精品解析：四川省绵阳市三台中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

三台中学2023级高三上第三次月考卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由且，确定，再由交集运算即可求解. 【详解】且， 得到， 所以. 故选：D. 2. 对于平面内两个非零向量和，，和的夹角为锐角，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题的等价条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】设非零向量和的夹角为，则. 由，得，则，即，， ，，因此，是的必要不充分条件. 故选：C 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了向量夹角与数量积的关系，考查推理能力，属于基础题. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案. 【详解】由得， 故曲线在点处的切线斜率为，而， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：A 4. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 5. 设，为两个平面，m、n为两条直线且.以下为假命题的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则n平行于平面内的无数条直线 C. 若且，则 D. 若n在平面外，则m与n平行或异面或相交 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，若，则且或或，故A错误； 对于选项B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交， 则交线与直线平行，故B正确； 对选项C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线， 则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故C正确； 对于选项D，若n在平面外，则或与相交， 当则时，或异面， 当与相交时，相交或异面，故D正确； 故选：A. 6. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意结合圆锥的特征计算可得，，再由圆锥体积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，所以， 因为，所以，所以圆锥的高为， 则该圆锥的体积为， 故选：D. 7. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若是边长为1的正三角形，则 C. 若，，，则有一解 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】借助余弦函数的单调性和诱导公式可判定选项A；由数量积的定义计算可判定选项B；由正弦定理及三角形大边对大角可判断选项C；利用正弦定理边化角，利用二倍角化简可判断D. 【详解】对于A：若是锐角三角形，则，且， 即，则， 所以，故A正确； 对于B：由题设，故B错误； 对于C：若，，， 由正弦定理得，，即，故， 因为，所以，故为锐角或钝角，有两解，故C错误； 对于D：若，则， 即，因为，则，所以或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误； 故选：A. 8. 已知函数（且）为奇函数，若方程有两个不同的实数解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，取得，转化为有两个不同的实数解，令，得到在有两个不同的实数解，进而转化为和的图象有两个不同的交点，结合基本不等式，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，解得， 当时，函数，则， 所以，则，即， 因为方程有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则，可得， 即在有两个不同的实数解， 所以函数和的图象在上有两个不同的交点， 又因为，当且仅当时，即时，等号成立， 当时，，且时，， 画出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得， 即方程有两个不同的实数解，实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项.符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 当取得最大值时， D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直的坐标运算即可判断AB；利用辅助角公式可判断CD. 【详解】对于A， 若，则，所以，故A正确； 对于B， 若，则，所以，故B错误； 对于C，， 其中且，当取得最大值时， 则，所以 ， 故C正确； 对于D，， 其中且，当时，取得最大值为 ，此时，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线DP与直线所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等体积转化为求三棱锥可判断A选项；B选项过点作，转化为求直线与直线所成角；将侧面和侧面展开至同一平面可判断C选项；D选项作出截面，求截面面积. 【详解】，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，故 为定值，故A正确； 如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等，当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，故B正确； 如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，故C错误； 如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形， 其中上底，下底，腰为，则梯形高为，所以等腰梯形的面积为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是图象的一条对称轴 C. 是图象的一个对称中心 D. 在区间内单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据周期性的定义可判断A；根据对称性的定义判断BC；利用导数判断在区间内单调性，进而判断D. 【详解】对于A， ，所以不是的一个周期，故A错误； 对于B， ，所以是图象的一条对称轴，故B正确； 对于C， ，可得， 所以不是图象的一个对称中心，故C错误； 对于D， ， 当时，，此时，， 当时，，此时，， 当时，，此时，， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间内不单调递减，故D错误. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数满足，可得，则. 故答案为：. 13. 已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性可求出，然后利用基本不等式即可求出函数值域. 【详解】的图象关于直线对称，则，即，解得， ，当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 14. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示列式，结合正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换可得解； （2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理化简可得解. 小问1详解】 ，，且， 则， 在中，由正弦定理可得， ， 又在中，， 则， 所以，即， 又，所以，即， 又，则； 【小问2详解】 ，， 又， ，， 故的周长为. 16. 如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． （1）求中线AM的长； （2）求的余弦值； （3）求面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）运用重心的性质，结合面积公式可解. 【小问1详解】 因为为BC的中点，， ， . 【小问2详解】 因为 , ， . 【小问3详解】 为中线的交点，为重心， ， ，， . 17. 记为数列的前n项和.已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）根据裂项求和可得的表达式，进而利用单调性求解的取值，即可求解. 【小问1详解】 由可得， 当时，， 故， 化简可得， 由于，故，即常数， 因此为等差数列， 【小问2详解】 由（1）知为等差数列，且公差为， 又，，成等比数列，故，解得， 故， 故， 故， 单调递减，故单调递增，因此， 恒成立，故，解得， 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得，而，所以. 【小问2详解】 （i）由，得，， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii）由得，得，则， 因此，即， 当且仅当时取等号，则，， 所以当时，的面积取得最大值. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若数列满足，记为数列的前项和．证明：． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解， （2）根据题意可得，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为，构造函数，求导即可求解最值求解， （3）根据（2）的求解可得不等式和，即可根据，得，由累加法以及裂项求和即可求证. 【小问1详解】 当时，， 故当单调递减； 当单调递增． 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 由题意，． ①当时，在单调递减， 由，不合题意； ②当时，在单调递减，单调递增． 由恒成立，得． 即． 令， 恒成立， 所以在单调递减，且． 故当，符合题意， 当，不合题意． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 由， 得，且． 由（2）可知，令，有可得， 令可得即． 由得即． 两边取对数得，由上述不等式得 于是， 所以． 当时，，不等式成立； 当时， ．即当时，不等式成立． 综上，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学2023级高三上第三次月考卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于平面内两个非零向量和，，和的夹角为锐角，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 5. 设，为两个平面，m、n为两条直线且.以下为假命题的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则n平行于平面内的无数条直线 C. 若且，则 D. 若n在平面外，则m与n平行或异面或相交 6. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若是边长为1的正三角形，则 C. 若，，，则有一解 D. 若，则是等腰直角三角形 8. 已知函数（且）为奇函数，若方程有两个不同的实数解，则m的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项.符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 当取得最大值时， D. 的最大值为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线DP与直线所成角取值范围为 C. 的最小值为 D. P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 11. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 是一个周期 B. 是图象的一条对称轴 C. 是图象的一个对称中心 D. 在区间内单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_________. 13. 已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为_____. 14. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． （1）求中线AM长； （2）求的余弦值； （3）求面积． 17. 记为数列的前n项和.已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 18. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若数列满足，记为数列的前项和．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $