培优01 乘法公式的应用（4种题型7重难点突破） （专项训练）数学人教版2024八年级上册

培优01 乘法公式的应用 题型1 直接利用乘法公式简便运算 某些数的乘法运算或平方运算，可以根据数的特征变形成乘法公式的结构，再利用乘法公式进行计算. 重难点一 直接利用乘法公式简便运算 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 3．（21-22八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）利用乘法公式能进行简便计算． (1) (2) 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）利用因式分解进行简便计算：． 重难点二 反复运用平方差公式简便运算 5．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）计算：． 6．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）到目前为止，我们学过的乘法公式有：，它们的灵活运用为我们的计算带来了方便．请你结合所学知识，选取合适的公式简便计算：． 7．（17-18七年级下·浙江宁波·期中）阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算 ． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ， 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)_________； (2)_________； (3)化简：． 8．（25-26八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）若，，求，的值； （2）若满足，试求的值． （3）阅读理解，若，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 题型2 对称式求值 重难点一 普通型 9．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． 求： (1)的值； (2)的值． 10．（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）按要求完成下列各题： (1)已知实数a，b满足，求的值； (2)已知，求的值． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 重难点二 倒数型 12．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 14．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）阅读材料：已知，求的值． 解：由得，，则有，由此可得，；所以，． 请理解上述材料后求： (1)已知，求分式的值； (2)已知，用的代数式表示的值． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)______；若，，则______； (2)已知，求的值； (3)如图，点、分别是正方形边、上的两点，，，分别以、的长作正方形、，若长方形的面积等于，求正方形、的面积之和． 题型3 完全平方式 16．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若是完全平方式，则常数m的值为 ． 17．（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 18．（24-25八年级下·江西上饶·期末）阅读并完成下列问题： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上； ___________；___________；___________ (2)观察以上三个多项式的系数： ；    ； 于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数一定存在某种关系，请你用数学式子表示之间的数量关系：_____________________． (3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 19．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）【探究题】 （1）【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：___________；___________；___________； （2）【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：； 【归纳猜想】若多项式是完全平方式，猜想：系数之间存在的关系式是什么？ （3）【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论； （4）【解决问题】若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值． 题型4 配方法的应用 重难点一 求最值 解题方法：给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方式，然后利用平方的非负性求最值. 20．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）探求多项式 的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式 ∵无论x取什么数，都有的值为非负数， 的最小值为0，此时． 的最小值是． 即当时，原多项式有最小值． 根据上面的解题思路，多项式 的最值情况为（   ） A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24 21．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵， 当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1； ∴的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ． 22．（21-22八年级上·甘肃天水·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ，，的最小值是． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）我们把多项式叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对其变形使之成为一个完全平方式，如：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．即把一个非完全平方式的多项式，通过变形成为一个完全平方式与一个单项式的和．这种方法是数学中一种重要的解题方法，通过这样的变形，可以解决数学中代数式的最大值、最小值的问题． 例：求代数式的最小值． 通过变形得到． 是非负数，， ， 的最小值为． 阅读上面的材料，回答下列问题： (1)填空：； (2)求多项式的最小值； (3)多项式是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由． 重难点二 利用配方法求不定方程 解题方法：通过配方法，把方程化为“平方+平方=0”的形式，那么，依据平方的非负性，每一个平方都必须为0，这样就可以得到2个方程，进而求出未知数了. 24．（22-23八年级下·全国·课后作业）不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 25．（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 26．（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 27．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式．那么的最小值是 ． 28．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于 ． 29．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 30．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)用配方法将多项式化成的形式． (2)求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 31．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 32．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 重难点三 配方法的其它应用 33．（江苏省宿迁市泗阳县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 34．（2025年安徽省六安市霍邱县中考一模数学试题）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 36．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）若，则 ．（填“>”、“<”或“=”）． 37．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 38．（21-22八年级下·山东淄博·期中）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（  ） A．6 B．9 C．2 D． 39．（20-21九年级·福建泉州·阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 乘法公式的应用 题型1 直接利用乘法公式简便运算 某些数的乘法运算或平方运算，可以根据数的特征变形成乘法公式的结构，再利用乘法公式进行计算. 重难点一 直接利用乘法公式简便运算 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)999991 (3)9409 (4) 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用； （1）运用平方差公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用乘法分配律和完全平方公式进行简便计算． （1）逆用乘法分配律进行简便计算； （2）利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．（21-22八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）利用乘法公式能进行简便计算． (1) (2) 【答案】(1)39975 (2)1 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式简便计算是解题的关键． （1）利用平方差公式简便计算即可； （2）利用平方差公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）利用因式分解进行简便计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的运算，整理得，再结合相关的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 重难点二 反复运用平方差公式简便运算 5．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】该题考查了平方差公式的运用，将原式变形后根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）到目前为止，我们学过的乘法公式有：，它们的灵活运用为我们的计算带来了方便．请你结合所学知识，选取合适的公式简便计算：． 【答案】 【分析】主要考查利用平方差公式简便运算，构造成平方差公式结构形式是解题的关键． 由平方差公式得，计算即可求解. 【详解】解： . 7．（17-18七年级下·浙江宁波·期中）阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算 ． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ， 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)_________； (2)_________； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，平方差公式，同底数幂的乘法： （1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果； （3）分与两种情况，化简得到结果即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ； （3）解：当时， 原式 ； 当时， 原式． 8．（25-26八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）若，，求，的值； （2）若满足，试求的值． （3）阅读理解，若，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）利用完全平方公式变形求值即可； （3）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 题型2 对称式求值 重难点一 普通型 9．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． 求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的变形运算，代数式求值，平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式，将化为，再将代入计算即可； （2）先计算的值，再根据平方根进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 答：的值为； （2）∵， ∴ ， ∴． 10．（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）按要求完成下列各题： (1)已知实数a，b满足，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用是解决问题的关键． （1）先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将转化为完全平方式和的形式，即可求值； （2）设，，得出，，则根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴． ∴，则， ∴． （2）解：设，， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查代数式的恒等变形能力，涉及完全平方公式的灵活运用，以及利用已知条件求代数式的值．通过已知的和，利用完全平方公式将所求代数式转化为已知条件的组合形式．例如：①可由得到；②可由得到；③需结合与的乘积关系求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：． （3）解：由（2）得，则． （4）解：∵， ∴． 重难点二 倒数型 12．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】，． 【分析】把已知条件两边同时平方，利用完全平方公式展开，然后整理即可得到的值，与求的值的过程同理可求的值． 【详解】解：∵， ∴ 即 整理得， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，利用x和互为倒数乘积是1是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）阅读材料：已知，求的值． 解：由得，，则有，由此可得，；所以，． 请理解上述材料后求： (1)已知，求分式的值； (2)已知，用的代数式表示的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式的变形应用；应用分式的运算与性质变形是关键． （1）根据阅读材料的计算方法与步骤进行计算即可； （2）根据阅读材料的计算方法与步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：由得，， 则有， 所以； 所以； （2）解：由得，， 则有， 所以； 所以； 15．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)______；若，，则______； (2)已知，求的值； (3)如图，点、分别是正方形边、上的两点，，，分别以、的长作正方形、，若长方形的面积等于，求正方形、的面积之和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式，仿照示例，把展开，代入相关数值，可得到结果； （2）由题意，得到，结合完全平方公式，可得，得到结果； （3）根据题意，结合图形，可得，，从而求得的值． 本题考查了完全平方公式的应用，涉及到规律的探究，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 若，， 则， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：设正方形的边长为， ，， ，， ， 长方形的面积等于， ， ， 正方形、的面积之和为． 题型3 完全平方式 16．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若是完全平方式，则常数m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：4． 17．（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴中间项，即． 当时，，，解得； 当时，，，解得． 故答案为：或． 18．（24-25八年级下·江西上饶·期末）阅读并完成下列问题： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上； ___________；___________；___________ (2)观察以上三个多项式的系数： ；    ； 于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数一定存在某种关系，请你用数学式子表示之间的数量关系：_____________________． (3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式、平方根，熟记完全平方公式，正确得出系数间的关系是解答的关键． （1）根据完全平方公式进行因式分解解答即可； （2）观察前几个多项式系数间的关系解答即可； （3）根据（2）中得出的系数关系得出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：；；； （2）解： ；    ；， ∴前几个多项式系数间的关系可得：， 故答案为： ； （3）解： 多项式 是一个完全平方式， ，即， 解得： ． 19．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）【探究题】 （1）【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：___________；___________；___________； （2）【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：； 【归纳猜想】若多项式是完全平方式，猜想：系数之间存在的关系式是什么？ （3）【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论； （4）【解决问题】若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式的综合应用、因式分解的应用、数字规律等知识点点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）利用完全平方公式进行分解因式即可； （2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想； （3）可用完全平方公式进行验证； （4）多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为，可得出，进而求出n的值即可． 【详解】解：（1）；；． 故答案为：． （2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：． 故答案为：． （3）验证结论：可用， 验证：∵， ∴． （4）∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴，即，解得：． 题型4 配方法的应用 重难点一 求最值 解题方法：给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方式，然后利用平方的非负性求最值. 20．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）探求多项式 的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式 ∵无论x取什么数，都有的值为非负数， 的最小值为0，此时． 的最小值是． 即当时，原多项式有最小值． 根据上面的解题思路，多项式 的最值情况为（   ） A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24 【答案】D 【分析】本题考查配方法及完全平方的非负性，根据题干中给定的方法，将转化为完全平方公式和一个数值的和的形式，根据非负性进行求解即可． 【详解】解：， 因为无论x取什么数，都有的值为非负数， 所以的最小值为0，此时， 所以有最大值为0， 所以的最大值是． 所以当时，原多项式的最大值是． 故选：D． 21．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵， 当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1； ∴的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ． 【答案】 3 大 6 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用；将化为，仿照已知，即可求解；会仿照已知进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 【详解】解： ， ∵ 当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是； ∴的最大值是． 故答案：，大，． 22．（21-22八年级上·甘肃天水·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ，，的最小值是． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）多项式配方后，可得，根据完全平方式恒大于等于，即可求出最小值． （2）多项式配方后，可得，根据完全平方式恒大于等于，可得，即可求出最大值． （3）根据题意列出关系式，配方后可得，根据完全平方式恒大于等于，可得，即可求出最大值以及此时的值． 【详解】（1）解：， ， ， 代数式的最小值是． （2）解：， ， ， 代数式的最大值是． （3）解：由题意，得花园的面积是， ， ， 代数式的最大值是，此时， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）我们把多项式叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对其变形使之成为一个完全平方式，如：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．即把一个非完全平方式的多项式，通过变形成为一个完全平方式与一个单项式的和．这种方法是数学中一种重要的解题方法，通过这样的变形，可以解决数学中代数式的最大值、最小值的问题． 例：求代数式的最小值． 通过变形得到． 是非负数，， ， 的最小值为． 阅读上面的材料，回答下列问题： (1)填空：； (2)求多项式的最小值； (3)多项式是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9，9，，9 (2) (3)存在，最大值为227 【分析】本题考查了完全平方公式和配方法． （1）根据材料中的方法，利用完全平方公式配方即可； （2）根据材料中的方法，先利用完全平方公式配方，进而可得答案； （3）根据材料中的方法，先利用完全平方公式配方，进而可得结论． 【详解】（1）解：， 故答案为：9，9，，9； （2）解：， ， ， 多项式的最小值是； （3）解：存在． ， ， ， ， 多项式存在最大值，最大值为227． 重难点二 利用配方法求不定方程 解题方法：通过配方法，把方程化为“平方+平方=0”的形式，那么，依据平方的非负性，每一个平方都必须为0，这样就可以得到2个方程，进而求出未知数了. 24．（22-23八年级下·全国·课后作业）不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 25．（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 26．（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【答案】B 【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【分析】解：∵，， ∴ ； ∴当时，有最小值； 当时，即：， ∴， ∴， ∴，即是非正数； 故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选B． 27．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式．那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把原式转化为，进而根据完全平方式是非负数即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 当且时，的最小值，最小值为， 故答案为：． 28．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程变形为，求出的值，再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 29．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．把方程配成关于的一元二次方程，利用根的判别式求得的值，再代入原方程求得的值，从而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵实数x满足， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 把代入原方程，得， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)用配方法将多项式化成的形式． (2)求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干的过程，进行模仿配方，即可作答． （2）把整理得，因为，则，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 31．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 32．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 重难点三 配方法的其它应用 33．（江苏省宿迁市泗阳县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 34．（2025年安徽省六安市霍邱县中考一模数学试题）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 35．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了代数式的知识，根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， ， ， ∴， 当时，原式取最小值为10， 故答案为：10． 36．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）若，则 ．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】先作差计算，再利用配方法判断结果的范围，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； ∵，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是代数式的值的大小比较，配方法的应用，熟练的利用配方法判断代数式的值的范围是解本题的关键． 37．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可． 【详解】解：，，， ， ， ，，， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法，解题的关键是掌握完全平方公式是解决问题的关键． 38．（21-22八年级下·山东淄博·期中）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（  ） A．6 B．9 C．2 D． 【答案】C 【分析】设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出x2-2px+p2=7，求出x2-2px+4=11-p2，再根据题意得出-2p=-6，a=11-p2，最后求出答案即可． 【详解】设印刷不清的数字是a， （x-p）2=7， x2-2px+p2=7， ∴x2-2px=7-p2， ∴x2-2px+4=11-p2， ∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式， ∴-2p=-6，a=11-p2， ∴p=3，a=11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p=-6是解此题的关键． 39．（20-21九年级·福建泉州·阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $