21.3实际问题与一元二次方程（动态几何问题）专项练习2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.3 实际问题与一元二次方程（动态几何问题）专项练习 一、单选题 1．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 2．在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（   ） A．3秒或5秒 B．5秒 C．3秒 D．8秒 3．如图，在中，，，．点从出发，以的速度向终点运动；同时，点从出发，以的速度向终点运动．后，的面积等于4，则的值为（     ） A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 4．如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 5．如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动　　秒时，的面积等于5cm2． A．1 B．3 C．3或5 D．1或5 6．如图，在中，，，，点P，Q分别从A，B两点出发沿方向向终点C匀速运动，其速度均为．设运动时间为ts，则当的面积是的面积的一半时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图所示，在中，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速移动，同时，点从点出发沿边以的速度向点匀速移动，当两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动当的面积为时，点运动的时间为（    ） A． B． C． D．1或 8．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 9．如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿向点运动，设点的运动路程为，的面积为，图②是关于的函数关系图象，则边的长为(   ) A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（   ） A．或 B． C． D． 二、填空题 11．如图，机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为 ．    12．如图，在中，，cm，cm，点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，其速度均为．设运动时间为，则当的面积是的面积的一半时，的值为 ． 13．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 14．如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，当的面积是？，长为多少 ． 15．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是 ． 三、解答题 16．如图，在直角中，，cm，cm．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动，设运动时间为t（秒）． (1)用t的代数式表示：_______，_______． (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． 17．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒． (1)用含t的式子表示：______，______，______； (2)当t为何值时，的面积等于． 18．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 19．如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 20．如图，在中,．动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以的速度向点C移动．（不考虑起始位置，且点P，Q不与点A，B重合） (1)P、Q两点出发后第几秒时,的面积为？ (2)的面积能否为？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.3 实际问题与一元二次方程（动态几何问题）专项练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A D B B C B B 1．A 【分析】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间． 【详解】解：设点运动的时间为，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当到达点时两点同时停止运动， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则，， 依题意得：， 解得：， ， ， ． 故答案为：C． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，由题意得，，，，然后根据的面积等于4列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，，， ∴， ∵的面积等于4 ∴，即 解得，． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得出，结合运动速度和运动方向得，根据三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设秒后的面积是面积的一半， 则， ∵点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为， ∴， 故， 即， ∴， 整理得 ∴ 解得或， 当时，则不符合题意； ∴秒后的面积是面积的一半， 故选：A． 5．D 【分析】由题意可得，，则利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设运动的时间为， 由题意得：，， ， 解得：，， 即当或时，的面积等于． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键． 6．B 【分析】设后，的面积是面积的一半，根据三角形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设后的面积是的面积的一半，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7．B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设的运动时间为，得到，根据的面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设的运动时间为，则：， 由题意，得：， 解得： ∵点运动到点所需时间为s，点运动到点需要， ∴， ∴； 故选B． 8．C 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 9．B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，矩形的性质，根据图形，分情况分析：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为，推出；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为，此时结合图象可知点运动路径长为，得到与的和为，构造关于的一元二方程可求解．解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 【详解】解：在矩形中，，当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为， ∴，， 当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为，此时结合图象可知点运动路径长为， ∴， ∴， 代入，得：， 解得：或， ∵， ∴． 故选：B． 10．B 【分析】本题已知了 、 的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 =速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：设秒后，的面积等于， 依题意得：， ∴， ∴，， 当时，，即不合题意，舍去． 所以10秒后，的面积等于． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP、PC、BQ、CQ关于时间x的代数式，再根据等量关系列出方程来求解． 11．1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵的面积为两机器人协作区域的面积的， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 故答案为：1或3． 12．2 【分析】本题考查了一元二次方程在几何问题中的应用，解题的关键在于根据三角形面积公式分别表示出和的面积，然后根据面积关系列出方程求解． 根据运动速度，可得，，则可表示与，再表示出和的面积，列式求解即可． 【详解】解：∵点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动， 且其速度均为，运动时间为， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积是的面积的一半， ∴， 整理可得， 解得，， ∵当时，点P运动路程为，不满足题意， ∴当的面积是的面积的一半时，的值为2． 故答案为：2 ． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，设运动时间为秒，由题意得：，，则，根据题意列出一元二次方程，解方程得出，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设运动时间为秒， ∵（秒）， ∴， 如图，连接， ， 由题意得：，， ∴， ∵的面积是，， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】根据题意设，则，在中，用含的式子表示出，根据两个小球的速度相等，时间相等，即可求解． 【详解】解：，，，设，则， 在中，， ∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等， ∴，则， ∴，解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根据数量关系列方程，解方程是解题的关键． 16．(1)，； (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用， （1）根据速度乘以时间求出点运动的距离即可； （2）经过t秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据的面积是的面积的一半，列出一元二次方程，化为一般式，再利用根的判别式可得结论． 【详解】（1）解：由题意知：，，则， 故答案为：，； （2）解：不能，理由如下： 设经过t秒，线段能将分成面积相等的两部分，即是 面积的一半， 由题意知：， ， ∵， ∴此方程无解， ∴线段不能将 分成面积相等的两部分． 17．(1)t；；． (2)2或4 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可。 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）根据三角形的面积公式，得， 即，整理，得． 解得，． 由题意可知，， 故当t的值为2或4时，的面积等于． 18．(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题通过动点的形式考查一元二次方程求解及利用判别式判定是否存在实数根； （1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求得时间； （2）根据题意列出一元二次方程，用判别式求解方程根的情况，即可说明是否存在． 【详解】（1）解：设后，的面积等于根据题意，得 解得，． 当时，不合题意，舍去， 答：后，的面积等于； （2）设后，的面积等于根据题意，得， ， ． 此方程无实数根， 的面积不能等于． 19．(1)经过4s或6s，的面积为24cm2 (2)不会，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设运动时间为t秒，则，，，根据题意得，解方程即可； （2）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得或， ∵当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止， ∴，即， ∴经过4s或6s，的面积为24cm2． （2）解：不会，理由如下： ， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 20．(1)1秒后，的面积等于 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了动点问题中的线段长度表示、直角三角形面积公式以及一元二次方程的解法与判别式的应用，解题的关键是用运动时间（单位：s）表示出的两条直角边长度，再结合面积公式建立方程，同时结合动点运动范围判断解的合理性． （1）先根据点P、Q的运动速度与时间，分别表示出直角边（cm）、（cm）；再利用的条件，结合三角形面积公式列出关于的一元二次方程；求解方程后，根据动点运动范围（即，即）舍去不合理解，得到符合条件的值． （2）同（1）的方法，根据面积为列出关于的一元二次方程；计算该方程的判别式，由判别式可知方程无实数根，进而判断不存在这样的时间，即的面积不能为． 【详解】（1）解：根据题意，知 设t秒后，的面积等于， 根据三角形的面积公式，得， ， ， 解得秒或秒（舍去）． 故1秒后，的面积等于； （2）解：根据三角形的面积公式，得， ， ， 故的面积不能等于 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $