2026年中考数学备战专题练习 专题二十 相似与位似（寒假）

专题二十:相似与位似 一、单选题 1．如图，点分别在的边上，且，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可判定两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，通过已知的边长比例关系求解未知距离，熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键． 由正方形中，，证明，得，即，求出进而得解． 【详解】解：， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：C． 3．，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（    ） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是和的角平分线，且， ∴，，故①②正确； ④错误； ，故③错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4．如图，已知，若的长度为5，则的长度为（   ） A．10 B．12.5 C．7.5 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的长度为5， ∴， ∴． 故选：C 5．如图，在中，，以为边，在其右侧作正方形，分别交，于点E，I，以为边，在其下侧作正方形，已知，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、求锐角三角函数值、相似三角形的判定和性质等知识，由四边形、都是正方形得到，，设正方形的边长为a，根据解得，由求得，得到，再由勾股定理求出，即可求出. 【详解】解：∵四边形、都是正方形， ∴，， 设正方形的边长为a， ∴ ∵， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴, ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：C 6．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则． 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，， ，是的中位线， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：如图，延长到G，使，连接、，    在矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC， ， ∴m的最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题． 8．如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．设，，由勾股定理得出，判定，推出，由和分别为的高和角平分线推出，判定，推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和分别为的高和角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 二、填空题 11．如图，已知，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 13．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的A、B、C三个点都在横线上，若线段，则线段的长是 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出的长即可．熟练运用“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， 则， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 14．如图，，，，均为正方形网格的格点，线段和相交于点，则的值是 ．    【答案】4 【分析】先利用勾股定理得到，再利用网格的特点证明，则． 【详解】解：由题意得， 由网格的特点可知， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于点B、C，连接并延长交于点D，交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】作于点G，连接，，利用切线性质推出，推出得出为的中位线，进而推出，得到，，根据D的坐标得到，，利用圆周角定理的推论，推出，得到，即可求出B坐标． 【详解】解：如图，作于点G，连接，， 与y轴相切于点A， ， ， ， ， ， ， 即， 为的中位线， ， ，， ， ，， 点D的坐标为， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，中位线的判定与性质，关键是作辅助线构造全等三角形，相似三角形． 16．在矩形中，．将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点为点E，且在边上，如果，联结，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形．过G作于点H，根据旋转变换的性质得到，，根据解直角三角形求出，，证明，进而求得根据勾股定理便可求得． 【详解】解：过G作于点H， 由旋转变换的性质可知， ， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ， ， 故答案为：． 17．如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定，三角函数和勾股定理，过作于点，构造相似三角形，再通过性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】如图，过作于点， 在中，由勾股定理得： ∵与相似，，， ∴，即， ∴， 在中，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在正方形中，，点E为上一动点，交于点F，过点F作，交于H，连接交于点P，过H作于点G，下列结论：①，②的周长是7，③，④．其中正确的是 （写正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【分析】①过点作、、，可得四边形为正方形，四边形为矩形，得到，证得，即可求证； ②将顺时针旋转，得到，可证得，得到，即可求得的周长； ③连接，交于点，通过证明，得到，即可求证； ④由②可得，，，则，得到，即可求证． 【详解】解：①过点作、、， 由题意可得：四边形为矩形，四边形为矩形，， ∴， ∴ 在正方形中，，可得为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形为正方形，即 ∴， ∴， ∴；①正确； ②将顺时针旋转，得到， 则，， 由①可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 的周长 ∴②错误； ③连接，交于点， 由题意可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，③正确； ④由②可得，， ∴ ∴， 又∵， ∴，④正确， 综上，正确的选项是①③④ 故答案为：①③④ 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，解题的关键是熟练掌握相关性质，并作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形． 三、解答题 19．在平面直角坐标系内，的位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转得到，作出． (2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）分别连接并分别延长到点，使得，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）如图，即为所作． 【点睛】此题考查了旋转和位似图形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 20．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 21．如图，在中，，求的值．    【答案】/ 【分析】证明，根据相似三角形的性质求出．本题考查的是相似三角形的判定与性质，正确掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，是斜边上的高， ，， ， 又， ， ， ． 22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）及平面直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以点O为位似中心，在第四象限将放大2倍得到，并写出放大后、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可； （2）把、、点的坐标都乘以2得到、、的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图，△为所作； （2）如图，为所作，，，． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了旋转变换． 23．如图，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持． (1)若P在线段上，求证：； (2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，动点的函数关系式，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用两组对角相等可证； （2）分点P在线段上、在的延长线上两种情况，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ． （2）解：当点P在线段上时， ∵，，，、， ∴，， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，如图2， ∵，，，、， ∴，， ∴， 解得． 24．如图，为的切线，A为切点，过A作的垂线，垂足为点C交于点B，延长与交于点D，与的延长线交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可； （2）连接，证明，得到，设，则，，由，可求出的值． 【详解】（1） 解：证明：连接， 为的切线， ， ，于， ，， 在和中， ， ， 为的切线； （2） 连接， 是直径， 由（1）知 ， ， ， ∵， ， ， ∴， ，. ，设，则，． ，， ， ， ， ，即， ，． ，可设，，则． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 25．已知：如图①，为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为中点，连接．将向右平移，使点B与点C重合；将向下平移，使点A与点C重合，如图②． (1)设、、的面积分别为、、，则_______（用“、、”填空） (2)已知：如图③，，，设、、的面积分别为、、；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究） 【答案】(1) (2)结论成立，理由见解析 【分析】 （1）利用等边三角形的性质，证明，求出的面积，即可得到、、的面积，即可得出结论； （2）延长到使，延长到使，连接，证明是等边三角形，且面积为，再证明，，即可得出结论． 【详解】（1）解： D、E、F分别为中点，为边长为2的等边三角形， ， 、、都是边长为1的等边三角形， ， ， 、、的高等于高的， 、、的面积都等于面积的， 如图，设的高为h， ∵， ， ， ， ， 故答案为：； （2）结论成立 证明：延长到使， 延长到使，连接， 是等边三角形 在上取点，使 在和中，， ， 同理可证：， ， 由图形可知：， 即． 【点睛】本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大． 26．大胆联想，小心求证 【问题提出】 如图，在等腰的斜边及其延长线上分别选取点和点，使求证： 【问题解决】 (1)小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图，思路如下，请将他的思路补全 (2)思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边上的高CF，如图所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．（1）根据思路中的相似三角形和全等三角形的性质可直接得到答案； （2）思路1：作等腰的底边上的高，设，，通过等腰直角三角形的性质表示出，证明，可得，即，即，展开整理可得，从而即可证明； 思路：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使由圆周角定理及圆内接四边形性质导角证明，得，即再证明，得，即故只需证明又，故只要证明即可，最后通过证明，即可得到 【详解】（1）解：由题意可知①处补全为，②处补全， ③、④处分别为、； （2）思路1：证明： 作等腰的底边上的高，如图③所示： 则， ，， ， 设，， ， ，， ， ， ， ，即， 即，展开整理可得， 思路2：证明：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使 ， 是直径． 四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ， ，即 ，， ∽， ，即 ，， ，， ， ． ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ∴ ∴． 试卷第8页，共29页 试卷第9页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二十:相似与位似 一、单选题 1．如图，点分别在的边上，且，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 3．，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（    ） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知，若的长度为5，则的长度为（   ） A．10 B．12.5 C．7.5 D．15 5．如图，在中，，以为边，在其右侧作正方形，分别交，于点E，I，以为边，在其下侧作正方形，已知，则（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）    A．1 B． C．2 D．3 7．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知，且，若，则 ． 12．已知，那么的值是 ． 13．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的A、B、C三个点都在横线上，若线段，则线段的长是 ． 14．如图，，，，均为正方形网格的格点，线段和相交于点，则的值是 ．    15．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于点B、C，连接并延长交于点D，交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为，则点B的坐标为 ． 16．在矩形中，．将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点为点E，且在边上，如果，联结，那么的长为 ． 17．如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ． 18．如图，在正方形中，，点E为上一动点，交于点F，过点F作，交于H，连接交于点P，过H作于点G，下列结论：①，②的周长是7，③，④．其中正确的是 （写正确结论的序号）． 三、解答题 19．在平面直角坐标系内，的位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转得到，作出． (2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． 20．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 21．如图，在中，，求的值．    22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）及平面直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以点O为位似中心，在第四象限将放大2倍得到，并写出放大后、、的坐标． 23．如图，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持． (1)若P在线段上，求证：； (2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． 24．如图，为的切线，A为切点，过A作的垂线，垂足为点C交于点B，延长与交于点D，与的延长线交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，求． 25．已知：如图①，为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为中点，连接．将向右平移，使点B与点C重合；将向下平移，使点A与点C重合，如图②． (1)设、、的面积分别为、、，则_______（用“、、”填空） (2)已知：如图③，，，设、、的面积分别为、、；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究） 26．大胆联想，小心求证 【问题提出】 如图，在等腰的斜边及其延长线上分别选取点和点，使求证： 【问题解决】 (1)小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图，思路如下，请将他的思路补全 (2)思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边上的高CF，如图所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明． 试卷第4页，共8页 试卷第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $