大小为 C．粒子从A点运动到D点的时间为 D．若仅将粒子射入区域Ⅰ时的速率减小为，则粒子将从AD边的中点射出 （多选）7．（2025•湘西州模拟）粒子以速度水平向左垂直于最右边磁场的进入匀强电、磁场区域，其中磁场方向均垂直于纸面向里，磁感应强度大小均为B，电场方向均沿x轴负方向，电场强度大小均为E，电、磁场区域的宽度均为L。已知粒子的质量为m、电荷量为q（q＞0），虚线边界上有电场（　　） A．粒子出第一个磁场时与水平方向的夹角为45° B．取粒子刚离开匀强电、磁场区域中第一个电场区域时速度与水平方向的夹角为θ2，则 C．粒子刚离开第一个电场区时速度大小为 D．粒子在第4层磁场中达到轨迹最左端 【模型二】带电粒子在叠加场中的运动 【模型剖析】 1.三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd；电场力做功改变带电粒子的电势能 磁场 大小：F＝qvB（v⊥B） 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2.“三步法”突破叠加场问题 三、带电粒子在交变电磁场中的运动 1.交变场的常见的类型 （1）电场周期性变化，磁场不变； （2）磁场周期性变化，电场不变； （3）电场、磁场均周期性变化. 2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 【题目示例】 1．（2025秋•西安期中）如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v0沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动，最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的一光滑绝缘管道（管道内径略大于小球直径），下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．磁场和电场的大小关系为v0 C．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球仍做匀速直线运动 D．若小球刚进入管道时撤去电场，小球的机械能不断增大 2．（2025秋•五华区校级月考）如图所示，点M、O、N、P位于同一竖直平面内，曲线MON为半径为R的半圆弧，直线MN沿竖直方向，MN⊥NP，直线MN左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场B和竖直向上的匀强电场E1，右侧存在水平向左的匀强电场E2。一带电量为q、质量为m的小球（可视为质点）在复合场中恰能沿着半圆弧NOM在竖直平面内做匀速圆周运动，经过M点进入匀强电场E2。已知磁感应强度为B，E2E1（E1大小未知），∠MPN＝60°，重力加速度为g，则（　　） A．电场强度E1大小为 B．M、P两点的电势差为 C．小球从N运动到M的速度大小为 D．小球在电场E2中距离MP最远时，速度大小为 3．（2025•三模拟）如图所示，一带电绝缘小球用绝缘细线悬挂于O点，O点下方有一匀强磁场。现将小球拉至A点并由静止释放，D点为最低点，C为左侧最高点，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．C点比A点低 B．相邻两次过D点的速度相同 C．相邻两次过D点的加速度相同 D．相邻两次过D点的绳子拉力相同 4．（2025秋•新疆月考）如图1所示，空间中匀强磁场B的方向与x轴平行。不计重力的带电粒子以初速度v0进入磁场时的速度方向与磁场不垂直，而是与磁场成α的锐角，如图2所示，这种情况下，带电粒子在匀强磁场中的轨迹就是一条等距的螺旋线。若要同时使螺旋线的螺距增大、半径减小，下列措施可行的是（　　） A．仅减小初速度v0 B．仅减小角度α C．仅增大角度α D．仅增大磁感应强度B 5．（2025秋•辽宁期中）如图，矩形区域MNPQ（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B和水平向左的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从左下角N点以大小为v0的速度水平向右射入，最终从右上角Q点以竖直向上大小为的速度射出。不计粒子所受其他作用力，下列说法正确的是（　　） A．电场力做功 B．电场力做功 C．矩形磁场的NP边长度为 D．矩形磁场的NP边长度为 二．多选题（共3小题） （多选）6．（2025春•南岗区校级期中）如图所示，质量为m的带正电的滑块由静止开始沿绝缘粗糙斜面下滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，空间内匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。若滑块所带电荷量为q，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．滑块沿斜面下滑的最大速度为 B．滑块沿斜面下滑的最大速度为 C．滑块沿斜面下滑的最大加速度为gsinθ D．滑块沿斜面下滑的最大加速度为gsinθ﹣μgcosθ （多选）7．（2024秋•越秀区期末）如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场强度为E，方向沿竖直方向，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。一质量为m的带电微粒，在该场区内沿竖直平面做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，则可判断该微粒（　　） A．一定沿逆时针方向运动 B．一定是带电量为的负电荷 C．运动的速率一定为 D．运动到最低点时电势能一定最大 （多选）8．（2025•中原区模拟）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为+q的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后，速率为2v的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为v的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在v和3v之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．两板间电场强度的大小为2vB B．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 C．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的曲率半径为 D．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•上城区校级期末）如图所示，带电平行板中匀强电场E的方向竖直向上，匀强磁场B的方向垂直纸面向里，一带电小球从光滑绝缘轨道上的A点自由滑下，经P点进入板间后恰好沿水平方向做直线运动。现使小球从较低的C点自由滑下，经P点进入板间，不计空气阻力则小球在板间运动过程中（　　） A．动能将会减小 B．电势能将会减小 C．机械能将会减小 D．小球带负电 2．（2024春•嘉兴期末）2022年1月，我国成功研制出大功率单通道霍尔推进器，并将其运用到载人航天器中，如图甲所示。霍尔推进器的部分结构如图乙所示，在很窄的圆环空间内存在沿半径方向向外的辐射状的磁场Ⅰ，其磁感应强度大小可近似认为处处相等。若在垂直圆环平面的方向上加上匀强磁场Ⅱ和匀强电场（图中都没有画出），沿平行圆环的方向以一定的速度射入电子，电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、周期为T的匀速圆周运动。已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等，电子的电量为e，质量为m，电子重力忽略不计，则（　　） A．磁场Ⅰ对电子的作用力提供电子做匀速圆周运动所需向心力 B．电场方向垂直圆环平面向外，磁场Ⅱ的方向垂直圆环平面向里 C．磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小为 D．电场的电场强度大小为 3．（2022•重庆）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则（　　） A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 4．（2025•广东）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为﹣q、质量为m的离子以初速度v0从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．第1次加速后，离子的动能增加了2qU C．第k次加速后，离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 5．（2025春•曹县校级期末）图是某种同步加速器的原理图。直线通道PQ有电势差为U的加速电场，通道转角处有可调的匀强偏转磁场B。电量为+q，质量为m的带电粒子以速度v0进入加速电场，而后可以在通道中循环加速。带电粒子在偏转磁场中运动的半径为R。忽略相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里 B．加速一次后，带电粒子的动能增量为2qU C．加速k次后，带电粒子的动能增量为 D．加速k次后，偏转磁场的磁感应强度为 6．（2025•四川模拟）如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于xOy平面向里，场强大小为E的匀强电场沿y轴负方向。一带正电的粒子从O点沿x轴正方向以速度v0入射，粒子的运动轨迹如图中虚线所示，不计粒子重力。则（　　） A． B． C．粒子在最高点受到的合外力方向沿x轴负方向 D．粒子在最高点受到的合外力方向沿y轴负方向 7．（2025春•青山湖区校级期中）如图所示，空间电、磁场分界线与电场方向成45°角，分界面一侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，另一侧为平行纸面向上的匀强电场。一带电荷量为+q、质量为m的粒子从P点以v0的速度沿垂直电场和磁场的方向射入磁场，一段时间后，粒子恰好又回到P点。（场区足够大，不计粒子重力）则下列选项中不正确的是（　　） A．当粒子第一次进入电场时，速度与分界线所成的锐角为45° B．当粒子第二次进入电场时，到P点的距离为 C．电场强度大小为B0v0 D．粒子回到P点所用的总时间为 8．（2024春•河东区期中）如图所示，三个同心圆a、b、c的半径分别为r、2r、，在圆a区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B1。在圆a和圆b间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆b和圆c间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B2。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，从圆a边界上的A点沿半径方向以速度v0射入圆a内，第一次从圆a边界射出时速度方向偏转60°，经过辐向电场加速后，从圆b边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆c飞离磁场。已知磁感应强度，不计粒子的重力.则粒子在圆a内磁场中和圆c与圆b两边界间磁场中做圆周运动半径之比（　　） A．3：2 B．2：3 C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025•河北）如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距为d，M板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知OQ＝3L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为7L D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 （多选）10．（2025秋•兴庆区校级月考）如图所示，竖直放置间距为d的两平行金属极板间电压为U，在极板右侧Ⅰ、Ⅱ区域有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B0、kB0，Ⅰ区域的匀强磁场的宽度为d，Ⅱ区域的磁场范围足够大。初速度为零的粒子从极板边缘的O点出发，在电场加速后，沿垂直磁感应强度方向进入Ⅰ区域的匀强磁场。已知粒子的质量为m、所带电荷量大小为q，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在Ⅰ区域的磁场中沿逆时针方向运动 B．当时，粒子不会进入Ⅱ区域的匀强磁场 C．若且时，粒子能够回到出发点O D．粒子从出发到回到出发点O所用总时间的最小值为 （多选）11．（2025•湘潭模拟）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为。如图所示，现给小球一个向右的初速度，使之离开桌边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A．小球在复合场中的运动时间可能是 B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是 C．小球在复合场中运动的路程可能是 D．小球的初速度大小可能是 三．解答题（共3小题） 12．（2025•泉州一模）如图，宽度为L的两竖直虚线间存在有匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，磁场方向垂直纸面向外。一足够长、质量为2m、不带电的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端放置一质量为m、电荷量为q的带正电小物块A，在板上与A距离为L处放置一质量为m、不带电的小物块C。现让A以大小为v0的初速度向右运动，A与C恰好在虚线左边界处发生碰撞并瞬间粘合在一起。AC一起经过两虚线区域过程中，速度变化量大小Δvx与对应的位移Δx成正比，当AC到达右边界时恰好与板共速。已知重力加速度大小为g，AC与板间的动摩擦因数均为。 （1）求A与C碰前在板上滑动的加速度大小a1； （2）求C初始位置与虚线左边界的距离s及A、C碰后瞬间的速度大小v1； （3）若AC一起进入虚线左边界时，只将磁场方向变为垂直纸面向里，其他条件不变，求AC刚离开虚线右边界时AC重力的瞬时功率P。 13．（2025•五华区模拟）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里；从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，由O点射出速度选择器。若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2（E2略大于E1），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O′点上。求： （1）粒子的比荷。 （2）OO′之间的距离d。 （3）水平极板的长度l。 14．（2025秋•沙坪坝区校级期中）在现代应用技术中，常常通过电磁场实现对带电粒子运动轨迹的控制。如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴负半轴和直线y＝﹣x包围的空间存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ；第四象限内直线边界上方与x轴正半轴之间（包含x轴）存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小，该边界下方存在垂直纸面向外的另一匀强磁场Ⅱ，其磁感应强度是磁场Ⅰ的2倍。一质量为m、电荷量为e的电子，从第二象限中P（﹣d，d）点射入磁场Ⅰ，恰好从坐标原点O沿x轴正方向飞出磁场Ⅰ，已知该电子射入磁场Ⅰ时的速度大小为v0，方向沿y轴负方向。不计电子重力及电子间的相互作用。 （1）求磁场Ⅰ的磁感应强度大小，以及该电子在磁场Ⅰ中运动的时间。 （2）若在x＞0区域有一平行于y轴的收集板（电子打在收集板上立即被吸收），要保证该电子能垂直打在收集板上，求收集板到y轴的距离L应满足什么条件？ （3）其他条件不变，若磁场Ⅱ的方向变为垂直纸面向里、磁感应强度大小不变，将进入磁场Ⅰ的电子变为从P点开始往左宽度为2d的平行电子束，其初速度方向不变、大小随飞入点的位置而改变，但所有电子都能从O点沿x轴正方向飞出磁场Ⅰ。在xOy平面内的磁场Ⅱ中放置一足够长的直线收集板（未画出），要保证所有电子均垂直打在该收集板上，求该收集板在坐标系中的位置所满足的直线方程，以及该收集板能被电子击中的长度s。 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $2026高中物理选修二同步精讲及课时精练 1.3 带电粒子在复合场中的运动 【模型一】带电粒子在组合场中的运动 【模型剖析】 1.组合场中的两种典型偏转 垂直于电场线进入匀强电场（不计重力） 垂直于磁感线进入匀强磁场（不计重力） 受力情况 电场力FE＝Eq，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹 求解方法 利用类似平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t vy＝t，y＝t2 偏转角φ：tanφ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 2.常见复合方式 （1）从电场进入磁场 电场中：匀变速直线运动⇒磁场中：匀速圆周运动 电场中：类平抛运动⇒磁场中：匀速圆周运动 （2）从磁场进入电场 磁场中：匀速圆周运动⇒电场中：匀变速直线运动（v与E共线） 磁场中：匀速圆周运动⇒电场中：类平抛运动（v与E垂直） 3.带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析 【题目示例】 1．（2025秋•天津校级月考）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的质量相等的离子P和P′，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P、P′在磁场中转过的角度θ分别为30°和60°，则离子P和P′（离子重力忽略不计）（　　） A．在磁场中运动的半径之比为2：1 B．在磁场中运动的半径之比为 C．电量之比为1：2 D．电量之比为1：3 【答案】D 【解答】解：AB．设磁场宽度为L，离子通过磁场转过的角度等于其圆心角θ，可得 在磁场中运动的半径R之比为，故AB错误； CD．带电粒子在加速电场中，由动能定理可得 带电粒子在磁场中 整理可得 结合半径之比可算得电量之比为1：3，故C错误，D正确。 故选：D。 2．（2025•东丽区校级二模）如图所示，在Oxy坐标系内，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，两极板间存在平行于y轴的匀强电场。第一四象限有匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。一个质量为m、电量为+q的带电粒子以一定的初速度v0沿x轴正方向射入电场。经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再次进入电场。则（　　） A．极板P带正电 B．粒子进入磁场时速度方向与y轴夹角为60° C．匀强磁场磁感应强度大小为 D．粒子最终离开电场时速度大小为v0 【答案】A 【解答】解：由题意可知当粒子在磁场运动轨迹如下图所示： A、电量为+q的带电粒子向下偏转，则上极板P带正电，故A正确； C、设粒子进入磁场的速度为v，v，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，qvB＝m，r，解得：B，故C错误； B、带电粒子贴着下极板进入磁场，设进入磁场的方向与水平方向夹角为θ，粒子水平方向做匀速直线运动则有l＝v0t，竖直方向匀加速直线运动，则有，t，解得：vx＝vy，tanθ1，θ＝45°，故B错误； D：带电粒子从上级板再次进入电场，受电场力向下，再次加速，故出电场的速度一定大于v0，故D错误。 故选：A。 3．（2025•永州模拟）如图，是交替出现的宽为L的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为E，2、4区域为磁场，场强均为B，方向如图所示。质量为m，带电量为q的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 【答案】A 【解答】解：A、粒子在电场中受电场力加速，电场力做功，磁场中洛伦兹力不做功。粒子经过1、3两个电场区域，电场力做功为2qEL，根据动能定理，合外力做功等于动能变化，初动能为0，所以穿出4区下边界后动能为2qEL。 故A正确； B、由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，设向右为正方向，水平方向根据动量定理可得∑F洛xt＝mvx﹣0 其中∑F洛xt＝∑qvyBt＝qB∑vyt＝qB•2L 联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为 故B错误； C、由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得 可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为 则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 故C错误； D、若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有 解得 故D错误。 故选：A。 4．（2025•泉州校级模拟）回旋加速器以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同匀强磁场，方向垂直纸面向里。一质量m电荷量+q的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，再进入电场做匀加速运动，后第二次进入磁场中运动……粒子在电场和磁场中不断交替运动，已知粒子第二次在磁场中运动半径是第一次的2倍，第三次是第一次的3倍……以此类推，则（　　） A．虚线之间的电场强度大小恒定 B．粒子第一次经过电场时电场力做功等于mv2 C．粒子第二次经过磁场时洛伦兹力做功等于 D．假设粒子穿过电场时，此过程电场可视为匀强电场，则第6次经过电场的时间为 【答案】D 【解答】解：A、根据题意可知，粒子第n次进入电场时速度为vn，穿出电场时速度为vn+1，由题意知vn＝nv1，vn+1＝（n+1）v1 由动能定理得 解得，故A错误； B、根据题意可知，设粒子第n次进入磁场时的半径为Rn，速度为vn，根据洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 因为R2＝2R1 故v2＝2v1 对粒子第一次在电场中运动的过程，由动能定理得 解得，故B错误； C、根据题意可知，洛伦兹力的方向始终指向圆心，与粒子速度垂直，故洛伦兹力不做功，故C错误； D、根据题意可知，设粒子第n次在电场中运动的加速度为an，由牛顿第二定律得qEn＝man 由运动学公式得vn+1﹣vn＝antn 解得 当n＝6时，，故D正确。 故选：D。 5．（2025•怀化二模）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线y＝a的上方有一沿y轴负方向的矩形匀强电场区域，场强大小为E。在x＝﹣a处的A点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从x＝a处的C点第二次飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子进入磁场的初速度为 B．矩形匀强电场区域的最小面积为 C．粒子从A点运动到C点的最短时间为 D．粒子从A点运动到C点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为πqBa 【答案】C 【解答】解：A.由题意，粒子在磁场中是磁聚焦（磁发散）情景，因此轨迹半径 r＝a 由半径公式 解得粒子速度 故A错误； B.所有粒子都以速度v沿y轴正方向进入电场，根据直到减速为0，有 v2＝2a's 根据牛顿第二定律 qE＝ma' 解得加速度 减速位移 根据磁聚焦（磁发散），所有粒子进入电场的平行宽度为 x＝2a 则矩形电场的最小面积为 故B错误； C.所有粒子在磁场都有两段过程，合起来看都转了半圈，如图 根据周期公式 可知在磁场中的时间均为 根据对称性，所有粒子在电场中从速度v减速为0，再反向加速到v，则在电场中的时间 除了从A点沿x轴正向发射的粒子外，其余粒子都还有在真空区域运动的时间，因此最低按时间为 故C正确； D.所有粒子在磁场两段过程中，合起来转了半圈，速度偏转角为180°，所有粒子在电场中先减速再反向加速，速度偏转角也为180°，因此所有粒子从A到C速度方向不变，且大小也不变。以初速度方向为正方向，根据动量定理 I+qEt2＝0 解得洛伦兹力冲量 I＝﹣2aBq 则冲量大小为2aBq 故D错误。 故选：C。 （多选）6．（2025•江西模拟）现代科技常使用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如图所示，将边长为L的正方形ABCD沿对角线AC分成区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ（包括边界AB、BC）内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ内有方向平行于CD且由C指向D的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒于从A点沿AB方向以速率v射入区域Ⅰ，刚好从AC的中点O进入区域Ⅱ，最后恰好打在D点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．电场的电场强度大小为 C．粒子从A点运动到D点的时间为 D．若仅将粒子射入区域Ⅰ时的速率减小为，则粒子将从AD边的中点射出 【答案】BC 【解答】解：A．根据题意可知，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，进入电场做类平抛运动，画出粒子的轨迹如图所示： 由洛伦兹力提供向心力： 根据几何关系，知： 得： 故A错误； B．进入电场中，根据类平抛运动的规律，有： 联立可得： 故B正确； C．粒子从A点运动到D点的时间： t＝t1+t2 则 故C正确； D．由以上分析可知粒子从AD边射出的位置与A点间的距离： 由此可知，若仅将粒子射入区域Ⅰ时的速率减小为，则粒子不会从AD边的中点射出，故D错误。 故选BC。 （多选）7．（2025•湘西州模拟）粒子以速度水平向左垂直于最右边磁场的进入匀强电、磁场区域，其中磁场方向均垂直于纸面向里，磁感应强度大小均为B，电场方向均沿x轴负方向，电场强度大小均为E，电、磁场区域的宽度均为L。已知粒子的质量为m、电荷量为q（q＞0），虚线边界上有电场（　　） A．粒子出第一个磁场时与水平方向的夹角为45° B．取粒子刚离开匀强电、磁场区域中第一个电场区域时速度与水平方向的夹角为θ2，则 C．粒子刚离开第一个电场区时速度大小为 D．粒子在第4层磁场中达到轨迹最左端 【答案】BC 【解答】解：A.粒子刚进入第一个磁场时的速度为 粒子在第一个磁场中运动有 解得 r1＝2L 则粒子出磁场时与水平方向的夹角为30°。故A错误； BC.则粒子刚进入电场时水平方向的速度为 竖直方向的速度为 由运动学公式得 其中 qE＝ma 粒子刚离开第一个电场区时速度大小为 所以 故BC正确； D.设在第n个磁场中达到轨迹最左端，在竖直方向，以竖直向上的方向为正方向，由动量定理得 因为 qBx磁＝mvy 由动能定理得 联立解得 又 （n﹣1）L＜x磁＜nL 即 整理得 n＝5 故D错误。 故选：BC。 【模型二】带电粒子在叠加场中的运动 【模型剖析】 1.三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd；电场力做功改变带电粒子的电势能 磁场 大小：F＝qvB（v⊥B） 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2.“三步法”突破叠加场问题 三、带电粒子在交变电磁场中的运动 1.交变场的常见的类型 （1）电场周期性变化，磁场不变； （2）磁场周期性变化，电场不变； （3）电场、磁场均周期性变化. 2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 【题目示例】 1．（2025秋•西安期中）如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v0沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动，最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的一光滑绝缘管道（管道内径略大于小球直径），下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．磁场和电场的大小关系为v0 C．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球仍做匀速直线运动 D．若小球刚进入管道时撤去电场，小球的机械能不断增大 【答案】C 【解答】解：A、洛伦兹力与运动方向相互垂直，不做功，重力做正功，而小球动能保持不变，电场力一定做负功，小球带正电，故A错误； B、当支持力为零时，小球受电场力、重力、洛伦兹力，三力平衡合力为零，根据正交分解可得qE＝qv0Bsin30°，则 ，故B错误； C、撤去磁场后，因重力和电场力的合力垂直于杆，小球仍保持匀速直线运动，故C正确； D、撤去电场，小球仅受重力做功，机械能不变，故D错误。 故选：C。 2．（2025秋•五华区校级月考）如图所示，点M、O、N、P位于同一竖直平面内，曲线MON为半径为R的半圆弧，直线MN沿竖直方向，MN⊥NP，直线MN左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场B和竖直向上的匀强电场E1，右侧存在水平向左的匀强电场E2。一带电量为q、质量为m的小球（可视为质点）在复合场中恰能沿着半圆弧NOM在竖直平面内做匀速圆周运动，经过M点进入匀强电场E2。已知磁感应强度为B，E2E1（E1大小未知），∠MPN＝60°，重力加速度为g，则（　　） A．电场强度E1大小为 B．M、P两点的电势差为 C．小球从N运动到M的速度大小为 D．小球在电场E2中距离MP最远时，速度大小为 【答案】D 【解答】解：A、小球在复合场中恰能沿着半圆弧NOM在竖直平面内做匀速圆周运动，电场力和重力相等，根据平衡条件可得：qE1＝mg，解得：E1，故A错误； B、根据几何关系可得：M、P两点沿电场线方向的距离为：d，解得：d 由于E2E1，则M、P两点的电势差为：UMP＝﹣E2d，解得：UMP，故B错误； C、根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m，解得小球从N运动到M的速度大小为：v，故C错误； D、在M点将速度进行分解，如图所示： 小球在右边电场中运动时，设合力与MN的夹角为θ，根据几何关系可得：tanθ，解得：θ＝60°，说明合外力方向与MP垂直。 小球在电场E2中距离MP最远时，垂直于MP方向的速度为零，此时速度大小为：v2＝vcos60°，故D正确。 故选：D。 3．（2025•三模拟）如图所示，一带电绝缘小球用绝缘细线悬挂于O点，O点下方有一匀强磁场。现将小球拉至A点并由静止释放，D点为最低点，C为左侧最高点，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．C点比A点低 B．相邻两次过D点的速度相同 C．相邻两次过D点的加速度相同 D．相邻两次过D点的绳子拉力相同 【答案】C 【解答】解：A．洛伦兹力对小球不做功，轻绳的拉力也不做功，只有重力做功，根据机械能守恒，可知左侧最高点应与A点等高，故A错误； B．根据机械能守恒，可知相邻两次到达D点时，无论是从A到D还是从C到D，重力做功相同，重力是势能相同，故速度大小都相同，但方向不同，故B错误。 C．根据向心加速度表达式 可知相邻两次a大小相等，且方向都指向O点，故C正确。 D．由于相邻两次的洛伦兹力方向不同，所以绳子拉力大小不相等，故D错误。 故选：C。 4．（2025秋•新疆月考）如图1所示，空间中匀强磁场B的方向与x轴平行。不计重力的带电粒子以初速度v0进入磁场时的速度方向与磁场不垂直，而是与磁场成α的锐角，如图2所示，这种情况下，带电粒子在匀强磁场中的轨迹就是一条等距的螺旋线。若要同时使螺旋线的螺距增大、半径减小，下列措施可行的是（　　） A．仅减小初速度v0 B．仅减小角度α C．仅增大角度α D．仅增大磁感应强度B 【答案】B 【解答】解：A．将速度沿y轴正方向与x轴正方向分解为v0sinα、v0cosα，粒子沿x轴正方向做匀速直线运动，垂直于x轴方向做匀速圆周运动，则有， 解得运行半径以及周期为：， 螺旋线的螺距 当仅减小初速度v0时，螺距、半径均减小，故A错误； B．仅减小角度α，螺距增大、半径减小，故B正确； C．仅增大角度α，螺距减小、半径增大，故C错误； D．仅增大磁感应强度B，螺距、半径均减小，故D错误。 故选：B。 5．（2025秋•辽宁期中）如图，矩形区域MNPQ（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B和水平向左的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从左下角N点以大小为v0的速度水平向右射入，最终从右上角Q点以竖直向上大小为的速度射出。不计粒子所受其他作用力，下列说法正确的是（　　） A．电场力做功 B．电场力做功 C．矩形磁场的NP边长度为 D．矩形磁场的NP边长度为 【答案】C 【解答】解：AB、粒子从N到Q，根据动能定理，有W，故AB错误； CD、洛伦兹力的竖直分量提供竖直方向的动量变化，根据动量定理，有qvxBt＝m，即qBLNP＝m，解得矩形磁场的NP边长度为LNP，故C正确，D错误。 故选：C。 （多选）6．（2025春•南岗区校级期中）如图所示，质量为m的带正电的滑块由静止开始沿绝缘粗糙斜面下滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，空间内匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。若滑块所带电荷量为q，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．滑块沿斜面下滑的最大速度为 B．滑块沿斜面下滑的最大速度为 C．滑块沿斜面下滑的最大加速度为gsinθ D．滑块沿斜面下滑的最大加速度为gsinθ﹣μgcosθ 【答案】AC 【解答】解：滑块刚要离开斜面时，对斜面的压力为0，滑块沿斜面的速度达到最大，同时加速度达到最大，此时，在垂直于斜面方向上有：qvB＝mgcosθ 在平行于斜面上有：mgsinθ＝ma 联立解得：，a＝gsinθ，故BD错误，AC正确。 故选：AC。 （多选）7．（2024秋•越秀区期末）如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场强度为E，方向沿竖直方向，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。一质量为m的带电微粒，在该场区内沿竖直平面做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，则可判断该微粒（　　） A．一定沿逆时针方向运动 B．一定是带电量为的负电荷 C．运动的速率一定为 D．运动到最低点时电势能一定最大 【答案】BD 【解答】解：AB．带电微粒在竖直平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，则有mg＝qE 可得微粒的电荷量大小为 电场力的方向竖直向上与电场方向相反，故小球带负电，由左手定则可知小球沿顺时针方向的运动，故A错误，B正确； C．粒子做圆周运动，则有 联立解得运动的速率 故C错误； D．由于带电微粒受到的电场力竖直向上，所以带电微粒从最低点向最高点运动过程，电场力一直做正功，电势能一直减小，则带电微粒运动到最低点时电势能最大，故D正确。 故选：BD。 （多选）8．（2025•中原区模拟）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为+q的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后，速率为2v的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为v的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在v和3v之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．两板间电场强度的大小为2vB B．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 C．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的曲率半径为 D．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 【答案】AC 【解答】解：A、速率为2v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则有：q•2vB＝qE，解得两板间电场强度的大小为：E＝2vB，故A正确； B、根据配速法，可将乙粒子的速度看成向右的2v和向左的v，所以乙粒子的运动可看成水平向右的匀速直线运动和竖直平面内的圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得：，解得：，则乙粒子偏离中轴线的最远距离为：，故B错误； C、乙粒子运动到A处时速度为3v，由洛伦兹力提供向心力可得：，解得在A处对应圆周的曲率半径为：，故C正确； D、速率为v的乙粒子在板间的运动时，根据左手定则判断知，粒子受到的洛伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心，所以乙粒子在水平方向上的合力一直水平向右，所以粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故D错误。 故选：AC。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•上城区校级期末）如图所示，带电平行板中匀强电场E的方向竖直向上，匀强磁场B的方向垂直纸面向里，一带电小球从光滑绝缘轨道上的A点自由滑下，经P点进入板间后恰好沿水平方向做直线运动。现使小球从较低的C点自由滑下，经P点进入板间，不计空气阻力则小球在板间运动过程中（　　） A．动能将会减小 B．电势能将会减小 C．机械能将会减小 D．小球带负电 【答案】C 【解答】解：小球从A点滑下进入复合场区域时沿水平方向做直线运动，则小球受力平衡，判断可知小球带正电，则有mg＝qE+qvB 从C点滑下刚进入复合场区域时，其速度小于从A点滑下时的速度，则有mg＞qE+qv′B 小球向下偏转，重力做正功，静电力做负功，因为mg＞qE，则合力做正功，小球的电势能和动能均增大，机械能减小。 故ABD错误，C正确。 故选：C。 2．（2024春•嘉兴期末）2022年1月，我国成功研制出大功率单通道霍尔推进器，并将其运用到载人航天器中，如图甲所示。霍尔推进器的部分结构如图乙所示，在很窄的圆环空间内存在沿半径方向向外的辐射状的磁场Ⅰ，其磁感应强度大小可近似认为处处相等。若在垂直圆环平面的方向上加上匀强磁场Ⅱ和匀强电场（图中都没有画出），沿平行圆环的方向以一定的速度射入电子，电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、周期为T的匀速圆周运动。已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等，电子的电量为e，质量为m，电子重力忽略不计，则（　　） A．磁场Ⅰ对电子的作用力提供电子做匀速圆周运动所需向心力 B．电场方向垂直圆环平面向外，磁场Ⅱ的方向垂直圆环平面向里 C．磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小为 D．电场的电场强度大小为 【答案】D 【解答】解：AB．根据左手定则可知磁场Ⅰ对电子的作用力沿圆环方向垂直纸面向里，不能提供向心力，磁场Ⅱ对电子的作用力提供电子做匀速圆周运动所需向心力，即磁场Ⅱ的方向垂直圆环平面向里，电子所受电场力与磁场Ⅰ对电子的作用力平衡，所以电场方向垂直圆环平面向里。故AB错误； C．根据洛伦兹力提供向心力 又 联立，解得 故C错误； D．根据洛伦兹力等于电场力 eE＝evB 又洛伦兹力提供向心力 联立，解得 故D正确。 故选：D。 3．（2022•重庆）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则（　　） A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 【答案】D 【解答】解：A、该粒子所受电场力的瞬时功率是电场力与沿电场力方向速度的乘积，所以P＝qEv1，故A错误； B、v2与B垂直，所以该粒子所受洛伦兹力大小f＝qv2B，故B错误； C、速度v1的方向与磁感应强度B方向相同，该分速度不受洛伦兹力作用；v2方向与B垂直，粒子在垂直于磁场方向平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力不做功，v2不变；粒子沿电场方向做加速运动，v1不断增大，则v2与v1的比值不断减小，故C错误； D、粒子做匀速圆周运动的向心加速度a向大小不变，电场力产生的加速度a电，q、E、m不变，a电不变，a向、a电大小都不变，两者方向垂直，粒子的加速度不变，故D正确。 故选：D。 4．（2025•广东）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为﹣q、质量为m的离子以初速度v0从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．第1次加速后，离子的动能增加了2qU C．第k次加速后，离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【答案】A 【解答】解：A.直线通道PQ有电势差为U的加速电场，因粒子带负电，则粒子运动方向为P→Q。粒子在偏转磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可知洛伦兹力指向装置中心，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，故A正确； BC.由动能定理可知，加速一次后，电场力做功为qU，带电粒子的动能增量为qU。因洛伦兹力不做功，故加速k次后，带电粒子的动能增量为kqU，有kqU，得v，故BC错误； D.粒子在偏转磁场中运动的半径为R，则根据洛伦兹力提供向心力有，联立解得，解得B，故D错误。 故选：A。 5．（2025春•曹县校级期末）图是某种同步加速器的原理图。直线通道PQ有电势差为U的加速电场，通道转角处有可调的匀强偏转磁场B。电量为+q，质量为m的带电粒子以速度v0进入加速电场，而后可以在通道中循环加速。带电粒子在偏转磁场中运动的半径为R。忽略相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里 B．加速一次后，带电粒子的动能增量为2qU C．加速k次后，带电粒子的动能增量为 D．加速k次后，偏转磁场的磁感应强度为 【答案】D 【解答】解：A、直线通道PQ有电势差为U的加速电场，因粒子带正电，则粒子运动方向为P→Q。粒子在偏转磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可知洛伦兹力指向装置中心，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外，故A错误； BC、由动能定理可知，加速一次后，电场力做功为qU，带电粒子的动能增量为qU。因洛伦兹力不做功，故加速k次后，带电粒子的动能增量为kqU，故BC错误； D、加速k次后，由动能定理有 解得 粒子在偏转磁场中运动的半径为R，则根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得，故D正确。 故选：D。 6．（2025•四川模拟）如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于xOy平面向里，场强大小为E的匀强电场沿y轴负方向。一带正电的粒子从O点沿x轴正方向以速度v0入射，粒子的运动轨迹如图中虚线所示，不计粒子重力。则（　　） A． B． C．粒子在最高点受到的合外力方向沿x轴负方向 D．粒子在最高点受到的合外力方向沿y轴负方向 【答案】D 【解答】解：AB、根据题意分析可知，粒子从O点沿x轴正方向以速度v0入射时，受电场力和洛伦兹力，洛伦兹力沿y轴正方向，电场力沿y轴负方向，粒子向y轴正方向偏转，洛伦兹力大于电场力，即qv0B＞qE 可得，故AB错误； CD、根据题意分析可知，粒子在最高点时，受沿y轴负方向的电场力和y轴正方向的洛伦兹力，过了最高点，向下偏转，故电场力大于洛伦兹力，也不可能相等，合外力方向沿y轴负方向，故C错误，D正确。 故选：D。 7．（2025春•青山湖区校级期中）如图所示，空间电、磁场分界线与电场方向成45°角，分界面一侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，另一侧为平行纸面向上的匀强电场。一带电荷量为+q、质量为m的粒子从P点以v0的速度沿垂直电场和磁场的方向射入磁场，一段时间后，粒子恰好又回到P点。（场区足够大，不计粒子重力）则下列选项中不正确的是（　　） A．当粒子第一次进入电场时，速度与分界线所成的锐角为45° B．当粒子第二次进入电场时，到P点的距离为 C．电场强度大小为B0v0 D．粒子回到P点所用的总时间为 【答案】D 【解答】解：A.由左手定则可知，初状态粒子受向下的洛伦兹力，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由圆周运动的特点可知，粒子第一次到达边界时的偏转角是90°，则由图可知，此时速度与分界线所成的锐角为45°，故A正确； B.由前面分析及题意，可得下图： 如图，粒子沿电场方向的反方向第一次进入电场，粒子带正电，则粒子在电场中先做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动，并再次进入磁场，根据圆周运动的特点可知，粒子在磁场中做圆周运动经过周期后，粒子沿与电场方向垂直的方向第二次进入电场，之后粒子在电场中做类平抛运动至P； 设粒子在磁场中运动的半径为R， 由洛伦兹力提供向心力可得：qv0B， 由几何关系可得：SP＝22R， 联立可得，当粒子第二次进入电场时，到P点的距离为：SP，故B正确； C.设粒子在电场中做类平抛运动的时间为t3， 沿水平方向有：SP•sin45°＝v0t3， 沿竖直方向有：SP•cos45°， 由牛顿第二定律可知，粒子在电场中的加速度大小为：a， 结合前面分析可知：qv0B， 联立可得：E＝B0v0，t3，故C正确； D.结合前面分析可知，粒子在磁场中的两段轨迹可拼成一个完整圆周，则粒子在磁场中的总时间t1为一个周期T， 由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式可知：t1＝T， 由运动学的对称性可知，粒子在匀强电场中做匀减速直线运动、匀加速直线运动的总时间为：t2， 则粒子回到P点所用的总时间为：t＝t1+t2+t3， 联立可得：t，故D错误； 本题选不正确的， 故选：D。 8．（2024春•河东区期中）如图所示，三个同心圆a、b、c的半径分别为r、2r、，在圆a区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B1。在圆a和圆b间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆b和圆c间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B2。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，从圆a边界上的A点沿半径方向以速度v0射入圆a内，第一次从圆a边界射出时速度方向偏转60°，经过辐向电场加速后，从圆b边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆c飞离磁场。已知磁感应强度，不计粒子的重力.则粒子在圆a内磁场中和圆c与圆b两边界间磁场中做圆周运动半径之比（　　） A．3：2 B．2：3 C． D． 【答案】A 【解答】解：粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系有 所以 故BCD错误，A正确。 故选：A。 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025•河北）如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距为d，M板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知OQ＝3L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为7L D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【解答】解：A、当发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误； B、随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足v2＝2ad，a，联立解得，E，即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，故B正确； C、设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，由于两板间，电压达到稳定值，电荷量不变，在垂直打入的电荷，不再被金属吸收，两板间的电场强度达到最大、发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子运动轨迹如图所示： 根据几何关系可得：rcosθ+r＝3L，解得：r＝2L 粒子在N板返回后经过Q后打在M的上表面，则粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为：x＝3L+2r＝3L+2×2L＝7L，故C正确； D、因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，如图所示： 由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为：α＝90°﹣60°＝30° 则在两板间运动时间为：t，其中a是粒子在电场中运动的最大的加速度。 水平位移为：x＝vcosα•t 沿竖直方向进入电场时，有：v2＝2ad 联立解得：xd，故D正确。 故选：BCD。 （多选）10．（2025秋•兴庆区校级月考）如图所示，竖直放置间距为d的两平行金属极板间电压为U，在极板右侧Ⅰ、Ⅱ区域有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B0、kB0，Ⅰ区域的匀强磁场的宽度为d，Ⅱ区域的磁场范围足够大。初速度为零的粒子从极板边缘的O点出发，在电场加速后，沿垂直磁感应强度方向进入Ⅰ区域的匀强磁场。已知粒子的质量为m、所带电荷量大小为q，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在Ⅰ区域的磁场中沿逆时针方向运动 B．当时，粒子不会进入Ⅱ区域的匀强磁场 C．若且时，粒子能够回到出发点O D．粒子从出发到回到出发点O所用总时间的最小值为 【答案】ACD 【解答】解：A．由题意可知粒子带正电，由左手定则可知粒子进入Ⅰ区域磁场时所受洛伦兹力方向沿纸面向上，粒子沿逆时针方向运动，故A正确； B．粒子在电场中加速，由动能定理：， 粒子在Ⅰ区域磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力：， 若粒子不能进入Ⅱ区域，则粒子在Ⅰ区域磁场运动的半径有：r1＜d，解得：，故B错误； C．当时，粒子在电场中加速，由动能定理：， 粒子在Ⅰ区域磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力：， 解得：r′1＝2d； 粒子的运动轨迹如图所示 粒子在Ⅰ区域磁场中运动的偏转角为θ，有：，可得：θ＝30°； 当时，粒子在Ⅱ区域磁场中运动的轨迹半径：，解得：， 由几何关系有：r′1tanθ＝（r′1+r2）sinθ，粒子刚好能够回到出发点O，故C正确； D．满足C中条件粒子返回出发点O的时间最短，由运动过程分析可知粒子在电场中运动的时间：； 粒子在Ⅰ区域磁场中运场中运动的时间：， 粒子在Ⅱ区域磁场中运动的时间：， 所以粒子从出发到回到出发点O所用总时间的最小值为：t＝t电+t磁1+t磁2，解得：，故D正确。 故选：ACD。 （多选）11．（2025•湘潭模拟）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为。如图所示，现给小球一个向右的初速度，使之离开桌边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A．小球在复合场中的运动时间可能是 B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是 C．小球在复合场中运动的路程可能是 D．小球的初速度大小可能是 【答案】AC 【解答】解：根据题意可知带电小球的比荷为是，则有Eq＝mg 则小球所受的合力为洛伦兹力，所以小球在复合场中做匀速圆周运动，射出时的速度方向与下边界的夹角为60°，则小球运动情况有两种，轨迹如下图所示 若小球速度为v1，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为120°，此时小球在复合场中的运动时间为 根据几何知识可得R1+R1cos60°＝h，解得轨迹半径为 则根据洛伦兹力提供向心力有 可得，小球的速度为 则小球的路程为 根据解得小球的加速度为 若小球速度为v2，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为60°，此时小球在复合场中的运动时间为 根据几何知识可得R2﹣R2cos60°＝h，其轨迹半径为R2＝2h 则根据洛伦兹力提供向心力有 可得，小球的速度为 则小球的路程为 根据解得小球的加速度为，故AC正确，BD错误。 故选：AC。 三．解答题（共3小题） 12．（2025•泉州一模）如图，宽度为L的两竖直虚线间存在有匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，磁场方向垂直纸面向外。一足够长、质量为2m、不带电的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端放置一质量为m、电荷量为q的带正电小物块A，在板上与A距离为L处放置一质量为m、不带电的小物块C。现让A以大小为v0的初速度向右运动，A与C恰好在虚线左边界处发生碰撞并瞬间粘合在一起。AC一起经过两虚线区域过程中，速度变化量大小Δvx与对应的位移Δx成正比，当AC到达右边界时恰好与板共速。已知重力加速度大小为g，AC与板间的动摩擦因数均为。 （1）求A与C碰前在板上滑动的加速度大小a1； （2）求C初始位置与虚线左边界的距离s及A、C碰后瞬间的速度大小v1； （3）若AC一起进入虚线左边界时，只将磁场方向变为垂直纸面向里，其他条件不变，求AC刚离开虚线右边界时AC重力的瞬时功率P。 【答案】（1）A与C碰前在板上滑动的加速度大小a1为； （2）C初始位置与虚线左边界的距离s为，A、C碰后瞬间的速度大小v1为； （3）AC刚离开虚线右边界时AC重力的瞬时功率P为得。 【解答】解：（1）设A与板间的动摩擦因数为μ，A与C碰前在板上滑动，有： μmg＝ma1 解得 （2）设A从开始运动到刚与C碰撞的过程中，运动时间为t，A的位移为s1，C与板的加速度为a2有： μmg＝3ma2 s1﹣s＝L 得 设A、C碰撞前瞬间速度大小分别为vA，vC，有： vA＝v0﹣a1t vC＝a2t 可解得 A与C碰撞过程，以水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律有： mvA+mvC＝（m+m）vB 解得 （3）设一起经过两虚线区域过程中速度大小为vx，以水平向右的方向为正方向，由动量定理得 即 ﹣μ（2mg﹣qE）t﹣μqxB＝2mvx﹣2mv1 由于速度变化量Δvx与对应的位移Δx成正比，即vx﹣x为线性关系，则 2mg﹣qE＝0 设AC和板共速的速度大小为v，由动量守恒定律得 mv0＝4mv 得 可得 ﹣μqLB＝2mv﹣2mv1 得 当A、C碰撞后只将磁场方向变为垂直纸面向里，AC将一起在两虚线区域内做匀速圆周运动，设半径为r，离开右边界时速度方向与水平方向的夹角为θ，如图 有： P＝2mgv1cos（90°+θ） 得 答：（1）A与C碰前在板上滑动的加速度大小a1为； （2）C初始位置与虚线左边界的距离s为，A、C碰后瞬间的速度大小v1为； （3）AC刚离开虚线右边界时AC重力的瞬时功率P为得。 13．（2025•五华区模拟）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里；从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，由O点射出速度选择器。若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2（E2略大于E1），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O′点上。求： （1）粒子的比荷。 （2）OO′之间的距离d。 （3）水平极板的长度l。 【答案】（1）粒子的比荷为。 （2）OO′之间的距离d为。 （3）水平极板的长度l为。 【解答】解：（1）由于电场场强度大小变为E2（E2略大于E1 ）后，粒子打在O'点，所以粒子带正电；设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为v0，在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件 qv0B＝qE1① 在加速电场中，由动能定理 ② 联立解得，粒子的比荷为 ③ （2）粒子进入Ⅱ瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力f洛＝qv0B 向下的电场力F＝qE2 由于E2＞E1，且qE1＝qv0B 所以通过配速法，如图所示 qE2＝q（v0+v1）B④ 则粒子在速度选择器中水平向右以速度v0+v1做匀速直线运动的同时，以水平向左的初速度v1做匀速圆周运动，当速度转向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的O'点的要求，故OO'之间的距离d为粒子做匀速圆周运动的轨道直径。 ⑤ d＝2r⑥ 解得 ⑦ （3）由（2）知粒子竖直方向以v1做匀速圆周运动，当匀速圆周运动时间为（n＝0、1、2、3•••）⑧ ⑨ 满足垂直打在速度选择器右挡板的O'点的要求 粒子在速度选择器中由水平向右，速度为v0+v1的匀速直线和初速度大小为v1，方向水平向左的匀速圆周运动合成得到，因粒子打到O点的时间为 t内粒子匀速圆周运动的水平位移为零，所以t内粒子的水平位移即为水平极板的板长 1＝（v0+v1）t⑩ 解得： ⑪ 答：（1）粒子的比荷为。 （2）OO′之间的距离d为。 （3）水平极板的长度l为。 14．（2025秋•沙坪坝区校级期中）在现代应用技术中，常常通过电磁场实现对带电粒子运动轨迹的控制。如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴负半轴和直线y＝﹣x包围的空间存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ；第四象限内直线边界上方与x轴正半轴之间（包含x轴）存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小，该边界下方存在垂直纸面向外的另一匀强磁场Ⅱ，其磁感应强度是磁场Ⅰ的2倍。一质量为m、电荷量为e的电子，从第二象限中P（﹣d，d）点射入磁场Ⅰ，恰好从坐标原点O沿x轴正方向飞出磁场Ⅰ，已知该电子射入磁场Ⅰ时的速度大小为v0，方向沿y轴负方向。不计电子重力及电子间的相互作用。 （1）求磁场Ⅰ的磁感应强度大小，以及该电子在磁场Ⅰ中运动的时间。 （2）若在x＞0区域有一平行于y轴的收集板（电子打在收集板上立即被吸收），要保证该电子能垂直打在收集板上，求收集板到y轴的距离L应满足什么条件？ （3）其他条件不变，若磁场Ⅱ的方向变为垂直纸面向里、磁感应强度大小不变，将进入磁场Ⅰ的电子变为从P点开始往左宽度为2d的平行电子束，其初速度方向不变、大小随飞入点的位置而改变，但所有电子都能从O点沿x轴正方向飞出磁场Ⅰ。在xOy平面内的磁场Ⅱ中放置一足够长的直线收集板（未画出），要保证所有电子均垂直打在该收集板上，求该收集板在坐标系中的位置所满足的直线方程，以及该收集板能被电子击中的长度s。 【答案】（1）磁场Ⅰ的磁感应强度大小为，以及该电子在磁场Ⅰ中运动的时间为。 （2）要保证该电子能垂直打在收集板上，收集板到y轴的距离L板的位置应满足； （3）要保证所有电子均垂直打在该收集板上，该收集板在坐标系中的位置所满足的直线方程为：，该收集板能被电子击中的长度s为（）d。 【解答】解：（1）电子在磁场Ⅰ中运动的半径，因此磁感应强度大小 在磁场Ⅰ中运动的时间 （2）进入第四象限后，电子在电场中偏转： 竖直方向：，解得：在电场中运动的时间 进入磁场Ⅱ时：竖直方向的速度，距O点的水平距离x1＝v0t1＝2dc 进入磁场Ⅱ时的速度： 与x轴正方向夹角，θ1＝60° 在磁场Ⅱ中运动的半径： 由几何关系可知，电子要垂直打在收集板上，板的位置应满足； （3）在磁场Ⅰ中，由几何关系可知，电子从右向左进入磁场Ⅰ时的速度范围为：v0≤v≤3v0 设某一电子的速度为kv0（1≤k≤3），由于所有电子在电场中沿电场方向的运动情况完全相同，则 进入磁场Ⅱ时的速度方向与x轴正方向的夹角： 进入磁场Ⅱ时：合速度，到O点的水平距离x＝2kd在磁场Ⅱ中运动的半径： 由几何关系可得：电子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的圆心坐标为： 要使所有电子都垂直打在收集板上，显然收集板的位置也应该和圆心在一条直线上，故圆心所满足的直线方程就是收集板满足的直线方程：； 由几何关系易知，电子速度越大，打在收集板上的位置离y轴越远，故将速度范围代入，可得两个边界的圆心坐标分别为： 以及 因此两个边界圆心的间距： 故收集板能被击中的长度 答：（1）磁场Ⅰ的磁感应强度大小为，以及该电子在磁场Ⅰ中运动的时间为。 （2）要保证该电子能垂直打在收集板上，收集板到y轴的距离L板的位置应满足； （3）要保证所有电子均垂直打在该收集板上，该收集板在坐标系中的位置所满足的直线方程为：，该收集板能被电子击中的长度s为（）d。 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $