第01讲 整式的乘法（7大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025－2026学年七年级上册数学衔接讲义（沪教版2024）

第01讲 整式的乘法（7大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用科学记数法表示数的乘法 典型例题二 同底数幂相乘 典型例题三 幂的乘方运算 典型例题四 积的乘方运算 典型例题五 同底数幂乘法的逆用 典型例题六 幂的乘方的逆用 典型例题七 积的乘方的逆用 典型例题八 整式乘法混合运算 典型例题九 （x+p）（x+q）型多项式乘法 典型例题十 多项式乘多项式——化简求值 典型例题十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值 典型例题十二 多项式乘法中的规律性问题 典型例题十三 多项式乘多项式与图形面积 知识点01 幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 知识点02 幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 知识点03 幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 知识点04 幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 知识点05 单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 知识点06 单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 知识点07 多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【典型例题一 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案． 【详解】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是：． 故选：B 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 【例2】（2025·上海嘉定·模拟预测）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 【例3】（2024八年级·上海奉贤·模拟预测） ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法以及幂的乘方，正确计算出结果是解题的关键． 先进行幂的乘方，然后化为科学记数法的变式即可． 【详解】解： 故答案为． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作了，共可做 次运算．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意列出代数式，同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【例5】（2024七年级上·上海宝山·专题练习）计算（结果用科学记数法表示）： (1)8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）． 【答案】(1)﹣3.96× (2)1.3× 【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可． 【详解】（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）×＝﹣3.96×； （2）解：原式＝（5.2×2.5）×（×10）＝13×＝1.3×． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 【答案】C 【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解． 【详解】解：(7×106)(5×105)(2×10) ＝(7×5×2)×(106×105×10) ＝7×1013 所以，a＝7，n＝13． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键． 2．（2024·上海长宁N·模拟预测）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】9 500 000 000 000×4.2=39900000000000≈40000000000000=4×1013． 故选A． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法；熟知“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数”是解题的关键． 先将原数精确到千万位，再用科学记数法表示为的形式即可求解；先计算，然后用科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：用四舍五入法把精确到千万位的近似数为； ． 故答案为：；． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（24-25七年级上·上海崇明·单元测试）(1)地球可以近似地看做是球体，如果用V，r分别代表球的体积和半径，那么.现已知地球的半径约为6.37×106 m，你能计算地球的体积大约是多少立方米吗？ (2)1 kg镭完全衰变后，放出的热量相当于3.75×105 kg煤燃烧放出的热量．据统计，地壳里含1×1010 kg的镭．试问：这些镭完全衰变后放出的热量相当于多少千克煤燃烧放出的热量？ 【答案】(1) 1.08×1021m3;(2) 3.75×1015kg． 【分析】利用同底数幂的乘法计算即可求得答案． 【详解】（1）因为V=πr3=π×(6.37×106)3=×3.14×6.373×1018≈1.08×1021(m3)． 答：地球的体积大约是1.08×1021 m3． （2）3.75×105×1×1010=3.75×(105×1010)=3.75×1015(kg)． 答：这些镭完全衰变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤燃烧放出的热量． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的应用．此题难度不大，注意掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【典型例题二 同底数幂相乘】 【例1】（2025·上海青浦·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法可直接进行求解．本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 【详解】解：； 故选A． 【例2】（2025·上海普陀·模拟预测）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本体根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，先分别对等号左右两边进行化简，然后得到，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即； ∴， 故选：D 【例3】（2025·上海虹口·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·期中）我们规定：，例如，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法，正确理解新定义是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义、幂的运算，根据新定义得出，，，进而可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （3）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （4）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 5．（24-25七年级上·上海静安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；② (2) 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：①， ∴ ； ②， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【典型例题三 幂的乘方运算】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法．利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则进行求解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴； 故选B． 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 【答案】 d a c b 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，， ，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：d；a；c；b． 【例4】（2025·上海长宁·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算，正确理解利用新运算规则是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ∵ ∴ ∴ ∴ 1．（2025·上海青浦·模拟预测）计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法的意义，乘方的意义，同底数幂的乘法以及幂的乘方等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用乘法的意义，乘方的意义以及幂的乘方等运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期中）麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道可以求的值．如果知道可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，下列正确的有几个（   ） ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，根据新定义及幂的运算法则逐一排除即可，熟记幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，原选项正确，符合题意； ∵，， ∴，原选项正确，符合题意； 设，，， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 设，，， ∴，，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； ∴正确，共个， 故选：． 3．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）填空题： （1）积的乘方运算性质：积的乘方，把积的每一个因式分别 ，再把 ； （2） ； （3），横线上应填 ； （4） ； （5），横线上依次为 ， ； （6），横线上应填 ； （7），横线上依次为 ， ． 【答案】 乘方 所得的幂相乘 4 3 6 3 6 2 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方、逆用积的乘方运算法则等知识点，掌握积的乘方运算法则成为解题的关键． （1）直接积的乘方的运算法则即可解答； （2）根据积的乘方运算法则求解即可； （3）逆用积的乘方运算法则求解即可； （4）根据积的乘方、幂的乘方法求解即可； （5）根据幂的乘方求解即可； （6）根据幂的乘方法求解即可； （7）根据积的乘方、幂的乘方法求解即可； 【详解】解：（1）积的乘方运算性质：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 故答案为：乘方，所得的幂相乘，，4，，3，6，3，6，2． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握运用幂的运算法则成为解题的关键． （1）直接运用积的乘方法则计算即可； （2）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （3）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （4）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 5．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 【答案】(1)96； (2)22； (3)3 【分析】（1）根据所给的新定义把代入中进行求解即可； （2）先根据积的乘方求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 【典型例题四 积的乘方运算】 【例1】（2025·上海徐汇·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键，根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】（2024·上海嘉定·模拟预测）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 直接运用幂的乘方、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该项错误，不符合题意； B．，故该项错误，不符合题意； C．，故该项错误，不符合题意； D．，故该项正确，符合题意． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若，则 ． 【答案】81675 【分析】本题考查了数的变化规律，求和公式，积的乘方的逆用，解题的关键是找到数的变化规律． 【详解】解：∵ ， 则 ∴ ， 故答案为：81675． 【例4（24-25七年级上·上海静安·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；② 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． （1）根据新定义的运算进行计算即可； （2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可； （3）①根据，，进行计算即可； ②由，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：3． 【例5】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． （1）利用进行计算即可得到答案； （2）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）， ， 原式 ． 1．（2024·上海青浦·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 先按积的乘方法则计算，再运用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解： 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 分为正奇数、为正偶数两种情况进行讨论，即可判断结论①；分为奇数、为偶数两种情况进行讨论，即可判断结论②；当时，等式成立，无论取何值，等式，均成立，由此即可判断结论③；分别对为偶数、为奇数以及为偶数、为奇数两种情况进行讨论，即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：①当为正奇数时，等式一定成立， 当为正偶数时，，等式不成立， 故结论①错误； ②当为奇数时，，等式不成立， 当为偶数时，等式成立， 故结论②错误； ③当时，等式成立， 无论取何值，等式，均成立， 故结论③错误； ④当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 故结论④正确； 综上，正确的结论为，共个， 故选：． 3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算： ． （2）的值为 ． 【答案】 3 7 【分析】此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质． （1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可； （2）应用规定和积的乘方计算即可． 【详解】解：（1）根据定义，即， ∵， ∴， 解得：， 因此，． 故答案为：3； （2） ， 根据定义，，即，解得：． 故答案为：7． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期中）（1）计算：；             （2）计算：； （3）计算：；                     （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘法则即可求解； （2）根据积的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据幂的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算即可； （4）根据积的乘方的逆运算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）市环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，请求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由． 【答案】有，正方体贮水池的棱长为分米 【分析】本题考查了单项式的乘法，积的乘方和幂的乘方，根据单项式的乘法，可得长方体的体积，根据积的乘方等于乘方的积，可得正方体的体积，可得答案． 【详解】解：有， ∵废水的体积为立方分米， 又∵， ∴正方体贮水池的棱长为分米． 【典型例题五 同底数幂乘法的逆用】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，，m，n为正整数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练运用同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 先用同底数幂的乘法逆运算法则将变形为，再将，，代入即可计算． 【详解】解：， 将，代入得 ； 故选：A． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）将（，n为正整数）的指数增加，计算结果变为，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用，根据同底数幂的乘法的运算法则即可求解，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵将（，n为正整数）的指数增加， ∴， 故选：． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆用，首先逆用同底数幂的乘法法则可得：原式，再逆用积的乘方的法则可得：原式，再根据乘方的定义和有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，（m，n为正整数），则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法的逆用把化为已知的形式，然后将、整体代入计算即可． 【详解】解：∵，（m，n为正整数）， ∴． 故答案为：6． 【例5】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 1．（24-25七年级上·上海·期中）的计算结果是（   ）． A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了逆用积的乘方，逆用同底数幂的乘法，有理数的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键，将原式化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，求出原来三袋中小球的个数的平均数，即为最终三只袋中小球的个数，进而求出，将相乘即可得出结果． 【详解】解：最终每只袋中小球的个数为：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 【答案】/ 【分析】此题考查整式的乘法公式—幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆用，根据幂的乘方逆运算将整式变形，代入，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)73 (2)576 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的运算，积的乘方逆用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简后，把整体代入运算即可； （2）化简后，把，，代入运算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 把，代入可得：， ∴， 解得：． 【典型例题六 幂的乘方的逆用】 【例1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）若，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方运算法则，解题关键是熟练运用幂的乘方运算法则； 利用幂的乘方法则将和转化为已知的和的平方，再代入数值计算即可． 【详解】， ， ， ． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海青浦·期中）每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（   ） A．75 B．200 C．378 D．1400 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，比较，的大小关系是 （用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，掌握幂的乘方逆用的运算性质是解题的关键． 根据幂的乘方的逆用进行变形，进而比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）填空： （）；括号内应填入： （）；括号内应填入： （）；括号内应填入： （）．括号内应填入： 【答案】 【分析】（）根据幂的乘方运算法则解答即可； （）根据幂的乘方的逆运算法则解答即可； （）根据幂的乘方运算法则解答即可； （）根据幂的乘方的逆运算法则解答即可； 本题的考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方的逆用．把原式变为同指数的幂，比较底数的大小即可． 【详解】解：因为，， 而， 所以． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得，由此可解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【答案】(1)96 (2) (3)21 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得； （2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得； （3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵运算的结果为108， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：21． 5．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可； （2）转化为同指数，，，然后比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，，， ， ， ． 【典型例题七 积的乘方的逆用】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）的值等于（    ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．根据积的乘方的逆运算解答即可． 【详解】解：． 故选：B 【例2】（24-25七年级上·上海金山·期中）下列关于的计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．直接利用积的乘方运算法则将原式变形，再逆用乘法分配律计算得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1） ；          （2） ； （3） ；      （4） ． 【答案】 / 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （2）根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （3）根据积的乘方的逆运算法则求解即可； （4）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法，然后合并即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2） 故答案为：； （3） 故答案为：； （4） ． 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示） (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算： （1）利用积的乘方的逆运算，即可求解； （2）利用积的乘方的逆运算，即可求解； （3）利用积的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解：． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）观察：，，，．据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法、求代数式的值．首先根据规律可得：，从而可知，把的值代入代数式求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，原式， 当时，原式． 故选：D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，那么 ， ． 【答案】 6 36 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，解题的关键是：根据积的乘方的逆用得到． 将，代入，根据即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：；． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用，灵活逆用积的乘方运算法则进行简便运算成为解题的关键． （1）直接逆用积的乘方运算法则即可解答； （2）先把原式写成可以用积的乘方运算法则的形式，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算： 解：原式 x． 【我的感悟】请参考例题的解法解答下列问题： (1)计算： ①； ② (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，幂的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键． （1）①先把原式化为，再计算即可；② 先把原式化为，再计算即可； （2）先把原式化为，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ， ， 解得． 【典型例题八 整式乘法混合运算】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）一个长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个箱子的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法的应用，能够列出乘法式子正确计算是解题关键．先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：这个箱子的体积为： ， 故选∶B 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选A． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）若定义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据题中定义列出算式，利用单项式乘多项式运算，再合并即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简的结果为 ．． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，多项式乘以多项式，整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 【例5（24-25七年级上·嘉定·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的得体积公式，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据长方体的体积公式，列出算式，然后根据整式乘法法则计算即可； 【详解】解：长方体的体积长宽高； ∴长方体的体积 ； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）将个同样大小的小正方体拼成一个（a，b，c为正整数且）的长方体，在其表面染色，在满足上述条件的各种可能拼法中，恰有一面染色的小正方体的个数的最大值与最小值分别为M，m，则（   ） A．84 B．96 C．72 D．32 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用．根据题意列式得到一面染色的正方体个数为，再根据题意得到多项式的最大值和最小值即可． 【详解】解：由题意可知，一面染色的正方体个数为，最少为0， 最大时a，b，c分别为2，8，10， 此时， ， 故选：B 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）要使多项式化简后不含x的二次项，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了多项式不含项问题，单项式乘以多项式，整式的混合运算，根据整式混合运算法则先化简整式，根据多项式化简后不含x的二次项，得，求出m的值，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键 【详解】解： ∵多项式化简后不含x的二次项， ∴， 解得， 故答案为4 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握该运算规则是解题的关键．对代数式，先计算乘法，然后去括号，接着从左到右进行计算，得到答案，从而得证． 【详解】解： 是任意的正整数， 总能被6整除 对于任意的正整数，代数式的值总能被6整除． 5．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【答案】(1)多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为； (2)； (3)9 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算的应用，理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据和谐多项式的概念，计算即可验证； （2）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； （3）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； 【详解】（1）解：， ， ， 故多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为 （2）解： ， ， 多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ； （3）解： 多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式， ， 解得， ． 【典型例题九 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）若，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式．将等式左边展开，再合并同类项，根据系数相等可得p的值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期中）的展开式中项和项系数相等，则、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的运算，理解整式运算法则是解题的关键．先根据多项式乘以多项式法则计算，再根据展开式中项和项系数相等，得出答案即可． 【详解】解：由 ， ∵的展开式中项和项系数相等， ∴， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海静安·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【例4（24-25七年级上·上海虹口·期中）若，则 ．（填“、或”） 【答案】 【分析】本题考查整式比较大小，整式乘法运算，整式减法计算等．根据题意列式后与0比较即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（2025·上海徐汇·模拟预测）（1）解方程组：； （2）已知a、b满足，则______． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据加减消元法可以求得该方程组的解； （2）根据加减消元法可以求得和的值，然后将所求式子展开，再将和的值整体代入计算即可． 本题考查整式的混合运算-化简求值、解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和加减消元法解二元一次方程组是解答本题的关键． 【详解】解：（1）， ，得：， 解得， 将代入①，得：， 原方程组的解是； ， ，得：， 解得， 将代入①，得：， ， 故答案为： 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得：，； ，； ，或，； ，的值可能为：，； 故选：A 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】根据，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化，观察所给图案，列式表达出每个图案需要黑色棋子的个数，找出规律，第n个图案需要的个数为：，代入即可． 【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为（个）； 第二个图案需要的个数为（个）； 第三个图案需要的个数为（个）； 第四个图案需要的个数为（个）； … 第n个图案需要的个数为： （个）， 当时，， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)8或 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2） ， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2024年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现．结果都是7． 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将每个方框的左上角数字设为n，请用含n的式子表示你发现的规律：__________． (2)请利用整式的运算对以上规律进行证明． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）根据题意用含的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把化简，即可证明． 【详解】（1）解：设日历中所示的方框左上角数字为，则其余三个数从小到大依次是：，，， 规律用含的式子可表示为； 故答案为：； （2）证明： ． 【典型例题十 多项式乘多项式——化简求值】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开．先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式及求代数式的值；根据题意得；再把代数式用多项式乘多项式法则展开，整体代入即可求解． 【详解】解：∵长方形的周长为18，面积为17， ∴， 即； ∴； 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 由题意可知，这个多项式是，然后展开，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意得，这个多项式 ， 故答案为． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）一个长方形的长为，宽比长少4cm．若将长和宽都增加，则面积增加了 ；若，则增加的面积为 ． 【答案】 / 33 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，解题的关键是能根据长方形面积公式列出代数式． 原长方形面积为，边长增加后面积为，后者减前者，去括号、合并同类项即可，然后将代入求解即可． 【详解】解：根据题意，原长方形面积为，边长增加后面积为． ． 即面积增大了． 若，． 故答案为：，33． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）化简求值：当，时，代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，化简求值，先计算多项式的乘法，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 1．（2024七年级上·上海长宁·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．根据题意可得：，再根据，从而可得，进而可得：，然后求出：，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 由题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）的展开式中不含和项． (1)求的值？ (2)当取第（1）小题的值时，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式． （1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含和项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值； （2）先利用多项式乘以多项式的法则将展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 根据展开式中不含和项得：， 解得：． 即，； （2）解： ， 当，时，原式． 5．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式，，，来说 ，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若，，，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算及新定义问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接根据定义计算的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出的值即可； （3）根据定义化简计算，可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】解：（1），，，是一组平衡数， ， ， ， ， ， 平衡因子； （2），，，是一组平衡数， ， ， ， ， ， 是常数， ， 解得：； （3）当，，，之间满足时，他们是一组平衡数． 证明：，，，是一组平衡数， 的结果为常数， 结果为常数， ， ． 【典型例题十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，多项式中不含某项，掌握以上知识是解题的关键． 先计算，再由乘积中不含的一次项，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若将展开的结果中不含有的一次项，则满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，先去括号合并同类项得，再结合不含有的一次项，得，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：A 【例3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）若的乘积中不含和项，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式展开，合并同类项，再根据二次三项式的乘积中不含和项，可得进一步计算即可，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵的乘积中不含和项， ∴， 解得， 故答案为：3． 【例4】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算的结果不含和的项，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘积无关型计算问题，用多项式乘多项式的运算法则展开求它们的积，把当做常数合并同类项，根据不含和的项，关于和的项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵结果不含和的项， ∴ ∴ 故答案为：，． 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知计算的结果中不含x的一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，计含x的一次项的系数为0求出a的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含x的一次项， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）若的积中不含项，则满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，先进行多项式的乘法运算，再根据多项式的积中不含项得到一次项的系数为，据此即可求解，理解多项式不含某项即该项的系数为是解题的关键． 【详解】解：， ∵的积中不含项， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，根据为常数，可得化简后式子中x项的系数为0，由此可解． 【详解】解： ， 与的积减去与的积，其差为常数， ， ， 故选C． 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②错误； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简原式，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：，          展开式中不含的一次项，且常数项是， ，， ； （2）解：原式，                     当时， 原式． 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论； （2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出； （3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或． 【详解】（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴B是A的“好多项式”； 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴ ， ∵，B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴ ， 当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意； 当时，， ∵B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【典型例题十二 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用规律探究求值，找出规律，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得： ． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； … 请猜想的展开式第三项的系数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可． 【详解】解：根据题意得：第五个式子系数为1，6，15，20，15，6，1， 第六个式子系数为1，7，21，35，35，21，7，1， 第七个式子系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 第八个式子系数为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 第九个式子系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 则的展开式第三项的系数是45， 故答案为：45． 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，则中第三项系数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，“杨辉三角”展开式中，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．由题目可以得出一般规律：的第三项的系数为：，据此解答即可． 【详解】解：由题目中找规律可以发现： 的第三项的系数为：； 的第三项的系数为：； 的第三项的系数为：； ⋯， 的第三项的系数为：； ∴中第三项系数为； 故答案为45． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）填空： ①________； ②________； ③________； … 根据上述计算回答下列问题： （1）写出反应上述规律的关系式； （2）利用上述规律反映的关系式计算：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用， 根据多项式乘多项式法则计算填空； 对于（1），根据上述规律得出关系式解答即可； 对于（2），根据（1）中的规律解答即可． 【详解】解：①； ②； ③； 故答案为：． （1）根据上述过程，得 ； （2） ． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）根据，，，，…的规律，则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查整式的规律探究、数字类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键． 根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 第n个等式为， ∴ ， ∵，，，，，，，……， ∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环， ∴的末位数是以1、3、7、5每四个一个循环， ∵， ∴即的末位数为3， 故选B． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第二项的系数等于上一行第一项与第二项的系数之和，即可求出的展开式中从左起第二项的系数，即可求解． 【详解】解：展开式中第二项为 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，找出规律是解题的关键．给等式乘以从而可知，然后找出的尾数规律从而得到答案． 【详解】解：， ，，，，，， ． 故的尾数是4.． 故的值的个位数是3． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）观察以下等式： ； ； ； … (1)按以上等式的规律，填空： ①________； ②_________； (2)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式． （1）①读懂题意，按照题中的规律填空；②按照题中的规律填空； （2）根据规律化简式子． 【详解】（1）解：① ②， 故答案为：；； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）综合与实践     【实际情境】如图，将一块矩形按照如图方式横纵分割成若干个不重复的小矩形，其中记分割的线段数量为，分割后小矩形的数量为，如图1，当时，；图2中，，；图3中，，． (1)【问题理解】若，则的值可能是______，并在图4中画出相应的示意图（任意画出一种符合条件的情况）； (2)【问题延伸】若，则的值可能是______（任写一个符合条件的值）； (3)【得出结论】当为偶数时，的最大值是多少？我们可以这样证明： 设，其中为正整数，若横线为条，则竖线为______条，其中，则最终分成的小矩形个数______，当______时，有最大值，此时______（用含有的式子表示）． 【答案】(1)4或6，作图见解析 (2)6（答案不唯一） (3)，，0， 【分析】本题考查找图形的规律，列代数式，整式的乘法． （1）画出分割图形，即可解答； （2）由于，或，或，可得到分割成小矩形的情况，即可解答； （3）根据题意，列出代数式，运用整式的乘法进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，可以如下进行分割，此时或， 故答案为：4或6 （2）解： ，可将大矩形分割为4行4列的小矩形，此时； 或，可将大矩形分割为8行2列的小矩形，此时； 或，可将大矩形分割为16行1列的小矩形，此时． 综上所述，或8，15． 故答案为：6（答案不唯一） （3）解：设，其中为正整数，若横线为条，则竖线为条，其中，则最终分成的小矩形个数， ∵， ∴当时，有最大值，此时． 故答案为：，，0， 【典型例题十三 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，边长为，的长方形，它的周长为面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运算的运用，由题意可得，，再代入展开后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，现有正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片若干张． 如果要拼成一个长为宽为的大长方形，则需要C类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．5张 D．4张 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，拼成的大长方形的面积是，即需要2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形和7张C类卡片，即可求解． 【详解】解：∵， ∴需要C类卡片7张， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到等式．例如，由图①可以得到．请写出图②所表示的等式： 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，用面积公式和分割法两种方法表示出大长方形的面积，即可得出结果．利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 【详解】解：由图可知：大长方形的面积； 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海徐汇·期中），两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材，面积分别为，，请比较，的大小 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及整式的大小比较，熟练掌握多项式乘多项式及整式的大小比较是解题的关键． 由题意及图形可得，进而运用作差法求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，某校有一块长为，宽为的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像，请计算该地块绿化部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，由阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去中间正方形的面积即可． 【详解】解：由题意，得 ． 答：该地块绿化部分的面积为． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）有一块长为米（为正数），宽为米的长方形土地，若把这块地的长增加米，宽减少米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法和加减的运用，由题意得，新长方形的长为米，宽为米，分别求出新长方形和原长方形的面积，再用作差法比较即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，新长方形的长为米，宽为米， ∴新长方形的面积为平方米， 原长方形的面积为， ∵， ∴与原来相比，这块土地的面积变小了， 故选：． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：长方形的面积由个长方形的面积之和，可表示为； 长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，可表示为，原算式不正确，不符合题意； 长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，可表示为，原算式正确，符合题意； 大长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式可表示为，原算式正确，符合题意； 综上可知：正确，共个， 故选：． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在长方形中，点分别在，上，已知，若长方形的面积为，图中阴影部分的面积为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，设，进而求出的长，求出4个直角三角形的面积和即可． 【详解】解：设，则：，， ∴，， ∴， ∴， ； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长m米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积：（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查整式运算的实际应用： （1）直接利用长方形的面积公式进行计算即可； （2）用大长方形的面积减去小长方形的面积求出器材场地的面积，再用器材场地的面积减去绿地的面积即可． 【详解】（1）解：平方米， 答：长方形绿地的面积为平方米； （2）器材场地的面积为：米2， 平方米． 答：器材场地比绿地的面积大平方米． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本体根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，先分别对等号左右两边进行化简，然后得到，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即； ∴， 故选：D 2．（24-25七年级上·上海虹口·单元测试）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据多项式的乘法法则对各选项进行逐一检验即可． 【详解】A、，故该选项正确； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项正确； 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海崇明·期末）按顺序排列的若干个数：，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法： ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，掌握整式的混合运算，找出规律是解题的关键． 根据题意，运用题目中的计算方法由，可算出判定①；同理由，可得，由此判定②；运用题目中的计算方法得到，，，每3个一组循环，，，由此可得代数式的值为，可判定③；由此即可求解． 【详解】解：， ∴，，，， ∴每3个一组循环， ∴， ∴，故①正确； 已知， ∴，，，， ∴每3个一组循环， ∴， ∵， ∴，故②正确； 根据题意，，，， ∴每3个一组循环， ∵， ∴， ∴ ， 当时，，代数式的值为正； 当时，，代数式的值为负； ∴③错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B ． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）某校利用课后服务开展了主题为“浸润书香，放飞悦读”的读书活动．现需购买甲，乙两种图书共300本供学生阅读，其中甲种图书的单价为元/本，乙种图书的单价为元/本，若购买甲种图书本，则该校购买甲乙两种图书总费用为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】先根据题意求出乙种图书的数量，再求出甲乙两种图书的总费用即可． 【详解】解：∵甲，乙两种图书共300本，甲种图书有本， ∴乙种图书有本， 甲种图书的单价为元/本，乙种图书的单价为元/本， ∴该校购买甲乙两种图书总费用为 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根据题意列代数式，读懂题意是解题的关键． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）有一张长为，宽为的长方形纸片，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将剩下部分折起，制成一个无盖的纸盒（如图），已知纸盒的高度为，则纸盒的底面积为（单位：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式乘除的应用．先表示出纸盒底面的长为，宽为，根据矩形的面积公式和整式的乘法法则即可解答． 【详解】纸盒底面的长为，宽为， ∴底面积为（）． 故选：D 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）填空： （1）已知，则 ， ． （2） ； ． （3）若，则 ． 【答案】 8 2 144 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方运算以及逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据积的乘方和幂的乘方运算得到，进而比较系数和次数求解即可； （2）据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （3）根据积的乘方和幂的乘方的逆运算将原式变形，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴； 故答案为：8，2； （2）； 故答案为：，； （3）∵ ∴． 故答案为：144． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的乘法．原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； 根据规律可得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式及数字的变化，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题．根据规律答题即可． 【详解】， ， ； ， 故答案为： 9．（24-25七年级上·上海闵行·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则式子 ． 小红的思路： 设，， 则， ， 的最小值为． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、平方的非负性、求代数式的值，设，，得出，再结合平方的非负性得出的最小值为，代入代数式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）用如图1所示的张长为，宽为（）的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度发生变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变．则，之间满足的关系式为 ．    【答案】/ 【分析】设左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，列式表示阴影部分面积之差，可得变化，不变，则与无关，则，即． 【详解】设左上角阴影部分的长为，宽为， 则右下角阴影部分的长为，宽为， 阴影部分面积之差 ， 变化，不变，则与无关， 则，即. 故答案为： 【点睛】本题考查了阴影部分的问题，掌握矩形面积公式、整式的运算法则是解题的关键． 11．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式．熟练掌握积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）先计算积的乘方，然后根据单项式乘单项式求解即可； （2）根据多项式乘多项式计算求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算如图所示的梯形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的应用，根据梯形面积计算公式列式求解即可． 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 【答案】佳佳的解法不正确，正确过程见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及结果中不含某项，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据多项式乘多项式计算法则化简出结果，再根据展开式中不含项和项得项和项前的系数为，即可求出、的值，再将、的值代入原式即可求解． 【详解】解：佳佳的解法不正确，正确解答如下： ． 展开式中不含项和项， ， 解得：， ， ， ， ， ． 14．（24-25七年级上·上海松江·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键． （1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式； （2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵，令，， ∴ ． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，就可以用图②中的几何图形的面积来表示． (1)请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示 (3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积，解答的关键是掌握长方形和正方形的面积公式； （1）利用矩形的面积相等列关系式即可； （2）画一个长为，宽为的矩形即可； （3）一个含有的代数恒等式可以是然后画一个长为，宽为的矩形即可． 【详解】（1）解：根据图形可得：， 故答案为：； （2）解：画图如下(答案不唯一)：它的面积能表示； （3）解：恒等式是，如图所示(答案不唯一)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 整式的乘法（7大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用科学记数法表示数的乘法 典型例题二 同底数幂相乘 典型例题三 幂的乘方运算 典型例题四 积的乘方运算 典型例题五 同底数幂乘法的逆用 典型例题六 幂的乘方的逆用 典型例题七 积的乘方的逆用 典型例题八 整式乘法混合运算 典型例题九 （x+p）（x+q）型多项式乘法 典型例题十 多项式乘多项式——化简求值 典型例题十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值 典型例题十二 多项式乘法中的规律性问题 典型例题十三 多项式乘多项式与图形面积 知识点01 幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 知识点02 幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 知识点03 幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 知识点04 幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 知识点05 单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 知识点06 单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 知识点07 多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【典型例题一 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海嘉定·模拟预测）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【例3】（2024八年级·上海奉贤·模拟预测） ．（结果用科学记数法表示） 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作了，共可做 次运算．（用科学记数法表示） 【例5】（2024七年级上·上海宝山·专题练习）计算（结果用科学记数法表示）： (1)8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 2．（2024·上海长宁N·模拟预测）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 4．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·上海崇明·单元测试）(1)地球可以近似地看做是球体，如果用V，r分别代表球的体积和半径，那么.现已知地球的半径约为6.37×106 m，你能计算地球的体积大约是多少立方米吗？ (2)1 kg镭完全衰变后，放出的热量相当于3.75×105 kg煤燃烧放出的热量．据统计，地壳里含1×1010 kg的镭．试问：这些镭完全衰变后放出的热量相当于多少千克煤燃烧放出的热量？ 【典型例题二 同底数幂相乘】 【例1】（2025·上海青浦·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海普陀·模拟预测）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（2025·上海虹口·模拟预测）若，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·期中）我们规定：，例如，那么等于 ． 【例5】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 5．（24-25七年级上·上海静安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【典型例题三 幂的乘方运算】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 【例4】（2025·上海长宁·模拟预测）计算： ． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 1．（2025·上海青浦·模拟预测）计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期中）麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道可以求的值．如果知道可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，下列正确的有几个（   ） ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）填空题： （1）积的乘方运算性质：积的乘方，把积的每一个因式分别 ，再把 ； （2） ； （3），横线上应填 ； （4） ； （5），横线上依次为 ， ； （6），横线上应填 ； （7），横线上依次为 ， ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 【典型例题四 积的乘方运算】 【例1】（2025·上海徐汇·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·上海嘉定·模拟预测）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若，则 ． 【例4（24-25七年级上·上海静安·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【例5】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 1．（2024·上海青浦·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算： ． （2）的值为 ． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期中）（1）计算：；             （2）计算：； （3）计算：；                     （4）计算：． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）市环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，请求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由． 【典型例题五 同底数幂乘法的逆用】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，，m，n为正整数，则（     ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）将（，n为正整数）的指数增加，计算结果变为，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算 ． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，（m，n为正整数），则 ． 【例5】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 1．（24-25七年级上·上海·期中）的计算结果是（   ）． A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 【典型例题六 幂的乘方的逆用】 【例1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）若，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【例2】（24-25七年级上·上海青浦·期中）每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（   ） A．75 B．200 C．378 D．1400 【例3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，比较，的大小关系是 （用“＜”连接） 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）填空： （）；括号内应填入： （）；括号内应填入： （）；括号内应填入： （）．括号内应填入： 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 5．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【典型例题七 积的乘方的逆用】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）的值等于（    ） A． B．8 C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海金山·期中）下列关于的计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算：的结果是 ． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1） ；          （2） ； （3） ；      （4） ． 【例5】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示） (1)的值； (2)的值； (3)的值． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）观察：，，，．据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，那么 ， ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算： 解：原式 x． 【我的感悟】请参考例题的解法解答下列问题： (1)计算： ①； ② (2)如果，求的值． 【典型例题八 整式乘法混合运算】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）一个长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个箱子的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）若定义，则 ． 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简的结果为 ．． 【例5（24-25七年级上·嘉定·期中）计算： (1) (2)． 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）将个同样大小的小正方体拼成一个（a，b，c为正整数且）的长方体，在其表面染色，在满足上述条件的各种可能拼法中，恰有一面染色的小正方体的个数的最大值与最小值分别为M，m，则（   ） A．84 B．96 C．72 D．32 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）要使多项式化简后不含x的二次项，则m的值是 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 5．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【典型例题九 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）若，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期中）的展开式中项和项系数相等，则、的关系是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海静安·期中）计算 ． 【例4（24-25七年级上·上海虹口·期中）若，则 ．（填“、或”） 【例5】（2025·上海徐汇·模拟预测）（1）解方程组：； （2）已知a、b满足，则______． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2024年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现．结果都是7． 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将每个方框的左上角数字设为n，请用含n的式子表示你发现的规律：__________． (2)请利用整式的运算对以上规律进行证明． 【典型例题十 多项式乘多项式——化简求值】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）一个长方形的长为，宽比长少4cm．若将长和宽都增加，则面积增加了 ；若，则增加的面积为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）化简求值：当，时，代数式的值． 1．（2024七年级上·上海长宁·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）的展开式中不含和项． (1)求的值？ (2)当取第（1）小题的值时，求的值． 5．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式，，，来说 ，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若，，，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【典型例题十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若将展开的结果中不含有的一次项，则满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）若的乘积中不含和项，则 ． 【例4】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算的结果不含和的项，那么 ， ． 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知计算的结果中不含x的一次项，求的值． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）若的积中不含项，则满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有 ． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值．                       5．（24-25七年级上·上海松江·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【典型例题十二 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； … 请猜想的展开式第三项的系数为 ． 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，则中第三项系数为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）填空： ①________； ②________； ③________； … 根据上述计算回答下列问题： （1）写出反应上述规律的关系式； （2）利用上述规律反映的关系式计算：． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）根据，，，，…的规律，则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）观察以下等式： ； ； ； … (1)按以上等式的规律，填空： ①________； ②_________； (2)利用（1）中的公式化简：． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）综合与实践     【实际情境】如图，将一块矩形按照如图方式横纵分割成若干个不重复的小矩形，其中记分割的线段数量为，分割后小矩形的数量为，如图1，当时，；图2中，，；图3中，，． (1)【问题理解】若，则的值可能是______，并在图4中画出相应的示意图（任意画出一种符合条件的情况）； (2)【问题延伸】若，则的值可能是______（任写一个符合条件的值）； (3)【得出结论】当为偶数时，的最大值是多少？我们可以这样证明： 设，其中为正整数，若横线为条，则竖线为______条，其中，则最终分成的小矩形个数______，当______时，有最大值，此时______（用含有的式子表示）． 【典型例题十三 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，边长为，的长方形，它的周长为面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，现有正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片若干张． 如果要拼成一个长为宽为的大长方形，则需要C类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．5张 D．4张 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到等式．例如，由图①可以得到．请写出图②所表示的等式： 【例4】（24-25七年级上·上海徐汇·期中），两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材，面积分别为，，请比较，的大小 ． 【例5】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，某校有一块长为，宽为的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像，请计算该地块绿化部分的面积． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）有一块长为米（为正数），宽为米的长方形土地，若把这块地的长增加米，宽减少米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在长方形中，点分别在，上，已知，若长方形的面积为，图中阴影部分的面积为 ．（用含的代数式表示） 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长m米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积：（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 5．（2025七年级上·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·上海虹口·单元测试）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海崇明·期末）按顺序排列的若干个数：，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法： ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）某校利用课后服务开展了主题为“浸润书香，放飞悦读”的读书活动．现需购买甲，乙两种图书共300本供学生阅读，其中甲种图书的单价为元/本，乙种图书的单价为元/本，若购买甲种图书本，则该校购买甲乙两种图书总费用为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）有一张长为，宽为的长方形纸片，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将剩下部分折起，制成一个无盖的纸盒（如图），已知纸盒的高度为，则纸盒的底面积为（单位：）（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）填空： （1）已知，则 ， ． （2） ； ． （3）若，则 ． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： ． 8．（24-25七年级上·全国·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； 根据规律可得 ． 9．（24-25七年级上·上海闵行·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则式子 ． 小红的思路： 设，， 则， ， 的最小值为． 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）用如图1所示的张长为，宽为（）的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度发生变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变．则，之间满足的关系式为 ．    11．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算如图所示的梯形的面积． 13．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 14．（24-25七年级上·上海松江·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，就可以用图②中的几何图形的面积来表示． (1)请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示 (3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形． 学科网（北京）股份有限公司 $$