专题09 等腰三角形（期末培优，15个高频易错考点训练共45题）-2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂（人教版）

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为人教版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题09 等腰三角形 （期末培优，15个高频易错考点训练共45题） 目录 考点一等边对等角 3 考点二三线合一  4 考点三根据等角对等边证明等腰三角形 6 考点四根据等角对等边证明边相等 9 考点五根据等角对等边求边长 12 考点六 含30度角的直角三角形 15 考点七格点图中画等腰三角形 17 考点八找出图中的等腰三角形 20 考点九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 22 考点十等腰三角形的性质和判定 25 考点十一等边三角形的性质 28 考点十二等边三角形的判定 32 考点十三等边三角形的判定和性质 34 考点十四大（小）边对大（小）角定理 39 考点十五最短路径问题 41 考点一等边对等角 1．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 先根据，求出及的度数，再由垂直平分线的性质求出的度数，再由三角形内角与外角的性质解答即可． 【解答】解：，， ， 垂直平分， ， ． 故选：A． 2．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质和等边对等角推出，据此根据角的和差关系求解即可． 【解答】解：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，是等腰三角形，若底角，则顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和即可求解． 【解答】解：∵是等腰三角形，且底角，是顶角， ∴， ∴顶角， 故选：D． 考点二三线合一  4．如图，在中，，，是的两条中线，M是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用轴对称求最短路径是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质得到和，利用点共线时线段和最小的性质得到，进而求解． 【解答】解：如图连接， 、 、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度． 故选：B． 5．如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【解答】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，在等腰中，，中线与角平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：在中，是中线， ， ， ∵是角平分线，， ， ， ， 故选：B． 考点三根据等角对等边证明等腰三角形 7．如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，考虑以为腰的等腰三角形即可． 【解答】解：把分别沿边翻折，有两种等腰三角形，还有两种情况如下图所示； 左图中，则， ∴； 右图中，则， ∴． 综上，共有4种拼法； 故选：B． 8．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【解答】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 9．如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 考点四根据等角对等边证明边相等 10．如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：． 11．如图，在中，是边上的高，是边上的高，是，的交点，则下列结论：①图中共有6个直角三角形；②是钝角三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、三角形外角的性质、三角形的分类、等腰三角形的判定等基础知识，掌握这些知识是关键；根据三角形的高即可判断①；根据三角形外角的性质及钝角三角形的概念即可判断②；由三角形外角的性质、三角形内角和可判断③；由③即可判断④，最后即可作出结论． 【解答】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴都是直角三角形， 即直角三角形有6个，故①正确； ∵， ∴是钝角三角形，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， 当时，有，即； 否则， 故④错误； 综上，正确的有①②③三个； 故选：C． 12．如图，中，，于D，BE平分，且于点E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据，可得，从而得到，故①符合题意；再由，可得，从而得到，故②符合题意；然后根据，可得，从而证得，可得到，故③符合题意；再由平分，可得，可得到，故④符合题意． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 考点五根据等角对等边求边长 13．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键． 根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ， 故选：． 15．如图，在中，和的平分线交于点O，过O点作，交于E，交于F，若，则线段的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，同理可得，据此可得答案． 【解答】解：∵在中，和的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：A． 考点六 含30度角的直角三角形 16．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的定义得，从而利用含角的直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，最后利用等量代换可得的周长为，即可解答． 【解答】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 则周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 17．如图，在中，，，是的平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（    ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握的角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键． 先求出，由角平分线的定义可求，进而求出，，然后利用角的性质依次求解即可． 【解答】解：， ∴ ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 18．将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查30度角所对的直角边等于斜边一半，等角对等边，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的判定求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 故选：C． 考点七格点图中画等腰三角形 19．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解答】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 20．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【解答】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 21．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【解答】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 考点八找出图中的等腰三角形 22．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【解答】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 23．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【解答】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 24．如图，在中，，，为的一条中线，为的一条高，则图中的等腰三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，因为为的一条中线，得，则都是等腰三角形，算出，，故是等腰直角三角形，即可作答． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵为的一条中线， ∴， ∴都是等腰三角形，， ∵为的一条高， ∴， ∴， 则， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴图中的等腰三角形共有3个， 故选：C 考点九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 25．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【解答】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 26．在等边所在平面上找这样一点P，使、、都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　） A．3 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． ①如图所示，当点P在三角形的内部时，点P到的三个顶点的距离相等；②如图所示，当P在的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可． 【解答】解：①当点P在三角形的内部时，点P是边、、的垂直平分线的交点，如图点． ②当P在三角形的外部时，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，与垂直平分线的交点有3个，如图，点，共9个． 综上，具有这样性质的点P共有10个． 故选：D． 27．如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【解答】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 考点十等腰三角形的性质和判定 28．如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，作关于的对称点，连接，得出，，根据得出，根据三角形的外角的性质得出，即可得出，根据等角对等边得出，进而求得的长． 【解答】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴ ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 29．如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断是等腰三角形，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而由全等性质得到，再由等腰三角形性质得到即可得到答案． 【解答】解：在中，，则, ， ，解得， ， 则， ， ， ， 在和中， ， ， 在等腰中，，，则由等腰三角形性质可得， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等的判定与性质是解决问题的关键． 30．如图，为内一点，连接，且平分，连接，延长交于点，若，则的长为（） A．4 B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，证明是等腰三角形，得到，由角平分线的性质得到，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：， 是等腰三角形， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 考点十一等边三角形的性质 31．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质是解答的关键．先根据等边三角形的性质得到，再根据含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【解答】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：D． 32．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为④正确． 【解答】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，②正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，①正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是上边的中线， ∴，③正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，④正确， 综上所述，①②③④都正确，正确的个数有4个， 故选D． 33．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等边三角形的三个内角都相等，三角形内角和定理是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算出，再根据平行线的性质得到即可解答． 【解答】解：如图：为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 考点十二等边三角形的判定 34．已知点在轴上，点在轴上，点在坐标轴上，且是等腰三角形．下列说法： ①若，则符合条件的点共有7个； ②若，则符合条件的点共有8个； ③若，则符合条件的点共有6个； ④若，则符合条件的点共有5个． 其中，正确的说法有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定，就分别考虑A、B、C为等腰三角形的顶点的情况即可． 【解答】解：①当时，以A为顶点的等腰三角形有3个，以B为顶点的等腰三角形有3个，以C为顶点的等腰三角形有1个，此时点C与原点O重合，共有7个，正确； ②当时，以A为顶点的等腰三角形有3个，以B为顶点的等腰三角形有3个，以C为顶点的等腰三角形有2个，此时点C在线段的垂直平分线上，它与x轴、y轴均相交，故共有8个，正确； ③当时，以A为顶点的等腰三角形有3个，以B为顶点的等腰三角形有2个，此时当点C在x轴负半轴上时，它与以A为顶点的等腰三角形是同一个三角形，以C为顶点的等腰三角形有1个，此时点C只能是线段的垂直平分线与y轴的交点，与x轴的交点与以A为顶点的等腰三角形重合，故共有6个，正确； ④当时，以A为顶点的等腰三角形有3个，以B为顶点的等腰三角形有2个，此时当点C在y轴负半轴上时，它与以A为顶点的等腰三角形是同一个三角形，以C为顶点的等腰三角形有1个，此时点C只能是线段的垂直平分线与x轴的交点，与y轴的交点与以A为顶点的等腰三角形重合，故共有6个，不正确； 故正确的有3个； 故选：C． 35．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件． 根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可． 【解答】解：①∵等腰三角形有一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 36．下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【解答】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 考点十三等边三角形的判定和性质 37．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（   ） A．4 B．6 C．4或12 D．6或12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．先求出，再分两种情况：①当点在上运动时，则要使钝角是等腰三角形，只能是，建立方程，解方程即可得；②当点在上运动时，此时要使是等腰三角形，相当于要使是等边三角形，只需，建立方程，解方程即可得． 【解答】解：∵， ∴． 由题意得：，， ①当点在上运动时，，此时是钝角三角形， 则要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∴； ②当点在上运动时，， ∵， ∴此时要使是等腰三角形，相当于要使是等边三角形， ∴只需， ∴， ∴； 综上，的值为4或12， 故选：C． 38．如图，边长为的等边中 ，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，连接，由，都是等边三角形，则有，，，证明，所以，从而可得，，点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，证明是等边三角形，从而可得，故有周长的最小值为，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是上中线， ∴，，， ∴，，点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值：， 故选：． 39．如图，在中，，，于D，E是线段AD上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时， ．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质可以判断①③正确，根据三角形的内角和是，结合角之间的关系判断②④即可． 【解答】解：，， 是等边三角形， ∵， ， 因此①正确； 连接，如图所示： ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 因此②正确； 是等边三角形， ， ， ，即， ， ， 因此③正确； 当时，， ， ， ， ， ， ， 因此④正确； 综上，正确的有①②③④． 故选：D． 考点十四大（小）边对大（小）角定理 40．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【解答】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 41．对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可． 【解答】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 42．如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．证出，根据全等三角形的性质可得，则可判断选项A正确；先根据平行线的性质可得，再根据，则可得，由此即可判断选项B错误；根据可得，由此即可判断选项C错误；根据，即可判断选项D错误． 【解答】解：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，则选项A正确； 由图可知，， ∴， 在中，， ∴， ∴，则选项B错误； 由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则选项C错误； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：A． 考点十五最短路径问题 43．如图，在正方形网格中，，两点均在直线上方，要在直线上求一点，使的值最小，则点应选在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键． 根据轴对称的性质作图即可求解． 【解答】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，则交直线于点， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点的位置应选在点处， 故选：C． 44．如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，由对称的性质，得，，，，，，推出的最小值是的长，再证明是等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：B． 45．如图，已知 中，，是的对称轴，交于D，E为上一定点，F为线段上一动点，当（    ）时，的值最小．    A．F是的中点 B．点E、F、B在同一直线上 C． D．． 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和的最小值问题，根据题意易得关于对称，进而得到，进而得到当点E、F、B在同一直线上时，的值最小为的长，即可． 【解答】解：连接，，    ∵是的对称轴， ∴， ∴， ∴点E、F、B在同一直线上时，的值最小为的长， 故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为人教版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题09 等腰三角形 （期末培优，15个高频易错考点训练共45题） 目录 考点一等边对等角 3 考点二三线合一  4 考点三根据等角对等边证明等腰三角形 5 考点四根据等角对等边证明边相等 6 考点五根据等角对等边求边长 7 考点六 含30度角的直角三角形 8 考点七格点图中画等腰三角形 9 考点八找出图中的等腰三角形 10 考点九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 12 考点十等腰三角形的性质和判定 13 考点十一等边三角形的性质 14 考点十二等边三角形的判定 15 考点十三等边三角形的判定和性质 16 考点十四大（小）边对大（小）角定理 18 考点十五最短路径问题 18 考点一等边对等角 1．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是等腰三角形，若底角，则顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 考点二三线合一  4．如图，在中，，，是的两条中线，M是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，在等腰中，，中线与角平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点三根据等角对等边证明等腰三角形 7．如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 8．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 考点四根据等角对等边证明边相等 10．如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，是边上的高，是边上的高，是，的交点，则下列结论：①图中共有6个直角三角形；②是钝角三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，中，，于D，BE平分，且于点E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 考点五根据等角对等边求边长 13．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，和的平分线交于点O，过O点作，交于E，交于F，若，则线段的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 考点六 含30度角的直角三角形 16．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，，是的平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（    ） A．6 B．10 C．12 D．18 18．将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．无法确定 考点七格点图中画等腰三角形 19．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 20．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 21．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 考点八找出图中的等腰三角形 22．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 23．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 24．如图，在中，，，为的一条中线，为的一条高，则图中的等腰三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 25．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 26．在等边所在平面上找这样一点P，使、、都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　） A．3 B．7 C．8 D．10 27．如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点十等腰三角形的性质和判定 28．如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．8 B．10 C．11 D．13 29．如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 30．如图，为内一点，连接，且平分，连接，延长交于点，若，则的长为（） A．4 B． C．5 D．7 考点十一等边三角形的性质 31．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 32．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 33．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点十二等边三角形的判定 34．已知点在轴上，点在轴上，点在坐标轴上，且是等腰三角形．下列说法： ①若，则符合条件的点共有7个； ②若，则符合条件的点共有8个； ③若，则符合条件的点共有6个； ④若，则符合条件的点共有5个． 其中，正确的说法有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 35．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 36．下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 考点十三等边三角形的判定和性质 37．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（   ） A．4 B．6 C．4或12 D．6或12 38．如图，边长为的等边中 ，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 39．如图，在中，，，于D，E是线段AD上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时， ．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 考点十四大（小）边对大（小）角定理 40．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 41．对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 42．如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 考点十五最短路径问题 43．如图，在正方形网格中，，两点均在直线上方，要在直线上求一点，使的值最小，则点应选在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 44．如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 45．如图，已知 中，，是的对称轴，交于D，E为上一定点，F为线段上一动点，当（    ）时，的值最小．    A．F是的中点 B．点E、F、B在同一直线上 C． D．． 学科网（北京）股份有限公司 $