专题09 特殊平行四边形中的七类最值问题（7大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题09 特殊平行四边形中的七类最值问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一 特殊平行四边形中的将军饮马问题 题型二 特殊平行四边形中的将军遛马（过桥）问题 题型三 特殊平行四边形中的逆等线问题 题型四 特殊平行四边形中的费马点问题 题型五 特殊平行四边形中的胡不归问题 题型六 特殊平行四边形中的瓜豆问题（直线轨迹） 题型七 特殊平行四边形中的其他最值问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 特殊平行四边形中的将军饮马问题 ⭐技巧积累与运用 在解决将军饮马模型涉及的基本方法：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”或“两点之间线段最短”等。 1．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    2..（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ．    3．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 5．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    6．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 特殊平行四边形中的将军遛马（过桥）问题 ⭐技巧积累与运用 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！ 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，菱形是无锡某乐园主题区域的平面示意图，分别是该区域的四个入口，两条主干道交于点．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为 万元． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 特殊平行四边形中的逆等线问题 ⭐技巧积累与运用 逆等线模型特点：双动点，动线段长度相等，并且位置错开。 解决逆等线问题的一般思路——拼接构造（也是凭空构造的一种，一般没见过的不太好想）。 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．    4．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别为上的点，，则的最小值为 ． 特殊平行四边形中的费马点问题 ⭐技巧积累与运用 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 特殊平行四边形中的胡不归问题 ⭐技巧积累与运用 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 1．（23-24九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．    2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 特殊平行四边形中的瓜豆问题 ⭐技巧积累与运用 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 4．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 特殊平行四边形中的其他最值问题 ⭐技巧积累与运用 本题型主要训练转化（利用全等、相似、中位线、对角线等）思想，将所求线段的最值问题转化为容易寻找最值的线段。 1．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，，，点E、F分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最大值为 （结果保留根号） 2．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（    ）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 3．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    4．（2023春·山东八年级期末）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 1．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 3．（2023·安徽·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（       ） A．1 B． C． D． 4．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 5．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______． 6．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ． 7．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点．连接，则线段的最小值是________． 8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 9．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 1．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为 ． 4．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 5．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 特殊平行四边形中的七类最值问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一 特殊平行四边形中的将军饮马问题 题型二 特殊平行四边形中的将军遛马（过桥）问题 题型三 特殊平行四边形中的逆等线问题 题型四 特殊平行四边形中的费马点问题 题型五 特殊平行四边形中的胡不归问题 题型六 特殊平行四边形中的瓜豆问题（直线轨迹） 题型七 特殊平行四边形中的其他最值问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 特殊平行四边形中的将军饮马问题 ⭐技巧积累与运用 在解决将军饮马模型涉及的基本方法：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”或“两点之间线段最短”等。 1．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接交于一点F，连接， ∵四边形是正方形，∴点A与点C关于对称，∴， ∴，此时最小， ∵正方形的边长为4，∴，∵点E在上，且， ∴，即的最小值为故答案为：．    【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键． 2..（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称路径最短问题，菱形的性质，勾股定理，作关于的对称点，则，当时，最小，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可．能够确定的最小值是解决问题的关键． 【详解】解：如图，    作关于的对称点，则，， 四边形是菱形，在线段上，当时，最小， 四边形是菱形，，，，，，，， 在中，， ，，故答案为：． 3．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能正确作出辅助线； 分别取的中点为，连接，点A关于的对称点，连接，三角形三边关系可得：，当P、、在同一直线上时，有最大值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称，连接 取点A关于的对称点，连接 在中，由三角形三边关系可得：， ，，， 当P、、在同一直线上时，有最大值连接交于点O， ，，∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形，，，， ，， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为，故答案为：． 5．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    【答案】2 【分析】此题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，过点A作的对称点，连接，则，得到，故当点，E，F共线时，最小，即最小，证明是等边三角形，得到，即可求出的最小值． 【详解】过点A作的对称点，连接，则， ∴，∴当点，E，F共线时，最小，即最小， 此时，， 在中，，∴，， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴，∴，故答案为2．    6．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解． 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小， ∵，，∴，． ∵，D是的中点，∴是的中位线， ∴，，∵，∴， ∴，即，，， ，故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置． 特殊平行四边形中的将军遛马（过桥）问题 ⭐技巧积累与运用 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！ 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，正确做出辅助线确定出P和Q点的位置是解答本题的关键．要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可.为此，先在边上确定点的位置，可在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，则此时最小，即四边形的周长最小． 【详解】在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形，∴， ∵为边的中点，∴，∴ ∵，∴， ∴四边形的周长的最小值 ，故选C． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，菱形是无锡某乐园主题区域的平面示意图，分别是该区域的四个入口，两条主干道交于点．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为 万元． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，由题意可得当的值最小时，的值最小，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作，连接， ，，，， ，， 当的值最小时，的值最小， ∵，，四边形是平行四边形， ，，当点，点，点共线时，， ，，，， 的最小值为，投入资金的最小值为：万元． 故答案为： 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移至，则，连接，得出四边形是平行四边形，则，，根据题意可得，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点∴∴ 在中，∴故答案为：． 特殊平行四边形中的逆等线问题 ⭐技巧积累与运用 逆等线模型特点：双动点，动线段长度相等，并且位置错开。 解决逆等线问题的一般思路——拼接构造（也是凭空构造的一种，一般没见过的不太好想）。 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【分析】如图，连接，，由全等三角形判定（）可以证得，得到，进而得到，再根据题意及勾股定理求出的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，，，， ，，，，， 又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，，， 移项得， 配方得，，解得，或 ，，，故答案为：17．    【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】延长至，使得，连接，证明，可得，作点关于的对称点，连接，，根据，则三点共线时，取得最小值，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接，∵矩形中，，，    ∴，，依题意，，∴∴， 作点关于的对称点，连接，，则， ∵，则三点共线时，取得最小值， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理以及矩形的性质，轴对称的性质． 4．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别为上的点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．在的延长线上截取点，使，证明，推出，当共线时，取得最小值，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在的延长线上截取点，使，连接，， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴的最小值为，故答案为：． 特殊平行四边形中的费马点问题 ⭐技巧积累与运用 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，则知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，则是等边三角形，    作于H，交于G．则四边形是矩形， ∴，，，∴， ∴， ∵，∴， ∴的最小值．故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，，∴， ∴，∴、、共线时最短， 由于点E也为动点，∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论． 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键． 特殊平行四边形中的胡不归问题 ⭐技巧积累与运用 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 1．（23-24九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，垂线段最短，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 如图，过点作于，过点作于．证明，求出，利用垂线段最短解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于．    四边形是菱形，，∴，， ，，，， ，，， ，，，的最小值为，故答案为：． 2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则，∴， ∴， ． 即的最小值为6．故选B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最 小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG． 特殊平行四边形中的瓜豆问题 ⭐技巧积累与运用 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，连接，可得和是等边三角形，进而证明得到，进而得到，延长交于，则在射线上运动，由等边三角形三线合一可得，即得到当点与重合时，取最小值，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，∵四边形是菱形，，∴，∴， 延长交于，则在射线上运动， ∵是等边三角形，∴，∴， 当点与重合时，取最小值，如图，此时，，故选：． 3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据面积法可计算的长为，根据三角形的三边关系可得：是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，所以垂线段最短，可知的长是的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论． 【详解】解：四边形是矩形，，，，，， ，，，， ，， 是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，如下图所示，过点作于，过点作于，过点作于，所以垂线段最短，则的最小值为的值， ，，，中，， ，，，， 即的最小值为．故答案为：． 4．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 【答案】5 【分析】以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，由“SAS”可证△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂线段最短可得当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°， ∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA， 在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH， ∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，   ∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 特殊平行四边形中的其他最值问题 ⭐技巧积累与运用 本题型主要训练转化（利用全等、相似、中位线、对角线等）思想，将所求线段的最值问题转化为容易寻找最值的线段。 1．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，，，点E、F分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最大值为 （结果保留根号） 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，利用三角函数求边长，过点B作于点G，由菱形的性质易得，，求出．根据菱形的性质及角平分线得到，推出．由可知，当最小时，最大，从而得到的最大值． 【详解】过点B作于点G，由菱形的性质易得，，则． ∵，∴．∵平分， ∴，则，∴． ∵，∴，∴的最大值为． 2．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（    ）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接，作于点H．由三角形中位线的性质得，由垂线段最短可知当最小，即点E与点H重合时的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，作于点H．    ∵点，分别是，边上的动点，∴是的中位线，∴， ∴当最小，即点E与点H重合时的值最小．设，则， ∵，∴，∴，∴的最小值为4.8．故选D． 3．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，∵，∴，    ∵于点D，于点E，，∴四边形是矩形，∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小， 此时，，代入数据：， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 4．（2023春·山东八年级期末）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得出点，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当时，取得最小值，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，设交于点，如图所示， ∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴， ∴当取得最小值时，取得最小值，∴当时，取得最小值， ∵，，∴，,∴是等腰直角三角形， ∴此时是直角三角形，且是斜边， ∵,∴，∴的对角线的最小值是，故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 1．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质可知，证明四边形为平行四边形，为最小值，再求出菱形的边，即为的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于， ∵菱形，∴，，，， ∵∴，∴， ∴，∴，， 作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∵点为边上的中点，则点也为边的中点， ∴当点、、在一条直线上时，有最小值， 连接交于，∴当重合时，为最小值， ∵为的中点，∴，∴四边形为平行四边形， ∴，∴的最小值是，故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是最短线路问题、正方形的性质及两点间的距离公式，具有一定的综合性，但难度适中．过点作关于的对称点，连接交于点，由两点之间线段最短可知即为的最小值，由正方形的性质可求出点的坐标，再根据可求出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求出的值． 【详解】解：过点作关于的对称点，连接交于点，由两点之间线段最短可知即为的最小值， ，四边形是正方形，点的坐标为，点坐标为， ，即的最小值为．故选：A 3．（2023·安徽·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线性质可得MN是AE的一半，则当AE最小时，MN最小，利用30°直角三角形求出AE最小值，解答即可． 【详解】解：∵点，分别是，的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN， ∴当AE最小时，MN最小，当AE⊥BC时，AE最小，在四边形是平行四边形，， ∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°， ∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小为：． 【点睛】本体考查了三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 4．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】过点作使，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到三点共线时，有最小值即为的长，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，    ∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长， ∵四边形为正方形，∴，，， ∴，，∴，即：的最小值为3．故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，进行线段的转化． 5．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接、，然后即可得为等边三角形，同理为等边三角形，接着证明当、、三条线段在同一直线上，的值最小，即的值最小，过点作于点E，即最小值为：，问题随之得解． 【详解】如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接、， 根据旋转的性质有：，，， 为等边三角形，同理为等边三角形， ，，， 当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，如下图，过点作于点E，交于点F， 最小值为：，在矩形中，于点E， 即可知四边形是矩形，，即， 为等边三角形，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 6．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数值的应用，再过点作 ，由此可证得，根据垂线段最短可得的最小值为线段为的长，再利用特殊角的三角函数值及矩形性质进行计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点B作射线，使得，过点P作，垂足为点E，则， 在中，，，， 过点O作 ，垂足为点F，则， ，垂线段最短，， 的最小值为线段的长， 在矩形中，， ，， ，， ∵在中，，．解得：．故答案为： 7．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点．连接，则线段的最小值是________． 【答案】/ 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接．∵，，，∴， ∵，，∴四边形是矩形，∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时，， 即，解得，∴线段的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称最短问题和平行四边形的性质，学会利用轴对称的性质解决最短问题是解题的关键； 作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理求出，根据轴对称得出，然后根据平行四边形的性质得出，，再次利用勾股定理即可求出结果． 【详解】如图：作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值， ，，， ，，∴，， ，，在中，， 点A和点关于轴对称，， 四边形是平行四边形，，， ，故答案为：10． 9．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作于，则，由，可得，即在距离为2的直线上运动，如图，作关于直线的对称点，连接，，由轴对称的性质可得，，，由，可知当三点共线时，最小，为，根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图，作于，∴， ∵，∴，解得，， ∴在距离为2的直线上运动，如图，作关于直线的对称点，连接，， 由轴对称的性质可得，，，∴， ∴当三点共线时，最小，为， 由勾股定理得，，故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）作于Q，交于P，由折叠的性质得出，得出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，与相等且互相平分， 关于的对称图形为，， 四边形是菱形； （2）作于Q，交于P， 沿所在直线折叠，得到，，， ，，，， ，，， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查四边形综合题，综合运用了翻折、变换的性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、勾股定理以及垂线段最短等知识，熟练掌握翻折变换的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 1．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，由正方形的性质求出的长，继而可得，，再证明，可得，，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案． 【详解】解：如图，以为对称轴作N的对称点，连接，    根据轴对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“”， ∵在正方形中，，， ∴，∵O为中点，∴， ∵N为中点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：2． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，继而得到是等边三角形，证明，得到，继而得到， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，然后在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得到，，最后再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，， ∴，∴， ∴，在中，， ∴的最小值是，故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题关键． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CBE，可得AF＝CE，则DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH，即当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，，∴， ∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∵点A，点H关于BC对称，∴AH⊥BC，AN＝NH，∴FH＝AF， 又∵△ABC是等边三角形，∴BN＝NC＝，， ∴AH＝2AN＝， ∵AE＝CF，AB=BC，∴BE＝BF，∵在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE，∴DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH， ∴当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长， ∵AH⊥BC，∴，∵，∴， ∴，即的最小值为4．故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 【答案】 【分析】首先通过SAS判定，得出，因为,,得出是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=，作辅助线，过点E作交CB的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为x，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为． 【详解】∵为正三角形，∴，∴ ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴． 在和中，∴（SAS）∴ 在中，又∵，∴为等边三角形，∴． ∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=． 过点E作交CB的延长线于F，可得． 设正方形的边长为x，则BF=，． 在，∵，∴ 解得（负值舍去）．∴正方形的边长为．故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键． 5．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可. 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ， ∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键. 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】以为边在右侧作等边三角形，连接并延长交轴于点，过点作于点，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边在右侧作等边三角形， ， 连接并延长交轴于点，过点作于点， 在矩形中，，，， ∵等边三角形，，是等边三角形， ，，， ，，， 在和中，，，，， 点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动， 是等边三角形，，， ，，当点与不重合时，， 当点与重合时，，综上所述：，的最小值为3，故答案为：3． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可； ②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$