专题十三：特殊的平行四边形之矩形 2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题十三:特殊的平行四边形之矩形 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形纸片上进行如下操作： 第一步：剪去长方形纸条； 第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条． 若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 5．如图，矩形，，，以对角线的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；再分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，直线交于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 6．如图，在中，点E为边的中点，按以下步骤作图：（1）以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交于M、N两点；（2）分别以M、N两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；（3）作射线交于点F，连接． 则有：①；②；③；④． 在上面四个结论中，正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，等腰直角三角形的直角顶点B在矩形的边上，连接交于点G．若，，G为的中点，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 8．用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③正方形，④等腰三角形，⑤等边三角形，一定能拼成的图形是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．②④⑤ 9．如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 度． 12．如图，在矩形中，，，点E是对角线上的一个动点，连接，点F在线段上，连接、，若，则的最小值为 ． 13．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为 ． 14．如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为 （结果保留根号）． 15．将矩形纸片按图所示方式折叠，分别为的中点，点的对应点恰好落在上．若，则的长为 ，折痕长为 ． 17．如图，矩形中，E为的中点，F在上，平分，若，，则线段的长为 ． 18．如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上，折痕的两端分别在、上（含端点），且cm， cm，则折痕的最大值是 ．    三、解答题 19．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段； 求作：矩形，使． 20．如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 21．如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的值． 22．如图，中，对角线、交于点，在上截取． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 23．如图，在矩形中，点E在边上，延长于点F使，连接、、，于点O，求证：四边形是菱形．    24．如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 25．如图，是矩形的对角线． (1)用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，； (2)在（1）条件下，若，求的长． 试卷第4页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十三:特殊的平行四边形之矩形 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意； D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键． 2．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 3．如图，在正方形纸片上进行如下操作： 第一步：剪去长方形纸条； 第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条． 若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质和矩形的性质．设正方形的边长为，则根据题意得到数据：，，结合矩形的面积公式和已知条件“长方形纸条和的面积相等”列出方程并解答． 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意，得． 解得． 故选：A． 4．如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地画出将完全展开后的图形是解题的关键． 将完全展开后得到四边形，由，，证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将完全展开后得到四边形， 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 5．如图，矩形，，，以对角线的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；再分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，直线交于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由条件得到垂直平分，根据三角函数可求出的长，进而求解． 【详解】解：由题意知，，， ∴垂直平分， 即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C ． 6．如图，在中，点E为边的中点，按以下步骤作图：（1）以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交于M、N两点；（2）分别以M、N两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；（3）作射线交于点F，连接． 则有：①；②；③；④． 在上面四个结论中，正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质结合矩形和菱形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：由作图可知直线是线段的垂直平分线， ∴，故①正确； ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，故③正确； 如图，当四边形为矩形时， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，故②错误； 如图，当四边形为菱形时， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的个数为2个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，以及特殊平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7．如图，等腰直角三角形的直角顶点B在矩形的边上，连接交于点G．若，，G为的中点，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用矩形的性质得到，，利用等腰直角三角形的性质得到，，，通过证明得到，代入数据解得，即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 为的中点， ， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， 解得：， ． 故选：A． 8．用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③正方形，④等腰三角形，⑤等边三角形，一定能拼成的图形是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，矩形，正方形，等腰三角形，等边三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 根据两个完全相同的直角三角形的性质，即特殊四边形的判定和性质即可求解． 【详解】解：用任意两个完全相同的直角三角形都可以拼成平行四边形，矩形和等腰三角形，但并不一定能拼得出正方形和等边三角形， 故一定能拼成的是：①平行四边形；②矩形；④等腰三角形； 故选：． 9．如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，与相交于点，由折叠的性质得，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，根据勾股定理求出的长度，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，与相交于点，    由折叠可知，垂直平分，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 二、填空题 11．在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 度． 【答案】45或135/135或45 【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义得出，再分两种情况：①当的平分线交线段于点E，②当的平分线交线段外于点E，分别求解即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， 由题意可分：①当的平分线交线段于点E， ； ②当的平分线交线段外于点E， ； 综上所述： 或45°， 故答案为：45或135． 【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，分情况讨论是解题的关键． 12．如图，在矩形中，，，点E是对角线上的一个动点，连接，点F在线段上，连接、，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练运用各性质是解题的关键． 根据矩形的性质得，取的中点G，连接、，得到，再根据当A、F、G三点共线时，最小，即可解答． 【详解】由题意可得，， 则， ． 取的中点G，连接、， 可得，． 在中，， 当A、F、G三点共线时，最小， 此时，即， 的最小值为2． 故答案为：2． 13．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，过点A作于E，取中点F，连接，根据矩形和平行四边形面积公式可推出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则可证明是等边三角形，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E，取中点F，连接， ∴， ∵，且的面积是矩形的面积的一半， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小内角的大小为， 故答案为；． 14．如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于E，则四边形是矩形，，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴铁塔的高度为 故答案为： 15．将矩形纸片按图所示方式折叠，分别为的中点，点的对应点恰好落在上．若，则的长为 ，折痕长为 ． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分，得，由矩形的性质得，，因为M、N分别为、的中点，所以，，可证明四边形是矩形，垂直平分，则，所以，，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 由折叠得，点与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5，． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． 17．如图，矩形中，E为的中点，F在上，平分，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长、交于点，根据题意利用证明，得出，，再根据等腰三角形的判定求出，设，根据长的两种求法建立方程求解，则可求出，再根据勾股定理求出，然后求出，则可在中，根据勾股定理求出长，从而求出长． 【详解】解：如图，延长、交于点， 是的中点， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 是的角平分线． ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得， ， ， ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到． 18．如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上，折痕的两端分别在、上（含端点），且cm， cm，则折痕的最大值是 ．    【答案】8cm 【分析】①如图，点F与点C重合时，折痕最大，由翻折的性质得， cm，根据勾股定理，中， 6cm，cm，设，Rt，，解得，Rt中， cm． ②当E与A重合时，四边形是正方形， cm，所以的最大值为． 故答案为：cm． 【详解】①如图，点F与点C重合时，折痕最大，    由翻折的性质得， cm， 在中， 6cm， ∴cm， 设cm，则cm 在中，， 即， 解得， 在中， cm． ②当E与A重合时，四边形是正方形， cm，    ， ∴的最大值为 故答案为：cm． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，运用轴对称的性质确定线段间数量关系是解题的关键. 三、解答题 19．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段； 求作：矩形，使． 【答案】作图见详解 【分析】根据矩形的性质运用尺规作图即可． 【详解】解：（1）画射线，在上截取，即以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点； （2）分别以点为圆心，以为半径，画弧，交于点，连接，以点为端点，在上取， （3）分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，可得矩形， 如图所示，即为所求图形． ∴矩形即为所求图形． 【点睛】本题主要考查尺规作图，线段的垂直平分线的作图，矩形的作图，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 20．如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而推出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形； 21．如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形是性质以及矩形的判定与性质． （1）先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形． （2）先求得，根据四边形是矩形，根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又菱形， ， ． 四边形是矩形． （2），，， ，，， 四边形是矩形， ，． ． 22．如图，中，对角线、交于点，在上截取． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形是矩形； （2）先证明四边形是正方形，得到，即可证明四边形是菱形，则由菱形的性质可得平分． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，； ∴四边形是矩形； （2）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键． 23．如图，在矩形中，点E在边上，延长于点F使，连接、、，于点O，求证：四边形是菱形．    【答案】证明见解析 【分析】先证明，可得，，证明，可得四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形. 【详解】证明：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定，熟记菱形的判定是解本题的关键. 24．如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论． （2）根据四边形是平行四边形，得，，再根据，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，设与交于点．如图所示： 四边形是平行四边形， ，， 又， ． 四边形是平行四边形． （2）证明：由(1）知：四边形是平行四边形， ，， ∵ ∴ ∴四边形是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题时要注意选择适宜的判定方法． 25．如图，是矩形的对角线． (1)用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，； (2)在（1）条件下，若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点形成的直线，即为所求； （2）勾股定理求出的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 试卷第14页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $