期末复习01三角形讲义(一)(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学三角形复习讲义通过知识框架图与分类表格系统梳理核心内容，涵盖三角形概念、分类、三边关系、中线、高、面积计算及全等三角形等知识点，突出三边关系取值范围、中线分面积等重难点，清晰呈现知识内在逻辑与联系。 讲义亮点在于“典例+跟踪训练”的分层题型设计，如网格中用割补法求面积培养几何直观，全等三角形性质应用强化推理意识。基础题巩固概念，综合题提升应用能力，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供系统支持。

期末复习01三角形讲义(一) 1.三角形的识别及相关概念 2.三角形的构成条件 3.三角形第三边的取值范围确定 4.三角形三边关系的实际应用 5.利用三角形中线求线段长度 6.借助三角形中线计算面积 7.与三角形高相关的计算问题 8.利用网格图形求解三角形面积 9.图形全等的判定 10.全等三角形的性质 【知识点01】三角形的概念 1. 核心定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做三角形。 2. 基本元素 一个三角形包含 3 个顶点、3 条边、3 个内角： *顶点：三条线段的连接点（用字母表示，如△ABC 的顶点为 A、B、C）； *边：组成三角形的三条线段（对应顶点的对边可记为、、）； *内角：三条边围成的角（3 个内角的和为180∘）。 【知识点02】三角形的分类 一、按角的大小分类 根据三角形内角的度数，可分为 3 类： 锐角三角形：三个内角都是锐角（即每个角都小于90∘）。 直角三角形：有且只有一个内角是直角（等于90∘），其余两个角为锐角。 钝角三角形：有且只有一个内角是钝角（大于90∘且小于180∘），其余两个角为锐角。 二、按边的长度分类 根据三角形三边的长度关系，可分为 3 类： 不等边三角形：三条边的长度都不相等。 等腰三角形：至少有两条边的长度相等（相等的边叫 “腰”，第三条边叫 “底边”；两腰的夹角叫 “顶角”，腰与底边的夹角叫 “底角”）。 等边三角形：三条边的长度都相等（是特殊的等腰三角形，三个内角均为60∘）。 【知识点03】三角形的三边关系 1.基本关系 三角形任意两边之和大于第三边； 三角形任意两边之差小于第三边。 若三角形的三边长度分别为a、b、c，则可表示为：且 2.核心应用 判断三条线段能否构成三角形：只需验证较短两边之和是否大于最长边（此方法可简化计算，无需验证全部三组关系）。 求第三边的取值范围：已知三角形两边长为a、b（a>b），则第三边c的取值范围为：a−b<c<a+b 解决边长相关的实际问题：比如结合周长求边长的可能值、判断三角形的形状等。 【知识点04】三角形的中线 1. 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。 一个三角形有 3 条中线，这 3 条中线会交于三角形内部的一点，这个点叫做重心。 2.核心性质 *中线将三角形的对边分成两条长度相等的线段； *中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形； *重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（ 【知识点05】三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。一个三角形有 3 条高，它们的交点叫做垂心。 2.核心性质 *高与对应边（或延长线）的夹角为90∘； *高是计算三角形面积的关键元素（s=×底×高，底和高需一一对应）； *不同类型三角形的高的位置不同： 锐角三角形：3 条高都在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合，第三条高在三角形内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。 【知识点06】三角形的面积计算 1.基本公式 若已知三角形的底为a，这条底对应的高为h，则面积公式为：S=ah 关键注意点：底和高必须一一对应，即高是从底所对的顶点向底作的垂线段。 2.利用中线计算面积 三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形。 推导：中线平分对边，两个小三角形的底相等，且共用同一条高，因此面积相等。 应用：若已知中线分割后的小三角形面积，可直接求原三角形面积；反之亦然。 3.网格中计算面积（割补法） 当三角形画在方格纸（每个小方格边长为 1）上时，常用割补法计算面积： *割法：将三角形分割成几个易计算面积的图形（如直角三角形、矩形），再求和； *补法：将三角形补成一个矩形或正方形，用补成的图形面积减去周围多余的直角三角形面积。 4.特殊三角形的面积公式 *直角三角形：两条直角边可分别看作底和高，面积公式简化为S=ab（a、b为直角边长度）； *等边三角形：若边长为a，则高为a，面积公式为S=a2 【知识点07】全等三角形 图形全等的定义：能够完全重合的两个图形（形状、大小均相同）。 全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、对应线段（中线、高、角平分线）相等、面积相等。 题型1.三角形的识别及相关概念 【典例】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 【跟踪训练1】如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 【跟踪训练2】如图，图中共有 个三角形，其中以为一边的三角形有 ，以为一个内角的三角形有 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了三角形，主要利用了三角形的定义，三角形的角的对边，边的对角，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据三角形的定义分别解答即可． 【详解】解：图中有：共5个； 以为一边的三角形有：， 以为一内角的三角形是：． 故答案为：． 题型2三角形的构成条件 【典例】如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 【跟踪训练1】长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为 ． 【答案】16或17/17或16 【分析】本题考查三角形三边关系的运用，将四根木棍中的任意两根连接成一根，判断与另外两根能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得：5，6，，，不能组成三角形； ，11，16，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，，16，，能组成三角形，最长边长度为17； 6，11，，，不能组成三角形； 6，16，，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，11，，，不能组成三角形； 得到的三角形的最长边的长度为16或17． 故答案为：16或17． 【跟踪训练2】下列长度的3条线段能组成三角形的是（　　） A．1，1，1 B．1，1，2 C．1，2，3 D．2，5，2 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理逐一判断即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：A、，均成立，能组成三角形，故选项符合题意； B、，不能组成三角形，故选项不符合题意； C、，不能组成三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 题型3.三角形第三边的取值范围确定 【典例】已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，结合条件，得出c的取值范围． 【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即，解得． 又∵，即， ∴． 故选 A． 【跟踪训练1】已知点A，B，C，D在同一平面内，且，则的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，构建和，由三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：在中，由三角形三边关系可得，即，共线时取等号； 在中，由三角形三边关系可得，即，共线时取等号； 综上所述，可知， 结合点A，B，C，D在同一平面内，可得的长不可以是10． 故选：D． 【跟踪训练2】三角形的三条边分别为2，4，，则第三边长的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求得范围． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 题型4.三角形三边关系的实际应用 【典例】数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度不可取（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，第三边长度必须大于两边之差且小于两边之和求解． 【详解】解：设第三根木棒长度为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即． 只有A不在范围内． 故选：A． 【跟踪训练1】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（   ） A．2 B．3 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系．分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 观察四个选项，三角形第三边的长是3． 故选：B． 【跟踪训练2】如图，加油站A和商店B在马路的同一侧，点A到的距离大于点B到MN的距离，米．一个行人P在马路上行走，若点P到点A的距离与点P到点B的距离之差最大，这个差 （填“大于”“小于”或“等于”）1500米． 【答案】等于 【分析】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大．当、 、 构成三角形时，与的差小于第三边，所以、、在同一直线上时，与的差最大，算出这个最大值即可． 【详解】解：当、、三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形， ∵两边与的差小于第三边， 、、在同一直线上，到的距离与到的距离之差最大， ∵此时， ， ∴当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于1500米， 故答案为：等于． 题型5.利用三角形中线求线段长度 【典例】如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大4”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【跟踪训练1】是的中线，， ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形中线的定义，掌握这个知识点是解题的关键． 根据三角形中线的定义，中线连接顶点和对边中点，因此点D是的中点，等于的一半． 【详解】解：∵是的中线， ∴点D是边的中点． ∴． 故答案为6． 【跟踪训练2】如图，D、E是边的三等分点，则是三角形 的中线． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三角形中线的定义分别填空即可． 【详解】解：D、E是边的三等分点， ， 是三角形的中线． 故答案为：． 题型6.借助三角形中线计算面积 【典例】如图，在中，点是的中点，，若，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握中线平分三角形面积是解题的关键．求出的面积，再利用中线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪训练1】如图，是的中线，点E是边上一点，且满足，与交于点F，已知，则是（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线． 先根据三角形的中线、求得、，设，进而求得、，最后代入计算即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴． 故选：A． 【跟踪训练2】如图，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，根据中线平分三角形面积，可得，，然后求出的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点， ，， ∵平方厘米， ， ， ， 故答案为：． 题型7.与三角形相关的计算问题 【典例】如图，在中，若，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：A. 【跟踪训练1】如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 【答案】B 【分析】本题考查三角形相关知识解决问题，理解题意，将转化为三角形面积关系是解决问题的关键． 利用三角形面积关系，将转化为分析即可得到答案． 【详解】解：，，在中，， ， 的值固定不变，在点沿自点向点运动（点与点，不重合）过程中，的长度逐渐变小， 在点的运动过程中，的值逐渐变大， 故选：B． 【跟踪训练2】一个直角三角形的两直角边的和是21厘米，它们的比是，第三边长是15厘米，第三边上的高为 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高有关的计算题，先根据比例的性质求出两条直角边的长度，再求出三角形的面积，进而即可求出第三边上的高． 【详解】解：两条直角边分别为：（厘米）， （厘米）， 则这个三角形的面积为： （平方厘米）， 则第三边上的高为： （厘米）， 故答案为：7.2 题型8.利用网格图形求解三角形面积 【典例】如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，根据图中各部分之间的面积关系正确列式计算是解题的关键． 用整个网格的面积减去周围三个小三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：． 【跟踪训练1】如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键．根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：满足条件的点C的个数为6个，如图所示： ， ， 故选：B． 【跟踪训练2】如图，每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形的面积如果不小于1则称三角形为“离心三角形”，而如果该三角形的面积恰好等于1则称为“环绕三角形”．A、B是网格图形中的两个格点，点C是异于这两点的另一格点，且满足是“离心三角形”，那么是“环绕三角形”的有 个． 【答案】5 【分析】本题考查正方形格框中三角形面积的计算．根据题意找出使面积为1的点的个数即可得到答案． 【详解】如图， 当C取的点时，的面积均为， 当C取这5个格点时，的面积均为1， 当C取这些点时，的面积大于1， ∴是“环绕三角形”的有一共有5个， 故答案为：5． 题型9.图形全等的判定 【典例】下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等图形，掌握知识点是解题的关键． 根据全等图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．这两个图形不是全等图形，不符合题意； B． 这两个图形不是全等图形，不符合题意； C． 这两个图形不是全等图形，不符合题意； D． 这两个图形是全等图形，符合题意； 故选D． 【跟踪训练1】如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 【跟踪训练2】如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型10.全等三角形的性质 【典例】已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，，，，，则的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得，即得，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪训练2】如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意可得，，则，分两种情况：①当时，，；当时，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：或． 1．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 2．下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 3．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念．三角形的重心是三角形的三条中线的交点． 【详解】解：∵质地均匀的三角形木板的重心是其几何中心，即三条中线的交点； ∴悬挂在重心时，木板才能保持水平； ∵选项C为三条中线的交点； ∴挂钩应设在C处． 故选：C． 4．在中，，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形的概念，根据三角形边角关系，大边对大角，比较和的长度，对，对，，由，得，即可解答． 【详解】解：在中，，即， ∵对，对，根据大边对大角， ∴． 故答案为：． 5．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 6．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， 则，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 7．已知，，，且． （1）a，b，c的大小关系是 （用号连接）； （2）以a，b，c为边长的三角形 存在．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】 一定 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，有理数的大小比较， 对于（1），根据，可得，再根据，可得，则答案可得； 对于（2），分三种情况，根据任意两边之和大于第三边可得结论． 【详解】解：（1）由，知，则，所以 ； 又，由于，且，故，所以， 因此，的大小关系为； 故答案为：； （2）一定存在，理由如下： 以为边长构成三角形，需满足三角形三边关系定理： ：即，得，由于 ，该不等式恒成立； ：即，得，由于，该不等式恒成立； ：即，得，即，由已知条件该不等式恒成立． 因此，以 为边长的三角形一定存在． 故答案为：一定 8．已知、分别是的高和中线，若，则等于 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查的是三角形的中线和高，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分为锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据三角形的中线和高的概念解答即可． 【详解】解：如图1，，， ， 是的中线， ， 如图2，，， ， 是的中线， ， 故答案为：或． 9．从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为：． 10．如图，中，D是的中点，，交于F，，则的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 连接，，过点E作，交的延长线于点G，证明，，，即可． 【详解】解：连接，， ∵D是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：21． 11．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 12．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画三角形的高线，中线，与三角形的高有关的计算： （1）根据高线的定义，作高即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， ∵为中线， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴的对称图形及关于x轴的对称图形； (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查轴对称作图，在网格中计算三角形的面积 （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据割补法计算出的面积． 【详解】（1）解：如图，及即为所求． （2）解： 14．如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． (1)求证：． (2)若，，求边的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． （1）由全等三角形的性质可得，等式两边同时减去即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 在 中，， ，即． 15． 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． 【详解】证明：在和中， ， ，即， ． 16．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】(1)＝ (2) (3)2 (4)27 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01三角形讲义(一) 1.三角形的识别及相关概念 2.三角形的构成条件 3.三角形第三边的取值范围确定 4.三角形三边关系的实际应用 5.利用三角形中线求线段长度 6.借助三角形中线计算面积 7.与三角形高相关的计算问题 8.利用网格图形求解三角形面积 9.图形全等的判定 10.全等三角形的性质 【知识点01】三角形的概念 1. 核心定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做三角形。 2. 基本元素 一个三角形包含 3 个顶点、3 条边、3 个内角： *顶点：三条线段的连接点（用字母表示，如△ABC 的顶点为 A、B、C）； *边：组成三角形的三条线段（对应顶点的对边可记为、、）； *内角：三条边围成的角（3 个内角的和为180∘）。 【知识点02】三角形的分类 一、按角的大小分类 根据三角形内角的度数，可分为 3 类： 锐角三角形：三个内角都是锐角（即每个角都小于90∘）。 直角三角形：有且只有一个内角是直角（等于90∘），其余两个角为锐角。 钝角三角形：有且只有一个内角是钝角（大于90∘且小于180∘），其余两个角为锐角。 二、按边的长度分类 根据三角形三边的长度关系，可分为 3 类： 不等边三角形：三条边的长度都不相等。 等腰三角形：至少有两条边的长度相等（相等的边叫 “腰”，第三条边叫 “底边”；两腰的夹角叫 “顶角”，腰与底边的夹角叫 “底角”）。 等边三角形：三条边的长度都相等（是特殊的等腰三角形，三个内角均为60∘）。 【知识点03】三角形的三边关系 1.基本关系 三角形任意两边之和大于第三边； 三角形任意两边之差小于第三边。 若三角形的三边长度分别为a、b、c，则可表示为：且 2.核心应用 判断三条线段能否构成三角形：只需验证较短两边之和是否大于最长边（此方法可简化计算，无需验证全部三组关系）。 求第三边的取值范围：已知三角形两边长为a、b（a>b），则第三边c的取值范围为：a−b<c<a+b 解决边长相关的实际问题：比如结合周长求边长的可能值、判断三角形的形状等。 【知识点04】三角形的中线 1. 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。 一个三角形有 3 条中线，这 3 条中线会交于三角形内部的一点，这个点叫做重心。 2.核心性质 *中线将三角形的对边分成两条长度相等的线段； *中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形； *重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（ 【知识点05】三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。一个三角形有 3 条高，它们的交点叫做垂心。 2.核心性质 *高与对应边（或延长线）的夹角为90∘； *高是计算三角形面积的关键元素（s=×底×高，底和高需一一对应）； *不同类型三角形的高的位置不同： 锐角三角形：3 条高都在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合，第三条高在三角形内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。 【知识点06】三角形的面积计算 1.基本公式 若已知三角形的底为a，这条底对应的高为h，则面积公式为：S=ah 关键注意点：底和高必须一一对应，即高是从底所对的顶点向底作的垂线段。 2.利用中线计算面积 三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形。 推导：中线平分对边，两个小三角形的底相等，且共用同一条高，因此面积相等。 应用：若已知中线分割后的小三角形面积，可直接求原三角形面积；反之亦然。 3.网格中计算面积（割补法） 当三角形画在方格纸（每个小方格边长为 1）上时，常用割补法计算面积： *割法：将三角形分割成几个易计算面积的图形（如直角三角形、矩形），再求和； *补法：将三角形补成一个矩形或正方形，用补成的图形面积减去周围多余的直角三角形面积。 4.特殊三角形的面积公式 *直角三角形：两条直角边可分别看作底和高，面积公式简化为S=ab（a、b为直角边长度）； *等边三角形：若边长为a，则高为a，面积公式为S=a2 【知识点07】全等三角形 图形全等的定义：能够完全重合的两个图形（形状、大小均相同）。 全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、对应线段（中线、高、角平分线）相等、面积相等。 题型1.三角形的识别及相关概念 【典例】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【跟踪训练1】如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，图中共有 个三角形，其中以为一边的三角形有 ，以为一个内角的三角形有 ． 题型2三角形的构成条件 【典例】如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是 （填“甲”或“乙”）． 【跟踪训练1】长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为 ． 【跟踪训练2】下列长度的3条线段能组成三角形的是（　　） A．1，1，1 B．1，1，2 C．1，2，3 D．2，5，2 题型3.三角形第三边的取值范围确定 【典例】已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知点A，B，C，D在同一平面内，且，则的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 【跟踪训练2】三角形的三条边分别为2，4，，则第三边长的范围是 ． 题型4.三角形三边关系的实际应用 【典例】数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度不可取（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（   ） A．2 B．3 C．10 D．12 【跟踪训练2】如图，加油站A和商店B在马路的同一侧，点A到的距离大于点B到MN的距离，米．一个行人P在马路上行走，若点P到点A的距离与点P到点B的距离之差最大，这个差 （填“大于”“小于”或“等于”）1500米． 题型5.利用三角形中线求线段长度 【典例】如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【跟踪训练1】是的中线，， ． 【跟踪训练2】如图，D、E是边的三等分点，则是三角形 的中线． 题型6.借助三角形中线计算面积 【典例】如图，在中，点是的中点，，若，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪训练1】如图，是的中线，点E是边上一点，且满足，与交于点F，已知，则是（       ） A． B．2 C． D．3 【跟踪训练2】如图，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为 平方厘米． 题型7.与三角形相关的计算问题 【典例】如图，在中，若，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 【跟踪训练2】一个直角三角形的两直角边的和是21厘米，它们的比是，第三边长是15厘米，第三边上的高为 厘米． 题型8.利用网格图形求解三角形面积 【典例】如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【跟踪训练1】如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【跟踪训练2】如图，每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形的面积如果不小于1则称三角形为“离心三角形”，而如果该三角形的面积恰好等于1则称为“环绕三角形”．A、B是网格图形中的两个格点，点C是异于这两点的另一格点，且满足是“离心三角形”，那么是“环绕三角形”的有 个． 题型9.图形全等的判定 【典例】下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【跟踪训练2】如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 题型10.全等三角形的性质 【典例】已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，，，，，则的长度等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为 ． 1．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 2．下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 3．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 4．在中，，则 ．（填“”、“”或“”） 5．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，且． （1）a，b，c的大小关系是 （用号连接）； （2）以a，b，c为边长的三角形 存在．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 8．已知、分别是的高和中线，若，则等于 ． 9．从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 10．如图，中，D是的中点，，交于F，，则的值为 ． 11．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 12．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴的对称图形及关于x轴的对称图形； (2)求出的面积． 14．如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． (1)求证：． (2)若，，求边的取值范围． 15． 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 16．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $