期末复习02 三角形讲义(二)(知识梳理+题型精讲+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学三角形复习讲义通过知识点分层梳理与表格对比构建全等三角形知识体系，涵盖定义、性质、判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）及三角形稳定性，用表格区分SSA/AAA等易混判定，以规范解题步骤框架呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“判定定理专项突破+综合应用”的练习设计，如用HL证直角三角形全等题型培养推理意识，结合自行车三角架实例强化应用意识。每个题型配典例与跟踪专练，易错点提示助基础薄弱学生掌握方法，综合题型供优秀学生提升，为教师分层教学提供精准支持。

期末复习02 三角形讲义(二) 1. 用 SAS证明三角形全等 2. 全等的性质和SAS综合(SAS) 3 .用 ASA/AAS 判定三角形全等 4.三角形全等的性质与 ASA/AAS 判定的综合应用 5.用 SSS证明三角形全等 6 .三角形全等的性质与 SSS 判定的综合应用 7 .三角形的稳定性及其实际应用 8. 用 HL证全等(HL) 9. 全等的性质和HL综合(HL) 10. 补充条件判定三角形全等（全等判定综合) 11. 全等三角形综合问题（判定 + 性质）12. 全等三角形判定方法的灵活选用（判定综合） . 【知识点01】全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 1.对应元素 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2.核心特征 全等三角形的形状和大小完全相同，只是位置可能不同（可通过平移、旋转、翻折得到彼此）。 【知识点02】全等三角形的性质 1.基本性质 *对应边相等； *对应角相等。 2.衍生性质 *对应边上的高相等； *对应边上的中线相等； *对应角的角平分线相等； *两个三角形的周长相等、面积相等。 【知识点03】全等三角形的判定定理(重点) 1. SSS（边边边） 内容：三边分别相等的两个三角形全等。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中， ​ ∴△ABC≅△A′B′C′ (SSS) 适用场景：已知三角形的三条边，或能推导三边对应相等的情况。 注意：该定理无需考虑角的大小，是唯一不涉及角的判定方法。 2. SAS（边角边） 内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中， ​ ∴△ABC≅△A′B′C′ (SAS) 关键易错点：必须是两边的夹角，若为两边和其中一边的对角（SSA），不能判定三角形全等。 3. ASA（角边角） 内容：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中， ​​ ∴△ABC≅△A′B′C′(ASA) 适用场景：已知两角及夹边，或能转化为该条件的情况。 4. AAS（角角边） 内容：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中， ​ ∴△ABC≅△A′B′C′ (AAS) 本质：是 ASA 的推论，因为三角形内角和为180∘，已知两角相等则第三角必然相等。 5. HL（斜边、直角边） 适用范围：仅适用于直角三角形。 内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90∘， ∴Rt△ABC≅Rt△A′B′C′(HL) 注意：直角三角形也可使用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定，HL 是直角三角形特有的判定方法。 不能判定三角形全等的情况 SSA：两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等（可通过画图举例验证）。 AAA：三个角对应相等，两个三角形相似但不一定全等（形状相同，大小可能不同）。 【知识点04】三角形的稳定性 1.定义 当三角形的三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生变形，这个性质叫做三角形的稳定性。 2.原理 三角形稳定性的本质是基于全等三角形的SSS（边边边）判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。这意味着只要三角形的三边长度固定，就只能构成一种形状的三角形，无法通过拉伸或挤压改变其结构。 3.对比：四边形的不稳定性 四边形的四条边长度确定时，形状可以改变（比如拉动平行四边形的对角，会变成不同形状的平行四边形），这就是四边形的不稳定性。 4.实际应用 建筑领域：屋顶的三角形钢架、起重机的三角形吊臂、自行车的三角形车架。 日常生活：篮球架的支架、电线杆的拉线固定结构。 【知识点05】全等三角形判定的解题步骤(规范格式) 1.确定目标：明确要证明全等的两个三角形。 2.寻找条件：结合已知条件，挖掘图中的隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等）。 3.选择定理：根据找到的条件，匹配对应的判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）。 4.书写证明：按照 “先列条件，再写结论” 的格式，规范书写符号语言。 5.推导延伸：若需要，利用全等三角形的性质，得出对应边或对应角相等。 易错点与注意事项 1.运用 SAS 时，必须强调 “夹角”，避免误用成 “边边角”。 2.HL 定理仅限直角三角形，普通三角形不能使用。 3.证明全等时，三角形的对应顶点要按顺序书写（如△ABC≅△DEF，则A对应D，B对应E，C对应F）。 4.全等的条件必须是 “对应边、对应角相等”，非对应关系的条件无效。 题型1.用SAS证明三角形全等 【典例】如图，与相交于点O，且O是的中点，则与全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，，要使．若以“”为判定三角形全等的依据，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等．x的值为 ． 题型2.全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例】如图，在和中，，，，则下列结论错误的是（   ） A．与不全等 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，平分，，若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 题型3.用ASA/AAS判定给三角形全等 【典例】如图，，，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，的面积为垂直的平分线于点，则的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是 cm． 题型4.三角形全等的性质与ASA/AAS判定的综合应用 【典例】如图，，点D在边AC上，AE与BD相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（    ）    A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．边上的高 【跟踪专练2】如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 题型5.用SSS证明三角形全等 【典例】综合实践课上，小莹先画出了，然后用尺规按如下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E、F； ②以点F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； ③作射线． 她通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列条件中一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被_____遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（    ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是HL D．作出三角形Ⅲ的依据是SAS 题型6.三角形全等的性质与SSS判定的综合应用 【典例】木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正与等腰的顶点重合，，，将绕顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是 ． 题型7.三角形的稳定性及其实际应用 【典例】下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（   ） A．自行车的三角车架 B．用两颗钉子把木条固定在墙上 C．学校大门口的伸缩门 D．把弯曲的河道改直 【跟踪专练1】下列物体的某些结构都是三角形，其中没有运用三角形稳定性的是 ．（填物体名称） 【跟踪专练2】如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 题型8.用HL证全等(HL) 【典例】如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当 时，与全等． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则 ． 题型9.全等的性质和HL综合(HL) 【典例】如图，某小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知，点B，C，D，E在同一水平地面上，则的长为 m． 【跟踪专练1】晓晓在如图所示部分象棋棋盘（四个小正方形边长均相同）中画出了“马”从点可以行棋的路线和，则的度数为 °． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 题型10.补充条件判定三角形全等(全等判定综合) 【典例】如图，点B、F、C、E四点共线，，，添加一个条件 ，使得． .【跟踪专练1】如图，，，要使，只需要添加一个条件，这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在和中，若，则下列补充条件中不能判定全等的是(   ) A． B． C． D． 题型11.全等三角形综合问题(判定+性质) 【典例】如图所示是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练1】如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等． 题型12.全等三角性判定方法的灵活运用(判定综合) 【典例】如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【跟踪专练1】的6个元素如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中，和不全等的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．都不全等 【跟踪专练2】如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 1．下面图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 3．已知线段a，b，c，求作：，使，有下列作法：①连接就是所求作的三角形；②作射线，在射线上截取；③分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A，则以上作法的合理顺序为 . 4．有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是 （填序号）． 5．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点、、、在同一条直线上，，，要使，则需要再添加的一组条件不可以是（    ） A． B． C． D． 7．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点．下列判断正确的有 ． ①；②；③；④． 9．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 10．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 11．如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若，平分，且，，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴_______， 在和中， ， ∴（ ）， ∴，，（ ）， ∴四边形木架的周长为． 12．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 13．如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯（）的高度．他的方法如下：在路灯前选一点P，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子（）在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 14．数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习02 三角形讲义(二) 1. 用 SAS证明三角形全等 2. 全等的性质和SAS综合(SAS) 3 .用 ASA/AAS 判定三角形全等 4.三角形全等的性质与 ASA/AAS 判定的综合应用 5.用 SSS证明三角形全等 6 .三角形全等的性质与 SSS 判定的综合应用 7 .三角形的稳定性及其实际应用 8. 用 HL证全等(HL) 9. 全等的性质和HL综合(HL) 10. 补充条件判定三角形全等（全等判定综合) 11. 全等三角形综合问题（判定 + 性质）12. 全等三角形判定方法的灵活选用（判定综合） . 【知识点01】全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 1.对应元素 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2.核心特征 全等三角形的形状和大小完全相同，只是位置可能不同（可通过平移、旋转、翻折得到彼此）。 【知识点02】全等三角形的性质 1.基本性质 *对应边相等； *对应角相等。 2.衍生性质 *对应边上的高相等； *对应边上的中线相等； *对应角的角平分线相等； *两个三角形的周长相等、面积相等。 【知识点03】全等三角形的判定定理(重点) 1. SSS（边边边） 内容：三边分别相等的两个三角形全等。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中， ​ ∴△ABC≅△A′B′C′ (SSS) 适用场景：已知三角形的三条边，或能推导三边对应相等的情况。 注意：该定理无需考虑角的大小，是唯一不涉及角的判定方法。 2. SAS（边角边） 内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中， ​ ∴△ABC≅△A′B′C′ (SAS) 关键易错点：必须是两边的夹角，若为两边和其中一边的对角（SSA），不能判定三角形全等。 3. ASA（角边角） 内容：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中， ​​ ∴△ABC≅△A′B′C′(ASA) 适用场景：已知两角及夹边，或能转化为该条件的情况。 4. AAS（角角边） 内容：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中， ​ ∴△ABC≅△A′B′C′ (AAS) 本质：是 ASA 的推论，因为三角形内角和为180∘，已知两角相等则第三角必然相等。 5. HL（斜边、直角边） 适用范围：仅适用于直角三角形。 内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90∘， ∴Rt△ABC≅Rt△A′B′C′(HL) 注意：直角三角形也可使用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定，HL 是直角三角形特有的判定方法。 不能判定三角形全等的情况 SSA：两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等（可通过画图举例验证）。 AAA：三个角对应相等，两个三角形相似但不一定全等（形状相同，大小可能不同）。 【知识点04】三角形的稳定性 1.定义 当三角形的三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生变形，这个性质叫做三角形的稳定性。 2.原理 三角形稳定性的本质是基于全等三角形的SSS（边边边）判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。这意味着只要三角形的三边长度固定，就只能构成一种形状的三角形，无法通过拉伸或挤压改变其结构。 3.对比：四边形的不稳定性 四边形的四条边长度确定时，形状可以改变（比如拉动平行四边形的对角，会变成不同形状的平行四边形），这就是四边形的不稳定性。 4.实际应用 建筑领域：屋顶的三角形钢架、起重机的三角形吊臂、自行车的三角形车架。 日常生活：篮球架的支架、电线杆的拉线固定结构。 【知识点05】全等三角形判定的解题步骤(规范格式) 1.确定目标：明确要证明全等的两个三角形。 2.寻找条件：结合已知条件，挖掘图中的隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等）。 3.选择定理：根据找到的条件，匹配对应的判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）。 4.书写证明：按照 “先列条件，再写结论” 的格式，规范书写符号语言。 5.推导延伸：若需要，利用全等三角形的性质，得出对应边或对应角相等。 易错点与注意事项 1.运用 SAS 时，必须强调 “夹角”，避免误用成 “边边角”。 2.HL 定理仅限直角三角形，普通三角形不能使用。 3.证明全等时，三角形的对应顶点要按顺序书写（如△ABC≅△DEF，则A对应D，B对应E，C对应F）。 4.全等的条件必须是 “对应边、对应角相等”，非对应关系的条件无效。 题型1.用SAS证明三角形全等 【典例】如图，与相交于点O，且O是的中点，则与全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据中点得到，对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】解：由题意， 又∵， ∴； 故选A． 【跟踪专练1】如图，已知，，要使．若以“”为判定三角形全等的依据，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用证明两三角形全等需要知道两个三角形中的两条边及两条边的夹角对应相等，根据可证，已知，再增加条件即可用证明． 【详解】解：， ， ， 当时， 根据可证． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等．x的值为 ． 【答案】1或1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．根据全等三角形的判定得出两种情况，求出每种情况的值即可． 【详解】解：要使△与△全等，有两种情况： ①， 点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为， ； ②，， 时间为秒， 即， 所以的值是1或1.5， 故答案为：1或1.5． 题型2.全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例】如图，在和中，，，，则下列结论错误的是（   ） A．与不全等 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的 判定定理及性质，运用逻辑推理思想解题关键是准确判定三角形全等，易错点是对全等三角形对应角、对应边的判断失误，解题思路是通过角的关系推出全等条件，再根据全等性质分析各选项． 【详解】解：∵ ， ∴，即； ∵在和中 ∴ 选项 A：由 可证，该选项 “不全等” 的结论错误，符合题意； 选项 B：全等三角形对应边相等，故，结论正确，不符合题意； 选项 C：全等三角形对应角相等，故，结论正确，不符合题意； 选项 D：全等三角形对应角相等，故，结论正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，平分，，若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形面积计算；在上截取，连接，易得，得到，即可求出. 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：B. 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 题型3.用ASA/AAS判定给三角形全等 【典例】如图，，，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，的面积为垂直的平分线于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的中线与面积，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再根据的面积可得，由此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是 cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果 【详解】如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 故答案为：45． 题型4.三角形全等的性质与ASA/AAS判定的综合应用 【典例】如图，，点D在边AC上，AE与BD相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故选C. 【跟踪专练1】如图，中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（    ）    A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．边上的高 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，作，交的延长线于点，证明，进而得到，得到，进行判断即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，    则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故只需知道的长度即可得到的面积； 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，注意分类讨论． 分两种情况：当点在射线上时，当点在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动时间为； 当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴−−， ∴此时点运动时间为． 综上所述，点运动或时，． 故答案为：或． 题型5.用SSS证明三角形全等 【典例】综合实践课上，小莹先画出了，然后用尺规按如下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E、F； ②以点F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； ③作射线． 她通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定方法，根据作图步骤得到，结合，得到即可． 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴ ∴判定的依据是． 故选：A． 【跟踪专练1】下列条件中一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的几种方法是解题的关键； 在做此题时可画出图形，根据图形进行判断，切记判定方法的条件里必须有边． 根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】如图： A、没有边的参与，不能判定，故本选项不符合题意； B、根据SSA不能判定，故本选项不符合题意； C、由不能判定，对应顶点不相符，故本选项不符合题意； D、根据SSS能判定，故本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被_____遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（    ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是HL D．作出三角形Ⅲ的依据是SAS 【答案】B 【分析】本题是关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 题型6.三角形全等的性质与SSS判定的综合应用 【典例】木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据题意可得，，再根据定理可证，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格，全等三角形的判定与性质，连接，证明，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得：， 在和， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，正与等腰的顶点重合，，，将绕顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质以及角的运算，由已知条件可证得，从而得出，再由角与角的关系可得出结论． 【详解】解：由旋转的性质可知，等腰的形状不变，位置在变． ①当在内时，如图1所示． ∵为等边三角形，为等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②当在外时，如图2所示． 在和中， ， ∴， ∴． 综上可知：，的大小可以是． 故答案为：或． 题型7.三角形的稳定性及其实际应用 【典例】下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（   ） A．自行车的三角车架 B．用两颗钉子把木条固定在墙上 C．学校大门口的伸缩门 D．把弯曲的河道改直 【答案】A 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用． 根据三角形的稳定性逐一判断即可． 【详解】解：A． 自行车的三角车架应用了三角形的稳定性； B． 用两颗钉子把木条固定在墙上应用了两点确定一条直线； C． 学校大门口的伸缩门应用了四边形的不稳定性； D． 把弯曲的河道改直应用了两点之间线段最短； 故选：A． 【跟踪专练1】下列物体的某些结构都是三角形，其中没有运用三角形稳定性的是 ．（填物体名称） 【答案】警示牌 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：没有运用三角形稳定性的是警示牌； 故答案为：警示牌． 【跟踪专练2】如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性在生活中的应用，根据三角形的稳定性即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是三角形的稳定性， 故选：B． 题型8.用HL证全等(HL) 【典例】如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：依题意，在和中，， ∴ 故选：A． 【跟踪专练1】如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当 时，与全等． 【答案】3或4 【分析】本题考查证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，所以若使与全等，只需当时， 此时，或当时，此时，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 若使与全等， 只需①当时， 此时， ②当时，此时， 故答案为：3或4． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据可证． 【详解】解：，，， 在和中， ， 故答案为：． 题型9.全等的性质和HL综合(HL) 【典例】如图，某小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知，点B，C，D，E在同一水平地面上，则的长为 m． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 在和中， ， ． ， ， ， 两个滑梯底部的长度为． 故答案为： 【跟踪专练1】晓晓在如图所示部分象棋棋盘（四个小正方形边长均相同）中画出了“马”从点可以行棋的路线和，则的度数为 °． 【答案】180 【分析】本题考查网格证明全等三角形，利用全等可证，则，即可求解. 【详解】解：如图； 由题得，四个小正方形边长均相同 ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 故答案为：180. 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 证出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型10.补充条件判定三角形全等(全等判定综合) 【典例】如图，点B、F、C、E四点共线，，，添加一个条件 ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉三角形全等的判定定理内容是关键；由题意可得一边一角对应相等，再添加一角对应相等或一边（已知角的一条夹边）对应相等的条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， 若添加，则由判定；也可以添加条件：或； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，，，要使，只需要添加一个条件，这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，，添加时，根据判定，故不符合题意； B．，，添加时，根据判定，故不符合题意； C．，，添加时，不能由判定，故符合题意； D．，，添加时，根据判定，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】在和中，若，则下列补充条件中不能判定全等的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握等全等判定方法． 结合已知边角，依据三角形全等判定规则，判断补充条件是否符合判定要求，进而确定不可判定全等的选项． 【详解】解：A、，，， ，能判定全等，此选项不符合题意； B、，，， ，能判定全等，此选项不符合题意； C、，，，不能判定，此选项符合题意； D、，，， ，能判定全等，此选项不符合题意； 故选：C． 题型11.全等三角形综合问题(判定+性质) 【典例】如图所示是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据“画与有一条公共边且全等的格点三角形”条件进行分类讨论且作图，即可作答． 【详解】解：如图所示： 当与有一条公共边且全等的格点三角形时，即图中的和和 当与有一条公共边且全等的格点三角形时，即图中的； 但都在同一个格点上， ∴画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画4个， 故选：BB故选：b 【跟踪专练1】如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是合理的利用全等三角形的性质；先判断三角形全等，根据三角形的全等判断A和B正确，再运用三角形的内角和定理可以判断出D正确，无法判断出C正确，故得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故A正确； 又∵，， ∴， ∴，， 故B正确； ∵， 又∵，， ∴， 故D正确； 无法判断，∴无法判断， 故无法判断出C； 故选∶C． 【跟踪专练2】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等． 【答案】0，2，6，8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 综上所述，当点E运动0，2，6，8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等 故答案为：0，2，6，8． 题型12.全等三角性判定方法的灵活运用(判定综合) 【典例】如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以这块不行； 第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 【跟踪专练1】的6个元素如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中，和不全等的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．都不全等 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 由全等三角形的判定方法依次判定即可． 【详解】解：由“”可证图乙和全等， 由“”可证图丙和全等， 根据现有已知条件无法证明图甲和全等． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再利用全等三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 1．下面图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据几何图形的基本性质，三角形具有稳定性，而其他多边形不具备这一特性． 【详解】解：三角形是最稳定的几何图形，因为当三边长度确定时，其形状和大小唯一确定，无法变形．而四边形（如正方形）、五边形、六边形等边数超过3的多边形，在边长确定的情况下仍可能发生形变，因此不具备稳定性． 故选A． 2．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 3．已知线段a，b，c，求作：，使，有下列作法：①连接就是所求作的三角形；②作射线，在射线上截取；③分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A，则以上作法的合理顺序为 . 【答案】②③① 【分析】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可． 【详解】已知三条线段长，求作三角形，其作法是：先作出三角形一边，确定两个顶点，再分别以两个顶点为圆心，定长为半径画弧交于一点确定第三个顶点，作出另外两边，从而作出所求的三角形． 故题中作法合理的顺序为②③① 4．有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，对每个命题逐一进行分析判断即可． 【详解】命题①：等边三角形的三条边都相等，若两个等边三角形有一边相等，那么它们的三条边都相等。根据可判定这两个三角形全等，所以①正确； 命题②：的角可能是顶角，也可能是底角。当一个等腰三角形的顶角是，另一个等腰三角形的底角是时，两个三角形的形状不同，不全等，所以②错误； 命题③：可能是腰长，也可能是底长。当一个等腰三角形的腰长为，底长为；另一个等腰三角形的腰长为，底长为5时，两个三角形的三边长度不同，不全等，所以③错误； 命题④：三角形全等的判定定理中，都至少有一对边对应相等，所以④正确． 故答案为：①④． 5．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 6．如图，点、、、在同一条直线上，，，要使，则需要再添加的一组条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：添加， 那么， ∴， ∵，， ∴，故A不符合题意； 添加， ∵，，， ∴，故B不符合题意； 添加， ∵，，， ∴，故D不符合题意； 添加，不能证明； 故选：C． 7．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 8．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点．下列判断正确的有 ． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，则，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，则，从而可对进行判断． 本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ≌， ∴正确； ， ， ， ∴正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ， ∴错误； ≌， ， ， ， ， ， ∴正确． 故答案为：①②④． 9．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 10．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．延长到点E，使，连接，由可证，可得，由三角形三边关系可得． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若，平分，且，，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴_______， 在和中， ， ∴（ ）， ∴，，（ ）， ∴四边形木架的周长为． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，得，再根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的稳定性等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形木架加上木条后，四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形， 故答案为：三角形的稳定性； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，（全等三角形的对应边相等）， ∴四边形木架的周长为， 故答案为：，，，，，，全等三角形的对应边相等． 12．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明：与分别为边上的中线， ， ， ， 在和中， ， ． 13．如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯（）的高度．他的方法如下：在路灯前选一点P，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子（）在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 利用证明，得到，根据线段的和差关系求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵（） ∴（）． 答：路灯的高度为． 14．数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 【答案】(1)①是；② (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出线段相等是解题的关键． （1）①连接，证明和全等即可得出结论；②根据结合得出结论即可； （2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样； （3）同（1）得，由，可得． 【详解】（1）证明：①连接， ∵（已知）， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， 故答案为：是． ②又∵， ∴， 故答案为：． （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $