12.2.5 斜边直角边 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 斜边直角边 数学华东师大版八年级上册 1.熟练并掌握判断两三角形全等的“HL”定理； 2.能正确应用“HL”定理证明两个三角形全等； 3.已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“HL”定理，体会“HL”的合理性； 4.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略． 学习目标 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ 根据“SAS”可测量其余两边与这两边的夹角. 根据“ASA”，“AAS”可测量对应一边和一锐角. 情境导入 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量． 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”. (2)如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?　 即：斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等. 你相信这个结论吗？本节课就让我们来验证这个结论. 情境导入 活动：探究直角三角形的判定HL 我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边边角”分别相等，那么不能保证这两个三角形全等. 思考：在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别相等时，也属于“边边角”相等的情况，这时这两个直角三角形是否全等呢? 为此我们以已知两条线段为直角三角形的直角边和斜边，作直角三角形，看看你和同伴所作的直角三角形是否全等. 探究新知 做一做：如图，已知线段a、b(b>a)，试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b. a b 作法：(1)作线段BC，使BC=a； (2)作∠CBM=90°； (3)以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； (4)连结AC. 如图 ，△ABC 即为所求作的三角形. 活动：探究直角三角形的判定HL B C A M 探究新知 思考：把你作的三角形与其他同学所作的三角形进行比较.它们能互相重合吗？ 互相重合 如果两个三角形互相重合，那么这两个三角形全等. 活动：探究直角三角形的判定HL B C A M 换两条线段，试试看，是否有同样的结论? 探究新知 我们有如下定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“HL”. 总结 活动：探究直角三角形的判定HL B C A A' C' B' 这是一个定理，以后会给出它的证明. 探究新知 如图，AC=BD，∠C=∠D=90°.求证：BC=AD. 分析：由于AD和BC分别属于△BAD和△ABC，所以只需证明这两个三角形全等即可. 证明：∵∠C=∠D=90°(已知)， ∴△ABC 和△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义) 在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵ AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴ BC=AD.(全等三角形的对应边相等) 注意 证明两边相等，可以通过全等三角形的对应边相等来解决. 教材 例题 A B D C 应用新知 如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF. 求证：BF=DE. 经典例题 A F C E D B 证明： ∵ BF⊥AC，DE⊥AC， ∴ ∠BFA=∠DEC=90°. ∵ AE=CF， ∴ AE+EF=CF+EF，即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD， AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴ BF=DE 注意 一定要注意HL只能用于证明直角三角形的全等. 应用新知 如图，点E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC=BE，AB=DE． 求证：CE=BD-AC． 证明： ∵AC⊥CB，DB⊥BC，∴∠C=∠DBC=90°， ∴△ABC和△EDB都是直角三角形 在Rt△ABC和Rt△EDB中， AC=EB，AB=ED. ∴Rt△ABC≌Rt△EDB(HL). ∴BC=BD ∴CE=BC-BE=BD-AC. 分析：求线段之间的数量关系，关键是找到等量的线段进行替换. 应用新知 教材 练习 证明：∵ 点D为BC的中点，∴ BD=CD ∵ DE⊥AB，DF⊥AC ∴ ∠BED=∠CFD=90°， 即：△BED和△CFD都是直角三角形 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵ BD=CD(斜边)，DE=DF(直角边)， ∴ Rt△BED ≌Rt△CFD(HL). 1.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，DE=DF.求证：Rt△BED≌Rt△CFD. A B C E F D 课堂练习 2.如图，AC=AD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=BD. A B C D 证明：∵∠C=∠D=90° ∴△ABD和△ABC都是直角三角形 在Rt△ABC和Rt△ABD中， ∵ AB=AB(斜边)，AC=AD(直角边)， ∴ Rt△ABC ≌Rt△ABD(HL). ∴BC=BD. 教材 练习 课堂练习 3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，这两个滑梯的倾斜角∠B与∠F的大小有什么关系？说说你的想法和理由. 解：∠B与∠F互余，即∠B +∠F = 90°. 理由：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， BC = EF(滑梯长度相同)，AC = DF(已知)， 根据 “HL”，可得 Rt△ABC≌ Rt△DEF.所以∠B = ∠DEF. 又因为在 Rt△DEF中，∠DEF +∠F = 90°， 所以∠B + ∠F = 90°. 教材 练习 课堂练习 4.如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等， 还需要补充的条件是 (写出一个即可). 答案： AB=AD 或 BC=DC 或 ∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD C A B D 注意 直角三角形不是只能用HL证明全等，但HL只能用于证明直角三角形的全等. 应用新知 证明： (1)∵ BE=CF，∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵∠A=∠D=90°，∴△ABF和△DCE都是直角三角形 在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CE，AB=DC. ∴ Rt△ABF≌Rt△DCE (HL) ∴ ∠AFB=∠DEC ∵∠BED+∠DEC=180°，∠CFA+∠AFB=180° ∴ ∠BED=∠CFA. 5.如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：∠BED=∠CFA 应用新知 证明： (1)∵ AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°， ∴ △BDF和△ADC都是直角三角形 在Rt△BDF和Rt△ADC中， BF=AC，DF=DC. ∴ Rt△BDF≌Rt△ADC (HL) 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC．求证：(1)△BDF≌△ADC； (2)若AF=2，FD=3，求△ABC的面积． 课堂练习 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC．求证：(1)△BDF≌△ADC； (2)若AF=2，FD=3，求△ABC的面积． 课堂练习 定理 如图，在△ABC与△A'B'C'中， 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边直角边”或“HL.”. 三角形全等的判定 所以△ABC≌△A'B'C'(HL). AB=A'B'， AC=A'C'， 总结归纳 $