2.1.2 分式的基本性质 课件-2025--2026学年湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）数学8年级上册 第2章 分式 2.1.2分式的基本性质 1. 理解并掌握分式的基本性质；（重点） 2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分.（难点） # 2.1.2 分式的基本性质（七年级数学课件+教案） ## 一、幻灯片分页内容（可直接复制制作PPT） ### 第1页：标题页 - 标题：2.1.2 分式的基本性质 - 副标题：——分式变形的核心依据 - 作者：XXX（教师姓名） - 班级：七年级（X）班 - 日期：XXXX年XX月XX日 ### 第2页：学习目标 1. 理解分式的基本性质，能准确表述性质的内容 2. 掌握利用分式基本性质进行分式变形（约分、通分）的方法 3. 能灵活运用分式基本性质解决字母取值、分式化简等问题 4. 体会类比思想（分数→分式）和转化思想在数学中的应用 ### 第3页：复习回顾 1. 分数的基本性质：分数的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变。用式子表示为：$\frac{a}{b} = \frac{a×c}{b×c} = \frac{a÷c}{b÷c}$（$c ≠ 0$） 2. 分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$为整式，$B$含字母且$B ≠ 0$）的式子叫做分式 3. 思考：分数有基本性质，分式是否也有类似的性质？（引出课题） ### 第4页：情境导入与性质推导 1. 观察下列分数的变形，思考依据是什么？ - $\frac{2}{3} = \frac{2×4}{3×4} = \frac{8}{12}$ - $\frac{12}{18} = \frac{12÷6}{18÷6} = \frac{2}{3}$（依据：分数的基本性质） 2. 类比迁移：分式$\frac{a}{b}$（$b ≠ 0$），若分子分母同乘一个不为0的整式$c$，分式的值是否改变？ - 举例：$\frac{1}{x} = \frac{1×2}{x×2} = \frac{2}{2x}$（$x ≠ 0$，$2 ≠ 0$） - $\frac{2a}{3b} = \frac{2a÷a}{3b÷a} = \frac{2}{3b/a}$（$a ≠ 0$，$b ≠ 0$） 3. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为： $\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}$，$\frac{A}{B} = \frac{A÷C}{B÷C}$（其中$A$、$B$、$C$是整式，且$B ≠ 0$，$C ≠ 0$） 4. 关键词：同乘（或除以）、不等于0的整式、值不变 ### 第5页：性质解读与注意事项 1. 核心条件：$C ≠ 0$（整式$C$不能为0，否则分母会变为0，分式无意义） 2. 变形对象：分子和分母同时变形，不能只变分子或只变分母 3. 变形依据：保持分式的值不变（仅形式改变，本质不变） 4. 拓展：$C$可以是单项式（如$2x$）、多项式（如$x + 1$），但需保证$C ≠ 0$ 5. 反例警示： - 错误：$\frac{x}{y} = \frac{x×0}{y×0}$（$C = 0$，无意义） - 错误：$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)×2}$（只变分母，值改变） ### 第6页：利用分式基本性质进行约分（重点） #### 1. 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 #### 2. 约分的步骤： 1. 找公因式：找出分子与分母的公因式（系数的最大公约数+相同字母的最低次幂+相同多项式的最低次幂） 2. 去公因式：分子与分母同时除以公因式，得到最简分式 #### 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（约分的最终目标） #### 4. 例题1：约分 $\frac{12a^2b^3}{18ab^2}$ - 步骤1：找公因式：系数12和18的最大公约数是6；相同字母$a$（最低次幂$a^1$）、$b$（最低次幂$b^2$）；公因式为$6ab^2$ - 步骤2：约分：$\frac{12a^2b^3 ÷ 6ab^2}{18ab^2 ÷ 6ab^2} = \frac{2ab}{3}$ - 结果：$\frac{2ab}{3}$（最简分式） #### 例题2：约分 $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ - 步骤1：因式分解：分子$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$；分母$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ - 步骤2：找公因式：$(x + 2)$ - 步骤3：约分：$\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} = \frac{x - 2}{x + 2}$（分子分母同时除以$(x + 2)$，$x ≠ -2$） ### 第7页：利用分式基本性质进行通分（重点） #### 1. 通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 #### 2. 通分的关键：确定几个分式的最简公分母 #### 3. 最简公分母的确定方法： 1. 取各分母系数的最小公倍数 2. 取各分母所有字母（或多项式）的最高次幂 3. 组合：将最小公倍数与最高次幂相乘，即为最简公分母 #### 4. 例题3：通分 $\frac{1}{2x^2y}$ 和 $\frac{3}{4xy^2}$ - 步骤1：找最简公分母：系数2和4的最小公倍数是4；字母$x$（最高次幂$x^2$）、$y$（最高次幂$y^2$）；最简公分母为$4x^2y^2$ - 步骤2：通分： - $\frac{1}{2x^2y} = \frac{1×2y}{2x^2y×2y} = \frac{2y}{4x^2y^2}$ - $\frac{3}{4xy^2} = \frac{3×x}{4xy^2×x} = \frac{3x}{4x^2y^2}$ #### 例题4：通分 $\frac{2}{x - 1}$ 和 $\frac{3}{x + 2}$ - 步骤1：找最简公分母：分母为多项式$(x - 1)$和$(x + 2)$，无公因式，最简公分母为$(x - 1)(x + 2)$ - 步骤2：通分： - $\frac{2}{x - 1} = \frac{2(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x + 4}{x^2 + x - 2}$ - $\frac{3}{x + 2} = \frac{3(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3x - 3}{x^2 + x - 2}$ ### 第8页：综合例题讲解 例5：先约分，再通分 $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$ 和 $\frac{x + 3}{x - 3}$ - 步骤1：对第一个分式约分： - 分子$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$；分母$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ - 约分后：$\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3}$ - 步骤2：通分：两个分式约分后为同一个分式，最简公分母为$(x - 3)$，通分结果均为$\frac{x + 3}{x - 3}$ 例6：已知分式$\frac{2x - 4}{x^2 - 4}$，（1）约分；（2）当$x$为何值时，约分后的分式有意义？ - 解：（1）约分：$\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2}{x + 2}$（$x ≠ 2$） - （2）约分后的分式$\frac{2}{x + 2}$有意义的条件：$x + 2 ≠ 0$ → $x ≠ -2$ - 注意：原分式有意义的条件是$x ≠ ±2$，约分后需结合原分式的取值限制 ### 第9页：易错点警示 1. 忽略$C ≠ 0$的条件：如$\frac{x}{x + 1} = \frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$，未注明$x ≠ 1$ 2. 约分不彻底：如$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 2)}$，未约去$(x + 2)$，应化为$\frac{x - 2}{x}$ 3. 最简公分母确定错误：如通分$\frac{1}{x^2 - 1}$和$\frac{1}{x - 1}$，误将最简公分母定为$x - 1$，正确应为$(x + 1)(x - 1)$ 4. 约分后忽略原分式的取值限制：如例6中，约分后分式有意义的条件是$x ≠ -2$，但原分式中$x ≠ 2$，需同时满足 ### 第10页：课堂练习（分层） #### 基础题（必做） 1. 填空： - $\frac{a}{b} = \frac{()}{bc}$（$c ≠ 0$）→ 答案：$ac$ - $\frac{x^2 + xy}{x^2} = \frac{x + y}{()}$ → 答案：$x$ 2. 约分： - （1）$\frac{15xy^2}{25x^2y}$ → 答案：$\frac{3y}{5x}$ - （2）$\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$ → 答案：$\frac{x + 4}{x - 4}$ 3. 通分： - （1）$\frac{1}{3x}$ 和 $\frac{1}{6x^2}$ → 答案：$\frac{2x}{6x^2}$，$\frac{1}{6x^2}$ - （2）$\frac{3}{x - 2}$ 和 $\frac{2}{2 - x}$ → 答案：$\frac{3}{x - 2}$，$\frac{-2}{x - 2}$（提示：$2 - x = -(x - 2)$） #### 提升题（选做） 1. 约分：$\frac{(x - y)^3}{(y - x)^2}$ → 答案：$x - y$（提示：$(y - x)^2 = (x - y)^2$） 2. 通分：$\frac{1}{x^2 - 4}$ 和 $\frac{x}{x^2 - 4x + 4}$ → 答案：$\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)^2}$，$\frac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)^2}$ 3. 已知$\frac{a}{b} = 2$，求$\frac{a^2 + ab}{b^2}$的值（提示：利用分式基本性质变形，答案：6） ### 第11页：课堂小结 1. 核心性质：分式的基本性质（同乘/除以不为0的整式，值不变） 2. 两大应用： - 约分：找公因式→约去→化为最简分式（分子分母无公因式） - 通分：找最简公分母→同乘变形→化为同分母分式 3. 关键技巧： - 约分前先因式分解（分子分母为多项式时） - 最简公分母：系数最小公倍数+字母/多项式最高次幂 4. 数学思想：类比思想（分数→分式）、转化思想（异分母→同分母） ### 第12页：布置作业 1. 基础题：课本习题2.1 第4、5、6题 2. 提升题： - （1）约分：$\frac{2x^2y - 4xy^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$ → 答案：$\frac{2xy}{x - 2y}$ - （2）通分：$\frac{x}{x^2 - 9}$ 和 $\frac{1}{x^2 + 6x + 9}$ → 答案：$\frac{x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)^2}$，$\frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)^2}$ 3. 思考题：若$\frac{x}{y} = 3$，求$\frac{x^2 + 2xy - 3y^2}{x^2 - xy + y^2}$的值（提示：分子分母同时除以$y^2$，答案：$\frac{12}{7}$） ### 第13页：结束页 - 感谢观看！ - 疑问解答：XXX（教师联系方式） ## 二、配套教案（详细教学过程） ### 课题：2.1.2 分式的基本性质 ### 教学目标： 1. 知识与技能：理解分式的基本性质，掌握分式约分、通分的定义和方法，能熟练进行分式的约分和通分，能解决与分式变形相关的综合问题 2. 过程与方法：通过类比分数的基本性质，探究分式的基本性质，培养学生的类比推理能力；通过约分、通分的练习，提升学生的因式分解能力和代数式变形能力 3. 情感态度与价值观：感受数学知识的内在联系，体会类比思想的实用性，激发学生的学习兴趣，培养严谨的思维习惯和主动探究的意识 ### 教学重难点： - 重点：分式的基本性质，分式的约分和通分方法 - 难点：最简公分母的确定（尤其是分母为多项式的情况），约分后分式有意义的条件限制 ### 教学准备： - 多媒体课件（上述幻灯片内容） - 课堂练习单（打印分层练习题） - 预习任务单（提前让学生复习分数的基本性质和因式分解） ### 教学过程： #### 一、复习导入（5分钟） 1. 回顾旧知： - 提问1：同学们，我们学过分数的基本性质，谁能说说它的内容？用式子怎么表示？（学生口答，教师板书分数的基本性质） - 提问2：什么是分式？分式有意义的条件是什么？（学生回答，巩固分式的定义和有意义的条件） 2. 类比引入： - 教师：分数有基本性质，能进行约分、通分等变形，分式作为分数的“代数推广”，是否也有类似的性质？今天我们就来学习分式的基本性质（板书课题） #### 二、探究新知（20分钟） ### （一）分式的基本性质推导与解读（7分钟） 1. 推导性质： - 出示课件第4页的分数变形例子，引导学生回忆分数基本性质的核心：“同乘/除以不为0的数，值不变” - 类比迁移：将分数中的“数”换成“整式”，引导学生猜想分式的基本性质 - 教师板书分式的基本性质，强调式子表示中的条件：$B ≠ 0$，$C ≠ 0$（整式$C$不能为0） 2. 性质解读： - 出示课件第5页的注意事项，逐一讲解： - 关键条件$C ≠ 0$：举例说明若$C = 0$，分式会无意义 - 变形要求：分子分母同时变形，不能单独变形 - 变形本质：值不变，仅形式改变 - 让学生判断反例的错误之处，强化对性质的理解 ### （二）分式的约分（6分钟） 1. 定义与步骤： - 教师：类比分数的约分，给出分式约分的定义：约去分子分母的公因式，化为最简分式 - 板书约分步骤：找公因式→约去公因式→得到最简分式 - 强调：分子分母为多项式时，需先因式分解，再找公因式 2. 例题讲解： - 出示例题1（$\frac{12a^2b^3}{18ab^2}$）：教师板书完整步骤，重点讲解公因式的寻找方法（系数最大公约数+相同字母最低次幂） - 出示例题2（$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$）：先引导学生因式分解分子分母，再找公因式$(x + 2)$，最后约分，强调最简分式的特征（分子分母无公因式） - 学生模仿练习：约分$\frac{9x^2y}{15xy^3}$（指名板演，教师纠错） ### （三）分式的通分（7分钟） 1. 定义与关键： - 给出通分的定义：将异分母分式化为同分母且与原分式相等的分式 - 强调通分的关键：确定最简公分母（类比分数的最小公倍数） 2. 最简公分母的确定方法： - 板书确定步骤：系数最小公倍数+字母/多项式最高次幂→组合 - 分情况讲解： - 分母为单项式（如例题3）：直接按步骤确定 - 分母为多项式（如例题4）：先因式分解，再取各因式的最高次幂 3. 例题讲解： - 出示例题3（$\frac{1}{2x^2y}$和$\frac{3}{4xy^2}$）：教师板书最简公分母的确定过程和通分步骤 - 出示例题4（$\frac{2}{x - 1}$和$\frac{3}{x + 2}$）：重点讲解分母为互异多项式时，最简公分母为它们的乘积，通分时分子需相应乘对方的分母 - 学生模仿练习：通分$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x + 1}$（指名板演，教师点评） #### 三、巩固练习（12分钟） 1. 基础题练习（8分钟）： - 出示课堂练习单上的基础题，让学生独立完成，教师巡视，重点关注： - 约分题中多项式的因式分解是否正确 - 通分题中最简公分母的确定是否准确（尤其是第3题中$2 - x$与$x - 2$的关系） - 集体订正：针对易错题目（如通分$\frac{3}{x - 2}$和$\frac{2}{2 - x}$）进行详细讲解，强调符号转化 2. 提升题练习（4分钟）： - 让学有余力的学生尝试完成提升题，鼓励小组合作讨论 - 指名分享解题思路（如第1题中$(y - x)^2$与$(x - y)^2$的关系，第3题中利用分式基本性质将分子分母同时除以$b^2$），教师补充讲解，拓展学生思维 #### 四、课堂小结（2分钟） 1. 学生自主总结： - 提问：今天我们学习了分式的什么性质？它有哪些应用？约分和通分的关键是什么？（让学生自由发言） 2. 教师梳理升华： - 核心内容：分式的基本性质（同乘/除以不为0的整式，值不变） - 两大应用：约分（化为最简分式）、通分（化为同分母分式） - 关键技巧：因式分解是约分和通分的基础，最简公分母的确定是通分的核心 - 注意事项：变形时需保证$C ≠ 0$，约分后需考虑原分式的取值限制 - 数学思想：类比思想（分数→分式）、转化思想（多项式→因式分解→单项式） #### 五、布置作业（1分钟） 1. 基础题：课本习题2.1第4、5、6题（巩固约分和通分的基本方法） 2. 提升题：约分和通分的综合题（强化因式分解与分式变形的结合） 3. 思考题：分式求值问题（引导学生利用分式基本性质进行整体代换，为后续分式的运算做铺垫） ### 板书设计： ``` 2.1.2 分式的基本性质 一、分式的基本性质 $\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C} = \frac{A÷C}{B÷C}$（$B ≠ 0$，$C ≠ 0$） - 核心：同乘/除以不为0的整式，值不变 二、约分 1. 定义：约去分子分母的公因式→最简分式 2. 步骤：因式分解→找公因式→约去 例1：$\frac{12a^2b^3}{18ab^2} = \frac{2ab}{3}$ 例2：$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{x - 2}{x + 2}$ 三、通分 1. 定义：异分母→同分母（值不变） 2. 关键：找最简公分母（系数最小公倍数+最高次幂） 例3：$\frac{1}{2x^2y}$和$\frac{3}{4xy^2}$→最简公分母$4x^2y^2$ 例4：$\frac{2}{x - 1}$和$\frac{3}{x + 2}$→最简公分母$(x - 1)(x + 2)$ 四、易错点 1. 忽略$C ≠ 0$ 2. 约分不彻底、通分公分母错误 3. 忽略原分式的取值限制 ``` 学习目标 分数的 基本性质 分数的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的数，分数的值不变. 2. 这些分数相等的依据是什么？ 1. 把 3 个苹果平均分给 6 个同学，每个同学得到几个 苹果？ 相等 情景导入 做一做：填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据. （1） （2） 8 9 9 1 分式的基本性质 1 依据：对于任意一个分数 有 探究新知 想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 从右到左看①式，可以发现：分式的分子与分母都乘同一个不为 0 的多项式，所得分式与原分式相等. 从左到右看①式，可以发现：分式的分子与分母都除以它们的一个不为 0 的公因式，所得分式与原分式相等. ① 对于分式 ，若 h 不为 0，则 探究新知 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式 (或除以它们的一个不为 0 的公因式)，所得分式与原分式相等. 知识要点 探究新知 思考 下列关于分式的等式是否成立？为什么? (1) ＝； (2) ＝； (1) 成立. 分式 的分子与分母都除以－1，根据分式的基本性质得 ＝， 即 ＝. (2) 成立. 分式 的分子与分母都乘－1，根据分式的基本性质得 ＝， 即 ＝. 探究新知 例1 填空： 看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化. 想一想：(1)中为什么不给出 x≠0，而(2)中却给出了 b≠0? 典例精析 探究新知 例2　根据分式的基本性质填空： 想一想：运用分式的基本性质应注意什么? (1)“都” (2)“同一个” (3)“不为 0” a2 - 1 x2 x - 3 探究新知 解：(1) 例3　不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. (1) (2) 探究新知 分式的约分 2 利用分式的基本性质填空，并说明理由. ＝. ＝ 想一想：联想分数的约分，由上例你能想出如何对分式进行约分吗？ 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的“公因式”. x－3 探究新知 　 像这样，利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分． 约分的定义 如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式.　 知识要点 探究新知 例4 把下列分式化成最简分式： 典例精析 (1) ； (2) . 分析：化成最简分式的方法是约分. 分析：若分子或分母是多项式，应先将其因式分解，然后找出分子与分母的公因式，最后约去公因式. = = 解：(1) (2) = = . 探究新知 约分的基本步骤 (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 归纳总结 探究新知 例5 当 x = 23，y = 17 时，求分式 的值. 解：由于分式 不是最简分式， 因此，可将其先化为最简分式，即 将 中 x，y 分别用 23，17 代入，则分式 的值为 因此，当 x = 23，y = 17 时，分式 的值为 . 探究新知 注意事项： （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式分子和分母的公因式； （3）约分是对分子，分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都要除以同一个因式. 归纳总结 探究新知 1. 下列各式中最简分式是( ) D A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 17 3. ［2025长沙开福区月考］如果把分式中的， 都扩大 为原来的10倍，那么分式的值( ) B A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 扩大为原来的10倍 【点拨】把分式中的和 都扩大为原来的10倍后可得 .所以分式的值缩小为原来的 . 返回 考试考法 18 4.如果成立，则 的取值范围是______. 5.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号： （1） ______; （2） ____; （3） ____; （4） ____. 返回 考试考法 19 6.不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数 化为整数，其结果为_ _______. 返回 考试考法 20 7.母题教材P28例4 当，时，求分式 的值. 【解】原式 ， 当，时，原式 . 返回 考试考法 21 8. 请从下列三个代数式中任选两个 （一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该 分式，然后请你自选一个合理的数代入求值. ，， . 【解】把作为分子， 作为分母，可得 ，当时，原式 . （答案不唯一） 返回 考试考法 22 9. 若把分式的， 同时扩大到原来的5倍，则分式的值 也扩大到原来的5倍，则“ ”可以是( ) B A. 5 B. C. D. 返回 考试考法 23 10. 如果一个分式的分子或分母可以因式 分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下 列分式中，是“和谐分式”的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 24 分式的 基本性质 分式的约分求值 先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分 课堂小结 谢谢观看！ $