3.1 等量关系与方程 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦等量关系、方程及一元一次方程的概念与方程的解，通过中学生篮球联赛等现实情境导入，引导学生从实际问题中发现数量关系，结合长方体包装盒实例抽象出方程，构建“情境—等量关系—设未知数—列方程”的学习支架。 其亮点是以现实情境和数学文化为载体，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。如“鸡兔同笼”问题通过表格估算引导探究方程的解，结合跨学科及中考真题练习强化应用，小结系统梳理知识。学生能提升用数学语言表达现实问题的能力，教师可直接利用结构化内容提高教学效率。

湘教版（2024）数学7年级上册 第3章 一次方程（组） 3.1 等量关系与方程 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年 9 月举办了一次中学生篮球联赛。 比赛规则为：胜一场得 2 分，输一场得 1 分。 若某校初中男子篮球队参加了 14 场比赛，共得 26 分。 初中男子篮球队胜多少场，输多少场？ # 3.1 等量关系与方程（初中七年级数学） ## 一、导入新课（5分钟） 1. **生活情境+问题驱动**：展示3个实际问题：① 小明有20元零花钱，买笔记本花了x元，还剩12元，他花了多少元？② 一个长方形的长是5cm，宽是y cm，周长是24cm，宽是多少？③ 某班有男生25人，女生z人，男生人数比女生多3人，女生有多少人？引导学生用文字描述数量关系：① 总钱数 - 花的钱数 = 剩余钱数；② （长+宽）×2 = 周长；③ 男生人数 - 女生人数 = 3。 2. **引出课题**：提问“能否用含有字母的等式表示这些关系？”，学生尝试列出：① \(20 - x = 12\)；② \(2(5 + y) = 24\)；③ \(25 - z = 3\)。点明这类含有未知数的等式就是方程，本节课将学习等量关系的识别与方程的建立，体会从实际问题到数学模型的转化。 ## 二、探究新知（20分钟） ### （一）核心概念解析 1. **等量关系**： - 定义：数量之间相等的关系，是建立方程的基础。例如“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”等公式，以及实际问题中隐含的相等关系（如“剩余钱数=总钱数-支出钱数”）。 - 识别方法：抓住问题中的关键词（如“等于”“比……多”“比……少”“是……的几倍”“占……的几分之几”），或利用几何公式、常识性规律提炼相等关系。例如“甲的年龄比乙大5岁”可转化为“甲的年龄 - 乙的年龄 = 5”。 2. **方程的定义**： - 定义：含有未知数的等式叫做方程。关键词：① 含有未知数（如x、y、z等字母）；② 是等式（必须有等号“=”）。 - 举例与辨析：① \(3x + 5 = 11\)（含未知数x，是等式，是方程）；② \(2 + 3 = 5\)（无未知数，不是方程）；③ \(4x - 7\)（不是等式，是代数式，不是方程）；④ \(x - 2 > 0\)（是不等式，不是方程）。 3. **方程的解与解方程**： - 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。例如方程\(2x = 6\)中，x=3时左右两边都等于6，所以x=3是该方程的解。 - 解方程：求方程的解的过程叫做解方程（后续重点学习，此处初步区分概念）。 ### （二）建立方程的步骤 1. **设未知数**：根据问题情境，选择合适的未知量用字母表示（通常设要求的量为x，也可设中间量），设完后注明单位。 2. **找等量关系**：分析题目中的数量关系，找出隐含的相等关系（可借助画图、列表辅助分析）。 3. **列方程**：根据等量关系，用含未知数的代数式表示等式两边的量，列出方程。 4. **检验**：初步检查方程是否符合等量关系，字母和单位是否统一（避免逻辑错误）。 ### （三）常见等量关系类型 1. **和差倍分关系**：如“a比b的3倍多2”转化为“a = 3b + 2”；“m与n的和是10”转化为“m + n = 10”。 2. **几何公式关系**：长方形周长=2（长+宽）、正方形面积=边长×边长、三角形面积=（底×高）÷2等。 3. **实际应用关系**：路程=速度×时间、工作总量=工作效率×工作时间、利润=售价-进价等。 ## 三、例题讲解（12分钟） ### 例题1：和差倍分问题（基础） - 题目：某学校七年级共有学生320人，其中男生人数比女生人数的2倍少40人，求女生人数。 - 解答： ① 设未知数：设女生人数为x人，则男生人数为（2x - 40）人； ② 找等量关系：男生人数 + 女生人数 = 总人数； ③ 列方程：\(x + (2x - 40) = 320\)。 - 小结：设较小的量为未知数，利用“倍”“多”“少”等关键词构建等量关系，注意代数式的正确表示。 ### 例题2：几何问题（公式应用） - 题目：一个梯形的上底是3cm，下底是5cm，面积是16cm²，求梯形的高。（梯形面积公式：\(S = \frac{1}{2}(a + b)h\)，其中S为面积，a为上底，b为下底，h为高） - 解答： ① 设未知数：设梯形的高为h cm； ② 找等量关系：梯形面积公式； ③ 列方程：\(\frac{1}{2}(3 + 5)h = 16\)。 - 小结：直接利用几何公式作为等量关系，代入已知量，用未知数表示未知量，列出方程。 ### 例题3：实际应用问题（路程） - 题目：小明从家骑自行车去学校，速度为12km/h，出发15分钟后，爸爸发现他忘带课本，开车以36km/h的速度追赶，问爸爸多久能追上小明？ - 解答： ① 设未知数：设爸爸出发t小时后追上小明； ② 找等量关系：爸爸追上时，两人行驶的路程相等（小明行驶时间为\(t + \frac{15}{60} = t + 0.25\)小时）； ③ 列方程：\(36t = 12(t + 0.25)\)。 - 小结：复杂实际问题需先梳理运动过程，统一单位（15分钟转化为0.25小时），再找出核心等量关系（路程相等）。 ## 四、课堂练习（8分钟） 1. **基础题**： （1）下列式子中是方程的是______（填序号）：① \(5x - 3\) ② \(7 + 8 = 15\) ③ \(2x + 4 = 9\) ④ \(x - 1 > 2\)（答案：③）； （2）设未知数并列出方程：一个数的4倍与7的和是23，求这个数（答案：设这个数为x，方程：\(4x + 7 = 23\)）。 2. **中档题**： （1）长方形的长比宽多3cm，周长是42cm，设宽为x cm，列方程为______（答案：\(2(x + x + 3) = 42\)）； （2）某商品进价为80元，按标价的8折销售仍可获利20元，设标价为y元，列方程为______（答案：\(0.8y - 80 = 20\)）。 3. **拓展题**： 甲、乙两队合修一条长1800米的公路，甲队每天修100米，乙队每天修80米，两队同时开工，多少天后还剩300米未修？（答案：设x天后还剩300米，方程：\(100x + 80x + 300 = 1800\)）。 - 要求：学生独立完成，教师巡视指导，重点关注等量关系的识别和方程的规范列出，最后集体订正，讲解易错点（如单位不统一、代数式表示错误）。 ## 五、课堂小结（2分钟） 1. 核心概念：等量关系是数量间的相等关系，方程是含未知数的等式，二者是解决实际问题的关键纽带； 2. 列方程步骤：设未知数→找等量关系→列方程→检验，其中“找等量关系”是核心环节； 3. 常见题型：和差倍分、几何公式、实际应用（路程、利润等），需结合具体场景提炼等量关系； 4. 强调意义：方程是数学建模的基础，能将实际问题转化为数学问题，为后续解方程、解决复杂应用题奠定基础。 情景导入 等量关系和方程 1 问：(1) 其中蕴含怎样的等量关系？ 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年 9 月举办了一次中学生篮球联赛。 比赛规则为：胜一场得 2 分，输一场得 1 分。 若某校初中男子篮球队参加了 14 场比赛，共得 26 分。 胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分。 2×胜/输的场数 胜的场数＋输的场数＝14. 1×输的场数 （2）如果设该队胜了 x，则该队输了 场。又由于胜一场得 2 分，输一场得 1 分，因此可得以下等式： 2x + (14 - x) = 26 (14-x) 下图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为 1.2 m， 高为 1 m，表面积为 6.8 m2. 1 m 1.2 m (1) 这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ (2) 假设包装盒底面的宽是 y m，则根据题意可得以下等式： 自主思考 表面积＝(长×宽＋宽×高＋长×高)×2 (1.2×y+y×1+1.2×1)×2=6.8 2.4y+2y+2.4=6.8 知识要点 2x + (14 - x) = 26 2.4y+2y+2.4=6.8 1. 上式中的 x，y 叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程。 2. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。 观察下列两式，这两个式子有什么样的特点？ ①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1； ⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦ ；⑧πx＝12. ①只含有一个未知数； ②未知数的指数是 1； ③方程中的代数式都是整式. 判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件： √ √ √ √ 典例精析 例1 判断下列各式是不是一元一次方程： 1. 是一元一次方程，则 k = ________. 3. 是一元一次方程，k =_____. 2. 是一元一次方程，则 k =_____. 1 或 -1 -1 -2 注意：未知数的次数为 1，且系数不等于 0. 练一练 5.（福州·期末）“x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 与 4 的差”， 用等式表示为 . 4.（厦门·期中）已知长方形的长与宽分别为 16、x，周长为 40，根据条件，列出方程为 . 2(16 + x) = 40 练一练 探究2：填写下表： 合作探究 x 1 2 3 4 5 6 7 8 … 3x - 6 2x + 1 -3 3 0 5 3 7 6 9 9 11 12 13 15 15 18 17 … … 观察表格，当 x = 1 时， 3x - 6 = ； 当 2x + 1 = 11 时，x = ；当 x = 时，3x - 6 = 2x + 1. -3 5 7 方程的解 2 知识要点 总结 把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值. x 1 2 3 4 5 6 7 8 … 3x - 6 2x + 1 -3 3 0 5 3 7 6 9 9 11 12 13 15 15 18 17 … … 当 x = 7 时，3x - 6 = 2x + 1. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? (1) 找出，上述趣题中的等量关系； 兔的只数＋鸡的只数＝35； 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 做一做 设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚， 因此，可得如下一元一次方程： 4x + 2(35 - x) = 94 将方程左边的多项式整理得 4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70 (2) 适当设未知数，列出一元一次方程. 从而方程变成 2x + 70 = 94 怎么求出 x 的值？ 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较 第1次估算 10 第2次估算 15 第3次估算 13 第4次估算 12 第5次估算 11 2x + 70 = 94 90 小了 100 大了 96 大了 94 相等 92 小了 由上可知，12 是方程的唯一解. 于是上述趣题中兔有 12 只，鸡有 23 只. 知识要点 对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解。习惯上记作 x = c. 2x + 70 = 94 x = 12 典例精析 例2 分别检验 x 的下列值是不是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330. 解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得， 左边 = 2.5×300＋318= 1 068， 左边 = 右边， 所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解. (2) 把 x 用 330 代入原方程得， 左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143， 左边 ≠ 右边， 所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解. 练一练 6. 下列方程中，解为 x＝－2 的是(　　) A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3 C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2 C 7. 若 x＝4 是关于 x 的方程 ax＝8 的解，则 a 的值为______. 2 1. 下列式子中，方程的个数是( ) ； ； ； ； ； . B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 返回 考试考法 18 2. 按照表格中的步骤，第三次估算方程 的解时， 可以取的值是( ) 估计的 的值 的值 与2.2比较 第一次估算 0 3 大了 第二次估算 1 小了 第三次估算 A A. 0.1 B. 2 C. D. 返回 考试考法 19 3.［2025长沙开福区月考］已知下列方程： ；；； ； ； . 其中属于一元一次方程的有________（填序号）. ②③⑤ 返回 考试考法 20 4. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这 部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知 数,的系数与相应的常数项，即可表示方程 ,则 表示的方程是____________. 返回 考试考法 21 5. 请写一个未知数的系数是 ，且方程的 解是1的一元一次方程:___________________________. （答案不唯一） 返回 考试考法 22 6. 按如图方式做一个试管架，在 长的木板 上钻若干个半径为 的圆孔，已知相邻两个圆孔的间距为 ，设木板上能钻 个圆孔，则可列方程为____________. 返回 考试考法 23 认识方程 方程的定义 一元一次方程 方程的解 课堂小结 谢谢观看！ $